高中平面向量知识点总结

平面向量

1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量

2、 向量的表示方法

（1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB ，如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB .

（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a

，b … 3、向量点的长度（模）

向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB |、｜a

｜

4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

a ＝0 ⇔｜a

｜＝0

单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a 为单位向量⇔｜0a

｜＝1

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量

记作a ∥b

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a

=

即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔21

2

1y y x x

6、 对于任意非零向量的单位向量是 .

7、向量的加法

（1）三角形法则

设,AB a BC b ==，则a

+b =AB BC +=AC

对于零向量与任意向量a

的和有a a a =+=+00

（2）平行四边形法则

已知两个不共线的向量a

，b ，做,AB a BC b ==，则A 、B 、D 三点不共线，以

AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a

+b .

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．

8、向量加法的运算律

（1）交换律 a +b =b +a

（2）结合律 (a +b )+c =a +(b +c )

9、向量的减法

)(b a b a

-+=- 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

图：

10、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量. 记作a

- （1）)(a

--=a ，即a 与a

-互为相反向量；

（2）若a 、b

是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 ；

（3）a +(a -)=(a -)+a =0 ；

（4）零向量的相反向量仍是零向量

（5）对于用起点和终点表示的向量，则有AB = —BA,即AB 和- BA 互为相反向

量

11、已知向量α，b ，则| |α|-|b| |

|α|| b|

12、向量数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下：

（1）a a

⋅=λλ；

（2）当0>λ时， a λ与a

同向

当0<λ时， a λ与a

异向

当0=λ或a =0

时，0 =a λ，方向是任意的

13、向量数乘的运算律

（1） λ(μa ) =(λμ)a

（2）(λ+μ) a =λa +μa

（3）λ（a +b ）=λa

+λb

（4）（—λa ）= —（λa ）=λ（—a

） λ（a —b ）=λa

-λb

14、向量共线判定定理

当向量a

，对于向量b ，如果有一个实数

λ，使b =a λ，那么a

b 共线. 向量b 与向量a （a

）共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ.

15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a

、b 以及任意实数λ、

1

2

恒有λ（

1

a

2

b ）=λ

1

a +λ

2

b

16、平面向量的基本定理

如果21,e e

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

17、a

b 两向量夹角范围[0

]

0 a

b 同向 图

a b 同向 a

b 垂直，记为a

b

18、平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量 19、平面向量的坐标表示 （1）直角坐标

在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对

于平面内的的一个向量

a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使a =x i+y j ，则把有序数对（x ，y ）叫做向量a

的坐标。

（2）坐标表示

在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a

=（x ，

y ）叫做向量的坐标表示。

（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） 0

=（0,0）

20、若()()1122,,,a x y b x y ==和实数λ