高中数学第一章导数及其应用阶段复习课课件新人教A版选修
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
最新2019-2020年人教统编高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件1新人教A版选修
（x)，那么
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式 （Newton-Leibniz formula).
或记作
b a
f(x)dx
=
F(x)
b a
=
F(b)-
F(a).
b
f(x)d x
F
(
x)
b
F (b )F (a)
a
a
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a,b] 上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意: 当 a b 时， F (x)=f(x)
1 x
3 1
9
1
1 3
1
22 3
.
例 2 计 算 下 列 定 积 分 :
π sinxdx,2π sinxdx,2π sinxdx.
0
π
0
解 因为 cos x ' sin x,
0
sin
xdx
cos
x
|0
cos
cos 0
2;
2
sin
xdx
cos
x
|2
cos
2
cos
2;
2
0
sin
xdx
cos
x
|02
cos
2
cos
0
0
.
我们发现： 定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；
（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；
高中数学 导数的应用课件 新人教A版选修1
思考2:
y b
求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： ⑴求f(x)在[a,b]内的极值； ⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值，得出函数在[a,b]上的最值 .
解析：f ( x) 3 x 2 3a 3( x 2 a)， 当a 0时，对x R, 恒有f ( x) 0, a 0时，f ( x)的单调增区间为（ ， ）， 当a 0时,由f ( x) 0解得x a或x a ;由f ( x) 0解得 a x a , 综上，可知当a 0时,f ( x)的单调增区间为(, a ), ( a , ); f ( x)的单调减区间为（- a , a )， 当a 0时，f ( x)的单调增区间为（ ， ）
导数的应用
一、学习目标
1.会用导数求函数的单调区间或者判断函数 的单调性. 2.会用导数求函数给定区间上的极值和最值.
二、诊断补偿
1.求下列函数的导数: （1）y (2 x 3) ； (2) y ln( x 1)； (3) y e
5 2 2 x 3
π ； (4) y sin(2 x ). 3
解：（）由 1 f ( x) x3 ax 2 bx c, 得f ( x) 3x 2 2ax b. 当x 1时，切线l的斜率为3，可得2a b 0， ① ② 2 2 当x 时，y f ( x)有极值，则f ( ) 0，得： 4a 3b 4 0， 3 3 由①②得a 2, b 4. 由于切点的横坐标为x 1, f (1 ） 4. 1 a b c 4, c 5.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2
在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾 斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下 落，直到落地．
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确 定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的 大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y＝－x2＋ 4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在 t＝2 s 时，烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速 度几乎为 0，达到最高点并爆裂；
在 0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线 的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来 越小的速度升空；
解析：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0
＝x0＋Δx3－3x0＋ΔΔxx2＋1－x30＋3x20－1
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.
所以
f′(x0)
＝
lim
[(Δx)2
＋
3x0Δx
－
3Δx
＋
3x
2 0
－
6x0]
＝
3x
20 －
Δx→0
6x0，于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1，
解：因为ΔΔyx＝[－x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx]－－x2＋4x ＝－2x·Δx＋Δ4xΔx－Δx2＝－2x＋4－Δx，
所以 y′＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝－2x＋432≤x≤2.
由于 y′＝－2x＋4 在区间32，2上是减函数，且 0≤y′≤1，
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2.1【知此知彼------说题目】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x)t,(tR,a2),若函数g(x)在
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2.3【各抒己见------说解法】（3）
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2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x)t,(tR,a2),若函数g(x)在
中有关x1、x2的知识，最好附有例题。
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预设变式：(3)若x[-3,3],都有f(x)g(x)成立，求实数c的范围； (4)若x1[-3,3],x2 [-3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围； (5)若x1[-3,3],x2 [-3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围； (6)若x1[-3,3],x2 [-3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围； (7)若x1[-3,3],x2 [-4,4],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围； (8)若x1[-3,3],x2 [-4,4],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围； (9)若x1[-3,3],x2 [-4,4],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围; (10)若x1[-3,3],x2 [-4,4],都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的范围;
2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版
• 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入 变量的值求导数值．
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝e0． [解析] 由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23． (2)y′＝(cosx)′＝－sinx． (3)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0．
〔跟踪练习 2〕 求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xx－＋11． [解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsoxsc2xosx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x．
• 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝ f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(xB)是g(x)的导函数 ，那么g′(3)＝( )
• A．－1 B．0 • C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－13，又 g(x)＝xf(x)，f ′(3)＝－13，∴g′(x) ＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×－13＝0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
1．2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
导数及其应用课件新人教A版选修
2．对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim (2＋Δx)＝2.
6分
Δx→0
(2)因为ΔΔxy＝fa＋ΔΔxx－fa
＝a＋Δx2＋Δ3x－a2＋3＝2a＋Δx，
f′(a)＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＝Δlixm→0
(2a＋Δx)＝2a.
8分 12 分
利用导数定义求导数的三步曲： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy. 简记为：一差，二比，三趋近． 特别提醒：取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时， 分母不为 0.
时间 日最高气温
3月18日 3.5 ℃
4月18日 18.6 ℃
4月20日 33.4 ℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变 化，用曲线图表示为：
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是 什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度．
函数的变化率
平均 变化
率
瞬时 变化
率
定义
实例
作用
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 ①平均速度；
平均变化率为
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教A版选修22
(1)确定f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;
(4)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.
特别要注意写单调区间时,相同单调性的区间之间用“和”连接或用“,”
隔开,绝对不能用“∪”相连.
第五页，共47页。
2
+ 2(+2)≥1 及
2
-c+1
c2 +c
k>0,解得 k≥ 2.
第十页，共47页。
=
2
-
2(+2)
< 0,
专题
(zhuānt
í)1
专题
(zhuāntí
)2
专题
(zhuān
tí)3
专题4
专题5
专题6
应用 2 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其
从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,
即 f(x)>k(x-1),
综上,k 的取值范围是(-∞,1).
第十七页，共47页。
专题
(zhuāntí
)1
专题
(zhuā
ntí)2
专题五
专题
(zhuān
tí)3
专题4
专题5
专题6
导数的实际应用
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a,b]上的最大(小)值或利用
∵c>0,易知 k≠0,
2
∴c=1+ . (∗)
由 f'(x)=0,得-kx2-2x+ck=0.
2019秋高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
(3)求
ΔΔts的值，即得 t＝t0 时的瞬时速度．
[变式训练] 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下
滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s＝12t2，则 t
＝2 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
1 C.2
1 D.4
解析：因为ΔΔst＝12（2＋ΔΔt）t 2－12×22＝12Δt＋2，
(4t0＋2Δt)＝4t0，
所以由 4t0＝12，得 t0＝3， 所以此物体在 3 s 时的瞬时速度为 12 m/s.
归纳升华
求物体运动的瞬时速度的步骤：
(1)由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位
移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间 t0 到 t0＋Δt 之间的平均速度－v ＝ΔΔst；
4.函数 y＝x2＋ax＋b 在 x＝1 处的导数为－3，则 a＝ _______.
解析：Δy＝[(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(1＋a＋b)＝(2 ＋a)Δx＋(Δx)2.
ΔΔxy＝2＋a＋Δx，f′(1)＝ ΔΔxy＝2＋a＝－3， 所以 a＝－5. 答案：－5
5．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝
________时的瞬时速度为 1.