《工程数学场论》PPT课件
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解: 数量场 u xy 所产生
的梯度场为
grad u y i x j
其矢量线满足微分方程
dx dy yx
所以矢量线方程为：
2. 数量场的等值面
在数量场 数量场的等值面.
中，称曲面 在平面场
为该 中，称曲线
为它的等值线,如等温线、等高线等.
等值面
等值线
由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有
一个等值面通过工程；数学---等---值---矢面族充满了数量场所在的空间， 而且互不相交.量分析与场论
3.矢量场的矢量线
矢量线: 设 C 为矢量场
过点 (1, 2,1)
的矢量线方程.
解： 矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz (z y)2 z y
由 dy dz 得
zy
y 2 z 2 c1
又由合比定理
dx d ( y z)
(z y)2
工程数学---------矢
zy
量分析与场论
可得 dx ( y z)d ( y z)
注：矢量场 工g程r数a学d---u------称矢 为由数量场u产生的梯度场.
量分析与场论
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
(5) (u ) vu uv
v
v2
工程数学---------矢 量分析与场论
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
0
u
u(M )
中的一点， 若沿方向 l
l
lim u lim u(M ) u(M 0 )
M M 0
M M0
M0M
存在，则称此极限为
在点
M M0
处沿 l 方向的方向导数， 记作
u l M0
工程数学---------矢 量分析与场论
定理1 :
若函数
u u(x, y, z) 在点
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微，
l 量分 析与0 场论 x
y
z
定义2：设
M
是数量场
0
u
u(M )
l
中的一点， 若沿曲线C 之正向
lim u lim u(M ) u(M 0 )
s M M 0
M M0
M0M
MC M0
存在，则称此极限为
在点
处沿曲线C(正向)的
方向导数， 记作 u s M0
定理2: 若在点 M ( x, y, z)处函数 u u( x, y, z) 可微、
曲线C光滑， l 为 C 在 M处 的切线方向（正向）， 则
u u 工程数学---------矢 量分析与场论
s l
例1 .
设
n
是曲面
2z xy 0 在点 M (2, 3, 3)处指向下侧
的法向量， 求函数 u xyz 在点M处沿 n的方向导数 .
解: 法向量为 ( y, x, 2) M (3 , 2 , 2)
60 17
2. 梯度 定义： 设有矢量场 u u( x, y, z),在点 M ( x, y, z) 处,
称向量 G u i u j u k 为数量场 u(M) 在 x y z
点 M 处的梯度, 记作 gradu,即
grad u u i u j u k x y z
引入哈密顿算子：
有
求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用矢量形式表示为
r x i y j x i (x2 1) j
yP
它在点 P 的切向量为
r P (i 2x j) P i 4 j
cos 1 ,
17
cos 4
17
o 1 2 x
u u
s M
l工量程分M数析学与场--论-------矢
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u u cos u cos u cos
l x
y
z
证明: 由函数 u(x, y, z) 在点 M0 可微 , 得 u u x u y u z o( ) x y z
(u cos u cos u cos ) o()
x
y
z
故
u 工程li数m学---u------矢u cos u cos u cos
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(Leabharlann Baidu)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
工程数学f---(-r--)--1-矢r r 量分析与场论
f (r) r0
x
例4. 作出数量场 u xy 所产生的梯度场的矢量线.
有
2x (y z)2 c2
将点 (1, 2,1) 代入
2
x
y2 (
y
z2 z)2
c1
c2
得 c1 c2 3
所以所求矢量线方程为：
y2 z2 3
工程数学---------矢
2
2x ( y z) 3 量分析与场论
第二节 数量场的方向导
1.方向导数
数与梯度
定义1：设
M
是数量场
所以
n (3 , 2 , 2)
方向余弦为 cos 3 , cos 2 , cos 2
17
17
17
而 u yz 9, u 6, u 6
x M
M
y M
z M
所以
u n
M
(u cos u cos u cos )
x y 工程数学---------矢
z
M
量分析与场论
27 17
例2 .
第二章
场
论
第一节 场
1. 场: 如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着 某个物理量的一个确定的值， 则称在该空间定义了关于 该物理量的一个场. 如果该物理量是数量，称它为数量 场； 如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场. 分别用
及
表示.
与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.
工程数学---------矢 量分析与场论
grad u u 工程数学---------矢
量分析与场论
性质：
1) grad u :
方向：u 变化率最大的方向 模 : u 的最大变化率之值
2)
u l
grad u l0
gradl
u
3) grad u
为等值面
M
u(x, y, z) C
在点 M 处的法向量， 指向数量场
u(M) 增大的一方.
n grad u M uC
中的曲线，如果C
上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设
为曲线上一点，
r OM xi yj zk
d r dxi dyj dzk
因 d r A 所以矢量线满足
为
,
dx dy dz
Ax
A A 工量程分数析y学与场--论------z-矢
A
A AM
例1 求矢量场 .
A (z y)2 i zj yk
的梯度场为
grad u y i x j
其矢量线满足微分方程
dx dy yx
所以矢量线方程为：
2. 数量场的等值面
在数量场 数量场的等值面.
中，称曲面 在平面场
为该 中，称曲线
为它的等值线,如等温线、等高线等.
等值面
等值线
由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有
一个等值面通过工程；数学---等---值---矢面族充满了数量场所在的空间， 而且互不相交.量分析与场论
3.矢量场的矢量线
矢量线: 设 C 为矢量场
过点 (1, 2,1)
的矢量线方程.
解： 矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz (z y)2 z y
由 dy dz 得
zy
y 2 z 2 c1
又由合比定理
dx d ( y z)
(z y)2
工程数学---------矢
zy
量分析与场论
可得 dx ( y z)d ( y z)
注：矢量场 工g程r数a学d---u------称矢 为由数量场u产生的梯度场.
量分析与场论
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
(5) (u ) vu uv
v
v2
工程数学---------矢 量分析与场论
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
0
u
u(M )
中的一点， 若沿方向 l
l
lim u lim u(M ) u(M 0 )
M M 0
M M0
M0M
存在，则称此极限为
在点
M M0
处沿 l 方向的方向导数， 记作
u l M0
工程数学---------矢 量分析与场论
定理1 :
若函数
u u(x, y, z) 在点
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微，
l 量分 析与0 场论 x
y
z
定义2：设
M
是数量场
0
u
u(M )
l
中的一点， 若沿曲线C 之正向
lim u lim u(M ) u(M 0 )
s M M 0
M M0
M0M
MC M0
存在，则称此极限为
在点
处沿曲线C(正向)的
方向导数， 记作 u s M0
定理2: 若在点 M ( x, y, z)处函数 u u( x, y, z) 可微、
曲线C光滑， l 为 C 在 M处 的切线方向（正向）， 则
u u 工程数学---------矢 量分析与场论
s l
例1 .
设
n
是曲面
2z xy 0 在点 M (2, 3, 3)处指向下侧
的法向量， 求函数 u xyz 在点M处沿 n的方向导数 .
解: 法向量为 ( y, x, 2) M (3 , 2 , 2)
60 17
2. 梯度 定义： 设有矢量场 u u( x, y, z),在点 M ( x, y, z) 处,
称向量 G u i u j u k 为数量场 u(M) 在 x y z
点 M 处的梯度, 记作 gradu,即
grad u u i u j u k x y z
引入哈密顿算子：
有
求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用矢量形式表示为
r x i y j x i (x2 1) j
yP
它在点 P 的切向量为
r P (i 2x j) P i 4 j
cos 1 ,
17
cos 4
17
o 1 2 x
u u
s M
l工量程分M数析学与场--论-------矢
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u u cos u cos u cos
l x
y
z
证明: 由函数 u(x, y, z) 在点 M0 可微 , 得 u u x u y u z o( ) x y z
(u cos u cos u cos ) o()
x
y
z
故
u 工程li数m学---u------矢u cos u cos u cos
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(Leabharlann Baidu)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
工程数学f---(-r--)--1-矢r r 量分析与场论
f (r) r0
x
例4. 作出数量场 u xy 所产生的梯度场的矢量线.
有
2x (y z)2 c2
将点 (1, 2,1) 代入
2
x
y2 (
y
z2 z)2
c1
c2
得 c1 c2 3
所以所求矢量线方程为：
y2 z2 3
工程数学---------矢
2
2x ( y z) 3 量分析与场论
第二节 数量场的方向导
1.方向导数
数与梯度
定义1：设
M
是数量场
所以
n (3 , 2 , 2)
方向余弦为 cos 3 , cos 2 , cos 2
17
17
17
而 u yz 9, u 6, u 6
x M
M
y M
z M
所以
u n
M
(u cos u cos u cos )
x y 工程数学---------矢
z
M
量分析与场论
27 17
例2 .
第二章
场
论
第一节 场
1. 场: 如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着 某个物理量的一个确定的值， 则称在该空间定义了关于 该物理量的一个场. 如果该物理量是数量，称它为数量 场； 如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场. 分别用
及
表示.
与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.
工程数学---------矢 量分析与场论
grad u u 工程数学---------矢
量分析与场论
性质：
1) grad u :
方向：u 变化率最大的方向 模 : u 的最大变化率之值
2)
u l
grad u l0
gradl
u
3) grad u
为等值面
M
u(x, y, z) C
在点 M 处的法向量， 指向数量场
u(M) 增大的一方.
n grad u M uC
中的曲线，如果C
上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设
为曲线上一点，
r OM xi yj zk
d r dxi dyj dzk
因 d r A 所以矢量线满足
为
,
dx dy dz
Ax
A A 工量程分数析y学与场--论------z-矢
A
A AM
例1 求矢量场 .
A (z y)2 i zj yk