现代控制理论第3章答案
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第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：
图3.16 系统模拟结构图
解：由图可得：
3
43432112332
211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=∙∙∙∙
状态空间表达式为：
[]x
y u
x x x x d c b a x x x x 01
000001100
011000000
43214321=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙
∙
由于∙
2x 、∙3x 、∙
4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：
x d c y u
b a x x x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙
∙00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。
要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统
X y u X X ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∙
111111113113
试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：
[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2-2-1
12-2-1
1AB B M 1111,1111,3113C B A
系统不能控。
,21<=rankM ⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=44221111CA C N 系统能观。,2=rankN
方法二：将系统化为约旦标准形。
()4
20133113
A I 212
-=-==-+=+--+=
-λλλλλλ，
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⇒=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⇒=1-1P P P A 11P P P A 2222211111λλ则状态矢量：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ，⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212
12121T 1
- ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4-002-1-1113-113-212
12121AT T 1- ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=00111111212
12121B T 1- ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=20021-1111-111CT B T -1中有全为零的行，系统不可控。CT 中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和
[]11,11,01)1(21-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C b A αα 解：构造能控阵：
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+==21111ααAb b
M 要使系统完全能控，则211αα≠+，即0121≠+-αα 构造能观阵：
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21111
CA C ααN 要使系统完全能观，则121αα-≠-，即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是
18
2710)()(23++++=s s s a
s s u s y
（1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：)
6)(3)(1()()()(++++=
=
s s s a
s s u s y s W 系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：
6
s 156
-a 3631s 101-a )6)(3)(1()()(+++--+=++++=s a s s s a
s s u s y 631321-=-=-=λλλ，，
X a a a y u X X ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡----=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∙
1566310
11116000
3
01
系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I 型
[] x
01a y u 100x 102718100010 =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x
（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II 型为
[] x 100
y u 01a x 10102701180
0 =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x