北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案
函数的基本性质（提高）【考纲要求】1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增 增 增 减 减 减 增 减 减减增导数证明法：设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案
【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ⎫=⇒=⎬=⎭3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即0N >；(2)1的对数为0，即log 10a =；(3)底的对数等于1，即log 1a a =.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数图象与性质对数运算性质 对数函数的图像与对数的概念 指对互化运算以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1)()log log log a a a MN M N =+；推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N=-； (3)log log a a M M αα=.(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:(1) )(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即aM b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log ≠>≠>=b b a a ab b a . 考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0)(3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪<<==⎨⎪><<⎩当时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1)2log 83=；(2)13log 92=-；(3)3log3x =；(4)45625=；(5)1133-=；(6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】(1)328=；(2)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)33x =； (4)5log 6254=；(5)31log 13=-；(6)14log 162=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x 的值： (1)642log 3x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x =【解析】(1)2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 (3)10x =100=102，于是x=2；(4)由222ln ln 2x e x x e ee x --=-===-，得，即所以. 类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log 89·log 2732 (2)91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (3))36log 43log 32(log log 42122++ (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 【解析】(1)原式=91035322log 3log 532233=⋅=⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=--- (3)原式=1222223log (5log log 6)4-++ 22223log (5log log 6)log 834=-+== (4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++52133log 2log 5133=⋅= 举一反三：【变式】已知：log 23=a ， log 37=b ，求：log 4256=?【解析】∵ 3log 12log 23= ∴a12log 3=， 33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6+==+3333log 73log 2log 71log 2+=++ 13113+++=+++=a ab ab a b ab 类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数)2(log )(221x x x f +-=（1）求函数)(x f 的值域；（2）求)(x f 的单调性【解析】222221122212212212(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10log (-2)[0,).(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v uu x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。
高中数学教案《函数的基本性质》
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
北京四中高考数学总复习 三角函数的最值与综合应用(提高)知识梳理教案
三角函数的最值与综合应用【考纲要求】1、能求三角函数的值域与最值；2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：涉及正、余弦函数以及sin cos )a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=，都可以考虑利用有界性处理.22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理，得到sin 2cos2)y A x B x C x C ϕ=++=++，其中tan BAϕ=，再利用有界性处理.形如2sin sin y a x b x c =++或2cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.形如sin cos x x ±，sin cos x x ⋅在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则21sin cos 2t x x -⋅=，把三角问题化归为代数问题解决.形如sin cos a x cy b x d +=+型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）.形如ax x+型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解.要点诠释：三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法三角函数的最值三角函数在实际生活中的应用三角函数的最值与综合应用都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法. 考点二、sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】类型一：三角函数的最值例1．已知2()2cos 2f x x x a =+，若[0,],2x π∈且|()|2f x <，求a 的取值范围.【思路点拨】在定义域的范围内求()f x 的值域，再利用集合之间的关系求a 的范围.【解析】()cos 2212sin(2)16f x x x a x a π=+++=+++因为02x π≤≤，所以72.666x πππ≤+≤ 所以() 3.a f x a ≤≤+又因为|()|2f x <，所以[,3](2,2),a a +⊂-于是2,32,a a >-+<解得2 1.a -<<-【总结升华】求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 本题是通过二倍角降次，整理成)y x C ϕ=++型.举一反三：【变式1】函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值-1，则实数a = ，b = .【答案】1,a b ==±【解析】2cos sin cos (1cos 2)sin 222).22a by a x b x x x x ax ϕ=+=++=++（其中tan baϕ=） 当sin(2)1x ϕ+=时，有max2y =22a+=，当sin(2)1x ϕ+=-时，有min 1y =-，即12a+=-，解得1,a b ==±【变式2】已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 【答案】（1）53354+= （2）]2,1[【解析】（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ππ≤≤x 2 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例4】 【变式3】已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。
北京四中高中数学 指数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修1
指数函数及性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
北京四中高考数学总复习 函数及表示知识梳理教案
【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．【知识网络】【考点梳理】1、映射的定义设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的 任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射， 记作:f A B →。
映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。
2、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：)(x f y =.其中x 叫做自变量 ，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。
3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。
4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。
映射函数及其表示函数三要素 函数的表示5、区间的概念和记号设,a b R ∈，且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。
（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。
（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),[b a 和],(b a 。
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。
北京四中高中数学 指数函数、对数函数、幂函数综合提高知识讲解 新人教A版必修1
指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。
3．理解对数的概念及其运算性质。
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【知识框图】【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n nn a a =；当n ,0,,0;nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)nnaa =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：要点三、对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四、对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：要点五、反函数1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 要点六、幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。
北京四中高考数学总复习 三角函数的最值与综合应用(提高)知识梳理教案
【考纲要求】1、能求三角函数的值域与最值；2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：涉及正、余弦函数以及sin cos )a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=，都可以考虑利用有界性处理.22sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理，得到sin 2cos2)y A x B x C x C ϕ=++=++，其中tan BAϕ=，再利用有界性处理.形如2sin sin y a x b x c =++或2cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.形如sin cos x x ±，sin cos x x ⋅在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则21sin cos 2t x x -⋅=，把三角问题化归为代数问题解决.形如sin cos a x cy b x d +=+型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）.形如ax x+型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解.要点诠释：三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法.三角函数的最值三角函数在实际生活中的应用三角函数的最值与综合应用考点二、sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】类型一：三角函数的最值例1．已知2()2cos 2f x x x a =++，若[0,],2x π∈且|()|2f x <，求a 的取值范围.【思路点拨】在定义域的范围内求()f x 的值域，再利用集合之间的关系求a 的范围.【解析】()cos 2212sin(2)16f x x x a x a π=+++=+++因为02x π≤≤，所以72.666x πππ≤+≤ 所以() 3.a f x a ≤≤+又因为|()|2f x <，所以[,3](2,2),a a +⊂-于是2,32,a a >-+<解得2 1.a -<<-【总结升华】求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 本题是通过二倍角降次，整理成)y x C ϕ++型.举一反三：【变式1】函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值-1，则实数a = ，b = .【答案】1,a b ==±【解析】2cos sin cos (1cos 2)sin 222).22a by a x b x x x x ax ϕ=+=++=++（其中tan baϕ=） 当sin(2)1x ϕ+=时，有max2y =22a+=， 当sin(2)1x ϕ+=-时，有min 1y =-，即122a-+=-， 解得1,a b ==±【变式2】已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 【答案】（1）53354+= （2）]2,1[【解析】（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ππ≤≤x 2 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.【高清课堂：三角函数的最值及综合应用397868 例4】 【变式3】已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 了解函数的定义及其基本性质，理解函数的概念。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的定义及表示方法2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的基本性质及其证明方法。
2. 利用例题，展示函数性质在实际问题中的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
4. 利用信息技术辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习初中阶段的知识，如一次函数、二次函数的性质，引出高中阶段函数的基本性质。
2. 讲解函数的定义及表示方法，让学生理解函数的概念。
3. 讲解函数的单调性，引导学生掌握单调性的证明方法，并通过例题展示单调性在实际问题中的应用。
4. 讲解函数的奇偶性，引导学生掌握奇偶性的证明方法，并通过例题展示奇偶性在实际问题中的应用。
5. 讲解函数的周期性，引导学生掌握周期性的证明方法，并通过例题展示周期性在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置有关函数基本性质的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
8. 布置作业：布置有关函数基本性质的作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业完成情况，对教学进行反思，为下一步教学做好准备。
10. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈，对学生的学习情况进行评价，为后续教学提供参考。
六、教学评价1. 学生能够准确地描述函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
2. 学生能够理解并应用函数的基本性质解决实际问题。
3. 学生能够通过实例展示对函数性质的理解，并能够进行简单的证明。
北京市第四中学高中数学1知识讲解：第二章 指数函数、对数函数、幂函数综合(提高)
指数函数、对数函数、幂函数综合编稿:丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点。
3．理解对数的概念及其运算性质。
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.6．知道指数函数xa y =与对数函数x y alog =互为反函数(a ＞0,a ≠1）。
【知识框图】【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1。
根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中*1,n n N>∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数,负数的n 次方根是负数，表当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2.n 次方根的性质： （1）当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ (2）na =3。
分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义。
4。
有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1）rsr s a aa += （2)()r srs a a = （3）()rr r ab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：要点三、对数与对数运算1。
对数的定义 （1）若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数。
北京四中高中数学 对数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修1
对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．要点二、对数函数的图象与性质a ＞00＜a ＜1图象性质定义域：（0，+∞） 值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0要点诠释：关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)要点四、反函数 1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x fy -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1f-．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y fx -=的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．【典型例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例1. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=1)1(log 12133---x x (2) ln(2)x xy a k =-（0a >且1,a k R ≠∈）.【答案】（1）(1，23) (23，2)；（2）略 【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠->->-1)1(log 0)1(log 012121x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2).（2）因为 20xxa k ->， 所以2xa k ⎛⎫> ⎪⎝⎭.①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时，(i)若2a >，则函数定义域为(2log a k ，+∞)；(ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2log a k )；(iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为∅.【变式2】函数(2)xy f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域. 【答案】[2，16].【答案】由12x -≤≤，可得()y f x =的定义域为[21，4]，再由21log 42x ≤≤得2(log )y f x =的定义域为[2，16].类型二、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
北京四中高考数学总复习 函数的极值和最值(提高)知识梳理教案 理
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题 【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
函数的基本性质(教案)
函数的基本性质教学目标：1. 了解函数的定义和基本概念。
2. 掌握函数的域和值域的概念。
3. 理解函数的单调性、连续性和可导性的概念。
4. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的定义与域1.1 函数的定义1.2 函数的域第二章：值域2.1 值域的概念2.2 确定函数的值域第三章：函数的单调性3.1 单调性的定义3.2 单调性的判定第四章：函数的连续性4.1 连续性的定义4.2 连续性的判定第五章：函数的可导性5.1 可导性的定义5.2 可导性的判定教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的基本性质。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示函数的单调性、连续性和可导性。
3. 组织小组讨论和实践活动，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂讨论和提问，评估学生对函数基本性质的理解程度。
2. 布置课后习题和作业，巩固学生对函数基本性质的掌握。
3. 进行定期的测验和考试，检验学生对函数基本性质的掌握情况。
教学资源：1. 教科书和参考书籍，提供详细的知识点和实例。
2. 多媒体课件和教学软件，提供直观的图形和动画展示。
3. 在线学习平台和论坛，提供额外的学习资源和交流平台。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时教学总结：通过本章的教学，学生应该能够理解函数的定义和基本概念，掌握函数的域和值域的概念，理解函数的单调性、连续性和可导性的概念，并能够运用函数的基本性质解决实际问题。
函数的基本性质（续）教学内容：第六章：函数的极值与最值6.1 极值的概念6.2 函数的最值第七章：函数的周期性7.1 周期性的定义7.2 周期函数的性质第八章：函数的奇偶性8.1 奇偶性的定义8.2 奇偶函数的性质第九章：函数的图像9.1 图像的性质9.2 图像的变换第十章：函数的极限10.1 极限的概念10.2 极限的计算教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的极值、周期性、奇偶性、图像和极限的基本性质。
北京四中高考数学总复习 二次函数与幂函数(提高)知识梳理教案
函数的基本性质【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数1(1,2,3,1,)2y x αα==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：2y ax bx c =++（0≠a ），顶点式：2()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数 二次函数幂函数常数函数2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令1()2x p q =+.（1） （2） （3） （4）（1）若2bp a-<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2bq a≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
考点二、幂的运算 (1)mnmnaa = ，1nn aa -=，m n m n m na a a -1==(,1)m n N n +∈>、 ； (2)()(,1)nnaa n N n =∈> ，(1,nn a a n n =>为奇数），(0)((0)nna a a a n a a ≥⎧=⎨-<⎩＝是正偶数） 。
北京四中七年级上册数学一次函数的图象和性质--知识讲解(提高)
一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、（1）已知直线(0)y kx b k =+≠，与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k =+≠与31y x =+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．【思路点拨】（1）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则比例系数k 相同，再找一个条件求b 即可，而题中给了图象过（0，2-）点，可用待定系数法求b .（2）题同样比例系数k 相同，注意同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况，都要考虑到.【答案】（1）22y x =-；（2）32y x =+或3y x =.【解析】（1）因为所求直线与2y x =平行，所以2y x b =+，将（0，－2）代入，解得b ＝－2，所以22y x =-.（2）由题意得k ＝3，假设点（1，4）在31y x =+上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线3y x b =+上，解得b ＝2或b ＝0.所求直线为32y x =+或3y x =.【总结升华】互相平行的直线k 值相同.举一反三：【变式1】一次函数交y 轴于点A （0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【答案】解：()0,3, 3.A OA =Q ∴()()1,2163244,04,0.AOB S OA OB OB OB B B =⋅=⨯⋅=-Q △∴∴∴或设一次函数的解析式为3y kx =+.当过()4,0B 时，34304k k +==-∴； 当过()4,0B -时，34304k k -+==∴； 所以，一次函数的解析式为334y x =-+或334y x =+. 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y 轴上求作一点P ，使AP ＋BP 最短，并求出点P 的坐标.【答案】解：作点A 关于y 轴的对称点为()1,0A '，连接A B '，与y 轴交于点P ，点P 即为所求.设直线A B '的解析式为y kx b =+，Q 直线A B '过()()1,0,2,3A B '-，01231k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩∴∴ A B '∴的解析式为：1y x =-+，它与y 轴交于P （0，1）.类型二、一次函数图象的应用2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)求李明上坡时所走的路程1s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程2s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.【答案与解析】解：(1)设11s k t =，由已知图象经过点(6，900)，得900＝61k ．解得1k ＝150．所以1s ＝150t (0≤t ≤6)．设22s k t b =+，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，得226900,102100.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2300900k b =⎧⎨=-⎩所以2s ＝300t －900(6<t ≤10)．(2)李明返回时所用的时间为(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．因此，李明返回时所用的时间为11分钟．【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．类型三、一次函数的性质3、已知自变量为x 的一次函数()y a x b =-的图象经过第二、三、四象限，则（ • ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0【答案】C ；【解析】原函数为y ax ab =-，因为图象经过二、三、四象限，则a ＜0，ab -＜0，解得a ＜0，b ＜0.【总结升华】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k ＞0，b ＜0，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k ＜0，b ＞0时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x的值增大而减小；④当k ＜0，b ＜0时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．举一反三：【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C ；提示：对于A ，从1l 看 k ＜0，b ＜0，从2l 看b ＜0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉A.对于B ，从1l 看k ＞0，b ＜0，从2l 看b ＞0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉B. D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求.【变式2】直线1l 和直线2l 在同一直角坐标系中的位置如图所示．点11(,)P x y 在直线1l 上，点333(,)P x y 在直线2l 上，点222(,)P x y 为直线1l 、2l 的交点．其中21x x <，23x x <则（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<【答案】A ；提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直线1l 知，y 随x 的增大而减小，因为21x x <，则有21y y >；观察直线2l 知，y 随x 的增大而增大，因为23x x <，则有23y y <．故123y y y <<．类型四、一次函数综合4、已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．【答案与解析】 解：由题意得，(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则,.b b OA OB b k k =-== 113333b OA OB b k k k ====±Q ∴∴∴. Q 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，1k b +=∴.∴当13k =时，23b =，()2,0A -； 当13k =-时，43b =，()4,0A . 综上所述，点A 的坐标为()2,0-或()4,0.【总结升华】我们可以把点A 、B 的坐标用k 、b 表示出来，根据OA ＝3OB 可以建立一个关于k 、b 的方程，再根据它的图象过P ，可以再找到一个关于k 、b 的方程，两个方程联立，即可求出k 、b 的值，就可以求出点A 的坐标.。
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【考纲要求】1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增导数证明法：设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
2、奇偶性 (1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.理解：(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔)()(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔)()(x f x f -=1 (f(x)≠0)(2)延伸(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有 f(x)=2)()(x f x f -++ 2)()(x f x f --=g(x)+p(x)其中,g(x)=2)()(x f x f -+为偶函数,p(x)= 2)()(x f x f --为奇函数.即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0. (3)奇(偶)函数图像的特征 (Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. (4)奇偶性与单调性的联系当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:设G,G ＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有 (Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同； (Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反． 这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反． 【典型例题】类型一、求（判断）函数的单调区间例1.证明函数()(0)af x x a x=+>在区间)+∞是增函数。
解：设21x x a <<，2122211122112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 21211221121221))(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=21x x a << 012>-∴x xa x x >21 0)()(12>-∴x f x f∴函数()(0)a f x x a x=+>在区间(,)a +∞是增函数。
举一反三：【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21y x=. 解：(1)⎩⎨⎧-<---≥+=)1x (1x )1x (1x y 画出函数图象，∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，uy 1=在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x 1y =单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例2. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间1(,1)2上是增函数，求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴-12a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需-11222a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7[)f(2)7,+∴∈∞.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解：2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型三、判断函数的奇偶性 例3. 判断下列函数的奇偶性： (1)1-()(1)1xf x x x=++ (2)()-1f x x =(3)f(x)=x 2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)()|2|-2f x x =+(6)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩ (7)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈解析：(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域[)1+∞，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()f x ∴==(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；(6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例4．设()(0)x xe af x a a e =+>是偶函数． （1）求a 的值;（2）证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数． 解析：（1）方法一：∵()(0)x x e af x a a e =+>是偶函数且其定义域为x R ∈，∴()()-=f x f x ∵1()x x x x e a f x ae a e ae ---=+=+，∴1x xx x e a ae ae a e+=+ ∴1=a a，解得1a =或1a =- ∵0a >， ∴1a =方法二：∵()(0)x xe af x a a e =+>是偶函数且其定义域为x R ∈，∴()()-=f x f x ∴当1x =时(1)(1)-=f f 即1e a ae ae a e+=+ ∴1=a a，解得1a =或1a =- ∵0a > ∴1a =（2）方法一：定义法 由（1）知：1()=+xx f x e e设120>x x >，则1111()=+x x f x ee，2221()=+x x f x e e 121212112212111()()xx x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e e e --=+-+-⋅（）（）=（）∵120x x >> ∴121>>x x e e∴120->xx e e，1210x x e e >>，1210x x e e ->∴12()()0->f x f x 即12()()>f x f x 故()f x 在(0,)+∞上为增函数。