高考数学二轮复习圆锥曲线的综合应用教案(全国通用)

2020届二轮复习 圆锥曲线的综合应用 教案（全国通用）

高频考点一 圆锥曲线中的最值、范围

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

例1、如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.

(1)求p 的值；

(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．

【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32

，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233

，O 为坐标原点．学-科网 (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233

，得c ＝ 3. 又c a ＝32

，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24

＋y 2＝1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，

故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

将y ＝kx －2代入x 24

＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.

当Δ＝16(4k 2－3)＞0，

即k 2＞34时，x 1，2＝8k ±2 4k 2－34k 2＋1

. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1

. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1

. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝4 4k 2－34k 2＋1

. 设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72

时等号成立，且满足Δ＞0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝

72x －2或y ＝－72

x －2. 高频考点二 定点、定值问题探究

1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．

2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

例2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32

，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． (1)解：由题意得⎩⎨⎧c a ＝32

，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)证明：由(1)知A (2，0)，B (0，1)．

设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.

当x 0≠0时，

直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2

， 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0

－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0

x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1

， 从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0

－1. 所以|AN |·|BM |

＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0

－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，

所以|AN |·|BM |＝4.

综上可知，|AN |·|BM |为定值．

【方法规律】

1．求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．

2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．

【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．

(1)解：由题设知c a ＝22

，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，

所以椭圆的方程为x 22

＋y 2＝1. (2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22

＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ＞0，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，

则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2

， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和

k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2

＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）

＝2k －2(k －1)＝2. 故k AP ＋k AQ 为定值2.

例3、已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，直线y ＝43

与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .

若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．