反比例函数综合复习讲义全

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反比例函数讲义

反比例函数讲义
用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y与x间的函数关系式.
第三节 家庭作业
【作1】 与 成反比,且当 =6时, ,这个函数解析式为.
【作2】函数 和函数 的图象有个交点.
【作3】反比例函数 的图象经过(- ,5)点、( ,-3)及(10, )点,
则 =, =, =.
【作4】已知正比例函数 与反比例函数 的图象都过A( ,1),则 =,正比例函数与反比例函数的解析式分别是、.
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围.
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y的取值范围y≠0
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
位置
第一、三象限内
第二、四象限内
增减性
每一象限内,y随x的增大而减小
每一象限内,y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,
画图象时,要体现出这个特点.
对称性
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.
【例7】已知反比例函数 的图象经过点P(一l,2),则这个函数的图象位于
A.第二、三象限 B.第一、三象限 C.第三、四象限 D.第二、四象限
知识点:k的几何意义
【例8】A、B是函数 的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥ 轴,AC∥ 轴,△ABC的面积记为 ,则( )
A. B. C. D.
【例9】如图 在反比例函数 的图象上, 轴于点 , 的面积为3,则 _______.
A. B. C. 2 D. —2
【例4】已知 = , 与 成正比例, 与 成反比例,并且当 =2时, =—4;当 =—1时, =5,求 与 的函数关系式.

反比例函数经典讲义,绝对经典!!

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初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节容:反比例函数定义 反比例函数定义的应用(重点)1、 反比例函数的定义电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式:U=IR当U=220V 时,可以用含有R 的代数式表示I :__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。

当电流I 较小时,灯光较暗;当电流I 较大时,灯光较亮。

一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数,)0≠k 的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为零。

小注:(1)x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式; (2)xky =若是反比例函数,则x 、y 、k 均不为零;(3)k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。

下列函数中是反比例关系的有___________________(填序号)。

①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k2、 反比例函数定义的应用(重点)确定解析式的方法仍是____________,由于在反比例函数xky =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值,即可求出k 的值,从而确定其解析式。

由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=12.5欧姆,电流强度I=0.2安培。

(1) 求I 与R 的函数关系式; (2) 当R=5欧姆时,求电流强度。

本节作业:1、小明家离学校1.5km ,小明步行上学需x min ,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=;水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=。

反比例函数复习课完整版课件

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图像观察法
通过观察反比例函数和直线图像的相对位置关系,可以直观判断交点的存在性及 个数。例如,当直线与双曲线有两个交点时,说明存在两个解;当直线与双曲线 相切时,说明存在一个解;当直线与双曲线无交点时,说明不存在解。
03 反比例函数在实际问题中 应用
生活中常见问题建模为反比例关系
路程、速度和时间的关系
当路程一定时,速度和时间成反比例关系。例如,从家到学校距离一定,步行速度越快, 所需时间越短。
工作总量、工作效率和工作时间的关系
当工作总量一定时,工作效率和工作时间成反比例关系。例如,完成一项任务所需的总工 作量是固定的,工作效率越高,所需时间越短。
矩形面积、长和宽的关系
当矩形面积一定时,长和宽成反比例关系。例如,一块固定面积的土地,长度越长,宽度 就越短。
我们探讨了反比例函数与直线交点的求解方法,以及交点存在
和不存在的条件。
学生自我评价报告分享
01
02
03
知识掌握情况
学生们表示通过本节课的 复习,对反比例函数的概 念、性质和应用有了更深 刻的理解。
学习方法反思
部分学生提到,在解决反 比例函数与直线交点问题 时,需要更加细心地处理 计算过程,以避免出错。
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 为常 数,且 $k neq 0$) 的函数称为反比 例函数。
反比例函数表达式
比例系数的意义
$k$ 决定了反比例函数的图像和性质 ,当 $k > 0$ 时,图像位于第一、三 象限;当 $k < 0$ 时,图像位于第二 、四象限。
$y = frac{k}{x}$,其中 $x$ 是自变量 ,$y$ 是因变量,$k$ 是比例系数。

反比例函数讲义

反比例函数讲义

反比例函数一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,你们就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例,就是xy k =,或表示为ky x=,其中k 是不等于0的常数. 2、解析式形如ky x=(k 是常数,0k ≠)的函数叫做反比例函数,其中k 称也叫做比例系数.3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数.例1、下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么? (1)被除数为100,变量分别是除数r 和商q ;(2)三角形面积S 一定时,三角形一边上的长a 和这条边上的高h ;(3)一位男同学练习1000米长跑,变量分别是男生跑步的平均速度v (米/秒)和跑完全程所用时间t (秒);(4)完成工作量Q 一定时,完成工作量所需的时间t 与工人人数n (假设每个工人的 工作效率相同)例2、一个长方体的体积是20cm 3,它的长是ycm ,宽是5cm ,高是xcm .写出长y 与高x 之间的函数关系式.例3、下列函数(其中x 是自变量)中,哪些是反比例函数?哪些不是,为什么?(1)23y x = (2)1y x -= (3)3xy =(4)3y x=(5)27y x =+(6)y =8x+7例4、已知y 是x 的反比例函数,且3x =-时,2y =,那么y 关于x 的函数解析式是________.例5、已知y 4x =时,2y =-,求y 与x 的函数解析式.例6、若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数,则m 的值为________.例7、如果2212n n n n y x+++=是反比例函数,那么n 的值是________.例8、已知y 是x 的反比例函数,且当2x =时,2y ,那么当1y =时,x 的值是________.例9、如果变量1x 和变量y 成正比例,变量1y 和变量z 成反比例,那么变量x 和z 成________比例关系.例10、已知反比例函数22++=k xk y ,求k 的值,并求当x =2时的函数值例11、已知12y y y =+,若1y 与x 正比例,2y 与x 成反比例函数,且当2x =时,14y =,当3x =时,1293y =,求y 与x 间的函数关系式.例12、已知12y y y =+,若1y 与1x -正比例,2y 与1x +成反比例,且当0x =时5y =-,当2x =时1y =;(1)求y 与x 间的函数关系式; (2)求当3y =-时,x 的值.例13、已知:正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数,且正比例函数的图像过点-,求反比例函数的解析式.一、 反比例函数的图像1、反比例函数ky x=(k 是常数,0k ≠)的图像叫做双曲线,它有两支. 二、 反比例函数的性质 1、当0k >时,函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐减小.2、当0k <时,函数图像的两支分别在第二、四象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐增大.3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴,但不会与x 轴和y 轴相交.例1、已知反比例函数3y x=-,那么当x <0时,y 的值随着x 的增大而________. 例2、反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内,y 随x 的增大而________.例3、若反比例函数的图像经过点(25)-,,那么函数图像在________象限. 例4、已知反比例函数2k y x-=,其图象在第一、第三象限内,则k 的取值范围是________. 例5、函数135k y x --=的图像在一、三象限,那么k 的取值范围是________ 例6、已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限,则y kx =-的图象经过第________象限.例7、如果反比例函数ky x=(k 是常数,0k ≠)的图像在第二、四象限,那么正比例函数y kx =(k 是常数,0k ≠)的图像经过哪几个象限?例8、若正比例函数(0)y kx k =≠,与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点,那么k 与m 满足关系式可以是________.例9、已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ,、22()B x y ,,且12x x <,那么下列结论正确的是( )A .12y y <B .12y y >C .12y y =D .1y 与2y 的大小关系无法确定例10、反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3,那么这点到x 轴的距离是________. 例11、已知反比例函数21k y x+=(1)若该函数图像经过点(21)-,,求k 的值;(2)若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围.例12、直线y kx =(k >0)与双曲线xy 4=交于11()A x y ,、22()B x y ,两点,求122127x y x y -的值.例13、反比例函数2y x=的图像上一点A ,过A 点分别作x 轴、y 轴垂线,垂足为B 、C ; (1) 求矩形ABOC 的面积;(2) 当点A 沿双曲线移动时(1)中矩形面积有变化吗?为什么?例14、若P (a ,b )是反比例函数图像上的一点,且a 是b 是的小数部分,求反比例函数的解析式.例15、已知:点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点,AC ∥y 轴,BC ∥x 轴,求△ABC 的面积.例16、反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,△AOB 的面积为3,求k 和m 的值.例17、已知:反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ,B 两点,若点A 在第二象限,且点A 的横坐标为-3,且AD ⊥x 轴,垂足为D ,△AOD 的面积是4. (1)写出反比例函数的解析式; (2)求出点B 的坐标;(3)若点C 的坐标为(6,0),求△ABC 的面积. 练习11、下列问题中的两个变量是否成反比例?如果是,可以用怎样的数学式来表示? (1)平行四边形的面积为20平方厘米,变量分别是平行四边形的一条边长a (厘米)和这条边上的高h (厘米);(2)一位男同学练习一千米长跑,变量分别是男生跑步的的平均速度v (米)和跑完全程所用时间t (秒).2、下列函数是不是反比例函数?为什么? (1)13y x =-; (2)4xy =;(3)15y x =-; (4)2(0)ay a a x =≠为常数,; (5)1y x π= ; (6)21y x= .3、若函数223()kk y k k x --=+是反比例函数,则k 的值是________.4、在同一平面直角坐标系内,分别画出下列函数的图像.(1)4y x=; (2)4y x=-. 求:(1)这两个函数的图像分别位于哪几个象限内?(2)在每一象限内,随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大,纵坐标y 是怎样变化的? (3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x 轴、y 轴相交吗?为什么?5、已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是(1,3),则反比例函数的解析式是________.6、已知反比例函数xk y 1+=,11()x y ,、22()x y ,为其图像上的两点,若当120x x <<时,12y y >,则k 的取值范围是________.7、若点(34),是反比例函数221m m y x ++=图像上一点,则此函数图像必经过点 ( )A.(34)-,B.(26)-,C.(43)-,D. (26),8、已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点,MA x ⊥轴于点A ,若4AOMS =,则这个反比例函数的解析式是( ) A .8y x =; B .8y x =-; C .8y x =或8y x =-; D .4y x =或4y x=-. 9、已知122y y y =+,若1y 与(1)x +正比例,2y 与x 成反比例函数,且当1x =时,1y =-;当3x =-时,3y =,求y 与x 间的函数关系式.10、已知第三象限内的点B (3m ,m )在反比例函数的图像上,且10OB =A (1,y )也在双曲线上,求反比例函数的解析式,并求出△AOB 的面积.11、11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形,点P 1、P 2在4y x=(x >0)的图像上,斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上,求点A 2的坐标.12、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示,点P 在ky x =的图像上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图像于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图像于点B ,当点P 在ky x=的图像上运动时,以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等; ②四边形PAOB 的面积不会发生变化; ③PA 与PB 始终相等;④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).练习21、反比例函数ay x=的图像在第二、四象限,则a ________. 2、当n =________时,函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数.3、函数21(1)my m x -=-是反比例函数,且图像经过第二、四象限,则m =________.4、已知反比例函数13ky x-=,当k ________时,它的图像在第二、四象限,此时,在每个象限内,y 随x 的增大而________.5、已知长方形的面积为20平方厘米,它的一边长为x 厘米,求这个边的邻边长y (厘米)关于x (厘米)的函数解析式,并写出这个函数的定义域.6、反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ,,222(,)p x y ,若120x x <<,12y y >,则k ________0,图像经过第________象限.7、在平面直角坐标系内,从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段,与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形,求函数解析式.8、(1)已知y 与2x -成反比例,当4x =时,3y =,求5x =时,y 的值; (2)已知y 与2x 成反比例,并当3x =时,2y =,求 1.5x =时,y 的值.9、已知12y y y =+,1y 与x 成正比例,2y 与2x 成反比例,当2x =与3x =时,19y =,求y 关于x 的函数解析式.10、点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点,AB ⊥y 轴于点B ,求△AOB 的面积.11、已知n 是正整数,111()P x y ,,222()P x y ,,…()n n n P x y ,,…是反比例函数图像上的一列点,其中11x =, 22x =,…,n x n =,….记112A x y =,223A x y =,…,1n n n A x y +=,…,若1A a =(a 是非零常数),求12n A A A ⋅⋅⋅的值(用含a 和n 的代数式表示).。

最新反比例函数综合复习讲义

最新反比例函数综合复习讲义

反比例函数知识整理1、反比例函数的概念 一般地,函数xky =(k 是常数,k ≠0)叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质 当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内,y 随x 的增大而减小。

当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内,随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数xky =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图,过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ,PN ,则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。

k S k xy xky ==∴=,, 。

考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10y x=,当1<x<2时,y 的取值范围是 ( ) (A )0<y<5 (B )1<y<2 (C )5<y<10 (D )y>10 【举一反三】1、已知y 是x 的反比例函数,当x >0时,y 随x 的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式2、已知一次函数y 1=kx +b (k <O )与反比例函数y 2=xm(m ≠O )的图象相交于A 、B 两点,其横坐标分别是-1和3,当y 1>y 2时,实数x 的取值范围是( )A .x <-l 或O <x <3B .一1<x <O 或O <x <3C .一1<x <O 或x >3D .O <x <3 3、函数y =mx +n 与mxny =,其中m ≠0,n ≠0,那么它们在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D 考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征【例2】(2015自贡)若点(1x ,1y ),(2x ,2y ),(3x ,3y ),都是反比例函数xy 1-=图象上的点,并且1230y y y <<<,则下列各式中正确的是( )A .123x x x <<B .132x x x <<C .213x x x <<D .231x x x << 【举一反三】1、若点A (1,y 1)和点B (2,y 2)在反比例函数1y x=图象上,则y 1与y 2的大小关系是: y 1 y 2(填“>”、“<”或“=”).2、如图,过点C (1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y =-x +6于A 、B 两点,若反比例函数ky x=(x >0)的图像与△ABC 有公共点,则k 的取值范围是( )A .2≤k ≤9B . 2≤k ≤8C . 2≤k ≤5D . 5≤k ≤8 3、如图,P 是函数x y 21=(x >0)的图象上的一点,直线1+-=x y 分别交x 轴、y轴于点A 、B ,过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ,交AB 于点E ,作PN ⊥y 轴于点N ,交AB 于点F ,则AF ·BE 的值为 。

反比例综合辅导讲义

反比例综合辅导讲义

学生: 科目: 第 阶段第 次课 教师:教学内容考点(一)一次函数与反比例函数例题 已知反比例函数12y x=的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点P(m ,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上,顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上,两底AD 、BC 与y 轴平行,且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2,求a 的值. 解:(1)点(,2)P m 在函数12y x=的图象上,所以122,6m m==,P 点坐标为(6,2).因为一次函数y=kx-7的图象经过点P(6,2),所以3672,2k k -==(2)因为点A 、B 的横坐标分别为a 和a+2,由此可得a=-4或a=2.经检验a=-4,a=2均为所求的值.点评 本题是综合考察学生能力,培养数形结合的思想,点在曲线上则点的坐标应满足函数方程.另外要注意检验 针对性练习1.如图1,一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,与反比例函数的图象交于C 、D 两点,如果A 点的坐标为(2,0),点C 、D 分别在第一、三象限,且OA=OB=AC=BD ,试求一次函数和反比例函数的解析式.课题 反比例函数与各知识点的综合教学目标 把反比例函数图像。

性质。

几何意义灵活运用 能够做到与各知识点结合重点、难点不仅要掌握运用反比例函数图像。

性质。

几何意义等知识 还要把已学过的各知识点与反比例函数知识点融合到一起 考点及考试要求不仅要掌握运用反比例函数图像。

性质。

几何意义等知识 还要把已学过的各知识点与反比例函数知识点融合到一起图12.如图2,一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于M 、N 两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围. (2004贵阳)3.如图13-8-7已知一次函数8+-=x y 和反比例函数xk y =图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B . (1)求实数k 的取值范围;(2)若ΔAOB 的面积S =24,求k 的值.4.(2010年济宁市)如图4,正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点,过A 点作x 轴的垂线,垂足为M ,已知O A M ∆的面积为1. (1)求反比例函数的解析式;(2)如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合),且B 点的横坐标为1,在x 轴上求一点P ,使PA PB +最小.OMxyA(第4题)M (2,m )xyON (-1,-4)(图2)y xAOB一次函数与反比例函数综合提高 5. 如图,在直角坐标平面内,函数m y x=(0x >,m 是常数)的图象经过(14)A ,,()B a b ,,其中1a >.过点A 作x 轴垂线,垂足为C ,过点B 作y 轴垂线,垂足为D ,连结A D ,D C ,C B . (1)若ABD △的面积为4,求点B 的坐标;(2)求证:D C A B ∥; (3)当A D B C =时,求直线A B 的函数解析式.考点(二)一次函数。

反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义知识点一:反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=(k为常数,)的形式,那么称y 是x 的反比例函数.注:(1)反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中k≠0;ﻫ (2)在反比例函数1y kx -=(k≠0)中,x 的指数是-1。

如,5y x=也写成:15y x -=;ﻫ (3)在反比例函数k y x=(k ≠0)中要注意分母x的指数为1,如21y x=就不是反比例函数。

ﻫ知识点二:反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称,反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: (1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得:x和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,对称中心是坐标原点. (2)用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ (3)在一个反比例函数图象上任取两点P ,Q ,过点P ,Q分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1,S2 则S 1=S 2. 知识点三:反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当k>0时,x 、y 同号,图象在第一、三象限,且在每个象限内,y 随x 的增大而减小;当k<0时,x 、y 异号,图象在第二、四象限,且在每个象限内,y 随x 的增大而增大.2.若点(a ,b)在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,则点(-a,-b )也在此图象上,故反比例函数的图象关于原点对称;正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线(双曲线)位 置k>0,一、三象限; k<0,二、四象限 k >0,一、三象限 k <0,二、四象限增减性k>0,y 随x 的增大而增大 k<0,y 随x 的增大而减小k>0,在每个象限,y 随x的增大而减小ﻫk<0,在每个象限,y随x的增大而增大4.反比例函数y =kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx(k≠0)上任意一点引x轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│.ﻫ知识点四:反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数,因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标,代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五:应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转化为数学问题。

北师大版九年级上册第六章《反比例函数》综合单元复习讲义

北师大版九年级上册第六章《反比例函数》综合单元复习讲义

教学过程前课回顾1、一般地,形如 y = xk ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数;(2)解析式有三种常见的表达形式:(A )y = xk (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx -1(k ≠0) 1、形状:图象是双曲线。

2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________;(2)当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。

4、变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k 取 互为相反数的两个反比例函数(如:y = x 6 和y = x6 )来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。

6、(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,则矩形OPMQ 的面积是M P *M Q = ︳x ︱︳y ︱= ︳xy ︱(2) M P= ︳x ︱, O P=︳y ︱ ;S △MPO =21MP* OP=21︳x ︱︳y ︱ =21︳xy ︱错题重现1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数y =4x(x >0)的图象与一次函数y =kx -k 的图象的交点为A (m ,2). (1)求一次函数的表达式;(2)设一次函数y =kx -k 的图象与y 轴交于点B ,与x 轴交点为C ,若点P 是x 轴上一点,且满足△P AB 的面积是4,直接写出P 点的坐标.知识详解1.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②若y随x的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.2.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).3.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.4.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().A.S=1 B.1<S<2C.S=2 D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x 轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.随堂检测1.如果x 、y 之间的关系是10(0)ax y a -+=≠,那么y 是x 的 ( )A .正比例函数B .反比例函数C .一次函数D .二次函数2、已知点(1,a )在反比例函数y =x k (k ≠0)的图象上,其中a =m 2+2(m 为实数),则这个函数的图象在第_________象限.( )A.一B.二C.一、三D.二、四 3、反比例函数422)1(---=m m x m y ,当x <0时,y 随x 的增大而增大,则m 的值是( )A.1-B.3 C . 1-或3 D. 24、在双曲线xy 2-=上的点是( ) A. (34-,23-) B. (34-,23) C. (1,2) D. (21,1) 5、已知关于x 的函数y =k (x +1)和y =-k x(k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是(• )6.已知反比例函数y =xk 的图象经过点(m ,3m ),则此反比例函数的图象在 ( ) A .第一、二象限 B .第一、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限7.已知:反比例函数xm y 21-=的图象上两点A (x 1,y 1),B (x 2, y 2)当x 1<0<x 2时, y 1<y 2,则m 的取值范围 ( )A .m <0B .m >0C .m <21 D .m >21 8、在同一直角坐标平面内,如果直线1y x k =与双曲线2k y x =没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是( )(A) 1k 、2k 异号(B) 1k 、2k 同号 (C) 1k >0, 2k <0 (D) 1k <0, 2k >09.如图,过反比例函数y =x2 (x >0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为C 、D ,连结OA 、OB ,设AC 与OB 的交点为E ,△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2,比较它们的大小,可得( )A.S 1>S 2B.S 1<S 2C.S 1=S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定10.反比例函数xm y 21-=(m 为常数)当0<x 时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是( ) A 、0<m B 、21<m C 、21>m D 、21≥m作业设计反比例函数分层教学反思。

(完整版)反比例函数讲义(一)

(完整版)反比例函数讲义(一)

反比例例函数(一)一、知识点:1. 定义:一般地,形如xk y =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。

x k y =还可以写成kx y =1-2. 反比例函数解析式的特征:⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法:描点法① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序)③ 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线,xk y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。

⑷反比例函数x k y =(0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x k y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。

4二、范例讲解: (一)考察概念例1 已知函数 y = (5m — 3)x n -2 + (n+m )(1)当m ,n 为何值时,是一次函数?(2)当m ,n 为何值时,为正比例函数?(3)当m ,n 为何值时,为反比例函数?例2 已知y=y 1+y 2 ,y 1与x +1成正比例,y2与x +1成反比例,当x =0时,y=-5;当x =2时,y=-7。

(1)求y与x 的函数关系式;(2)当y=5时,求x 的值(二)考察函数图象和性质例3 在反比例函数y = x k 3-的图象上,当x >0时,y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围为 。

例4 反比例函数y = x6的图象上有三点(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y 3用“<”连接 。

反比例函数整章知识点复习

反比例函数整章知识点复习
在经济学中,反比例函数可用于描述商品的需求量 与价格之间的关系,即需求法则。
在生物学中,反比例函数可用于描述种群数量与资 源之间的关系,如食物与捕食者数量等。
03
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像绘制
通过选择适当的x值,计算对应的y值 ,在坐标系上标出对应的点,连接各 点绘制出反比例函数的图像。
100%
经济问题
在经济学中,反比例函数可以用 来描述成本与产量的关系、供需 关系等。
80%
生态问题
在生态学中,反比例函数可以用 来描述种群数量与环境容量的关 系等。
05
反比例函数习题解析
基础题目解析
01
02
03
题目
已知点$P(x, y)$在反比例 函数$y = frac{k}{x}$的图 象上,若$x$与$y$的乘积 为$2k$,则$k$的值为 ____.
竞赛题目解析
01
k、a、b 的值;
02
k、a、b 的值;
03
k、a、b 的值;
04
k、a、b 的值;
THANK YOU
感谢聆听
反比例函数的计算方法
01
对于反比例函数
$f(x)
=
frac{k}{x}$,求值时只需将 $x$ 值
代入函数中即可。
02
若需要求 $f(x)$ 的导数或积分, 则需使用相应的微积分法则进行 计算。
反比例函数在实际问题中的应用
在物理学中,反比例函数可用于描述两个物理量之 间的反比关系,如电荷与电场强度、电流与电阻等 。
反比例函数的图像
图像特点
双曲线,分布在两个象限内,随着k的正负变化而分别分布在第一 、三象限或第二、四象限。

反比例函数复习讲义副本

反比例函数复习讲义副本

反比例函数复习讲义
复习目标
1、会根据反比例函数的主要性质解决问题
2、能在实际问题中建立反比例函数模型,进而解决问题
3、了解用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。

4、学会用数学语言与同伴交流,能阐述自己的观点。

力争使自己由“会做”向“会讲”转变。

复习重点
1、反比例函数的性质
2、综合反比例函数的知识解决综合问题
复习过程:
一、基础知识梳理
1.反比例函数的概念
反比例函数y=k
x 中的k
x
是一个分式,自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交
点,y=k
x
也可写成y=kx-1(k≠0),注意自变量x的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件.
2.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数y=k
x
的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.
3.反比例函数y=k
x
中k的意义
注意:反比例函数y=k
x
(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线
y=k
x
(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.
二、主要考点及典例
知识点一、反比例函数的意义
反比例函数:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
1 / 7。

《反比例函数》 讲义

《反比例函数》 讲义

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y = k/x(k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是,反比例函数中自变量 x 不能为 0,因为分母不能为0。

同时,反比例函数的表达式还可以写成 xy = k 或 y = kx^(-1) 的形式。

例如,当速度 v 一定时,路程 s 与时间 t 之间的关系为 s = vt。

如果路程 s 一定,那么速度 v 与时间 t 之间的关系就可以表示为 v = s/t,此时 v 就是 t 的反比例函数。

二、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。

当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一象限内y 随 x 的增大而减小;当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

我们以反比例函数 y = 2/x 为例来绘制图像。

首先,列出一些 x 和y 的对应值:| x |-2 |-1 |-1/2 | 1/2 | 1 | 2 |||||||||| y |-1 |-2 |-4 | 4 | 2 | 1 |然后,在平面直角坐标系中描出这些点,并用平滑的曲线连接起来,就得到了反比例函数 y = 2/x 的图像。

再比如 y =-3/x,同样列出一些对应值:| x |-3 |-2 |-1 | 1 | 2 | 3 |||||||||| y | 1 | 3/2 | 3 |-3 |-3/2 |-1 |绘制出的图像位于第二、四象限。

三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形。

对称轴为直线 y = x 和 y = x,对称中心为原点(0,0)。

2、增减性当 k > 0 时,在每个象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而减小;当 k < 0 时,在每个象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大。

需要强调的是,这里说的增减性是在每个象限内,不能笼统地说在整个定义域内。

反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义

初三 反比例函数复习一、知识点一:反比例函数概念:一般地,如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk,(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数形式还可以写成:xy=k ,y=kx -1(k ≠0的常数) 练习:☆1、若函数1322)(+--=m m xm m y 是反比例函数,则m 的值是______。

二、知识点二:反比例函数图象的画法与性质:注意1:双曲线的两个分支是断开的,研究函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论。

注意2:反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形,是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。

练习: ☆1.反比例函数y=xk图象在第二四象限,则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。

☆2、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),且21x x <,则21y y - 的值是 ( )A 、正数B 、 负数C 、非正数D 、不能确定 三、知识点三:反比例函数y=xk比例系数k 的意义: 1.过双曲线上任一点p (x 、y )作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|,即反比例函数y=xk(k ≠0)中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点,作X 轴,Y 轴的垂线所得的矩形的面积。

2.过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线,垂足是A ,则S △AOQ =k 21 练习:☆1、反比例函数xky =的图象如图所示,点M 是该函数图象上一点,MN 垂直于x 轴,垂足是点N ,如果S △MON =2,则k 的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4☆☆2.如图,OABC 是平行四边形,对角线OB 在轴正半轴上,位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y =和y=的一支上,分别过点A 、C 作x 轴的垂线,垂足分别为M 和N ,则有以下的结论:①=; ②阴影部分面积是(k 1+k 2);③当∠AOC =90°时,|k 1|=|k 2|;④若OABC 是菱形,则两双曲线既关于x 轴对称,也关于y 轴对称.其中正确的结论是 . 四、知识点四:待定系数法☆1.已知:y=y 1+y 2,其中y 1与x 成反比例,y 2与x-2成正比例,当x=1时, y=-1,当x=3时,y=3, 求函数y 的解析式。

《反比例函数讲义》word版

《反比例函数讲义》word版

反比例函数1、反比例函数的概念及三种表达形式.一般地如果两个变量x ,y 之间的关系可以表示为xky =(k 是常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

(反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

) 2、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数xky =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P (x,y )作x 轴、y 轴的垂线PM ,PN ,垂足分别是M 、N ,则所得的矩形PMON 的面积S=PM•PN=xy x y =•。

6、反比例函数中常用考点(1)反比例函数与一次函数的交点坐标是两个函数解析式联立组成方程组的解. (2) 反比例函数与正比例函数的交点坐标关于坐标原点对称. (3) 反比例函数与一次函数的交点所组成三角形面积的求法. 7. 经典题解【例1】如图所示,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= kx (k ≠0)的图象交于M 、N两点.⑴求反比例函数和一次函数的解析式;⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.【例2】(2011山东聊城,24,10分)如图,已知一次函数y =kx +b 的图象交反比例函数42my x-=(x>0)图象于点A 、B ,交x 轴于点C . (1)求m 的取值范围;(2)若点A 的坐标是(2,-4),且13BC AB =,求m 的值和一次函数的解析式;【答案】(1)因反比例函数的图象在第四象限,所以4-2m <0,解得m >2;(2)因点A (2,-4)在反比例函数图象上,所以-4=224m-,解得m =6,过点A 、B 分别作A M ⊥OC 于点M ,B N ⊥OC 于点N ,所以∠B N C =∠A M C =90°,又因为∠BC N =∠A M C ,所以△BC N ∽△AC M ,所以AC BC AM BN =,因为31=AB BC ,所以41=AC BC ,即41=AM BN ,因为A M =4,所以B N =1,所以点B 的纵坐标为-1,因为点B 在反比例函数的图象上,所以当y =-1时,x =8,所以点B 的坐标为(8,-1),因为一次函数y =kx +b 的图象过点A (2,-4),B (8,-1),所以⎩⎨⎧-=+-=+1842b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==521b k ,所以一次函数的解析式为y =21x -5【例3】. (2011四川成都,19,10分) 如图,已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点(21,8),直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q(4,m ). (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式;(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与反比例函数图象的另一个交点为P ,连结0P 、OQ ,求△OPQ 的面积.【例4】. (2011四川广安,24,8分)如图6所示,直线l 1的方程为y =-x +l ,直线l 2的方程为y =x +5,且两直线相交于点P ,过点P 的双曲线ky x=与直线l 1的另一交点为Q (3.M ).(1)求双曲线的解析式. (2)根据图象直接写出不等式kx>-x +l 的解集.【例5】. (2011四川内江,21,10分)如图,正比例函数11y k x =与反比例函数22k y x=相交于A 、B 点,已知点A 的坐标为(4,n ),BD ⊥x 轴于点D ,且S △BDO =4。

反比例函数经典讲义-绝对经典!!

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反比例函数经典讲义-绝对经典!!初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节内容: 反比例函数定义 反比例函数定义的应用(重点)1、 反比例函数的定义 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式:U=IR 当U=220V 时,可以用含有R 的代数式表示I :__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。

当电流I 较小时,灯光较暗;当电流I 较大时,灯光较亮。

一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =k (为常数,)0≠k 的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为零。

小注:(1)x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式;■例1■例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电压不变,电阻R=12.5欧姆,电流强度I=0.2安培。

(1)求I与R的函数关系式;(2)当R=5欧姆时,求电流强度。

1xy2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y与x。

(1)你能写出y与x之间的函数表达式吗?变量y 与x之间是什么函数?(2)若想使模具的长比宽多1.6m,已知每米这34、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4;当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式。

6、(2008·安徽)函数xk y =的图象经过点A (1,—2),则k 的值为( )。

A .21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m m xm y 是反比例函数,则m 的值为( )。

A .m = —2 B. m = 1C. m = 2或m = 1D. m = —2,或m = —18、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________(不必写出x 的取值范围),y 是x 的__________函数。

反比例函数经典讲义,绝对经典

反比例函数经典讲义,绝对经典

文案初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节容:反比例函数定义 反比例函数定义的应用(重点)1、 反比例函数的定义电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式:U=IR当U=220V 时,可以用含有R 的代数式表示I :__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。

当电流I 较小时,灯光较暗;当电流I 较大时,灯光较亮。

一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数,)0≠k 的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为零。

小注:(1)x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式; (2)xky =若是反比例函数,则x 、y 、k 均不为零;(3)k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。

■例1下列函数中是反比例关系的有___________________(填序号)。

①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0k≠2、反比例函数定义的应用(重点)2文案2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x 。

(1)你能写出y 与x 之间的函数表达式吗?变量y 与x 之间是什么函数?(2)若想使模具的长比宽多1.6m ,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱?3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数。

4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4;当x= —1时,y=5,求出y与x的函数关系式。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________.题型二:反比例函数解析式例3 已知A (﹣1,m )与B (2,m ﹣3)是反比例函数图象上的两个点.则m 的值 .例4 已知y 与2x -3成反比例,且41=x 时,y =-2,求y 与x 的函数关系式.变式3已知y 与x 成反比例,当x =2时,y =3.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)当y =-23时,求x 的值.变式4 已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1;x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值.1、反比例函数的图像(1)形状与位置:反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

(2)变化趋势:由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质(1)对称性:反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形,同时也是轴对称图形,有两条对称轴,分别是一、三象限和二、四象限的角平分线,即直线y x =±。

(注:过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称)(2)双曲线的位置:当k>0时,双曲线位于一、三象限(x ,y 同号);当k<0时,双曲线位于二、四象限(x ,y 同号异号),反之也成立。

(3)增减性: 当k>0时,双曲线走下坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而减小;当k<0时,双曲线走上坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而增大。

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反比例函数知识整理1、反比例函数的概念 一般地,函数xky =(k 是常数,k ≠0)叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内,y 随x 的增大而减小。

当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内,随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数xky =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图,过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ,PN ,则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。

k S k xy xky ==∴=,, 。

考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10y x=,当1<x<2时,y 的取值范围是 ( ) (A )0<y<5 (B )1<y<2 (C )5<y<10 (D )y>10 【举一反三】1、已知y 是x 的反比例函数,当x >0时,y 随x 的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式2、已知一次函数y 1=kx +b (k <O )与反比例函数y 2=xm(m ≠O )的图象相交于A 、B 两点,其横坐标分别是-1和3,当y 1>y 2时,实数x 的取值范围是( ) A .x <-l 或O <x <3 B .一1<x <O 或O <x <3 C .一1<x <O 或x >3 D .O <x <33、函数y =mx +n 与mxny =,其中m ≠0,n ≠0,那么它们在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D 考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征【例2】(2015自贡)若点(1x ,1y ),(2x ,2y ),(3x ,3y ),都是反比例函数xy 1-=图象上的点,并且1230y y y <<<,则下列各式中正确的是( )A .123x x x <<B .132x x x <<C .213x x x <<D .231x x x << 【举一反三】1、若点A (1,y 1)和点B (2,y 2)在反比例函数1y x=图象上,则y 1与y 2的大小关系是:y 1 y 2(填“>”、“<”或“=”).2、如图,过点C (1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y =-x +6于A 、B 两点,若反比例函数ky x=(x >0)的图像与△ABC 有公共点,则k 的取值范围是( )A .2≤k ≤9B . 2≤k ≤8C . 2≤k ≤5D . 5≤k ≤8 3、如图,P 是函数x y 21=(x >0)的图象上的一点,直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ,交AB 于点E ,作PN ⊥y 轴于点N ,交AB 于点F ,则AF ·BE 的值为 。

考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例3】已知函数1y x=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A (a ,c ),点B (b ,c +1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax 2+bx +c = 0的两根x 1,x 2判断正确的是【 】 A .x 1 + x 2 >1,x 1·x 2 > 0 B .x 1 + x 2 < 0,x 1·x 2 > 0 C .0 < x 1 + x 2 < 1,x 1·x 2 > 0 D .x 1 + x 2与x 1·x 2 的符号都不确定 【举一反三】1、(2015·湖南常德)已知A (13AC 经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C ,求C 的坐标及反比例函数的解析式。

yxABC O2、如图,若双曲线xky =与边长为5的等边△AOB 的边OA ,AB 分别相交于C ,D 两点,且OC =3BD ,则实数k 的值为 .3、如图,直线6y x =-交x 轴、y 轴于A 、B 两点,P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点M ,交AB 于点E ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点N ,交AB 于点F 。

则AF BE ⋅=( ) A .8 B .6 C .4 D .62第3题图 第4题图 第5题图4、如上图中,正比例函数x y 3=的图象与反比例函数)0(>=k xky 的图象交于点B ,若k 取1,2,3,…,20,对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ,2S ,…,20S ,则1S +2S +…+20S = ;5、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示,点P 在ky x =的图象上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图象于点B ,当点P 在ky x=的图象上运动时,以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等; ②四边形PAOB 的面积不会发生变化; ③PA 与PB 始终相等; ④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是 。

考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题【例4】如图,一次函数y 1=k 1x+b 的图象和反比例函数y 2=的图象交于A (1,2),B (﹣2,﹣1)两点,若y 1<y 2,则x 的取值范围是( )A .x <1B .x <﹣2C .﹣2<x <0或x >1D .x <﹣2或0<x <1 【举一反三】1、如图,在平面直角坐标系中,A(-3,1),以点O 为直角顶点作等腰直角三角形AOB ,双曲线11k y x=在第一象限内的图象经过点B ,设直线AB 的解析式为22y k x b =+,当12y y >时,x 的取值范围是( ).A .51x -<<B .0<<1x 或<5x -C .61x -<<D .01x <<或6x <-2、已知反比例函数xk y 2=与一次函数12-=x y ,其中一次函数的图象经过(a ,b )、(a +1,b +k )两点.(1)求反比例函数的解析式;(2)如图,已知A 点是上述两函数图象在第一象限内的交点,求A 点的坐标;(3)利用(2)的结果,在x 轴上是否存在点P ,使△AOP 为等腰三角形?若存在,请把所有符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在,请说明理由.3、如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,点D 为对角线OB 的中点,点E (4,n )在边AB 上,反比例函数ky x=(k ≠0)在第一象限内的图象经过点D 、E ,且tan ∠BOA =21. (1)求反比例函数的解析式和n 的值;(2)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ,将矩形折叠,使点O 与点F 重合,折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ,求线段OG 的长.考点典例五、反比例函数的图象和k 的几何意义G【例5】(2015凉山州)以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,双曲线3y x=经过点D ,则正方形ABCD 的面积是( )A .10B .11C .12D .13 【举一反三】1、如图,A .B 是双曲线xky =上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C .若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为( )A .34B .38C .3D .42、如图,正方形OABC 的面积是4,点B 在反比例函数(00)ky k x x=><,的图象上.若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点,过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为M 、N ,从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为S .则当S =m (m 为常数,且0<m <4)时,则点R 的坐标是 。

(用含m 的代数式表示) 3、如图,若点M 是x 轴正半轴上的任意一点,过点M 作PQ ∥y 轴,分 别交函数x k 1y =(x >0)和xk2y =(x >0)的图象于点P 和Q ,连接OP 、 OQ ,则下列结论正确的是( )A .∠POQ 不可能等于900B .21K K QM PM= C .这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D . △POQ 的面积是)(|k ||k |2121+4、如图,点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)都在双曲线(0)ky x x=>上,且214x x -=,122y y -=;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段,垂足分别为C 、D 、E 、F ,AC 与BF 相交于G 点,四边形FOCG 的面积为2,五边形AEODB 的面积为14,那么双曲线的解析式为 . 课后练习 一、选择题1. 已知反比例函数的图象2y x=-上有两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若y 1>y 2,则x 1﹣x 2的值是( ) A . 正数 B . 负数 C . 非正数 D . 不能确定2. (2015.河北省,第10题,3分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y (万册)与它的使用时间x (年)成反比例关系,当x =2时,y =20.则y 与x 的函数图象大致是( )yxCABOA. B. C. D.3..(2015·湖北武汉,9题,3分)在反比例函数xmy 31-=图象上有两点A(1x ,1y )、B(2x ,2y ),1x <0<2x ,1y <2y ,则m 的取值范围是( )A .m >31B .m <31C .m ≥31D .m ≤31 4.(2015·黑龙江绥化)如图,反比例函数y=xk(x <0)的图象经过点P ,则k 的值为( ) A. -6 B. -5 C. 6 D. 55.(2015.宁夏,第8题,3分)函数ky x=与2=-+y kx k (0k ≠)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )6.(2015·辽宁葫芦岛)(3分)如图,一次函数2y kx =+与反比例函数4y x=(0x >)的图象交于点A ,与y 轴交于点M ,与x 轴交于点N ,且AM :MN =1:2,则k = .7.(2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)如图,点A 是反比例函数图象上一点,过点A 作AB ⊥y 轴于点B ,点C 、D 在x 轴上,且BC ∥AD ,四边形ABCD 的面积为3,则这个反比例函数的解析式为 .8.(2015.山东临沂第14题,3分)在平面直角坐标系中,直线y =-x +2与反比例函数1y x=的图象有唯一公共点. 若直线y x b =-+与反比例函数1y x=的图象有2个公共点,则b 的取值范围是( )(A) b ﹥2. (B) -2﹤b ﹤2. (C) b ﹥2或b ﹤-2.(D) b ﹤-2.二、填空题 9.已知双曲线k 1y x-=经过点(﹣2,1),则k 的值等于 ▲ . 10.(2015.河南省,第11题,3分)如图,直线y=kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点A (1,a ),则k= .11. (2015.陕西省,第13题,3分)如图,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数xy 4=的图象交于A 、B 两点,则四边形MAOB 的面积为______________。

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