方差分析 数学建模
专题(三)数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差-2021年高考数学核心素养系列专题
核心素养系列（三）数学建模、数学抽象——离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的期望与方差是高考的一个重要内容，注意观察随机变量的概率分布特征，抽象出合理的概率模型，利用期望与方差公式计算与求解，解决学生这一痛点. 类型一 以相互独立事件为背景的期望与方差 求以相互独立事件为背景的期望与方差的解题思路：（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【素养指导】（1）求出3()4P A =→且()()P A P C 与()()P B P C →求乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）写出X 的可能取值→求出相应的概率→求出X 的分布列→E （X ）． 【解析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==；515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==.所以随机变量X 的分布列为()0122424424E X =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为24. 【素养点评】考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力．【素养专练】为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”． （1）求620S =且0i S ≥（1,2,3i =）的概率；（2）记5|S |X =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X ．【解析】（1）当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个. 若回答正确1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个.故所求概率为：2222224322121221163333333381P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由5X S =可知X 的取值为10,30,50.()4114415521213030333381P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()5550552111503381P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为：()81E X =. 类型二 以二项分布为背景的期望与方差 求二项分布为背景的期望与方差的解题思路： 第一步：根据题意设出随机变量. 第二步：分析随机变量服从二项分布.第三步：找到参数n ，p .第四步：写出二项分布的概率表达式. 第五步：求解相关概率.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ．【素养指导】(Ⅰ)先计算3人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率； (Ⅱ)确定二项分步→X 的可能的取值→列出分布列→求出期望．【解析】(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福()()363185199111204204C P A P A C ∴=-=-=-=(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能的取值为0,1,2,3 ()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2132121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以随机变量X 的分布列为：所以X 的期望()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【素养点评】二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b ).(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值.【解析】(1)，前四组频数成等差数列，，所对应的频率组距也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，，0.5[0.2＋(0.2＋d )×2＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.1×3]＝1， 解得d ＝0.1，，a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋3.07.08.0 ≈2.83. (3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，X ～B (3，0.7)，P (X ＝0)＝03C ×0.33＝0.027；P (X ＝1)＝13C ×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝23C ×0.3×0.72＝0.441；P (X ＝3)＝33C ×0.73＝0.343， ，X 的分布列为，X ～B (3，0.7)，，E (X )＝np ＝2.1.类型三 以超几何分布为背景的期望与方差 求超几何分布件为背景的期望与方差的解题思路： 第一步：确定参数N ，M ，n 的值.第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. 第三步：列出分布列.（1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X 【素养指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；（2）X 的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.【解析】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C C P X C ===； （2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭()335388kk kP X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =∴分布列如下：()515388E X =⨯=【素养点评】考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以()11241541040421021C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，()4073410106C C P X C ⋅===；()3173410112C C P X C ⋅===； ()22734103210C C P X C ⋅===；()13734101330C C P X C ⋅===， X 的分布列为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
数学建模优秀方法之方差分析
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21
: : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
单因素方差分析的原理步骤
• 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
一、提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） ▪ H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
进行调整
2.同上，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率
3.用t检验完成多重配对比较，为多重比较调整显著值，但
比2的界限要小
4.对所有可能的组合进行同步进入的均值配对比较
5.用F检验进行多重比较
6.在Studentized Range分布下进行多重比较
7.用Studentized Range分布进行所有各组均值间的配对比
规定显著性水平,默认为0.05
13.用Studentized最大系数进行比较检验,使用贝叶斯逼近.
14.用t检验进行配对比较.
5—3 Post Hoc对话框
规定输出的统计量: 输出描述统计量,包括观测量数
目,均值,最小值,最大值,标准差,标 准误差,各组中每个因变量的95% 的置信区间
用Levene检验进行方差一致性 检验
2. 对前面的例子
▪ H0: 1 = 2 = 3 = 4
• 颜色对销售量没有影响
▪ H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等
• 颜色对销售量有影响
二、构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算
线性模型(1)——方差分析模型
在方差分析中，我们初步介绍了线性模型的思想，实际上，线性模型只是方差分析的模型化，其统计检验仍然是依照方差分解原理进行F检验。
线性模型作为一种非常重要的数学模型，通常可以分为方差分析模型、协方差分析模型、线性回归模型、方差分量模型等，根据表现形式又可以分为一般线性模型、广义线性模型、一般线性混合模型、广义线性混合模型。
下面我们就根据分析目的来介绍线性模型一、方差分析模型：使用线性模型进行方差分析的时候涉及一些基本概念：===============================================(1)因素与水平因素也称为因子，在实际分析中，因素就是会对结果产生影响的变量，通常因素都是分类变量，如果用自变量和因变量来解释，那么因素就是自变量，结果就是因变量。
一个因素下面往往具有不同的指标，称为水平，表现在分类变量上就是不同类别或取值范围，例如性别因素有男、女两个水平，有时取值范围是人为划分的。
(2)单元因素各水平之间的组合，表现在列联表中就是某个单元格，有些实验设计如拉丁方设计，单元格为空或无。
(3)元素指用于测量因变量值的最小单位，其实也就是具体的测量值。
根据具体的实验设计，列联表的一个单元格内可以有一个或多个元素，也可能没有元素。
(4)均衡如果一个实验设计中任一因素的各水平在所有单元格中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数也相同，那么该实验就是均衡的。
不均衡的实验设计在分析时较为复杂，需要对方差分析模型作特别的设置才行。
(5)协变量有时，我们在分析某些因素的影响时，需要排除某个因素对因变量的影响，这个被排除的因素被称为协变量，(6)交互作用如果一个因素的效应大小在另一个因素的不同水平下表现的明显不同，则说明这两个因素之间存在交互作用。
交互作用是多因素分析时必须要做的，这样分析的结果才会全面。
(7)固定因素和随机因素是因素的两个种类，固定因素是指该因素的所有水平，在本次分析中全部出现，从分析结果就可以获知全部水平的情况。
概率论与数理统计第九章 方差分析
第九章方差分析在生产过程和科学实验中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多.例如，在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等.我们需要通过观察或试验来判断哪些因素对产品的产量、质量有显著的影响.方差分析(Analysis of variance)就是用来解决这类问题的一种有效方法.它是在20世纪20年代由英国统计学家费舍尔首先使用到农业试验上去的.后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功地应用在试验工作的很多方面.第一节单因素试验的方差分析在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控制的.例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的.以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.本节通过实例来讨论单因素试验.1.数学模型例9.1某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700℃后，投入到20℃的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果如表9-1.表9-1试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4种不同的材质表示钢锭模的4个水平，这项试验叫做4水平单因素试验.例9.2考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率，在40℃，50℃, (90)的水中分别进行4次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表92.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？表9-2 （%）单因素试验的一般数学模型为：因素A 有s 个水平A 1，A 2，…，A s ,在水平A j (j =1,2,…,s )下进行n j (n j ≥2)次独立试验，得到如表9-3的结果：表9-3x 11 x 12 … x 1s x 21 x 22 … x 2s … … … … 11n x 22n x … s n s xT ·1 T ·2 … T ·s1x • 2x • … s x •μ1 μ2 … μs假定：各水平A j (j =1,2,…,s )下的样本x ij ~N (j ,),i =1,2,…,n j ,j =1,2,…,s ,且相互独立. 故x ij -μj 可看成随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素所引起的，记x ij -μj =εij ,则⎪⎩⎪⎨⎧==+=.,),0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ij ij j ij j ij N s j n i x εσεεμ (9.1) 其中μj 与σ2均为未知参数.（9.1）式称为单因素试验方差分析的数学模型.方差分析的任务是对于模型（9.1），检验s 个总体N (μ１，σ2),…,N (μs ,σ2)的均值是否相等， 即检验假设012112:;:,,,s s H H μμμσσσ===⎧⎨⎩不全相等. (9.2) 为将问题（9.2）写成便于讨论的形式，采用记号μ=11sj j j n n μ=∑，其中n =1sjj n=∑，μ表示μ１，μ2,…,μs 的加权平均，μ称为总平均.δj =μj -μ, j =1,2,…,s ，δj 表示水平Aj 下的总体平均值与总平均的差异.习惯上将δj 称为水平A j 的效应.利用这些记号，模型（9.1）可改写成：x ij =μ+δj +εij ,x ij 可分解成总平均、水平A j 的效应及随机误差三部分之和120,~(0,),.1,2,,;1,2,,.sj j j ijij j n N i n j s δεσε=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑各相互独立 (9.1)′假设（9.2）等价于假设012112:0;:,,,s s H H δδδδδδ====⎧⎨⎩不全零.（9.2）′ 2.平方和分解我们寻找适当的统计量，对参数作假设检验.下面从平方和的分解着手，导出假设检验（9.2）′的检验统计量.记S T =211()jn sijj i xx ==-∑∑， (9.3)这里111jns ij j i x x n ===∑∑，S T 能反应全部试验数据之间的差异.又称为总变差.A j 下的样本均值 11jn j iji jx xn •==∑. (9.4)注意到2222()()()()2()()ij ij j j ij j j ij j j x x x x x x x x x x x x x x ••••••-=-+-=-+-+--，而 1111()()()()jj n n ssij j j j ij j j i j i x x x x x x x x ••••====⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑=11()0.j n sj ij j j j i x x x n x ••==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑记 S E =211()jn sijj j i xx •==-∑∑， （9.5）S E 称为误差平方和;记 S A =22111()()jn ssjj j j i j xx n x x ••===-=-∑∑∑， （9.6）S A 称为因素A 的效应平方和.于是S T =S E +S A . （9.7）利用εij 可更清楚地看到S E ,S A 的含义，记111jns ij j i n εε===∑∑为随机误差的总平均,11jn j iji jn εε•==∑, j =1,2,…,s .于是S E =221111()()jjn n ssijj ij j j i j i xx εε••====-=-∑∑∑∑; (9.8)S A =2211()()ssj jj j j j j n xx n δεε••==-=+-∑∑. (9.9)平方和的分解公式（9.7）说明.总平方和分解成误差平方和与因素A 的效应平方和.（9.8）式说明S E 完全是由随机波动引起的.而（9.9）式说明S A 除随机误差外还含有各水平的效应δj ，当δj 不全为零时，S A 主要反映了这些效应的差异.若H 0成立，各水平的效应为零，S A 中也只含随机误差，因而S A 与S E 相比较相对于某一显著性水平来说不应太大.方差分析的目的是研究S A 相对于S E 有多大，若S A 比S E 显著地大，这表明各水平对指标的影响有显著差异.故需研究与S A /S E 有关的统计量.3.假设检验问题当H 0成立时，设x ij ~N (μ,σ2)(i =1,2,…,n j ；j =1,2,…,s )且相互独立，利用抽样分布的有关定理，我们有22~(1)AS s χσ-, (9.10) 22~()ES n s χσ-, (9.11)F =()(1)AEn s S s S -- ~F (s -1,n -s ). (9.12)于是，对于给定的显著性水平α(0<α<1),由于P {F ≥F α(s -1,n -s )}=α, (9.13)由此得检验问题（9.2）′的拒绝域为F ≥F α(s -1,n -s ).（9.14）由样本值计算F 的值，若F ≥F α,则拒绝H 0，即认为水平的改变对指标有显著性的影响；若F <F α,则接受原假设H 0，即认为水平的改变对指标无显著影响. 上面的分析结果可排成表9-4的形式，称为方差分析表.当F ≥F 0.05(s -1,n -s )时，称为显著， 当F ≥F 0.01(s -1,n -s )时，称为高度显著.在实际中，我们可以按以下较简便的公式来计算S T ，S A 和S E .记T ·j =1jn iji x=∑, j =1,2,…,s ,T ··=11jn sijj i x==∑∑，即有22221111222211,,.j jn n s s T ij ij j i j i s s j A j j j j j E T AT S x nx x n T T S n x nx n n S S S ••====••••==⎧=-=-⎪⎪⎪⎪=-=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑ (9.15) 例9.3 如上所述，在例9.1中需检验假设H 0:μ1=μ2=μ3=μ4；H 1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等.给定α=0.05,完成这一假设检验.解 s =4,n 1=7,n 2=5,n 3=8,n 4=6,n =26.S T =22211(4257)69895926jn sij j i T x n ••==-=-∑∑=1957.12， S A =2221(4257)697445.4926sj j j T T n n •••=-=-∑=443.61， S E =S T -S A =1513.51.得方差分析表9-5.表9-5因 F (3,22)=2.15<F 0.05(3,22)=3.05. 则接受H 0，即认为4种生铁试样的热疲劳性无显著差异.例9.4 如上所述，在例9.2中需检验假设H 0:μ1=μ2=…=μ6； H 1:μ1,μ2,…,μ6不全相等.试取α=0.05,α=0.01，完成这一假设检验.解 s =6, n 1=n 2=…=n 6=4,n =24.S T =2211jn sij j i T x n ••==-∑∑=112.27,S A =221sj j j T T n n•••=-∑=56,S E=S T-S A=56.27.得方差分析表9-6.0.050.01由于 4.25=F0.01(5,18)>F A=3.583>F0.05(5,18)=2.77,故浸泡水的温度对缩水率有显著影响，但不能说有高度显著的影响.本节的方差分析是在这两项假设下，检验各个正态总体均值是否相等.一是正态性假设，假定数据服从正态分布；二是等方差性假设，假定各正态总体方差相等.由大数定律及中心极限定理，以及多年来的方差分析应用，知正态性和等方差性这两项假设是合理的.第二节双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A 和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,B s,现对因素A，B的水平的每对组合(A i,B j),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8设x ijk ~N (ij ,), i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ； k =1,2,…,t ,各x ijk 独立.这里ij ,均为未知参数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si ij j s μμ•==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ•==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ•=-, i =1,2,…,r , j j βμμ•=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ••=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t •==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ••===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ••===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()rstijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x •••••分别是μ,μi ·,μ·j ,μij 的无偏估计.由 ()()()()ijk ijk ij i j ij i j x x x x x x x x x x x x ••••••••••-=-+-+-+--+，1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx •===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ••=-∑，S B =21()sj j rtxx ••=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j txx x x •••••==--+∑∑.S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)BES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111r s tijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11stijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11r tijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S •••===•••••=•••••=•••⨯•==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.表9-10010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.表9-11S T =22111,r s tijki j k T xrst•••===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst•••••=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst •••••=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst••••==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x •=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑各相互独立 (9.22)要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ••=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),rssT ijA i i j j S xx S s x x •====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x •••====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）解 由已知，r =4,s =3,需检验假设H 01,H 02，经计算得方差分析表9-16.0.01A 01F 0.01（2,6）=10.92<F B ,拒绝H 02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.第三节 正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：(1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23）↑↑行数水平数（2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.最多能安排的因素数↓L4(23)↑↑试验次数水平数(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4(23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点：（1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p（n m）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.例9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.表9-18分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.解本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.表9-20从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.2.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A 3B 3C 2D 1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析. （1） 极差计算在代表因素A 的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T 11，求得T 11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T 21，求得T 21=183.一般地，定义T ij 为表9-21的第j 列中，与水平i 对应的各次试验结果之和(i =1,2,3; j =1,2,3,4).记T 为9次试验结果的总和，R j 为第j 列的3个T ij 中最大值与最小值之差，称为极差.显然T =31iji T=∑，j =1,2,3,4.此处T 11大致反映了A 1对试验结果的影响，T 21大致反映了A 2对试验结果的影响， T 31大致反映了A 3对试验结果的影响，T 12，T 22和T 32分别反映了B 1，B 2，B 3对试验结果的影响， T 13，T 23和T 33分别反映了C 1，C 2，C 3对试验结果的影响， T 14，T 24和T 34分别反映了D 1，D 2，D 3对试验结果的影响.R j 反映了第j 列因素的水平改变对试验结果的影响大小，R j 越大反映第j 列因素影响越大.上述结果列表9-22.(2) 极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主→次 B ；A 、D ；C这里，R j 值相近的两因素间用“、”号隔开，而R j 值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B ，即反应时间.其次是要考虑因素A 和D ，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T 31=185；即取水平A 3，同理可选B 3C 1D 3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A 3B 3C 1D 3.例9.8 某试验被考察的因素有5个：A ，B ，C ，D ，E .每个因素有两个水平.选用正交表L 8(27)，现分别把A ，B ，C ，D ，E 安排在表L 8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差R j的大小顺序排出因素的主次顺序为主 → 次 A 、B ；D ；C 、E最优工艺条件为A 2B 1C 1D 2E 1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差R j 应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表L p (n m ),试验的p 个结果为y 1,y 2,…,y p ,记T =1pi i y =∑, y =11p i i Ty p p ==∑，S T =21()pii yy =-∑为试验的p 个结果的总变差；S j =222111nn ij ij i i T T T r T r p r p ==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑ 为第j 列上安排因素的变差平方和，其中r =p/n .可证明S T =1mij S=∑即总变差为各列变差平方和之和，且S T 的自由度为p -1，S j 的自由度为n -1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S j 之和就是误差的变差平方和S e ，这时S e 的自由度f e 也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S j 中的最小值作为误差的变差平方和S e .从以上分析知，在使用正交表L p (n m )的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：F =1jeeS S n f -.当因素作用不显著时，F ~F (n -1,f e ),其中第j 列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的S j /(n -1)及S e /f e ,若某个S j /(n -1)比S e /f e 还小时，则这第j 列就可当作误差列并入S e 中去，这样使误差S e 的自由度增大，在作F 检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的S j 全并入S e 后得新的误差变差平方和，记为S e Δ,其相应的自由度为f e Δ,这时选用统计量F =1je eS S n f - ~F (n -1,f e Δ).例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的极差值R j ，利用公式S j =2211n ij i T T r p=-∑,得表9-24.表9-24表9-24中第3，6列为空列，因此S e =S 3+S 6=1.250,其中f e =1+1=2,所以S e /f e =0.625,而第7列的S 7=0.125，S 7/f 7=0.1251=0.125比S e /f e 小，故将它并入误差. S e Δ=S e +S 7=1.375,f e Δ=3.整理成方差分析表9-25.eeS fC 3.125 1 3.125 6.818D 6.125 1 6.125 13.364E Δ 0.125 1 0.125 e 1.1250 2 0.625 e Δ 1.37530.458由于F 0.05(1,3)=10.13, F 0.01(1,3)=34.12,故因素A ，B 作用高度显著，因素C 作用不显著，因素D 作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F 检验法要求选取S e ，且希望f e 要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A 和B 的交互作用A ×B .这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A 的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B 的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.小 结本章介绍了数理统计的基本方法之一：方差分析.在生产实践中，试验结果往往要受到一种或多种因素的影响.方差分析就是通过对试验数据进行分析，检验方差相同的多个正态总体的均值是否相等，用以判断各因素对试验结果的影响是否显著.方差分析按影响试验结果的因素的个数分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析.1. 单因素方差分析的情况.试验数据总是参差不齐，我们用总偏差平方和S T =211()jn sijj i xx ==-∑∑来度量数据间的离散程度.将S T 分解为试验随机误差的平方和(S E )与因素A 的偏差平方和（S A ）之和.若S A 比S E 大得较多，则有理由认为因素的各个水平对应的试验结果有显著差异，从而拒绝因素各水平对应的正态总体的均值相等这一原假设.这就是单因素方差分析法的基本思想.2. 双因素方差分析的基本思想类似于单因素方差分析.但双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验因素A 和B 各自的作用，还要检验它们之间的交互作用.3. 正交试验设计及其方差分析.根据因素的个数及各个因素的水平个数，选取适当的正交表并按表进行试验.我们通过对这少数的试验数据进行分析，推断出各因素对试验结果影响的大小.对正交试验结果的分析，通常采用两种方法，一种是直观分析法（极差分析法）,它通过对各因素极差R j 的排序来确定各因素对试验结果影响的大小.一种是方差分析法，它的基本思想类似于双因素的方差分析. 重要术语及主题单因素试验方差分析的数学模型 S T =S E +S A单因素方差分析表 双因素方差分析表 正交试验表极 差分析表习题九1.灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？2.一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相等.4.为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A）、防老剂（B）、硫化系统（C）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互4(2) 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.6.某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比例（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.(2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.。
数学建模方法大汇总
数学建模方法大汇总数学建模是数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
在数学建模中，常用的方法有很多种，下面将对常见的数学建模方法进行大汇总。
1.描述性统计法：通过总结、归纳和分析数据来描述现象和问题，常用的统计学方法有平均值、标准差、频率分布等。
2.数据拟合法：通过寻找最佳拟合曲线或函数来描述和预测数据的规律，常用的方法有最小二乘法、非线性优化等。
3.数理统计法：通过样本数据对总体参数进行估计和推断，常用的方法有参数估计、假设检验、方差分析等。
4.线性规划法：建立线性模型，通过线性规划方法求解最优解，常用的方法有单纯形法、对偶理论等。
5.整数规划法：在线性规划的基础上考虑决策变量为整数或约束条件为整数的情况，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
6.动态规划法：通过递推关系和最优子结构性质建立动态规划模型，通过计算子问题的最优解来求解原问题的最优解，常用的方法有最短路径算法、最优二叉查找树等。
7.图论方法：通过图的模型来描述和求解问题，常用的方法有最小生成树、最短路径、网络流等。
8.模糊数学法：通过模糊集合和隶属函数来描述问题，常用的方法有模糊综合评价、模糊决策等。
9.随机过程法：通过概率论和随机过程来描述和求解问题，常用的方法有马尔可夫过程、排队论等。
10.模拟仿真法：通过构建系统的数学模型，并使用计算机进行模拟和仿真来分析问题，常用的方法有蒙特卡洛方法、事件驱动仿真等。
11.统计回归分析法：通过建立自变量与因变量之间的关系来分析问题，常用的方法有线性回归、非线性回归等。
12.优化方法：通过求解函数的最大值或最小值来求解问题，常用的方法有迭代法、梯度下降法、遗传算法等。
13.系统动力学方法：通过建立动力学模型来分析系统的演化过程，常用的方法有积分方程、差分方程等。
14.图像处理方法：通过数学模型和算法来处理和分析图像，常用的方法有小波变换、边缘检测等。
15.知识图谱方法：通过构建知识图谱来描述和分析知识之间的关系，常用的方法有图论、语义分析等。
方差分析建模
因为p=0.0029<0.01，故不同饲料对鱼的增重效 ， 因为 果极为显著 .
四种不同饲料对鱼的增重效果极为显著 ，那么 哪一种最好呢？ 哪一种最好呢？请看下图
35 Values
30
25
1
2 3 Column Number
4
此时， 此时，第一个图对应第一种饲料且离盒子图中 心线较远，效果最突出。 心线较远，效果最突出。如果从原始数据中去掉第 一种饲料的试验数据， 一种饲料的试验数据，得到的结果为各种饲料之间 对鱼的增重效果不显著 .
3. 多重比较的 多重比较的MATLAB实现 实现 为方便找到具有显著差异的方案， 为方便找到具有显著差异的方案，我们给出 多重比较的MATLAB命令。 命令。 多重比较的 命令 C=multcompare(s) 其中输入s，由[p,c,s]=anova1(b);得到输出的结果； 得到输出的结果； 其中输入 ， 得到输出的结果 输出C共有 共有5列 其中前两列给出样本编号， 输出 共有 列，其中前两列给出样本编号，后三列分 别为两个样本均值差的置信区间与估计量. 别为两个样本均值差的置信区间与估计量 练习：对于例 ，利用多重比较命令进行分析， 练习：对于例3.1，利用多重比较命令进行分析， 关键理解输出的含义。 关键理解输出的含义。
b=a’; % MATLAB只对各列进行分析 只对各列进行分析 [p,c,s]=anova1(b); % 方差分析 c=multcompare(s) % 多重比较
从方差分析表可知：四个实验室生产有差异，那么 从方差分析表可知：四个实验室生产有差异， 如何比较？软件输出c如下所示 如下所示： 列表示比较的 如何比较？软件输出 如下所示：1,2列表示比较的 实验室号码， ， 实验室号码，3，5 列分别为置信区间左右端点 ， 列是均值差的统计量观测值. 第4 列是均值差的统计量观测值
数学建模之方差分析.
• 比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布
2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的。
• 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。
3.不同水平下的样本相互独立
一、数学模型
1.2 单因素方差分析
设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验, 得到如下表 的结果. 表1 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
可以控制 的试验条 件
2.水平：因子在实验中的不同状态。 如：例1中橘黄色、粉色、绿色和无色透明四 种颜色就是因素的四个水平。
3.交互影响：如果因子间存在相互作用，称之为 “交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称 为无交互影响。 4.观察值：在每个因素不同水平下得到的样本值。 如例1中每种颜色饮料的销售量就是观察值。
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
数学建模中的统计分析工具
数学建模中的统计分析工具1. 比较——方差分析比较不同总体间均值有无显著差异.方差分析是处理试验数据的一种常用统计方法，其基本思想是：把指标数据的总变差（总离差平方和），分解为由所考察因素引起的变差（因素变差或组间离差平方和）和随机因素引起的变差（随机变差或组内离差平方和），然后通过比较这些变差来推断因素对指标影响是否显著．因为判定因素对指标影响是否显著时，是从指标的总变差入手，将之分解为由各因素引起的变差和随机波动引起的变差，所以称此类分析为方差分析．在方差分析中，影响指标的因素称为因子，因子的取值称为水平． 例如，考察学生性别对学习成绩的影响时，学习成绩是所考察的指标，性别是影响指标的因子，而性别的取值“男”和“女”是性别因子的水平．实质上，此处是要比较男生和女生学习成绩有无显著差异，属两组比较问题，是方差分析的特殊情况，一般的方差分析研究的是多组比较问题．试验中如果只考虑一个因子对指标的影响，这种试验称为单因子试验，相应的方差分析称为单因子方差分析．若试验中同时考虑两个因子，则称相应的试验为两因子试验，所做的方差分析称为两因子方差分析．类似地可以定义三因子、多因子试验和方差分析．① 为研究新药的降糖效果，某医院用40名病人同期随机对照实验。
实验者将病人随机等分成实验组和对照组，分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值的均数，见下表，能否认为新药对空腹血糖的降糖效果显著？(检验水平0.05α=)实验组1X -0.7 -5.6 2.0 2.8 0.7 3.5 4.0 5.8 7.1 -0.5 20人2.5 -1.6 1.73.0 0.44.5 4.6 2.5 6.0 -1.4 对照组2X3.7 6.5 5.0 5.2 0.8 0.2 0.6 3.4 6.6 -1.1 20人 6.0 3.8 2.0 1.6 2.0 2.2 1.2 3.1 1.7 -2.0② 某养鸡场为提高经济效益，研制了三种鸡饲料配方．为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果，分别用每种饲料喂养10只小鸡，60天后测量鸡重．请通过试验数据分析，三种饲料在养鸡增肥效果上有无显著差异（检验水平皆取0.05α=）？2.相关与回归分析在生产实践中，人们关心的某项重要指标往往受一个或多个变量的影响，此时令人关注的是变量与指标之间的关系．线性回归分析研究的是一维因变量（也称响应变量）Y与回归变量（也称解释变量或自变量）之间的线性相关关系，其中回归变量是可观测或可控制的①为确定运动员耗氧量与其他因素的关系，对31个人测量了年龄age、体重weight、跑完1.5公里的时间runtime、静态心率rstpulse、跑动时心率runpulse、跑步时最大Maxpulse、每公斤体重每分钟耗氧量oxy，数据见\Sas_Ex\oxy.txt，试以oxy为因变量作回归分析。
数学建模算法方差分析
-134-第十一章 方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。
如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。
而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。
用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。
处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2σμi N ，r i ,,1 =，这里2,σμi 未知，i μ可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。
又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, =，ji x 服从),(2σμi N ，n j r i ,,1,,,1 ==且相互独立。
统计建模(假设检验、方差分析、协方
两个总体均值和方差的检验 解 性状是否已达到稳定要取决于第5代和第6代株高的 方差和均值是否相等。编写SAS程序并输入在程序编 辑窗口; data ex;input c$ x@@; cards; a 66 a 65 a 66 a 68 a 62 a 65 a 63 a 66 a 68 a 62 b 64 b 61 b 57 b 65 b 65 b 63 b 62 b 63 b 64 b 60 ; proc ttest;class c;var x; run;
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析--计算 例1.2《药剂处理》用4种不同的药剂处理 水稻种子，发芽后观测到苗高(单位：cm)如下：
处理 1 2 3 4
苗 高 19, 23, 21, 21, 24, 27, 20, 18, 19, 22, 25, 27,
13 20 15 22
华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x @@;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;
单因素方差分析—理论
设
1 xi ni
x ,
j 1 ij
ni
1 1 x x ij ni x i n i 1 j 1 n i 1
方差分析的若干模型
• glm过程的sas实现和anova过程
• proc anova/glm; • class x y； • model y=x y ； • run；
• 但是， GLM过程对纵向数据，处理能力较 弱，而且对不具有独立性的数据和不具有 等相关结构的数据处理能力很弱。
• 假设包括ck在内，共有3个水平包括对照 • 如果分别做t-test，那么要两两比较3次，那
么置信区间从一次的 95%变为 • α=（0.95）3=0.85 • 为了解决这个问题，发展出ANOVA
ANOVA的原理和前提
• ANOVA的核心原理是把总体误差分为处理 间误差和处理内误差，然后用总体误差除 以组内误差，从而计算出F值。通过F值找 出P值。
• 预测拟合结果正确次数分别是50 % , 83．13 %；
• 因此，消除共线性对回归方程的预测正确 性提高显著。
• 程序步如下 • proc glm; • class l s; • model ET= l s l*s; • run; • proc mixed; • class l s; • model ET= l; • random s l*s; • run;
附关于多元数据回归的处理
• 1逐步回归可同时对大量因素进行分析,但是 因素不宜太多,因此,通常对自变量过多的资 料进行聚类,主成分等分析,压缩数据量.
虱长期发生量的概率预报方程。由于是用非 线性相关系数进行上述筛选, 因此, 称之为非 线性逐步回归方法
• 主分量非线性逐步回归法: 使用主分量分析 方法提取各个物理量场的主要分量作为场 的综合因子, 再对各个物理量场的多个综合 因子作与上述筛选方法类似的逐步回归建 立预报方程, 并称之为主分量非线性逐步回 归筛选方法
(数学建模课件)4.9方差分析的应用
并设在水平配合 ( Ai , B j ) 下的数据 xij1, xij2 , , xijm 来自总体
Xij ~ N(ij , 2 ) ， (i 1,2,, r; j 1,2,, s) 。
检验如下假设：
H 0A : 1• 2• ， r• H1A : 1• , 2• ,, r• 不全相等 H 0B : •1 •2 •r ， H1B : •1, •2 ,, •r 不全相等
如果 FB F (s 1, rs(m 1)) ，则拒绝 H 0B ，即认为因 素 B 对试验指标有显著影响；
如果 FAB F ((r 1)(s 1), rs(m 1)) ，则拒绝 H 0 AB ， 即认为因素 A 与因素 B 之间的交互效应对试验指标有 显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
2
4.33
5.20
因素 B
150
2
误差 E
3.33
4
总和 161.99
8
75
90.0
0.83
2、有交互作用的双因素方差分析
在每一种水平配合 ( Ai , B j ) 下重复作 m (m 2) 次试 验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据 xijk 列于下表：
试验
因素 B
结果
B1
B2
…
FA 2.95 F0.05 (3, 16) 3.24 ，说明拉伸倍数 A 对合成 纤维弹性无显著影响。
FB 23.22 F0.01(3, 16) 5.29 ，说明收缩率 B 对合成纤 维弹性的影响高度显著。
FAB 8.91 F0.01(9, 16) 3.78 ，说明因素 A 与因素 B 之 间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。
要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个 试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验 次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一 方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以 便确定各因素对试验指标的影响程度。
数学建模-方差分析
… … … …… …
…
x1t1 x2t2 …… xrtr
2、任务：检验因素A对试验结果影响 是否显著？（A是否是重要 因素？）
二、基本原理
1、数学模型（数据结构）
（1）设 xi1,xi2,...,xiti iid. N (i, 2)i 1 ,2 ,...,r.
且 xij iij ij N(0,2)
著影响，记为 " " ；当 0.01Sig.0.05时，
称为有显著影响，记为" " 。
三、基本计算
1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和因素变量kind； b、输入数据； c、保存数据文件。 2．选择统计方法
按Analyze→Compare means→One-Way ANOV 顺 序选择菜单或菜单项。
（显著水平 0.01）？
单因素方差分析要注意的两点：
1、模型的条件
x ij N ( i , 2 )
x ij i ij
ij N (0 , 2 )
（1）、x i j 服从正态分布；
（2）、r 个总体方差相等？（要求验证） 2、多重比较
H 0:12 r
SPSS统计软件应用基础
第七章 方差分析
• 一、什么是方差分析？
常用语言：检验一个或多个因素对试验结果 的影响是否显著。
统计语言：检验多个方差相等的正态总体的 均值是否相等。
二、几个术语
1、试验指标－－衡量试验结果的量 (定量、定性) （必须是数量）。
2、因素 －－ 影响试验指标的条件， (不)可控 记作A,B,C……
SE (nr) 称为随机均方。
５、 具体判断
利用公式（7.1.6）计算出 F 的值，记为F值，并根 据 F 分布计算出相应的显著性概率
方差分析(数学建模)
（12）
可知若 H 0 成立，S A 只反映随机波动，而若 H 0 不成立，那它就还反映了 A 的不同水平
S A /( r − 1) ≈1 S E /(n − r )
而当 H 0 不成立时这个比值将远大于 1。当 H 0 成立时，该比值服从自由度 n1 = r − 1 ，
n2 = (n − r ) 的 F 分布，即 S /(r − 1) F= A ~ F (r − 1, n − r ) （13） S E /(n − r ) 为检验 H 0 ，给定显著性水平 α ，记 F 分布的 1 − α 分位数为 F1−α (r − 1, (n − r )) ，检验
A4
1500 1550 1610 1680
解 编写程序如下： x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800]; x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; p=anova1(x,g) 求得 0.01<p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。 1.5 多重比较 在灯泡寿命问题中， 为了确定哪几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异， 我们先算出 各组数据的均值： 工艺 A1 A2 A3 A4 均值 1708 1635 1540 1585 虽然 A1 的均值最大，但要判断它与其它几种有显著差异，还需做多重比较。一般 多重比较要对所有 r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。根据问题的具体情况可以 减少对比次数。 对于上述问题，Matlab 多重比较的程序为 x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800]; x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; [p,t,st]=anova1(x,g) [c,m,h,nms] = multcompare(st); [nms num2cell(m)] 双因素方差分析 如果要考虑两个因素 A, B 对指标的影响， A, B 各划分几个水平，对每一个水平组 合作若干次试验，对所得数据进行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响， 或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。 2.1 数学模型 设 A 取 r 个水平 A1 , A2 ,L, Ar ， B 取 s 个水平 B1 , B2 ,L, Bs ，在水平组合 ( Ai , B j )
统计学中的方差分析与数据建模技术研究
统计学中的方差分析与数据建模技术研究统计学在现代科学中扮演了重要的角色。
无论是在社会科学，自然科学，商业还是医学研究中，都需要构建数理模型，来定义和解释各种现象和数据偏差。
其中，在实验设计和数据处理方面，方差分析和数据建模是两个重要的技术。
本文旨在探讨这两个技术的基本概念，应用和未来研究方向。
一、方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)是一种常见的实验设计和数据处理方法。
它的主要用途是，比较两个或多个样本的平均值，以及各个样本之间的差异是否存在显著性。
例如，我们假设有三组学生对一项考试的平均分分别是75、80和90分。
我们需要判断这三个平均值是否有显著的差异。
在方差分析中，首先需要定义基本概念。
总变异(sum of squares Total，简称SST)表示所有数据点相对于平均值的误差平方和，组内变异(sum of squares Within，简称SSW)表示每个组内部数据点和组内平均值之间的差异平方和，组间变异(sum of squares Between，简称SSB)表示组内平均值之间的差异平方和。
在实际应用中，方差分析有很多变体，例如单因素方差分析、多因素方差分析、重复测量方差分析等。
可以使用各种统计软件进行分析，例如SPSS，R，SAS等。
二、数据建模除了方差分析外，数据建模是另一个重要的统计学技术。
它使用已有的数据来构建数学模型，用于解释和预测未知数据。
最常见的数据建模技术是回归分析(regression analysis)。
在回归分析中，我们需要通过线性或非线性模型来描述两个或多个变量之间的关系。
例如，我们可以用线性回归模型来预测房屋价值和面积之间的关系。
如果我们需要考虑更多的变量，比如地理位置、建筑材料、建成年代等，则可以使用多元回归模型。
数据建模还可以使用其他复杂的技术，例如神经网络、决策树和支持向量机等。
这些方法可以解决非线性问题和高维数据。
方差分析(数学建模)
第二节 双因素方差分析
•
例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同 型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次 试验，得数据如表2所示。 • 表2 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 燃料4 58.2 49.1 60.1 75.8 推进器2 56.2 54.1 70.9 58.2 推进器3 65.3 51.6 39.2 48.7
第二节 双因素方差分析
•
例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本 相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃 料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次， 得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的 射程有显著影响？
表3 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 推进器2 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 推进器3 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7
H 0 : 1 2 s
是否成立
第一节 单因素方差分析
例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教 学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。 把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一 段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下 表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
• • • • • •
第二节 双因素方差分析
• • • • • • • disp1=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]'; p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 • Error 731.98 6 12 1.9967 • Total 1113.4167 11 • 由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受 零假设H0 A和H0 B，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。
方差分析的线性模型
方差分析方差分析（analysis of variance，ANOV A）是分析各个自变量对因变量影响的一种方法。
这里的自变量就是定性变量的因子及可能出现的称为协变量（covariate）的定量变量。
分析结果是由一个方差分析表表示的。
原理：把因变量的值随着自变量的不同取值而得到的变化进行分解，使得每一个自变量都有一份贡献，最后剩下无法用已知的原因解释的则看成随机误差的贡献。
然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（F检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变化有显著贡献。
输出就是F-值和检验的一些p-值。
例：饲料比较数据，n=19头猪，用p=4种饲料喂养一段时间后重量增加的差异比较。
A B C D133.8 151.2 193.4 225.8125.3 149.0 185.3 224.6143.1 162.7 182.8 220.4128.9 143.8 188.5 212.3135.7 153.5 198.6x133.36 152.04 189.72 220.78（右表）饲料(fodder)为自变量(单因子)，重量增加(weight) 为因变量(一个数量变量) (SPSS计算机数据形式有所不同)对数据的描述性输出（SPSS）(ANOV A-CONTRASTS/POST HOC-LSD，T2/OPTION-DES.，HOMO./MEAN PLOT) Descriptives WEIGHTN Mean Std.DeviationStd.Error95%ConfidenceInterval forMinimum MaximumLowerBoundUpperBoundA 5 133.36 6.80794 3.04460 124.9068 141.8132 125.3 143.1B 5 152.04 6.95723 3.11137 143.4015 160.6785 143.8 162.7C 5 189.72 6.35035 2.83996 181.8350 197.6050 182.8 198.6D 4 220.78 6.10594 3.05297 211.0591 230.4909 212.3 225.8 Total 19 171.52 34.31137 7.87157 154.9730 188.0481 125.3 225.8四种饲料的均值图WEIGHT线性模型：,1,...,,1,...,ij i ij iy i p j nμε=+==模型中的假定：212,,...,(,),1,...,ii i in iy y y N i pμσ=；涉及的检验：H0：m1=…=m p 公式：总平方和=组间平方和+组内平方和：22111()()inp pi iji ii i jSST SSB SSE n y y y y====+=-+-∑∑∑其中，SST 有自由度n-1，SSB有自由度p-1，SSE 有自由度n-p，在正态分布的假设下，如果各组增重均值相等(零假设)，则：/(1)/()M S B S S B pFM S E S S E n p-==-，有自由度为p-1 和n-p 的F 分布。
多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法
∑ ∑ X = 1 a ab i=1
b
Xi j
j =1
∑ Xi. =
1 b
b j =1
X i j (i
= 1, 2,
,a )
∑ X .J
=
1 a
a i =1
Xij( j
= 1, 2,
, b)
由（6）有
（6）
a
∑ SSA = b ( Xi. − X )2 i =1
b
∑ SSB = a ( X .j − X )2
ab
∑ ∑ SST =
(X ij − X )2 = SSA + SS B +SSE (8)
i=1 j=1
上式表明总离差的平方和分解为二因素的
影响（组间）和随机误差影响（组内）的离差平
方和。
在(8)成立时，利用关于正态分布平方和分解
的 Cochran 定理。可证明 H01 与 H02 分别成立时 的 SSA，SSB ，SSE 及 MSS 的分布规律。
各个水平的影响的程度。显然有关系式
a
b
∑αi = ∑β j = 0
i =1
j =1
（4）
将 µij 进行分解 µij=µ+αi+βj+(µ－ µi－ µj+µ)
令
δij=µij－µi －µj +µ
称为 Ai 和 Bj 的交互效应。而对二因素无重
复试验方差分析，假设任意 Ai 和 Bj 之间不存在 交互效应，即全部δij=0。这样 µij 分解式可写为 µij=µ+αi+βj
平均值
X .j
∑∑ X .1 …
X.j …
X .b
X
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学号姓名班级学院学院编号成绩05010101郭强050101机械187 ********张旭鹏050101机械171 05010103李桂艳050101机械175 ********杨功050101机械178 ********禹善强050101机械176 ********刘达050101机械166 ********刘中晗050101机械161 05010108王振波050101机械167 05010109赵长亮050101机械182 ********石增辉050101机械174 05010111过建奇050101机械172 05010112王振春050101机械171 05010113刘旸洋050101机械179 05010114邳亚山050101机械176 ********李志敏050101机械176 ********马红梅050101机械164 05010117李新澎050101机械171 05010118靳颖050101机械173 ********刘占文050101机械170 05010120关晓月050101机械172 05010121郑元秀050101机械169 05010122李宁050101机械179 05010123张廉050101机械170 05010124朱勇050101机械177 ********李亚娟050101机械172 05010126王大成050101机械178 ********徐延050101机械186 ********徐岩050101机械173 ********刘喆050101机械184 ********魏邈050101机械166 ********汪薇050102机械182 ********刘叶050102机械161 05010203李丹霞050102机械172 05010204王璟050102机械155 ********陈兴华050102机械180 ********王倩050102机械165 05010207杨昭胜050102机械164 05010208白力坤050102机械165 05010209尹娜050102机械177 ********孙超050102机械166 ********李瑛050102机械168 05010212刘湉050102机械179 05010213苗宇050102机械173 ********闫巍050102机械184 ********崔翼050102机械159 ********王红维050102机械17105010217邱倩倩050102机械174 05010218刘瑛050102机械174 05010219张雷050102机械180 ********费腾飞050102机械163 05010221孟昭福050102机械168 05010222苏友朋050102机械148 05010223韩冬050102机械187 ********宓晓庆050102机械179 05010225谢昆050102机械178 ********高学明050102机械163 05010227金鑫050102机械169 05010228巴志堃050102机械164 05010229钟尹050102机械172 05010230刘丽050102机械180 ********杨成050103机械175 ********薛立鹏050103机械177 ********沃娜050103机械176 ********梁宪050103机械178 ********高洁050103机械182 ********吴惠青050103机械175 ********段宝龙050103机械165 05010308郭晓城050103机械174 05010309陈武050103机械164 05010310魏锋050103机械184 ********葛彦050103机械160 05010312范柏铭050103机械169 05010313李辉050103机械174 05010314刘家祺050103机械172 05010315杨爽050103机械180 ********姜斌050103机械173 ********刘宝050103机械166 ********周若璞050103机械177 ********赵婉莹050103机械164 05010320孟宪娟050103机械176 ********彭飞050103机械175 ********赵建平050103机械166 ********杨廷江050103机械165 05010324韩卓050103机械164 05010325李永录050103机械164 05010326周建国050103机械165 05010327齐静050103机械187 ********郑姣姣050103机械154 05010329李明月050103机械187 ********陈志昊050103机械156 ********杨天琦050104机械189 ********包婷婷050104机械168 05010403郝宇050104机械17305010404焦健050104机械182 ********张学敏050104机械183 ********陈小华050104机械165 05010407彭雨洪050104机械176 ********岳昂050104机械186 ********金振强050104机械189 ********刘国生050104机械162 05010411徐晶050104机械165 05010412丁亮050104机械178 ********王宏兴050104机械158 ********刘昊曦050104机械160 05010415周静050104机械172 05010416郝洁050104机械181 ********邓吉祥050104机械196 05010418杨禄建050104机械150 ********田沐青050104机械173 ********赵国伟050104机械182 ********施亚芳050104机械184 ********杨晓菲050104机械181 ********张连慧050104机械183 ********方媛050104机械178 ********单景伟050104机械162 05010426万宇050104机械173 ********郑直050104机械164 05010428栗晓琨050104机械181 ********王轩050104机械185 ********刘杨050104机械164 05010501田甜050105机械183 ********卓文龙050105机械170 05010503田学艳050105机械170 05010504李茜050105机械167 05010505高晓辉050105机械182 ********李鹏050105机械178 ********甄杨050105机械171 05010508张玉梅050105机械177 ********谢强050105机械186 ********段桐050105机械164 05010511朱家庆050105机械167 05010512刘宁050105机械176 ********戴传芳050105机械180 ********任进宇050105机械182 ********楼晓飞050105机械170 05010516赵美娜050105机械162 05010517宋帅050105机械160 05010518贾宁050105机械169 05010519杨姗050105机械181 ********刘冬050105机械16605010521谢丽雯050105机械179 05010522尚辰050105机械176 ********王卫辉050105机械156 ********刘鑫050105机械179 05010525刘冰050105机械185 ********高伯涛050105机械172 05010527朱佩佩050105机械181 ********王静050105机械163 05010529王璐050105机械179 05010530温杨050105机械185 ********杨建050106机械181 ********崔璇璇050106机械167 05010603韩文建050106机械166 ********贺晓娇050106机械173 ********张丽花050106机械170 05010606白山050106机械172 05010607李云050106机械194 05010608方健050106机械175 ********谢嵩050106机械186 ********何芬芳050106机械172 05010611吴胜利050106机械171 05010612赵晓曦050106机械179 05010613王聪050106机械178 ********张海亮050106机械171 05010615王子曦050106机械159 ********张宝蒂050106机械161 05010617杨永煌050106机械180 ********张霞050106机械176 ********程红菲050106机械157 ********项晴050106机械174 05010621刘爽050106机械177 ********张文雨050106机械162 05010623袁海涛050106机械166 ********汪霞050106机械180 ********刘程晨050106机械163 05010626杨洋050106机械183 ********左权050106机械185 ********赵宁050106机械153 ********王委南050106机械170 05010630董三旺050106机械164 05010701赵伟050107机械173 ********丁佐宏050107机械162 05010703刘静050107机械157 ********韩海明050107机械185 ********戴月康050107机械189 ********刘军050107机械169 05010707郑苹050107机械17605010708殷少皇050107机械160 05010709贾林虓050107机械166 ********孙靓050107机械157 ********范怡050107机械172 05010712王新平050107机械164 05010713王锦波050107机械193 05010714李娴050107机械171 05010715李渔050107机械187 ********胡冰050107机械178 ********姚文辉050107机械174 05010718王菲050107机械173 ********李祥寿050107机械177 ********刘新改050107机械150 ********范声朴050107机械179 05010722陈志刚050107机械185 ********高雪沾050107机械152 ********施海丽050107机械181 ********秦波050107机械179 05010726王娜050107机械196 05010727孙林建050107机械166 ********贾智帅050107机械185 ********赵杨050107机械176 ********许江鹭050107机械162 05010801孙健050108机械167 05010802刘烨050108机械179 05010803程臻050108机械180 ********刘乃菀050108机械162 05010805王秀玲050108机械172 05010806郭立明050108机械166 ********杨俊050108机械185 ********卢静050108机械168 05010809郭丽莉050108机械182 ********薛腾飞050108机械167 05010811汪源050108机械182 ********路皓晴050108机械165 05010813秦小雨050108机械179 05010814杨迪050108机械157 ********王海芹050108机械176 ********鞠知龙050108机械174 05010817李陶婷050108机械170 05010818朱国富050108机械166 ********吕神通050108机械179 05010820施超兵050108机械163 05010821方军050108机械172 05010822王婵050108机械153 ********陈晨050108机械165 05010824薛文杰050108机械17205010825拜澎050108机械181 ********黄璐050108机械163 05010827李雅哲050108机械178 ********王伟佳050108机械177 ********邓世凤050108机械157 ********于丽丽050108机械172 05010901王楚050109机械189 ********王博050109机械162 05010903陈佩珊050109机械178 ********张轶群050109机械176 ********贺嘉贝050109机械175 ********刘大宇050109机械172 05010907王宁洲050109机械174050109机械171 05010908赵征（赵唯尹05010909王伟050109机械160 05010910叶志海050109机械168 05010911孙健050109机械174 05010912赵路050109机械175 ********陈晓霞050109机械185 ********孟寒050109机械190 05010915杨磊050109机械161 05010916曹连鹏050109机械176 ********黄知军050109机械175 ********李胤050109机械172 05010919贾楠050109机械169 05010920张小康050109机械172 05010921杨俊昭050109机械176 ********宁凝050109机械187 ********包梁明050109机械161 05010924张学鹏050109机械180 ********范陶亮050109机械174 05010926于锡权050109机械184 ********白鹏050109机械162 05010928潘晶晶050109机械168 05010929孔德升050109机械158 ********何伟050109机械173 ********戴宜丰050110机械179 05011002董罗林050110机械168 05011003方励050110机械166 ********王伟佳050110机械169 05011005郭玉强050110机械171 05011006李婕050110机械178 ********王华东050110机械173 ********高达生050110机械170 05011009张国光050110机械184 ********刘博050110机械188 ********霍增辉050110机械17505011012施和滨050110机械163 05011013谭文君050110机械175 ********李昊泽050110机械170 05011015王超050110机械193 05011016董志伟050110机械168 05011017张鑫050110机械177 ********鞠正杰050110机械173 ********王海江050110机械165 05011020王清050110机械177 ********毛鑫050110机械158 ********周振国050110机械165 05011023徐文俊050110机械158 ********陶欣勇050110机械183 ********段玮骅050110机械181 ********王鹏银050110机械162 05011027邓丽萍050110机械171 05011028张蕾蕾050110机械162 05011029兰婷050110机械174 05011030潘明飞050110机械187 ********刘强050111机械167 05011102杨硕朋050111机械192 05011103袁予钊050111机械169 05011104张建050111机械166 ********王华东050111机械176 ********李志鹏050111机械189 ********鲁鹏050111机械175 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