结构力学——结构的极限荷载 免费
合集下载
结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
25 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
12 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
哈工大 土木工程学院
7 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
20 / 46
哈工大 土木工程学院
17
结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
第十二章结构的极限荷载5PPT课件
图（b）表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的
标志是最外纤维处的应力达到屈服极限 σs ，图（c）
所示，此时的弯矩： ---屈服弯矩Ms
Ms
bh2 6
s
也称为:弹性极限弯矩Ms
b）弹塑性阶段
b ho z
σs
yo yo
y
（a）
σs （d）
图（d）表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠
外部分形成塑性区，其应力为 σs
矩形截面：
A
C
Mu
y1 y2
A1 y
•
h
b A2 y
A1 y
•
A2 y
Mu A1 s y1 A2 s y2
2(b
h 2
h4)s
bh2 4
s
二、塑性铰
1、塑性铰的概念
qu
A
C
Mu
C
当截面达到塑性流动阶段时，在 极限弯矩保持不变的情况下，两个无 B 限靠近的截面可以产生有限的相对转 角，这种情况与带铰的截面相似。因 此这时的截面可以称为 塑性铰。
§12-2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构、静定梁的计算
一、屈服弯矩与极限弯矩
以理想弹塑性材料的矩形截面梁受纯弯曲情况为例，说 明梁由弹性阶段到弹塑性阶段以及最后达到塑性阶段的过程 及一些基本概念。
M
M
h
b
随着M的增大，梁的变形情况经历了以下几个阶段：
a）弹性阶段
b
σ
σs
ho z
y
（a）
σ （b）
σs （c）
结构力学
道路与桥梁工程系
§12-1 概 述
1、弹性计算
——在计算中假设应力与应变为线性关系，荷载 全部卸除后结构没有残余变形。
结构的极限荷载
1 1 Pl = M J + M J 3 3
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
结构力学课件 第十二章 结构的极限荷载
Mu
× 2δθ
=
0
Pu
A
δθ B
δθ
C Mu
2δθ
Pu/2
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰，这时 M A = 3Pl /16 = M u P = 16M u / 3l
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
上节定理的应用：
极小定理的应用
穷举法：列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏 机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
试算法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破 坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏 荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。
Pu1 ≥ Pu2 若把 Pu2看成可破坏荷载，Pu1 看成可接受荷载。
故有
Pu1 ≤ Pu2 Pu1 = Pu2
3.极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可接受荷载，由基本定理 Pu ≤ P+ 4.极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可破坏荷载，由基本定理 Pu ≥ P−
令 M max = M u ，得
Pu
=
4Mu
/
l
=
4 4000
× 26.79×106
=
26.79
kN
l/2
l/2
结构力学教学课件-12结构的极限荷载-1 补充 弯曲应力
EIz称为梁的抗弯刚度。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
M y
Iz
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应 力的计算公式。
M ----- 横截面上的弯矩
Iz ----- 横截面对中性轴的惯性矩 y ----- 求应力的点到中性轴的距离
纯弯曲时梁横截面上的正应力
讨论：
M y
dA E
A
ydA ESz 0
A
Sz A ydA yC A
C
Sz为截面图形对z的静矩, 因 中性轴
z
E/≠0, 必有Sz ＝0, 所以中性
轴必通过横截面形心。
y
中性轴(z轴)过形心且与横截面的对称 轴y垂直。
M y
z dA E
A
z y dA EI yz 0
A
这是保证梁为平面弯曲的条件。
max
Mymax Iz
矩形截面梁横截面上正应力 分布如图所示
c max t max max
ymax C
z ymax
y
c max
M
t max
纯弯曲时梁横截面上的正应力
令
Wz
Iz ymax
max
Mymax Iz
得
max
M Wz
C y
ymax
z ymax
Wz称为弯曲截面系数。是截面的几何性质之一, 其值与横截面的形状和尺寸有关, 单位是m3。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
b z
h
矩形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz h/2
bh2 6
y d
z y
圆形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz d /2
结构力学课件结构的极限荷载
中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。
（3）塑性流动阶段
Mu
bh2 4
s
—— 塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M u 1.5 —— 截面形状系数。圆形截面1.7，工字形
Ms
截面1.10-1.17，圆环截面1.27-1.40。
※塑性铰
当截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 κ。u
s 3 2 Mu 0
（2）只需考虑平衡条件，无需考虑变形协调条件，比弹 性计算简单；
（3）超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移动 等因素的影响。
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
A
BP
2Mu
C
A
BD
3Mu
C
A
D
l/3 l/3 l/3
Mu
Mu D
C
B Mu
2Mu A
0.5Mu D
C
B
Mu
Pu min P1 , P2 , P3
7.5M u l
4Mu
P l 3 l
2l 3
1 3
2M
u
4M u ,
P1
21M u l
P l 3 l
2l 3
1 3
3M
u
Mu,
P2
9M u l
P l 3 l
2l 3
1 3 2M u
Mu,
P3
7.5M u l
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
3. 连续梁的极限荷载
超静定结构有多余约束，必须出现足够多的塑性铰 才能成为机构，从而丧失承载能力。
结构力学第16章---结构的极限荷载
极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件； 极限荷载既是可破坏荷载, 又是可接受荷载。
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
结构力学 第12章结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。 最小者即为极限荷载 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。 2、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载； 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载； 如 不满足，则另选一机构再试算……，直至满足。 不满足，则另选一机构再试算 ，直至满足。 试求图a所示变截面梁的极限荷载 所示变截面梁的极限荷载。 例12-3 试求图 所示变截面梁的极限荷载。 解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。 机构。除最大负弯矩和最大正弯 截面外， 矩所在的A、 截面外 矩所在的 、C截面外，截面突 变处D右侧也可能出现塑性铰 右侧也可能出现塑性铰。 变处 右侧也可能出现塑性铰。
静定结构出现一个塑性铰即成为 静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 破坏机构。对等截面梁， 在|M|max处。 所示截面简支梁， 图a所示截面简支梁，跨中截面弯 所示截面简支梁 矩最大， 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。 构如图 。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作 图如 。 由平衡条件作M图如 图如c。 由
qu = 11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时， 比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。 荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。 荷载参数 ：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷 载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。 实际上就是确定极限状态时的荷载参数 结构处于极限状态时应同时满足： 结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 ）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值 ）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。 ）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
结构力学极限荷载
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2）虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰
A
C
Mu
1
Mu
2
1B1源自l/22l
2
21
4
l
令机构产生虚位移，使C截面竖向
位移和荷载FP同向，大小为δ
外力虚功： We FP
内力虚功：
Wi
M u1
Mu2
2
Mu( l
4
l
)
6Mu
l
由
We=Wi 得： FPu
Fpu
=
(a+b)M ab
u
2Fp Fp
l/2
l/2
7 Fpl 16
5 Fpl 8
M图
5 M max 8 Fpl M u
Fpu
=
8M 5l
u
M max 2Fpl M u
Fpu
=
Mu 2l
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu
2Fp Fp
弯矩图法
A
3Mu
极限荷载（P266）
结构破坏时所能承担的的荷载。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。
s A
塑性流动状态
C
o
C Mu
B Mu D
l
l/2
l/2
Fpl
解：作弯矩图
A
结构力学-第17章-结构的塑性分析与极限荷载
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
AB跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
1.2M u
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
1.2M
u
0.5l
M
u
( 0.5l
0.5l
)
q1
6.4 l2
M
u
BC跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
A1 A2 A / 2 1800mm2
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等
M u S (S S ) S [ A A .]
S
A
[
.]
S
A
.
26.79KN m
塑性铰、极限荷载
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
AB跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
1.2M u
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
1.2M
u
0.5l
M
u
( 0.5l
0.5l
)
q1
6.4 l2
M
u
BC跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
A1 A2 A / 2 1800mm2
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等
M u S (S S ) S [ A A .]
S
A
[
.]
S
A
.
26.79KN m
塑性铰、极限荷载
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
结构力学第16章___结构的极限荷载
+ 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu ≤ FP 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
结构力学课件 结构的极限荷载
制作：周书敬 郭延华
FP
Mu
14
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
§11-3 超静定梁的极限荷载
静定结构：当一个截面出现塑性铰时，结构就变成 了具有一个自由度的机构而破坏。 超静定结构(有n个多余约束)：当出现n+1个塑性铰 时，该结构变为机构而破坏；或者出现的塑性铰数虽少 于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。 即：对于超静定结构，必须有足够的塑性铰出现， 才会使结构变成机构。
理想弹塑性模型
D
制作：周书敬 郭延华
5
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
(2) 应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再 存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应 变ε与之对应。
s A A1 1
O
C
C1 B1
B
A
B
C
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
制作：周书敬 郭延华
q A l/2 C
l/2
B
19
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
右图所示为破坏机构的一种可能位移。
荷载虚功
1 l l W 2 qu 2 2 2 1 2 qu l 4
A Mu Mu l
2
qu B C Mu 2
杆端弯矩虚功
Wi ( M u M u 2 M u ) 4 M u
一、单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，即 确定塑性铰的位置及数量。
制作：周书敬 郭延华 15
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增 大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有 自由度的机构从而丧失承载能力为止。
FP
Mu
14
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
§11-3 超静定梁的极限荷载
静定结构：当一个截面出现塑性铰时，结构就变成 了具有一个自由度的机构而破坏。 超静定结构(有n个多余约束)：当出现n+1个塑性铰 时，该结构变为机构而破坏；或者出现的塑性铰数虽少 于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。 即：对于超静定结构，必须有足够的塑性铰出现， 才会使结构变成机构。
理想弹塑性模型
D
制作：周书敬 郭延华
5
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
(2) 应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再 存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应 变ε与之对应。
s A A1 1
O
C
C1 B1
B
A
B
C
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
制作：周书敬 郭延华
q A l/2 C
l/2
B
19
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
右图所示为破坏机构的一种可能位移。
荷载虚功
1 l l W 2 qu 2 2 2 1 2 qu l 4
A Mu Mu l
2
qu B C Mu 2
杆端弯矩虚功
Wi ( M u M u 2 M u ) 4 M u
一、单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，即 确定塑性铰的位置及数量。
制作：周书敬 郭延华 15
《结构力学》第十二章
结构的极限荷载
塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增 大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有 自由度的机构从而丧失承载能力为止。
第十一章结构的极限荷载详解
18
强调：
塑性铰——能承受弯矩并能单方向转动的铰。 塑性铰与普通铰的区别：
1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受 M u
2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。
破坏机构— 结构由于出现塑性铰而变成
？ 若梁的左半瞬部变分或截可面变高时度的增体加系一。倍（变截
面静梁定）梁，，塑塑性性铰铰出出现现在在何弯处矩？（绝对值）最大处。
Ms W
矩形 圆形
=1.5 =1.7
工字形
1.15
薄壁圆环形 1.3
历程： 加载初期 → 弹性极限荷载 →塑性区扩大→ 形成塑性铰（机构）→ 极限荷载
下面介绍一下塑性铰的概念：
第十一章 结构的极限荷载
当截面达到塑性流动阶段，在极限弯矩保持不变的情况下，两 个无限靠近的相邻截面可以产生相对转角，类似带铰的截面， 称此截面为塑性铰。在简化分析中认为塑性区仅集中在塑性铰 截面，杆件的其它区段都是弹性的。
极限弯矩： Fx 0 s A1 s A2 0
S
M0 0
A1
A2
A 2
中性轴等 分截面积
Mu s y dA
(对中性轴的矩 )
或M u
2 S
A 2
h 4
S
bh2 4
2b
h
2
0
s
ydy
1 4
bh2 s
sWs
（Ws 塑性抗弯截面系数）
第十一章 结构的极限荷载
截面形状系数： M u Ws
塑性铰只能沿极限弯矩方向发生转动；由理想弹塑性假设知， 一旦截面弯矩减小，截面立即恢复弹塑性或弹性状态，塑性铰
即告消失，因此，塑性铰是单向铰。
普通铰和塑性铰的异同：都可产生绕铰的相对转动；普通铰在 转动过程中不能传递、承受弯矩，而塑性铰能承受对应截面的 极限弯矩；普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。 破坏机构：当结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系
强调：
塑性铰——能承受弯矩并能单方向转动的铰。 塑性铰与普通铰的区别：
1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受 M u
2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。
破坏机构— 结构由于出现塑性铰而变成
？ 若梁的左半瞬部变分或截可面变高时度的增体加系一。倍（变截
面静梁定）梁，，塑塑性性铰铰出出现现在在何弯处矩？（绝对值）最大处。
Ms W
矩形 圆形
=1.5 =1.7
工字形
1.15
薄壁圆环形 1.3
历程： 加载初期 → 弹性极限荷载 →塑性区扩大→ 形成塑性铰（机构）→ 极限荷载
下面介绍一下塑性铰的概念：
第十一章 结构的极限荷载
当截面达到塑性流动阶段，在极限弯矩保持不变的情况下，两 个无限靠近的相邻截面可以产生相对转角，类似带铰的截面， 称此截面为塑性铰。在简化分析中认为塑性区仅集中在塑性铰 截面，杆件的其它区段都是弹性的。
极限弯矩： Fx 0 s A1 s A2 0
S
M0 0
A1
A2
A 2
中性轴等 分截面积
Mu s y dA
(对中性轴的矩 )
或M u
2 S
A 2
h 4
S
bh2 4
2b
h
2
0
s
ydy
1 4
bh2 s
sWs
（Ws 塑性抗弯截面系数）
第十一章 结构的极限荷载
截面形状系数： M u Ws
塑性铰只能沿极限弯矩方向发生转动；由理想弹塑性假设知， 一旦截面弯矩减小，截面立即恢复弹塑性或弹性状态，塑性铰
即告消失，因此，塑性铰是单向铰。
普通铰和塑性铰的异同：都可产生绕铰的相对转动；普通铰在 转动过程中不能传递、承受弯矩，而塑性铰能承受对应截面的 极限弯矩；普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。 破坏机构：当结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系
结构的极限荷载
第11章 结构的极限荷载前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。
当结构的最大应力达到材料的极限应力n σ时，结构将会破坏，故强度条件为[]max nKσσσ=≤ 式中，max σ为结构的最大工作应力；[]σ为材料的许用应力；n σ为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限b σ，对于塑性材料为其屈服极限s σ；K 为安全系数。
基于这种假定的结构分析称为弹性分析。
从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。
对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。
另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。
塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。
它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。
此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为u F 。
结构的强度条件可表示为u F F K≤ 式中F 为结构工作荷载，K 为安全系数。
显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。
塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。
对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。
为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1所示的应力—应变曲线。
当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力达到屈服极限s σ时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸载时，材料恢复弹性但存在残余变形。
凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。
实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。
对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例７－１ 求图示连续梁的极限荷载
L
L
3
3
L 3
７－３ 超静定梁的极限分析
平衡弯矩法 解：１）先设第一跨形成机构破坏：q1u
塑性铰一般常出现在集中荷载作
用点、截面突变、支座截面等处。
1.5M u
q1uL
Mu
q1 u
4
L
1 2
1.5Mu
Mu
1.5Mu
q1 u
11Mu L
1.5M u Mu
Mu
2q
2 u
１弹性阶段
Mu M
形心轴
弹性阶段末对应的最大弯矩—屈服弯矩 My
My wE y w
y
７－２ 静定梁的塑性分析
塑性区 弹性区
形心轴
y
２ 弹塑性阶段
y
y
３ 全塑性阶段末 —极限状态
极限阶段 My —破坏前能承受的使全截面进入塑性 工作状态（极限状态）最大弯矩
７－２ 静定梁的塑性分析
q3 u
7 Mu
L2
2M u
MF
q3 u
L
3
L
1 3 Mu
2Mu
q3 u
7 Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
机动法
解：１）设第一跨先形成机构
q1uL
２）设第二跨先形成机构
q2 u
Mu
Mu
1.5M u
Mu
*
2
x
Mu
1.5M u
q1 u
L
L 2
1.5Mu
2
Mu
q1 u
7Mu
L2
L
2 2 0
2q
2 u
y NC z1 z2 Nt y
Mu NcZ1 Nt Z2 yA上Z1 yA下Z２
y S上 S下
y Mu
塑性截面模量
h1 中性轴（等面积线）
形心轴
h2
X 0
Nc y A上
Nt y A下
Mu
Wu
2
bh 2
h 4
1.5
My WE
1 bh2
6
７－２ 静定梁的塑性分析
二 横力弯曲简支梁 Pu
Pu
M u 2
W外 Pu *, W内 Mu 2
其中
*
1 2
L, Pu
2 *
Mu
4Mu L
７－３ 超静定梁的极限分析
一 单跨超静定梁
１ 弹性工作阶段 P1 Py, y
P
P1 Py
C
由Ｍ图可知： MA MC
3 16
P1L
P1
A
C
B
5 32
P1L
M图
可见，本阶段末，首先在支座截面进入塑性状 态（表层）。继续加载支座截面由部分塑性发 展为全截面塑性形成塑性铰。此时，梁处于弹、 塑性工作状态，成为静定梁。
足够数目 的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，
而使结 构变为一破坏机构。
２屈服条件—当荷载达到极限值时，结构上各个截 面的弯矩
都不能超过其极限值，即 MJ M MJ ３平衡条件—当荷载达到极限值时，作用在结构整 体上或任
一局部上所有的力都必须维持平衡。
７－４ 比例加载的几个定理
二 三个定理
７－３ 超静定梁的极限分析
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第二跨形成机构：
1
8
2q
2 u
L2
Mu
Mu
Mu
q2 u
8 Mu L2
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第三跨形成机构： a)假定E处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
此种情况不 2M u 2Mu 可能出现
PL
PL
3
3
b)假定F处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
综上可知：
q m in
全塑性阶段： Pu
Mu
C Mu
跨中截面的弯矩达到 M u ，即该处可沿荷载作用方向 作单向转动—塑性铰。梁成为机构，此时的工作状态
称为极限状态，对应的荷载称为极限荷载。
求 的方法： ①平衡弯矩法—作极限状态下的弯矩图
Pu
MC
Mu
1 4
PuL, Pu
4Mu L
Mu
７－２ 静定梁的塑性分析
②机动法—虚位移原理
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
ห้องสมุดไป่ตู้
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
二 多跨超静定梁的极限荷载 １ 基本假定 ①各跨的极限荷载在跨内相同（等截面） ②全梁实施比例加载，求极限荷载问题转化为求其公共因子的 极限值 ③各跨单独形成机构达到极限状态 ２ 公式算法：平衡弯矩法或机构法，取其中最小值
➢１上限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载将大于或等于极限 荷载。
➢ 此荷载同时满足机构条件和平衡条件，称之为可破坏荷载 ➢２下限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 静力可能而又安全的弯矩分布所求得的荷载将小于极限荷载。
➢ 此荷载同时满足平衡条件和屈服条件，称之为可接受荷载 ➢３单值定理—对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既 是可破坏荷载又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载
结构力学
第七章 结构的极限荷载
７－１ 有关概念 ７－２ 静定梁的塑性分析 ７－３ 超静定梁的极限分析 ７－４ 比例加载的几个定理 ７－５ 用矩阵位移法求刚架的极限荷载 ７－６ 本章要点
７－１ 有关概念
一 弹性分析与塑性分析
屈服限 y
o
计算假定 理想弹塑性模型
y
７－２ 静定梁的塑性分析
一 纯弯曲梁
➢ 此荷载同时满足平衡条件、屈服条件和机构条件
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
一 计算假定 １作用在刚架上的荷载是按比例加载的节点荷载 ２塑性铰位于某一截面上
二 计算原理 利用矩阵位移法由弹性分析→内力分布状况
→比较后确定第一个塑性铰位置→修正原 K
→重新计算内力分布→比较确定第二个塑性铰
→ K 修正→分阶段 P1 P2
→直到出现若干塑性铰使结构称为机构为止 此法称之为“增量变刚度法”
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
第一阶段
形成第一个塑性铰前该阶段末的荷载 P1
先令 P1 1 各截面的
Mu M1
m in
值越小，越易出现塑性铰
2M u
Mu
dx
x
Mu
3
q
2 u
8Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
３）设第三跨先形成机构
q3uL q3uL
Mu
2
q
3 u
L
L 3
q3 u
L
2 3
L
2Mu
3
Mu
q3 u
7 Mu
L2
综上可知：
3
Mu
q m in
q3 u
7 Mu
L2
７－４ 比例加载的几个定理
一 极限状态下的三个条件 １机构条件—当荷载达到极限值时，结构上必将有
L
L
3
3
L 3
７－３ 超静定梁的极限分析
平衡弯矩法 解：１）先设第一跨形成机构破坏：q1u
塑性铰一般常出现在集中荷载作
用点、截面突变、支座截面等处。
1.5M u
q1uL
Mu
q1 u
4
L
1 2
1.5Mu
Mu
1.5Mu
q1 u
11Mu L
1.5M u Mu
Mu
2q
2 u
１弹性阶段
Mu M
形心轴
弹性阶段末对应的最大弯矩—屈服弯矩 My
My wE y w
y
７－２ 静定梁的塑性分析
塑性区 弹性区
形心轴
y
２ 弹塑性阶段
y
y
３ 全塑性阶段末 —极限状态
极限阶段 My —破坏前能承受的使全截面进入塑性 工作状态（极限状态）最大弯矩
７－２ 静定梁的塑性分析
q3 u
7 Mu
L2
2M u
MF
q3 u
L
3
L
1 3 Mu
2Mu
q3 u
7 Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
机动法
解：１）设第一跨先形成机构
q1uL
２）设第二跨先形成机构
q2 u
Mu
Mu
1.5M u
Mu
*
2
x
Mu
1.5M u
q1 u
L
L 2
1.5Mu
2
Mu
q1 u
7Mu
L2
L
2 2 0
2q
2 u
y NC z1 z2 Nt y
Mu NcZ1 Nt Z2 yA上Z1 yA下Z２
y S上 S下
y Mu
塑性截面模量
h1 中性轴（等面积线）
形心轴
h2
X 0
Nc y A上
Nt y A下
Mu
Wu
2
bh 2
h 4
1.5
My WE
1 bh2
6
７－２ 静定梁的塑性分析
二 横力弯曲简支梁 Pu
Pu
M u 2
W外 Pu *, W内 Mu 2
其中
*
1 2
L, Pu
2 *
Mu
4Mu L
７－３ 超静定梁的极限分析
一 单跨超静定梁
１ 弹性工作阶段 P1 Py, y
P
P1 Py
C
由Ｍ图可知： MA MC
3 16
P1L
P1
A
C
B
5 32
P1L
M图
可见，本阶段末，首先在支座截面进入塑性状 态（表层）。继续加载支座截面由部分塑性发 展为全截面塑性形成塑性铰。此时，梁处于弹、 塑性工作状态，成为静定梁。
足够数目 的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，
而使结 构变为一破坏机构。
２屈服条件—当荷载达到极限值时，结构上各个截 面的弯矩
都不能超过其极限值，即 MJ M MJ ３平衡条件—当荷载达到极限值时，作用在结构整 体上或任
一局部上所有的力都必须维持平衡。
７－４ 比例加载的几个定理
二 三个定理
７－３ 超静定梁的极限分析
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第二跨形成机构：
1
8
2q
2 u
L2
Mu
Mu
Mu
q2 u
8 Mu L2
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第三跨形成机构： a)假定E处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
此种情况不 2M u 2Mu 可能出现
PL
PL
3
3
b)假定F处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
综上可知：
q m in
全塑性阶段： Pu
Mu
C Mu
跨中截面的弯矩达到 M u ，即该处可沿荷载作用方向 作单向转动—塑性铰。梁成为机构，此时的工作状态
称为极限状态，对应的荷载称为极限荷载。
求 的方法： ①平衡弯矩法—作极限状态下的弯矩图
Pu
MC
Mu
1 4
PuL, Pu
4Mu L
Mu
７－２ 静定梁的塑性分析
②机动法—虚位移原理
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
ห้องสมุดไป่ตู้
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
二 多跨超静定梁的极限荷载 １ 基本假定 ①各跨的极限荷载在跨内相同（等截面） ②全梁实施比例加载，求极限荷载问题转化为求其公共因子的 极限值 ③各跨单独形成机构达到极限状态 ２ 公式算法：平衡弯矩法或机构法，取其中最小值
➢１上限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载将大于或等于极限 荷载。
➢ 此荷载同时满足机构条件和平衡条件，称之为可破坏荷载 ➢２下限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 静力可能而又安全的弯矩分布所求得的荷载将小于极限荷载。
➢ 此荷载同时满足平衡条件和屈服条件，称之为可接受荷载 ➢３单值定理—对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既 是可破坏荷载又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载
结构力学
第七章 结构的极限荷载
７－１ 有关概念 ７－２ 静定梁的塑性分析 ７－３ 超静定梁的极限分析 ７－４ 比例加载的几个定理 ７－５ 用矩阵位移法求刚架的极限荷载 ７－６ 本章要点
７－１ 有关概念
一 弹性分析与塑性分析
屈服限 y
o
计算假定 理想弹塑性模型
y
７－２ 静定梁的塑性分析
一 纯弯曲梁
➢ 此荷载同时满足平衡条件、屈服条件和机构条件
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
一 计算假定 １作用在刚架上的荷载是按比例加载的节点荷载 ２塑性铰位于某一截面上
二 计算原理 利用矩阵位移法由弹性分析→内力分布状况
→比较后确定第一个塑性铰位置→修正原 K
→重新计算内力分布→比较确定第二个塑性铰
→ K 修正→分阶段 P1 P2
→直到出现若干塑性铰使结构称为机构为止 此法称之为“增量变刚度法”
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
第一阶段
形成第一个塑性铰前该阶段末的荷载 P1
先令 P1 1 各截面的
Mu M1
m in
值越小，越易出现塑性铰
2M u
Mu
dx
x
Mu
3
q
2 u
8Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
３）设第三跨先形成机构
q3uL q3uL
Mu
2
q
3 u
L
L 3
q3 u
L
2 3
L
2Mu
3
Mu
q3 u
7 Mu
L2
综上可知：
3
Mu
q m in
q3 u
7 Mu
L2
７－４ 比例加载的几个定理
一 极限状态下的三个条件 １机构条件—当荷载达到极限值时，结构上必将有