重要性质：3
3a a -=- （3）立方与开立方互为逆运算。 二、典型例题:
例1、x 为何值时，下列代数式有意义。 （1）x 23+ （2）x x -+
-22 （3）32+x
（4）
1
31-x （5）
1
1
-+x x （6）2)1(--x 例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是4±，求a+2b 的平方根。 例3、若x 、y 都是实数，且233+-+-=
x x y ，求x+3y 的平方根。
例4、如果3a b M a b -=++是a+b+3的算术平方根，3
22+-+=b a b a N 是a+2b 的立方根，
求M －N 的立方根。
例5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22
()a a b c a b c --+-+-
第12章 数的开方（无理数与实数）
一、知识点归纳： 1、实数的定义：
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数. 不能开尽方根的根号式及π. （2）无理数与有理数统称为实数. 2、实数的分类：
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧正无理数
无理数负分数正分数分数负整数零自然数正整数整数有理数实数)(⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧负无理数负分数
负整数负有理数负实数零
正无理数正分数正整数
正有理数正实数实数
3、数轴:
⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ⑵实数与数轴上的点是一一对应的。 4、相反数：
⑴相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
⑵在一个数的前面添上“－”号，就成为这个数的相反数。即实数 a 的相反数是－a ；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。 5、a 、b 互为相反数 <====> a +b =0 6、倒数：
⑴倒数：１除以一个不等于零的数的商叫做这个数的倒数。 ⑵ a 、b 互为倒数 <====> ab =1 a 、b 互为负倒数 <====> ab =－1 7、绝对值：
⑴绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。 ⑵一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。
8、有关实数的非负性：2
0a ≥,0a ≥
(0)a ≥≥
9、科学记数法：把一个数记成n
a 10⨯ 的形式，其中110a ≤< ，n 为整数。这种记数方法叫做科学记数法。
10、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非0数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 二、典型例题：
例1、把下列各数填入相应的大括号内
5， －3， 0， 3.1415 ,
722
, 3+ , 3
1
- , 3
8-,
2
π
,
， 1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）
(1)无理数集合：
{
…
}；
00 0
0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
(2)非负数集合：{ …}； (3)整数集合： { …}； (4)分数集合：
{
…
}。
例2、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是 A. 2
1
1 B. 1.4 C. 3 D. 2
例3、实数p 在数轴上的位置如图所示，
化简=-+-22)2()1(p p ______________；
例4、已知数a 满足a a a =-+-2001|2000|，求a-20002的值。
图1
