三角形四心的向量形式
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论三角形是几何学中的重要概念之一，其四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。
在向量形式下，我们可以得出一些有关这四个点的重要结论。
重心是三角形内部三条中线的交点，用向量表示为G=(A+B+C)/3，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。
重心具有平衡的作用，对于任意一点P，PG的向量和PA、PB、PC 的向量和为零。
外心是三角形外接圆的圆心，用向量表示为O=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三个边长。
外心具有唯一性，且到三角形三个顶点的距离相等。
内心是三角形内切圆的圆心，用向量表示为I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度。
内心到三角形三个边的距离相等，且与三角形的角度有关。
垂心是三角形三条高的交点，用向量表示为H=A+B+C。
垂心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形的角度有关。
综上所述，向量形式下的三角形四心具有一些重要的性质。
研究这些结论不仅可以帮助我们更好地理解三角形的几何特性，还可以应用于解决一些与三角形相关的问题。
三角形“四心”优美的向量统一形式
三角形“四心”优美的向量统一形式三角形“四心”的向量的统一形式：x是△abc的心λxa+μxb+υxc=0其中，重心的充要条件最简单，也容易证明。
而内心、外心、重心的证明则比较困难，受此启发，笔者联想到既然有统一的结构，是否可以借用重心的充要条件证明其它“三心”的情况呢？因为要借用重心的向量形式来证明，所以还要给出重心的另一性质：g为△abc的重心的充要条件是s=△gab=s△gbc=s△gca= s△abc.（图1）一、重心（中线交点）1.g是△abc的重心ga+gb+gc=0证明：设g是△abc的重心，如图2，延长ag交bc于点d.因为g为△abc的重心，所以d为bc的中点，有gd= （gb+gc）且ga=-2gd 因此ga+gb+gd+gc=0，反之亦成立.2.设p是△abc所在平面内任意一点，则pg= （pa+pb+pc）g为△abc的重心证明：g是△abc的重心ga+gb+gc=0 gp+ap+gp+pb+gp+pc=03pg=pa+pb+pc pg= （pa+pb+pc）二、内心（内角平分线交点，内切圆圆心）1.i是△abc的内心aia+bib+cic=0（其中a，b，c分别为△abc 的三个内角a，b，c所对的边长）.证明：设i是△abc的内心，如图3，作向量ia’=aia，ib=bib，ic’=cic连结，得到△a’b’c’.因为i为△abc内心，所以内心i到△abc各边的距离为△abc的内切圆的半径，设为r.s△ib’c’= |ib’|·|ic’|sin∠bic= b|ib|·c|ic|·sin∠bic=b·cs△ibc=bc· ar= abcr同理可得s△ibc= abcr，s△ic’a’= abcr所以s△ia’b’=s△ib’c’=s△ic’a’= abcr，i为的重心，有ia+ib+ic=0即ala+bib+cic=0成立，反之亦成立.2.i是△abc的内心（sina）la+（ainb）ib+（sinc）ic=0证明：根据i是△abc的内心aia+bib+cic=0，由正弦定理得i是△abc的内心（sina）ia+（subb）ib+（sinc）ic=03.设p是△abc所在平面内任意一点，i为△abc内心pi=证明：i是△abc的内心aia+bib+cic=0aip+aip+bip+bpb+cip+cpc=0 pi=三、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）1.p是△abc外心（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0证明：设p是△abc的外心，如图4，作向量pa=（sin2a）pa，pb=（sin2b）pb，pc（sin2c）pc连结a′，b′，c′，得△a′b′c′.因为p为△abc外心，所以外心p到△abc各顶点的距离为△abc 的外切圆的半径，设为r，且∠bpc=2a.s△pb’c’= |pb’|·|pc’|sin∠b’p’c’= sin2b|pb|sin2c·|pc|sin∠bpc=sin2bsin2c r2sin2a= r2sin2asin2bsin2c同理可得s△pa’b’= r2sin2asin2b·sin2c，s△p’c’a’= r2sin2asin2bsin2c△所以s△pa’b’=s△pa’b’=s△pa’b’ s△pa’b’，得p为△a′b′c′的重心，有pa’+pb’+pc’=0即（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0成立，反之亦成立.2.p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=0 证明：根据p是△abc的外心（sin2a）·pa+（sin2b）·pb+（ccosc）pc=0由正弦定理得p是△abc的外心（acosa）·pa+（bcosb）·pb+（ccosc）pc=03.设p是△abc 所在平面内任意一点，o为△abc的外心po=证明：o为△abc的外心（sin2a）oa+（sin2b）+（sin2c）oc=0 （sin2a）op+（sin2a）pa+（sin2b）op+（sin2b）pb+（sin2b）op+（sin2c）pc=0po=四、垂心（高线交点）1.h是△abc的垂心ha·hb=hb·hc=hc·ha证明：由ha·hb=hb·hc hb（hc-ha）=0 hb·ac=0 hb⊥ac同理hc⊥ab故h是△abc的垂心，反之亦然.2.h是△abc的垂心证明：由ha2+bc2=hb+ac2ha2-hb2+bc2+bc2-ac2=0（ha+hb+bc+ac）·ba=02hc·ba=0 hc⊥ab同理ha⊥bc，故h是△abc的垂心，反之亦然.3.h是△abc（非直角三角形）的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0证明：设h是△abc的垂心，如图5，作向量连结a′，b′，c′，得到△a′b′c′.s△hcb= |hb’|·|hc‘|sin∠b’hc’= （tanb）|hb|·（tanc）|hc|·sin∠bhc=tanbtanc·s△hbc=tanc· |bc|·|hd|因为h为△abc垂心，所以∠bhd=∠acb，∠chd=∠abc.所以有|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|bd|=|hd|tan∠bhd=|hd|tanc|cd=|hd|tan∠chd=|hd|tanb.又因为|ad|=|bd|tanb.|ad|=|cd|tanc，所以|ad|2=|bd|·|cd|tanbtanc=|hd|2 （tanbtanc）2即|ad|=|hd|tanbtanc所以s△hbc= |bc|·|ad|=s△hbc同理可得s△hbc=s△abc；s△hb’c’=s△abc所以s△ha’b’=s△hb’c’=s△hc’a’= s△a’b’c’h为△a′b′c′的重心，从而ha’+hb’+hc’=0，即（tana）ha’+（tanb）hb+（tanc）hc=0成立，反之亦成立.4.h是△abc（非直角三角形）的垂心·ha+ ·hb+ ·hc=0·ha+ ·hb+ ·hc=0.证明：由 =tana， =tanb， =tanc及正弦定理得h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）=0 ·ha+ ·hb+ ·hc=0 ·ha+ ·hb·hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp+（tanb）pb+（tanc）hp+（tanc）pc=0再由余弦定理得h是△abc的垂心·ha ·hb ·hc=05.设p是△abc（非直角三角形）所在平面内任意一点，h是△abc 的垂心pa=证明：h是△abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp=（tanc）hp+（tanc）pc=0 ph=向量是高中教材的重要内容之一，它具有代数和几何的“双重身份”，所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活力，使我们对量的数学表达的认识进入了一个崭新的领域。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是 ABC 的重心OA OB OC 0 ;S BOC S AOC S AOB 1若 O 是 ABC 的重心，则 S ABCOC 0 ;3 故 OA OB PG 1 ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心 .32）O 是 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB ： ：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC 0 3）O 是 ABC 的外心 2 OB 2 OC 2| OA | | OB | | OC | (或 OA )若 O 是 ABC 的外心： ：： ：sin2A : sin2B : sin2C则 S BOCSAOC SAOB sin BOC sin AOC sin AOB故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是OA ( AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0| AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB, BC,CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： O A ( e 1 e 3 ) O B ( e 1 e 2 )O C (e 2 e 3 ) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ： b ：cA 故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsinBOB sinCOC 0 ;e 1| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的内心 ;e 2向量 ( ABAC )(0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分 | AB | | AC |C 线所在直线 ) ；B二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1． O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点PP 满足 OP OA ( AB AC ) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）AB AC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB与AC 方向上的单位向量分别为e1和e2，又ABOP OA AP ，则原式可化为AP ABC 中， AP 平分BAC ，则知选( e1B.e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形的“四心”的向量关系
三角形的“四心（重心，垂心，外心，内心）”的向量关系1．O 为ABC 的外心222OA OB OC ⇔==证明： O 为ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==。
2. O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=证明：O 为ABC 的重心211()[()()323OA AB AC OB OA OC OA ⇔=-∙+=--+-化简即得0OA OB OC ++=。
3．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔== 证明：O 为ABC 的垂心,,OA BC OB CA OC AB ⇔⊥⊥⊥0,0,0()0,()0,()0OA BC OB CA OC AB OA OC OB OB OA OC OC OB OA ⇔===⇔-=-=-=OA OB OB OC OC OA ⇔==4. O 为ABC 的内心0a O A b O Bc O C ⇔++=（其中,,a b c 为ABC 的三边长：||,||,||BC a CA b AB c ===）证明：O 为ABC 的内心（设D 为角A 平分线与对边的交点）||||||,||||||OA AB DC BD OB B OA A DO BD AC AB ⇔∠∠⇔==平分，平分（||||||||||||||||DC BD DC BD ac b AC AB AC AB +===++,应用了合比定理）OA b c a DO +⇔= ()()DO a DA a b ca b c OA b c DA b c b c OA OA++⇔=⇔=⇔++=+++又()()()BD cbBD cDC b AD AB c AC AD b c AD bAB c AC bDC =⇔=⇔-=-⇔+=+故()()()()a b c OA bAB cAC b OB OA c OC OA ++=-+=---- 得证做题中常见的结论①在△ABC 中，AB AC +一定过BC 边的中点，即通过△ABC 的重心。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形“四心” 与向量的完美结合
三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
高中数学：向量中的三角形“四心”
高中数学：向量中的三角形“四心”
向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，即，所以。
同理可证。
故O为
△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得
，所以。
同理可证。
容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM 上。
设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得
，得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为
△ABC的内心。
证明：由于，可得。
设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得，所以
，得。
故点O为△ABC的外心。
三角形的四心之向量关系式
(2) P 在 △ABC 的外部, 則 l < 0, m, n > 0
(l > 0, m, n < 0 亦同), 如右圖
取
−−⇀ P A′
= −−P⇀A,
⇒P
在
△A′BC
的內部,
且∵
−−⇀ (−l)P A′
+
−⇀ mP B
+
(三) 公式 3: 三角形四心與三頂點連線所成三角形之面積比
已知 △ABC 的重心 G, 內心 I, 垂心 H 及外心 O, 則
(1) a△ABG : a△BCG : a△CAG = 1 : 1 : 1。 (2) a△ABI : a△BCI : a△CAI = c : a : b。 (3) a△ABH : a△BCH : a△CAH = c4 −(a2 −b2)2 : a4 −(b2 −c2)2 : b4 −(c2 −a2)2。 (4) a△ABO : a△BCO : a△CAO = c2(a2 +b2 −c2) : a2(b2 +c2 −a2) : b2(c2 +a2−b2)。
△=
2 b2 + c2 − a2
b2
b2 + c2 − a2 c2 2
= 4 − b2 + c2 − a2 2 bc
= [(b + c)2 − a2][a2 − (b − c)2] b2c2
=
(b
+
c
+
a)(b
+
c
−
a)(a b2c2
−
b
+
c)(a
+
新整理三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一.知识点总结1） O 是 ABC 的重心二 OA OB OC = 0 ；1若 O 是 ABC 的重心，则S BO^S AOCeA OB=3S ABC故 OA OB 6^.0； PG = ［（PA PB PC ）二 G 为-ABC 的重心.32） O 是 ABC 的垂心 u OA OB = OB OC = OC OA ；若0是AABC （非直角三角形）的垂心，贝U S 售OC : S^OC : S 小OB = tan A: tanBitanC*故 tan AOA tanBOB tanCOC =02 ------------ -- 2 ---------- -- 23） 0 是 ABC 的外心二 |OA|=|OB|=|OC| （或 OA = OB = OC ） 若0是ABC 的外心则 S BOC： S AOC : S AOB 二sin/BOC ：sin/AOC ：sin/AOB =sin2A :sin2B :sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0 4） 0是内心 ABC 的充要条件是 OA （旦- AC ） “B （空-匹厂OC （总-更）=0 | AB | AC | BA | |BC | |CA | |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB,BC,CA 的单位向量为e i ，e 2，e 3，则刚才eaH 00是 ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC = 0 若 0 是=ABC 的内心，贝U S.BOC : S.AOC : S.AOB 二 a ： b : c故 aOA bOB cOC = 0或 sinAOA sinBOB sinCOC = 0 ； |AB|PC |BC| PA |CA|PB =0= P ABC 的内心； 向量.^ABAC_）（. =o ）所在直线过 ABC 的内心（是.BAC 的角平分|AB| |AC|线所在直线）；范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. 0是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 PAB AC 满足0P = 0A 中九（ 十I^|），（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心ABC 内心的充要条件可以写成：O A （e i e a^ O B （e^ e ?） = O C «2 ACAC--0,=贝U P 点的轨迹一定通过 ABC 的（变式：若H 为厶ABC 所在平面内一点，且 $ +BC = HB +CA啊2碍则点H 是厶ABC 的垂心 证明:■■- |HA ^|HB ^CA ^|BC.(HA HB)・BA =(CA CB) * BA 得(HA HB —CA —CB)・BA =0 即(HC HC)・BA =0 AB _ HC同理 AC _ HB , BC _ HA 故H 是厶ABC 勺垂心（三）将平面向量与三角形重心结合考查 例4. G 是厶ABC 所在平面内一点， 心. 证明作图如右，图中GB ，GC=GE连结BE 和CE ,贝U CE=GB , BE=GC= BGCE 为平行四边形=D 是BC 的中 点，AD 为BC 边上的中线.“重心定理” GA GB GC =^ 点G 是厶ABC 的重A r~） — — — — — — — N是向量AB 的单位向量设 AB 与AC 方向上的单位向量分别为 e 和e ＞，又 ABOP — OA = AP ，则原式可化为 AP = Ye e 2），由菱形的基本性质知 AP 平分.BAC ，那么在 =ABC 中，AP 平分.BAC ，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零I A BI向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。
向量与三角形四心结论
向量与三角形四心结论在几何学中，向量与三角形的四心结论是一个重要的定理，也是研究三角形内部向量的有用结论。
这一定理指出，如果三角形的三个内角的对应边的中点连接在一起，则这三个内角的乘积等于三个半周长的乘积。
本文将研究“向量与三角形四心结论”。
首先讨论向量与三角形四心结论的定义。
它是指三角形内的三个内角的对应边的中点向量的乘积等于三个半周长的乘积。
用符号表示为：AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，其中，AM是三角形ABC内角A的边BC的中点M的向量，BM是三角形ABC内角B的边AC的中点的向量，CM是三角形ABC内角C的边AB的中点的向量，R是三角形ABC的半径，A、B、C是三角形ABC的内角。
接下来，考虑“向量与三角形四心结论”的证明。
由于中点向量的乘积，可以用调和公式得到：AM * BM * CM = (AB + AC + BC) * (AB + AC - BC) * (AB - AC + BC) * (- AB + AC + BC)，接着，回到原来的公式，AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，从而，就可以用展开二次方程的方法来证明“向量与三角形四心结论”。
最后，讨论“向量与三角形四心结论”的应用。
三角形内向量的乘积是由“向量与三角形四心结论”来确定的，因此，“向量与三角形四心结论”可以用于求解三角形内部向量的乘积。
此外，“向量与三角形四心结论”也可以用来判断三角形是不是等腰三角形，从而帮助我们分析三角形的形状特征。
综上所述，“向量与三角形四心结论”是一个重要的定理，它可以用来研究三角形内部的向量乘积，也可以用来判断是不是等腰三角形，帮助我们分析三角形的形状特征。
相信随着今后的进一步研究，“向量与三角形四心结论”会发挥更大的作用，为几何学的研究和应用提供更多的依据。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。
若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。
三角形中“四心”的向量式
三角形中“四心”的向量式作者：梁小金王秀泽来源：《中学教学参考·理科版》2011年第08期一、内心的向量式1．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜)(其中λ∈［0,+∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心2．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的内心（其中a,b,c是△ABC的对应边）二、重心的向量式1．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足）(其中λ∈［0,+∞))，则点P的轨迹过△ABC的重心2．若点G为△ABC所在的平面内一点，满足＝0 ，则点G为△ABC的重心3. 若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心4.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜其中λ∈［0，+∞)，则点P的轨迹过△ABC的重心三、垂心的向量式1. 若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心2.若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC 的垂心3．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜)(其中λ∈［0，+∞)），则点P的轨迹过△ABC的垂心四、外心的向量式1.若点O为△ABC所在的平面内一点，满足（）＝（）＝（），则点O为△ABC的外心.（充要条件：｜｜＝｜｜＝｜｜）2.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，＝｜｜｜｜其中λ∈R），P的轨迹过△ABC的外心五、四心的向量式的高考运用1．已知G是△ABC所在平面上的一点，若, 则点G是△ABC的外心B. 内心 C. 重心D. 垂心2．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为△ABC的重心，且, 则△ABC为等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形等边三角形3．若点O为△ABC所在的平面内一点，满足｜｜｜｜)＝＝｜｜｜｜）＝0，则点O是△ABC的垂心 B. 重心 C. 内心外心4．已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的外心B. 内心C. 重心垂心5.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的外心B. 内心C. 重心垂心6．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=（）7.已知O、N、P在△ABC所在平面内，且｜｜｜｜｜｜，且，则点O、N、P依次是△ABC的重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心外心重心内心以上几个结论及例子不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例在向量教学时，与三角形的“四心”有关的向量问题是一类具有相当深度和难度的重要题型，三角形“四心”向量性质及其应用，由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，要从思想方法上研究新内容的内涵实质，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识责任编辑金铃）“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
三角形四心”的向量表示
三角形“四心”的向量表示我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。
在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。
不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。
由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。
一．各心的定义。
1． 重心：三角形三条边的中线的交点。
其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。
其性质二是重心把中线长分成2：1。
2． 垂心：三角形三边的高线的交点。
其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。
3． 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。
其性质是外心到三顶点等距离。
4． 内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。
其性质是内心到三边等距离。
二．各心的向量表示。
在三角形ABC 中，点O 为平面内一点，若满足：1．0=++OC OB OA ，则点O 为三角形的重心。
分析：由OB OC OA +=-，以OC OB ,为邻边作一平行四边形OBEC ， 点D 为BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则， 有OB OC OE +=，交BC 于D ，从而有OA AO OD OE -===2故O 为重心。
E CB2==O 为三角形的外心。
3．OAOC OC OBOB OA ⋅=⋅=⋅，==+，则点O 为三角形的垂心。
分析：由OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅有三个等式，其中一个如OC OB OB OA ⋅=⋅， 则有0)(=-OC OA OB ，有0=⋅CA OB ，故AC OB ⊥。
同理可证，点O 为三角形的垂心。
D C 而在三角形ABC 中，记OA a =，OB b =，OC c =，则由2222BO AC CO AB +=+ 2222)()(+-=+-，展开为⋅=⋅22，则0)(=⋅-故OB AC ⊥，同理可证OA BC ⊥，从而点O 为三角形的垂心。
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三角形四心的向量形式
【中图分类号】g633.6 【文献标识码】b 【文章编号】
2095-3089（2013）01-0130-01
近几年全国各地高考试卷中，都有不少题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手。
笔者搜集了部分资料，结合本人积累的教学经验，利用向量的相关知识对有关三角形的“四心”的相关知识进行总结，重点体现出它们之间的结合，疏漏不当之处，恳请读者批评指正。
一、基础知识梳理
1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆圆心；三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆圆心；三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。
我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”。
2.应用：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二；三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边。
二、典型例题解析
1.“重心”的向量形式
例1 已知o是平面内一定点，a、b、c是平面内不共线的三个点，
动点p满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则p的轨迹一定通过△abc 的（）。
a.外心
b.内心
c.重心
d.垂心
解析：由题意=λ（+），当时λ∈（0，+∞），由于λ（+）表示bc 边上的中线所在直线的向量，所以动点p的轨迹一定通过△abc的重心.故选（c）.
2.“垂心”的向量形式
例2 p是△abc所在平面内一点，若·=·=·，则p是△abc的（）。
a.外心
b.内心
c.重心
d.垂心
解析：由·=·，得·（-）=0，即·=0，所以⊥.同理可证⊥，⊥.
∴p是△abc的垂心。
故选（d）。
3.“内心”的向量形式
例3 已知o是平面内一定点，a、b、c是平面内不共线的三个点，动点p满足=+λ+，λ∈（0，+∞），则动点p的轨迹一定通过△abc 的（）。
a.外心
b.内心
c.重心
d.垂心
解析：由题意得=λ+，∴当λ∈（0，+∞）时，表示∠bac的平分线所在直线方向的向量，故动点p的轨迹一定通过△abc的内心。
故选（b）。
4.“外心”的向量形式
例4 已知o是△abc所在平面内一点，若2=2=2，则o是△abc的（）。
a.外心
b.内心
c.重心
d.垂心
解析：若2=2=2，则2=2=2，∴==，则o是△abc的外心。
故选（a）。
三、知识归纳提炼
我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式。
已知p点为△abc内任意一点，若p点满足：
1.=（+）=>p为△abc的重心；
2.①·=0·=0=>p为△abc的垂心；
②设o为△abc所在平面上的一点，若·=·=·，则点o为△abc的垂心。
③设△abc外心为o，若点m满足++=，则点m为垂心。
3.①=λ（+），λ>0=t（+），t>0=>p为△abc的内心
②已知o是△abc所在平面上的一点，若α+b+c有，则o是△abc 的内心。
③已知o是△abc所在平面上的一点，若有-2+-2+
-2，则o是△abc的内心。
4.①d、e两点分别是△abc的边bc、ca上的中点，且·=··=·=>p 为△abc的外心。
②设o为△abc所在平面上的一点，若（+）·=（+）·=（+）·，点o 为△abc的外心。
向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四“心”进行一定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了它们的内在统一。
平时教学中有意
识地对学科中的相关知识点进行较为系统地整理和提炼，无论在提高学生的解题能力方面还是在开拓学生视野方面都大有裨益。