反比例函数综合复习讲义全

反比例函数

知识整理

1、反比例函数的概念 一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1

-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质

当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数)0(≠=

k x

k

y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。

k S k xy x

k

y ==∴=

,, 。

考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10

y x

=

，当110 【举一反三】

1、已知y 是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式

2、已知一次函数y 1=kx +b （k

x

m

(m ≠O )的图象相交于A 、B 两点，其横坐标分别是－1和3，当y 1>y 2时，实数x 的取值范围是( ) A ．x <－l 或O 3 D ．O

3、函数y =mx +n 与mx

n

y =，其中m ≠0，n ≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D 考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征

【例2】（2015自贡）若点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ），都是反比例函数x

y 1

-=图象上的点，并且1230y y y <<<，则下列各式中正确的是（ ）

A ．123x x x <<

B ．132x x x <<

C ．213x x x <<

D ．231x x x << 【举一反三】

1、若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数1

y x

=

图象上，则y 1与y 2的大小关系是：

y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．

2、如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两

点，若反比例函数k

y x

=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是

（ ）

A ．2≤k ≤9

B . 2≤k ≤8

C . 2≤k ≤5

D . 5≤k ≤8 3、如图，P 是函数x y 21=(x >0)的图象上的一点，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于

点A 、B ，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为 。

考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例3】已知函数1

y x

=

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c ＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的两根x 1，x 2判断正确的是【 】 A ．x 1 ＋ x 2 >1，x 1·x 2 > 0 B ．x 1 ＋ x 2 < 0，x 1·x 2 > 0 C ．0 < x 1 ＋ x 2 < 1，x 1·x 2 > 0 D ．x 1 ＋ x 2与x 1·x 2 的符号都不确定 【举一反三】

1、（2015·湖南常德）已知A （13AC 经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C ，求C 的坐标及反比例函数的解析式。

y

x

A

B

C O

2、如图，若双曲线x

k

y =

与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为 ．

3、如图，直线6y x =-交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4

(0)y x x

=

>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。则AF BE ⋅=( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．62

第3题图 第4题图 第5题图

4、如上图中，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数)0(>=

k x

k

y 的图象交于点B ，若k 取1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…，20S ，则1S ＋2S ＋…＋20S = ；

5、两个反比例函数k y x =

和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k

y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1

y x

=的图象于点B ，当

点P 在k

y x

=的图象上运动时，以下结论：

①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 。

考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题

【例4】如图，一次函数y 1=k 1x+b 的图象和反比例函数y 2=的图象交于A （1，2），B （﹣2，﹣1）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ＜1

B ．x ＜﹣2

C ．﹣2＜x ＜0或x ＞1

D ．x ＜﹣2或0＜x ＜1 【举一反三】

1、如图，在平面直角坐标系中，A(－3，1)，以点O 为直角顶点作等腰直角三角形AOB ，