x简谐振动(弹簧振子)

x2 Acos2t Acos 2 2t
x

x1

x2 (2Acos2
振幅

2
1
2
t)
cos2

2
1
2
t
2 1 2 `1
合振幅的频率：
振幅随时间作缓慢的周期性 变化。其值为0—2A
2Acos 2 2 1 t 2Acos(2 2 1 t )
三.描述波动的物理量 1.波速——波的传播速度。由介质决定。
液（气）体中： u B

体变模量 密度
固体： 横波： u G
切变模量
纵波：u Y

弹性模量
弹性模量Y：
S F
正应力： F S
实验表明：
L
ΔL
线性应变：
L
L
F Y L SL
切变模量 G：
r
F 切应力与切应变： F G r
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
t=0 x A
2
3
v ＜0

3
A
φ
x
六. 单摆与复摆 单摆：
复摆
受力矩：
M = －mgh sinθ
o θL
oh θc
角加速度：
m
M mgh sin
P
I
I
P
当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
SL
体变模量B：
体积缩小ΔV，压 p B V V V’
强增加Δp。
V
2.波长λ——相邻的两振动状态完全相同的点之间 的距离。 位相差 = ？
表现空间的周期性。 3.周期 T —— 波源传出一个完整的波形的时间或振 动状态传播一个波长的时间。与振动周期相等。
表现时间的周期性。
4.频率ν——单位时间内通过空间某点的完整的波 数。
φ x3 x2 x1 x0 x
简谐振动（弹簧振子）
确定初位相 两个振动的位相差
相位练习 如图所示，把一小球拉过一甚小的角 ，然后放手， 任其摆动，此 角是否是初相？请选择
(1) 0
(2) θ
如图所示，t = 0时物体速度值为负，位移为A/2， 其初相是多少？
解析法：
x Acos(t ) 矢量圆
次，也就是合振动将加强与减弱各（ν2－ν1）次。
这样的两个简谐振动合成时，由于周期的微小差别
而造成的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍，
合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。
x1 2 1
曲线： o
t
x2
o
t
x1 +x2
o
t
定量讨论： 振幅相同，初相为零。
x1 Acos1t Acos 2 1t
3.相位 —— ωt + φ
决定任意时刻的振动状态。
x Acos( t ) v dx A sin( t )
dt
a

d2x dt 2
A 2 cos(
t
)

2x
4. A φ的确定
由初始状态决定
由： x0 Acos v0 Asin
t cos2
sin
t sin 2
消去 t
得
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(2 1) sin 2 (2 1)
一般为椭圆方程。 几个特例：
y s
(1) 2 1 0
y A2 x A1
x
s
x2 y2
A12

A22
cos(
t
)
——谐振 y
p 比 o 滞后 Δt , t x
若 t 时刻 y0 = Acosωt
u
oxp x
则：y p

A cos
(
t x) u
波动方程
其它形式：y Acos 2 ( t x ) Acos 2 (x ut)
T

三.方程的物理意义.
1. x = x0
y Acos (t x0 )
(2) t1 = 0.0025s = ¼ T t2 = 0.005s = ½ T
Δx1 = u t1 = ¼ λ
Δx2 = u t2 = ½ λ
产生条件：波源、弹性介质。 二.纵波与横波 考虑振动方向与传播方向 纵波—— 振动方向∥传播方向 横波—— 振动方向⊥传播方向
三.几何描述
1.波阵面——位相（振动状态）相同的点组成的曲 面。形象描述波的传播情况。 例：点波源在各向均 匀介质传播。 波前——最前的波阵面。
2.波射线——波的传播方向。 各相同性的介质中，波线与波阵面垂直。
t
（2）负向传播
y Acos (t x )
例题 求A、λ、ν、T；波形图；
u
y 0.02cos (5x 200t) 0.02cos 200 (t
x
)
解: (1) A = 0.02m ν= 100HZ T = 0.01s-1 40
u = 40ms-1 λ= uT = 0.4m
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0

2 p
)2

4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
振动情况分析。
最终的振动： x A cos( pt )
振幅与初相
A
f
(
2 0

2 p
)2

4
2
2 p
三.共振
tg

2 p
02

2 p
受迫振动的振幅与驱动力的大小、频率及振动物 体的固有频率有关。当驱动力的频率与物体的固有 频率接近时，振幅将增大，当驱动力的频率为某一 定值时，振幅将达到最大。此现象称为共振。
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
百度文库d2x k
dt 2
m
x0
谐振方程
§2. 阻尼振动 受迫振动 共振
一.阻尼振动 —— 能量逐渐减少的振动。
摩擦阻力
考虑耗散作用
x
辐射阻尼 x
振动曲线：
振幅减小，
周期比系 统的固有
t
t
周期变大。
若阻尼过大，则系统完不成一次振动，称过阻尼振 动。见图
旋转矢量法讨论： 因转动速度相同，所以 A1 合振动是谐振。
A A2
合振动的振幅：
当 φ2－φ1 = ±2kπ
A = A1+ A2 为最大 当 φ2－φ1 = ±（ 2k + 1 ）π
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
设两振动频率为 ν2、ν1，且ν2大于 ν1 ，则在单位时 间内第二振动比第一振动多振动ν2－ν1次，从矢量 圆来看，即第二矢量比第一矢量多转（ν2－ν1）圈， 所以两矢量同向或反向各为（ν2－ν1）
Ep

1k 2
A2
——能量守恒
势能曲线：
Ek = ½ k(A2 －x2)
E
经典粒子能否越过A处？
Ep Ek Ep
-A
Ax
微观粒子是可以越过势能曲线形成的障碍而进 入势能更大的区域，此称为隧道效应。
从能量的角度导出谐振方程：
E = ½ mv2 + ½ kx2 = 常量 d (1 mv2 1 kx2 ) 0
0.13 1
0.52 4
t2
t1 t 2
t
2
§2.平面简谐波波动方程 （波函数）
一.作用：描述波动规律—各质点 t 时刻的振动规律。
二.导出
设：波源谐振，平面波、介质无限大、波速 u.
建立坐标 如图： x = 0
y
u
y0 = Acosωt 求 p 点的 y = ?
)
v
2x
A
正弦或余
谐振曲线： 弦曲线。
A
四.谐振的振幅 周期 频率和相位
1.振幅
x Acos( t )
最大位移
2.周期
x Acos( t ) Acos( (t T ) )
T 2 1

T 2
2
ω 是由振动系统决定的，所以周期、频率也由系 统的性质决定。称为固有周期与固有频率。
得： A
x02

v02
2
tg v0 x0
五.谐振的矢量图示法
见图，矢量OM长度为A ,
逆时针旋转，角速度ω。
M φ
o
x
考察其端点在x轴上的投影的变化规律：
x Acos( t ) ——谐振
ω
参考圆：矢量端点的运动轨迹 为半径等于A的圆 ，通常将其 称为参考圆。其在直径上投影 的运动？
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek

1 mv2 2

1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep

1k 2
x2

1k 2
A2
cos2 (
t
)
E

Ek
2
2
2Acos(2 2 1 (t 1 )
2
即： T 1
2 1
2 1
2 1
三.同频率 振动方向垂直
x A1 cos( t 1)
x A1

cos
t
cos1
sin

t sin
1
y A2 cos( t 2 )
y A2
cos
2 0
其解为： x Ae t cos(t )
02 2 A、φ由初始条件决定。
若： 2＞02
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。

2


2 0
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
u
x x0 处的振动方程。
2. t0
t时=刻t0各质点的y位 移Ac—os—波(t形0 图u。)
Δt = ? 周期
y t = t0 t = t0 + Δt
p 点的振动方向？
3. t 、x 均为变量。
o
各质点的振动方程。
p x
u
4.讨论： （1）振速与波速
振速：V y 波速：位相的传播速度。
定量分析： 设周期性外力：F0 cos pt
由牛顿定律： kx v F0 cos pt ma
m
d2x dt 2

dx dt
kx
F0 cos pt
令：
2 0

k m
2
m
f F m
得：
d2x dt 2
2
dx dt


2 0
x

f
cos pt
其解为： x A0e t cos(t ) Acos(pt )
第四章 简谐振动
§1.简谐振动 （最基本最重要的运动）
一.振动
机械振动：位置作周而复始的变化。 广义的振动：某物理量在一定值附近作周而复 始的变化。
二.周期与频率 周期：T 频率：ν
T1

三.谐振方程
k
m
1.动力学特征 以弹簧振子为例：见图
o
x
以平衡位置为原点建立坐标。
分析受力： f kx —— 动力学特征
5.关系式：
c
T
例 题 频率为3000Hz的声波以1560ms-1沿一波线
传播，经A点后再经0.13m到达B点。求B点振动比A
点落后的时间,相当于多少个波长，两点的位相差
为多少？
解： t x 0.13 1 s
c 1560 12000
c ＝1560 0.52m 3000
定量分析：
设物体以不大的速率在粘性介质中运动，粘滞
阻力为
F v
γ为阻力系数，与物体形状、大小及介质有关。
由牛顿方程： kxv ma
d2x m dt2

dx dt
kx 0
令：
2 0

k m
2
m
得：
d2x dt 2

2
dx dt


2 0
x

0
当：
2＜
2.运动学方程
由:
f

-kx

m
d2 dt
x
2
有：
d2x dt 2

k m
有：
x0 d2x dt 2
2x

令： 2
0

k m
解此微分方程，可得
x Acos( t ) ——运动方程
v dx A sin( t )
dt
A
a

d2x dt 2

A 2
cos(t
(2) 2 1
仍为谐振
y A2 x s A1
x
(3)
2
1


2
x2 A12

y2 A22
1
y
正椭圆。 转动方向？
x
(4)
2
1



2
椭圆，逆时针。
四.频率不同 振动垂直——利萨如图形
见图： P151 5.19
第五章 机械波
§1.机械波的产生与传播
一.产生条件 思考：什么是波？ 例:声波、水波、 振动状态的传播。