§1-8 相速、群体及色散特性

二、色 散 特 性
相速与工作频率的关系称为色散特性。显然，我们更感兴趣的是导波模的色散特性。表示色散 特性的常用方法包括如下几种： （1） β = f (ω)或ω = f (β ) ，见图 1-8-1。图中画出了三个导波模 a、b、c 的色散特性。由§ 1-5 的讨论可知,它们都夹在 (β / ω) = n 1 / c和(β / ω) = n 2 / c 的扇形区域 II 内。其中 b、c 的截 止角频率为 ωcb 和ωcc 。模式 a 的截止频率最低（在本例中为 0），称为基模。当 ω → ∞ 时各模式
−2 −1 2
，或光强角谱 A (u ) 下降
。对 s 上述两种不同 E(r)的计算结果见表 1-10-1。 表 1-10-1 光束的角谱及相关参数
E(r) A(u) ud θd
∞
高斯光束 exp(-r2/w2) exp[-(uw/2)2] 2/w 0.32λ/nw
阶跃光束 1, 0≤r<w 0, r>w 2J1(uw)/uw ≈ exp[-0.14(uw)2] 2.7/w 0.43λ/nw
2 2
(
2 1/ 2
（1-5-13）有该分量应为 [k n
2 0
2
(x ) − β 2 ]1/ 2 。二维限制光波导中，当 n = n (r ) 时，由式（1-5-13）
1/ 2
)
；当折射率为对称渐变分布（图 1-2-4）时，由式（1-2-8）、
2 2 v2 2 有该分量应为 k 0 n (r ) − β − 2 r
2
ˆ (r ) 是空间位置的函数。只要与波长相比，n(r)是空间位置的慢变函数，此近似就 k (r ) = n (r )k 0 k
二、用本地平面波概念确定波导模的本征值
1．波矢的横向分量 前已述及，用本地平面波概念研究光波导中光的传播时，光的传播方向 由几何学方法确定，其 ．． （即纵向传播常数β）可由横向谐振 概念来确定, 相移 则由 ∫ k • dr 求出。对于导波模式，其本征值 ．．． ．．．． ．． 为此首先应求出波矢的横向分量。 一维限制光波导中，折射率为对称阶跃分布（图 1-2-3a）时，由式（1-2-4）、（1-5-13） 有波矢的横向分量为 k 0 n 1 − β
2m m ∞ ∞ ( n! xn − 1) x − αx n 计算中用到 J 0 ( x ) = ∑ , = 和 ≡ 。 e x dx exp( x ) ∑ 2 ∫0 α n +1 m = 0 (m!) 2 n =0 n!
。
2．横向谐振概念 对于导波模，电磁波经横向内反射后应形成干涉加强，即波矢横向分量在一个空间周期内的积 分值应为 2π的整数倍。其中除包括行进过程中的相移外,还应包括在全反射处的附加相位跃变,即
一个空间周期
∫ k • dr + 2(全反射的相位突变) = 2µπ
µ = 0, 1, 2K
(1-9-5)
1 1
− β2
)
1
2
d = µπ + 2φ
(1-9-7)
∫−x
tp
（1-9-8）
其中 xtp 由被积函数的零定确定，对应于式（1-2-12）。 对于如图（1-2-8）所示的渐变折射率圆光纤，式（1-9-6）对应于
∫
2 rtp 2 2 ν2 1 2 ( ) − β − dr = µ + π ric k 0 n r 2
2 ∂n 2 ( ) n x , y k n + 0 F dA ∫A∞ ∂k 0 c2 ≈ 2 vp vg ∫ A∞ F dA
忽略折射率 n 随工作频率的变化，则式（1-8-3）、（1-8-4）分别简化为
（1-8-4)
2k 0 ∫ A∞ n 2 (x , y )F 2 dA d β2 ≈ 2 dk 0 ∫ A∞ F dA
部导波模 U 和 W 不能限于一定的范围之内。 （4） b = f ( V ) ，见图 1-8-4。它的优点是纵坐标和横坐标都已归一化，且 b 对所有的导波模 都在 0 和 1 之间，适当选取纵坐标的比例尺，可以得到足够的精度。
§ 1-9
本地平面波方法
本节将给出本地平面波方法的基本概念,并从横向谐振概念出发确定本征值应该满足的条件。
(1-8-7)
c2 ≥ 2 vg
∫
A∞
n 2 (x , y )F 2 dA
A∞
如果导波场存在的范围内 n (x , y ) = n = const ，则必有
∫
F 2 dA
(1-8-8)
vp vg =
且
c2 n2
(1-8-9) (1-8-10)
vg ≤
c c , vp ≥ n n
这正是微技术中金属边界波导管的一般结果。这时 F 对 TEM 模可理解为场的横向分量，对 TE、TM 模可理解为场的纵向分量；在两种情况下都是标量函数。 式（1-8-7）和式（1-8-8）给出了二维弱导光波导中导波模相速的下限和群速的上限。 在无损条件下，能速和群相速等；有损时，二者一般并不相同，本书中只有考虑小损耗情况， 认为能速与群速仍然近似相等。
2．非均匀介质 此时 e，h 与式（1-9-1）的不同在于： E 0 、 H 0 本身与空间位置有关，应表为 E 0 (r ) 、
2
H 0 (r ) 。 此外，相位累积不再是 k • r而是 ∫ k (r ) • dr 。我们有 h = H 0 exp(− j∫ k • rdr ) e = E 0 exp(− j∫ k • rdr )
（2） β / k 0 = f ( V) ，见图 1-8-2。它的基本优点是纵坐标的比例可以足够大，从而得到满意 的精度，且横坐标已经归一化。 ωcb 和ωcc 变为 Vcb 和Vcc ，但纵坐标仍未归一化。 （3） U = f (V )或W = f ( V) ，见图 1-8-3。优点是纵坐标和横坐标全部归一化，缺点是对全
全反射的相位突变 2φ 由式(1-4-19)或式(1-4-21)确定，取决于折射率是突变还是渐变。必须指出,
k • dr 是以相位落后为正（因是 e jωt e − j ∫ k •dr ），而由式（1-4-9）（1-4-21）决定的 φ TE 和 φ TM
是以位领先为正。故式（1-9-5）应写成
∫ k • dr = 2µπ + 2[2φ] 其中 φ 表示 φ TE 或 φ TM 。
§1-8
相速、群体及色散特性
本节主要给出介质光波导中导波模相速和群速应满足的关系，以及色散特性的常用表示方法。
按定义，对于以 exp j(ωt − β z ) 表征的波，其相速和群速可分别写成
[
]
一、相速与群速
vp ≡
k ω =c 0 β β dk dω vg ≡ =c 0 dβ dβ
(1-8-1) (1-8-2)
θ d ≥ 90 o − θ ic
n2 θ d ≤ arcsin 1 − n 1
经典几何光学近似条件不同之处。
2
(1-10-1)
就是在光波导中应用几何光学或本地平面波的条件。下面将会发现，它比 a λ >>1 要苛刻，这是与
为了进一步探讨式（1-10-1），需要研究各种光束的光强角谱分布。为简便计，考虑折射率为 n 1 的均介质中圆柱形光束的散开。其电场径向分布函数 E(r ) 取为高斯型或阶跃型（图 1-10-2）。
∞ 0
0
∞ 0
(1-10-2)
其中 u 是子平面波波矢的 r 方向分量 k 0 n sin θ z ； θ z 是该子平面波波矢与 z 轴夹角。A(0)=1 说 明：平行于 z 轴的子平面波，归一化角谱函数为 1。可以根据 A(u)定义一个表征光束发散的特征 角 θ d ，它 所对应的 u = k 0 n 1 sin θ d ≈ k 0 n 1θ d 使 A(u)下降到 A(0)的 e 至e
一、本地平面波的基本概念
1. 均匀介质 由式（1-4-2），在均匀无界介质中电磁波的解可表示为平面波
e = E 0 exp(− jk • r ) h = H 0 exp(− jk • r )
之间满足如式（1-6-2）的关系， H 0 =
(1-9-1a) (1-9-1b)
ε0 ˆ nk × E 0 ，电磁场的能流密度的周期平均值为 µ0
它们分别表征着等相位面和信号包迹沿波导的传播速度。注意色散 是指群速 （而不是相速）与频率 ．． ．． ．．． 2 2 有关 ，即 d β /d ω ≠ 0 。物理上，造成色散的原因可能是材料折射率对波长的二阶导数不为零和波导 ．． 效应使β和ω不呈线性关系，详细讨论见第八章。 利用式（1-7-5）可以确定弱导光波导中导波模相速与群速之间关系。由于β对 F 是稳定的， 在求
( )
(1-8-5)
c2 ≈ vp vg
∫
A∞
n 2 (x , y )F 2 dA
2
由于在式（1-7-5）中 (∇ t F)
2 ∫ A∞ F dA
(1-8-6)
恒非负值，则
A∞
c2 β2 = 2 ≤ v2 k0 p
由式（1-8-6），这意味着
∫
n 2 (x , y )F 2 dA
2 ∫ A∞ F dA
(1-9-3a) (1-9-3b)
而式（1-6-2）相应变为
H 0 (r ) =
ε0 ˆ (r ) × E (r ) n (r )k 0 µ0
(1-9-4)
在物理上，这种处理方法对应于把电磁场在一个局部区域内看成是平面电磁波，它的波矢 可成立。 在本地平面波情况下，射线管由 S • dA ∝ n (r ) E 0 (r ) dA守恒确定 。
c
参见 A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, London, 1983, Ch. 10.