八年级数学下册 第一章 直角三角形期末复习 新版湘教版

直角三角形 01各个击破命题点1 直角三角形的性质中点，试说明△DEF是等腰三角形．AB两边上的高，D为BCAC【例1】如图，在△ABC中，BF，CE分别是，【思路点拨】1＝DFBC.和△BFC是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得DE＝为∵DBC中点，又△BEC2【解答】【方法归纳】由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系．1．(北京中考)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5 kmB．0.6 kmC．0.9 kmD．1.2 km2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．命题点2 直角三角形的判定【例2】如图，已知AB∥CD，PA，PC分别平分∠BAC和∠ACD.试判断△APC的形状，并说明理由．【思路点拨】由AB∥CD可得∠BAC＋∠ACD＝180°.又由PA，PC两条平分线，可证明∠1＋∠2＝90°，从而得到△APC的形状．【解答】由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．【方法归纳】3∶3∶6，则这个三角形是________________．．一个三角形的三个角的角度之比是3 1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠43 勾股定理及逆定理命题点°，求∠ADC的度数．1，∠A＝90AD＝2，BC＝3，CD＝ABCD【例3】如图，四边形，AB＝则∠ADB为等腰直角三角形，而由题意可知，BD的长，△ABD【思路点拨】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出是直角三角形，即可求出答案．＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD 【解答】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．【方法归纳】；③1，3，2.，，4；②3，45分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角5．已知三组数据：①2，3三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③6．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AB＝5 cm.BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．命题点4 直角三角形全等的判定【例4】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝CB，求证：AD∥BC.【思路点拨】要证AD∥BC，可证∠ADB＝∠CBD，这由Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)可以得到．【解答】【方法归纳】用HL证明三角形全等时，需指明直角三角形．7．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）A．145°B．130°C．110°D．70°8．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF.求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.命题点5 角平分线的性质与判定【例5】如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD.【思路点拨】过P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得PH＝PF，PF＝PD，有PD＝PH，再根据角平分线的判定可得结论．【解答】【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线．9．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若点Q是OC 上与点O，P不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是（）A．PD＝PEB．OC⊥DE且OC平分DEC．QO平分∠DQED．△DEQ是等边三角形10．如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，求：的度数；(1)∠CBD．(2)DF的长度．02整合集训)分一、选择题(每小题3分，共30 ，1．如图，l∥ll⊥l，∠1＝42°，那么∠2的度数为（）4123°．48A °．42B °．38C 21°D． 5 cm，则最长边上的中线是（）°，一个锐角为△ABC 中，∠C＝9030°，最短边长为．在2Rt15 cm 5 cm B．A．2.5 cm． D．C10 cm是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么三角形．下列说法中：①如果∠A＋∠B ＝∠C，那么△ABC3，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三、6是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4 ）角形是直角三角形．正确的有（个1个 B．2A． D．4个．C3个下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）( 毕节中考4)．A.3，4，5 B．1，2，3C．6，7，8 D．2，3，45．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）A．25米 B．12米C．13米 D．43米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是（）A．45° B．30°C．60° D．15°7．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（）对2．B 对1．A．C．3对 D．4对8．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AE＝AC＝8，BF＝BC＝15，则EF长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正2方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么(a＋b)的值为（）A．256 B．169 C．29 D．48二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝6，点D是AB的中点，则∠ACD＝________.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△QPA.13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB上的中线CD的长2 cm，那么BC＝________cm. 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，S＝4，BC＝8，则AD＝________. BDC△15．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为________，该定理的结论其数学表达式是____________．16．(南昌中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________________．三、解答题(共52分)17．(8分)已知：如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：∠EBD＝∠EDB.18．(8分)已知：如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于点E，且OE平分∠AOB，已知CE＝3 cm，∠A＝30°，试求EB的长．19．(10分)小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？20．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若点B，C在DE的同侧(如图1所示)，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；图1仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明AC与AB，其他条件不变，)所示2如图(的两侧DE在C，B若点(2)．理由．2 图边上一点，求证：＝∠ECD＝90°，D为AB．21(14分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB(1)△ACE≌△BCD；＋DB＝DE222. (2)AD参考答案分别是AC，两边上的高，AB例1 ∵BF，CE 中点，D为BC∴∠BEC＝∠BFC＝90°.又11BC.＝＝BC，DF∴DE22DF.＝∴DE ∴△DEF是等腰三角形．例2 △APC是直角三角形．，PC分别平分∠BAC和∠ACD，∵PA ＝2∠1，∠ACD＝2∠2.∴∠BAC ∵AB∥CD，. ＋∠ACD＝180°∴∠BAC. 180°∠∴21＋2∠2＝. 90°∴∠1＋∠2＝.90°∴∠APC＝是直角三角形．∴△APC 中，在Rt△BAD连接例3 BD. AD＝2，∵AB＝2222222＋(22)1＝9CB，＝＝＋中，2.ABAD°，＝∴∠ADB45BD＝＋＝2在△BCDDBCD 是直角三角形．∴△BCD. 90°∴∠BDC＝.°135°＝90°＋45＝∠ADB＋∠BDC＝ADC∴∠．，⊥BD例4 ∵AB⊥BD，CD ，＝DBCBD中，AD＝CB，BDRt∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在△ADB和Rt △ CBD(HL)．∴Rt△ADB≌Rt△∴∠ADB＝∠CBD. ∴AD∥BC.F.PF⊥BE于例5 过P作，BEPH⊥BA，PF⊥∵BP平分∠ABC，又∴PH＝PF. ，⊥AC，PF⊥BE∵CP平分∠ACE，PDPD.＝∴PF ⊥又PH⊥BA，PDAC，∴PD＝PH. ∴AP平分∠HAD.题组训练 1．DAD.2.连接 DE垂直平分AB，∵. DEB°＝90∴AD＝BD，∠°，＝120∵AB＝AC，∠BAC 30°，在Rt△BDE中，∠B＝＝∠C＝∴∠B30°.1BD.＝∴DE2∴BD＝2.∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，1∴AD＝CD.2∴CD＝2AD＝2BD＝4.∴BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.3.等腰直角三角形4.证明：∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．5.D是直角三角形，∵△ABC6.222222.∴AC5＋BCAB＝3，即AC－＝11 CD，4 cm.∴AC＝又S＝BC·AC＝AB·ABC△223×4BC·AC ∴CD＝．＝＝2.4(cm)5AB 7.CBD，8.证明：连接，∵AB＝AD ＝∠ADB.∴∠ABD °，∵∠ABC＝∠ADC＝90 ＝∠CDB.∴∠CBDDC. BC＝∴，⊥∵BE⊥EF，EFDF，＝DCBC??中，△DCFE∴∠＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt?DF.＝BE??．Rt△BCE≌△ DCF(HL)∴Rt9.D＝DF，∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE10.(1) 平分∠ABC.∴BD°，∵∠ABC＝60∴∠DBC＝30°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.∵BD＝16，11×16＝＝8.BD＝∴DF22整合集训1．A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 13.2 11.6014.1 12.CB °222 2 2715.勾股定理 ab＋或＝c或 16.23 是AC的中点，9017.证明：∵∠ABC＝°，且点E11AC.EB∴＝ED＝AC.同理：22ED.＝∴EB ∴∠EBD＝∠EDB. 分别垂直OE平分∠AOB，OA、OB，BC18.∵、AD∠AEC＝∠BED，???，＝DECE 中，在△ACE＝∴CEDE.和△BDE??°，∠ACE＝∠BDE＝90 ．≌△∴△ACEBDE(ASA)BE.AE＝∴°，30＝A，∠3 cm＝CE∵．∴AE＝2CE＝2×3＝6(cm)．∴EB＝6 cm.设竹竿长x米，则城门高(x－1)米，根据题意得x＝(x－1)＋3.解得x＝5.答：竹竿长5米．22219.20.(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.又∵AB＝AC，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.理由如下：同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°.∴AB⊥AC.21.证明：(1)∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE.∴∠BCD＝∠ACE.∵BC＝AC，DC＝EC，∴△BCD≌△ACE(SAS)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.AD＋AE＝DE.由(1)知AE＝DB，222∴AD＋DB＝DE.222∴。