8-4描述函数法

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第二节描述函数法

第二节描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节描述函数法
16
2) 非线性环节的串联当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时：一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数；应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
2020/10/18
第二节描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A

描述函数法

系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时，其输出出现切顶，变成与输入同频率的周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加，其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙等非线性现象。所谓线性系统只是在一定的工作范围内，非线性的影响很小，以致可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统，可采用第二章所述的线性化方程解决非线性问题；但也有一定数量的非线性问题不能这样处理，只能采用其他的方法。

描述函数法讲解

0

Ka sintd(t)

KA s in2
td(t
)

2
KAsin1
a

a
1

a
2

AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1

2
K sin1
a

a
1

a
2

A
AA
A
式中，
Asin

a,

sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1

tg1
A1 B1

0
a

t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1

2

x(t)sint d(t)
0

2

KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1

B1

j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。

自动控制原理第五章

自动控制原理第五版：《自动控制原理第五版》是科学出版社出版的图书，作者是胡寿松。

本书精选了第四版中的主要内容,加强了对基本理论及其工程应用的阐述。

内容提要：本书系《自动控制原理》第五版,比较全面地阐述了自动控制的基本理论与应用。

全书共分十章,前八章着重介绍经典控制理论及应用,后两章介绍现代控制理论中的线性系统理论和最优控制理论。

书中深入浅出地介绍了自动控制的基本概念,控制系统在时域和复域中的数学模型及其结构图和信号流图;比较全面地阐述了线性控制系统的时域分析法、根轨迹法、频域分析法以及校正和设计等方法;对线性离散系统的基础理论、数学模型、稳定性及稳态误差、动态性能分析以及数字校.图书目录：第五版前言第一章自动控制的一般概念1-1 自动控制的基本原理与方式1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 对自动控制系统的基本要求1-5 自动控制系统的分析与设计工具习题第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算3-7 控制系统时域设计习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 控制系统复域设计习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统的频率特性5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标5-6 控制系统频域设计习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 反馈校正6-5 复合校正6-6 控制系统校正设计习题第七章线性离散系统的分析与校正7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析7-7 离散系统的数字校正7-8 离散控制系统设计习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 非线性控制的逆系统方法8-6 非线性控制系统设计习题第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观测性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计习题第十章动态系统的最优控制方法10-1 最优控制的一般概念10-2 最优控制中的变分法10-3 极小值原理及其应用10-4 线性二次型问题的最优控制10-5 动态规划10-6 控制系统优化设计习题参考文献附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换附录B 矩阵微分法附录C MATLAB辅助分析与设计法。

《自动控制原理》描述函数法

y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量，若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。，按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。

描述函数法

7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1

4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1

二、描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1

第四节用描述函数法分析非线性系统2003

第四节用描述函数法分析非线性系统
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析：稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点，则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在，能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。

第8章非线性系统分析

dx/dt x
不稳定节点

x 2 n x n x 0
2

1 0
相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点

x 2 n x n x 0
2

0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心点。
dx/dt x
中心点

x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解（1）作相平面图线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km

x x sin x 0

奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k

4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。

dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环

自动控制原理-第8章非线性控制系统教案

8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。

本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。

例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。

8-4描述函数法

n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波，且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1

1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10

k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20

x2 x20 | x2 | x20 x2 x20

2

Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1

0
y (t ) sin t d t cos

自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统

或 1 G ( jω ) = − N(X ) (8 − 27)
(8-26)
非线性特性的负倒描述函数
对于某一个特定的X 对于某一个特定的 0及ω0，式(8-26)或或成立，式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jω) = -1 成立 ω 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中1/N(X)为描述函数的负倒特性，它相当于线性为描述函数的负倒特性，为描述函数的负倒特性系统的临界点（，）系统的临界点（-1，j0）。
−
1 N(X )
Re
G ( jω )
− 0.3 K Re[G ( jω )] = 1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4
− K (1 − 0.02ω 2 ) Im[G ( jω )] = ω (1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4 )
令 Im[G(jω)]=0，得 Im[G(jω)]=0
因此，因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果，环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果，恰与前面的假定相吻合。因此，恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。在上述的条件下，在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函数近似表示非线性环节的特性，数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。所示。所示
扰动使 X ↑→ a移到c → 进入稳定区 X ↓→ 回到a点 a点 : 扰动使X ↓→ a移到d → 进入不稳定区 ↑→回到a点 X

第8章-非线性系统分析

假若平衡点在坐标原点时得：
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0）此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01）系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0）线性化方程为
特征根

非线性控制基础(第二章)

π∫
4
1
2π 0
y (t ) sin ω t d (ω t )
图饱和特性及其输入－输出波形
Ka sin ωt d (ωt ) ∫ φ π
2
1
=
=
π∫
φ1
0
KAsin 2 ωt d (ωt ) +
4
π
2 KA ⎡ a a a ⎤ 1 − ( )2 ⎥ ⎢arcsin + A A A ⎦ π ⎣
5
由式可得饱和特性的描述函数为
2 −ω2 ∠(− arctan ) 3ω
比较模和相角得
⎧K ⎪ π = 10 = 9.93 ⎨ 1 ⎪ τ = arctan = 0.322 3 ⎩
16
例3 非线性系统结构图如右图所示，
已知： π π (1) 自振时,调整 K使 G ( s ) = − − j 。
求此时的 K值和自振参数(A,ω)以及输出振幅Ac。 (2) 定性分析 K增大后自振参数(A,ω)的变化规律。
11
(2)自振分析稳定性判断方法
M1 :
假设系统原来工作在点 M 1 ,如果受到外界干扰，使非线性特性的输入振幅 A 增大，则工作点将由点M 1 移至点 B ，由于 B 点不被曲线G( jω) 包围，系统稳定，振荡衰减，振幅 A 自行减小，工作点将回到点 M 1 。反之，如果系统受到干扰使振幅减小，则工作点将由点 M 1 移至 C ， C 点被曲线 G( jω) 包围，系统不稳定，振荡加剧，振幅会增大,工作点将从点 C 回到点 M 1 。这说明点表示的周期运动受到扰动后能够维持，所以 M 1点是自振点。
⎧ M = 2, h = 1 ⎪ 8 2 ⎨ N ( A) = 8 A j − 1 − ⎪ π A2 π A2 ⎩

自动控制原理第8章

第八章非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系

第八章习题答案

第八章习题解答8-1考虑并回答下面的问题：（a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？（b ）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？（d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能产生稳定的自激振荡吗？解：（a ）描述函数法只能用来研究非线性定常系统的特性，这要求非线性元件的特性不随时间发生变化。

在用描述函数法研究非线性系统的自振特性时，要求在正弦输入下非线性特性的输出没有直流分量，这要求非线性元件的特性是斜对称的。

（b ）一般情况下用代数方程描述的非线性特性是无记忆的，根据非线性环节当前的输入就可以决定非线性环节的输出。

用微分方程描述的非线性特性是有记忆的，不能简单地根据非线性环节当前的输入决定非线性环节的输出。

无记忆非线性特性的描述函数一般为实数，有记忆非线性特性的描述函数一般为复数。

（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数都是元件的外部描述。

线性元件的传递函数表述的是元件输出拉氏变换与输入拉氏变换之比，而非线性元件的描述函数表示的是元件在正弦输入下输出基波特性。

由传递函数可以得到系统的频率特性，而描述函数一般不是频率的函数，线性元件可以有描述函数，但传递函数只适用于线性系统，非线性系统没有传递函数。

（d ）只有稳定的交点才对应稳定的自激振荡。

8-2设非线性元件的输入、输出特性为35135()()()()y t b x t b x t b x t =++证明该非线性元件的描述函数为2413535()48N A b b A b A =++式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。

解：由于非线性特性是单值斜对称的，所以10A =，10φ=。

自动控制_08b系统分析的描述函数法

线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于
在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－ 1／N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线 G(jω)不包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统稳定；如果G(jω)曲线包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(A)相交，那么闭环系统出现自持振荡（极限环）。为了方便，我们将曲线－1／N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。
考虑图8－37所示死区特性，当输入为正弦函
数 x(t) Asin t ( A ) 时，输出 y(t)如图8－
37 所示，因为图中的 y(t) 是单值奇对称的，所
以 A1 0,1 0 ，
图8－37 死区特性的描述函数
所以
B1

1

2 y(t) sin tdt 4
益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇
对称的，那么：A1 0,1 0, N B1 / A
只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输入振幅又是角频率的函数。
(2)描述函数分析的应用条件
1）非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构；
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数，或正弦输入下的输出为t的奇对称函数；
1

2
，A

2
A A A
（2）继电特性图8－38 继电特性的描述函数

单值函数的各种表示形式

单值函数的各种表示形式单值函数是指对于每一个自变量，其函数值都只有一个确定的结果。

在数学上，我们可以通过多种方式来表示和描述一个单值函数。

接下来就让我们一步步来探究这些表示形式。

1. 解析式表示法这是最常见的一种形式，通过代数式来描述函数。

例如，f(x) = 2x + 1就是一个单值函数的解析式表示形式。

这种表示方法对于较为简单的函数比较方便，但是对于复杂的函数，代数式可能变得非常冗长。

2. 图像表示法这种形式是通过将函数图像绘制在坐标系中来描述函数。

通过观察图像，我们可以了解函数的特性，例如导数、极值、单调性等。

这种表示方法对于直观地理解函数非常有帮助，但是对于精确描述函数，可能不是最佳选择。

3. 函数表格表示法这种表示方法通过将函数的自变量和函数值列举在表格中来进行描述，例如：|x | 1 | 2 | 3 ||----|----|----|----|| f(x) | 4 | 6 | 8 |这种方法能够精确记录函数的每一个取值，但是对于连续函数或者函数值较多的情况，表格会非常冗长。

4. 文字描述表示法这种方法通过用文字来进行描述，例如：f(x)表示x的两倍加1。

但是这种方法存在歧义和不精确的问题，容易产生误解。

5. 符号表示法这种方法是一种抽象的表示方法，通过符号来表示函数。

例如，f(x)可以表示为y。

这种方法常用于高等数学中，能够精确描述函数，但是对于初学者可能会存在难度。

综合来说，不同的表示形式在不同的场景下都有其独特的优劣和适用性。

学习函数时，我们需要熟练掌握这些表示方法，并根据需要选择最合适的方法来描述和求解函数问题。

描述函数法

描述函数法
9-2目录
1.描述函数的基本概念 2.典型非线性特性的描述函数 3.非线性系统的简化 4.非线性系统稳定性分析的描述函数法
2020/12/21
非线性环节的正弦响应(补充)
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
2020/12/21
描述函数的定义()
∞
y(t)= A0+∑nx =(1(Atn)cosnA ωts+Bin sn intnωt) y A (0t ) Y Yn1 ssinni (tn t n )(1)
2020/12/21
G(jω)
1 N(A )
c
M2
2020/12/21
P不为0的例题 (补充)
交点M1M2将-1/N(A)分为三段将三段聚焦为a,b,c三点，
P=1 G(jω)逆时针包围b点一圈，
IImm
所以R=1,
z=P-R=1-1=0
G(jω)包围的区域为稳定区域
b
G(jω)
RRee 0
a h
正弦N若响(AA0应=0)仅，=有且一N当次n(>A谐1时)波，分eYj量∠n均！N很(A小) =，则Y可1近e似j认1 为非B1线性j环A节1 的 y 2( 02t 0/1) 2/21 A Y11c A o 12t Bs B 121s1i t aAn r ctY g1 ABs11 i ntA (1)
2
0
G(j)027o0
有自振存在 c 2 c 3c A11200
cc 0 cG (c j 30 )0.5
c 2 c 1c s 1
( s 1 ) 2 1
c c 0 N(1A) 1c c 0

8-4描述函数法

第二节 描述函数法

描述函数法

描述函数法讲解

自动控制原理第五章

《自动控制原理》描述函数法

描述函数法

第四节 用描述函数法分析非线性系统2003

第8章 非线性系统分析

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8-4描述函数法

自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统

第8章-非线性系统分析

非线性控制基础(第二章)

自动控制原理第8章

第八章 习题答案

自动控制_08b系统分析的描述函数法

单值函数的各种表示形式

描述函数法

第二节描述函数法

第四节用描述函数法分析非线性系统2003

第8章非线性系统分析

自动控制原理-第8章非线性控制系统教案

第八章习题答案