人教A版数学《平面向量的正交分解及坐标表示》Word教案

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计

【教学目标】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入：

1． 实数与向量的积

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa

与

a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa

=0.

2．运算定律

结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb .

3. 向量共线定理

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .

新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e . 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a += (1)

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的．．．向量的坐标也为．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

三、平面向量的坐标运算

（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即

b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.

（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).

（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=. 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.

例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =，得D 1=(2，2).

当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6，0). 例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y ++=⎧⎨

-+=⎩∴5,

1.

x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).

例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a

＋4b 的坐标.

解：a ＋b

＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b

＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，

3a

＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).

点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.

例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标.

解：设点D 的坐标为（x,y ）,

即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.

所以顶点D 的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得

(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,

AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).

x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),

BD BA BC

=+=----+---=-