1-1复数的基本概念

§1.1 复数的基本概念

授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系

1、 复数的定义：

设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则

加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++

乘法：()(),,(,)

a b c d ac bd ad bc =-+

则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b

其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为

a =Re α，

b =Im α

纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有

α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）

其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.

2、 复数的相等与大小

两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.

复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：

假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即

20i >

即 -1>0，这显然是错误的！

3、 几个特殊的复数：

(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩

(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =

(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1

(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)

4、 共轭复数：(,)a b α=，*

(,)a b α=-互为共轭复数

性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）

*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）

5、 复数的减法、除法

减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d

++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”

6、 复数的几何表示：

（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起

点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一

矢量（如右图所示）

（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）

γαβ=+

（3） 减法的几何表示：

γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明

7、 复数的极坐标表示

极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+

r 称为α的模，θ为辐角，记为：

，

r α=，Arg θα=

辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将

（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg α

arg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）

提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，

（0，0）的辐角无意义

复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+

*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-

乘法：111(cos sin )r i αθθ=+

222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++

1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )

r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++

规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-

规则是：模相除，辐角相减

相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易

8、 复数的指数表示

欧拉公式：cos sin i e i θ

θθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示

复数表示下，乘法，除法变得更容易

1212

()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r e

r e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=

n n in r e θα=

(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-

小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。

9、 复数球

复数球上的点和复平面上的一一对应，无穷远点和北极N 相对应，需要注意的是：无论A 沿哪种方式趋于无穷远点∞，'A 总是趋于N 。无穷远点是“一个点”，无穷远点的辐角也没有明确意义。

我们以为自己站在一个平面上，实际是站在一个球面上（地球）

一个无穷大的平面可以等价的看作一个球，这可以帮我们理解静电屏蔽：在无穷大的平面

的左边放置一个电荷，则平面的右边没有该电荷的电场。