人教A版数学《平面向量的正交分解及坐标表示》Word教案

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《平面向量的正交分解及坐标表示》教案、导学案、课后作业

《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三题型一向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示；【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】一、预习导入阅读课本27-29页，填写。

平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（学案）

平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（学案）平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（共2课时）一、学习目标1．掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算2．会根据向量的坐标，判断向量是否共线，掌握两向量平行时坐标表示. 二、学习过程（一）预习案1.温故知新平面向量基本定理： . 2.新知导学（1）平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作．（2）向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．（3）平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b＝(x 2、y 2)，R λ∈，则： a ＋b ＝，a －b ＝，a λ＝ .（4）已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则A B＝．（5）两向量a ＝(x 1、y 1)和b＝(x 2、y 2)共线的条件是当且仅当．3.预习自测(1)已知向量a 、b 的坐标，求a b + 、a b -的坐标：(2,4)a =- ,(5,2)b = ，则a b + = ，a b -= ； (4,3)a = ,(3,8)b =- ，则a b + = ，a b -= ； (2,3)a = ,(2,3)b =-- ，则a b + = ，a b -= ； (3,0)a = ,(0,4)b = ，则a b + = ，a b -= ； (2) 已知(3,2)a = ，(0,1)b =- ，求24a b -+ ，43a b +的坐标.(3)已知A 、B 两点坐标，求A B 、BA的坐标：①(3,5)A ，(6,9)B ②(3,4)A -，(6,3)B③(0,3)A ，(0,5)B ④(3,0)A ，(8,0)B（二）探究案例1 .已知O 为坐标原点，A （-1，3），B （1，-3），C （4，1），D （3，4），求OA ,OB ,A O ,CD的坐标.思考：四边形OCDA 是平行四边形吗？例2 .已知点A （2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB，求点C 的坐标．变式训练：若(2,8)O A =，(7,2)O B =-，则31AB= .例3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标.变式训练：在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标；例4.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a b +.例5 .已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e=2a -b且1e ∥2e ，求x ．三、总结提升1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．四、检测与反馈1.若)4,3(),1,2(-==→→b a ，则→→+b a 43的坐标为__________；2.设点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，-2）则向量→-BA 的坐标为； 3.已知)2,1(),3,2(+=-=→→y b x a ，若→→=b a ，则X= ；y= ； 4.下列说法正确的有个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标 . （2）位置不同的向量其坐标可能相同.（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标. （4）相等的向量坐标一定相同.5.作用于原点的两力)3,2(),1,1(21==→→F F ，为使它们平衡(即合力为0)，需加力→3F =______.6.设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c，则（x ，y ）= ．7.若a =(-1，x)与b=(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．8.若A(－1，－1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ． 9.已知a=(3， 2)，b=(－2，1)，若λa b +与a b λ+(R λ∈）平行，则λ= ．10.若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b= ．11.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，A B=(-2，3)，则CD 坐标为，D O 坐标为，C O的坐标为．12.已知平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （5，0）、D （2，4），对角线AC 、BD交于点M ，则DM的坐标是 .13.已知点B 的坐标为（m ，n ），A B的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为 . 14.若A （2，3）、B （x ，4）、C （3，y ），且2AB AC = ，则X= ；y= . 15.已知向量a =(3,-2), b =(-2,1), c =(7,-4),若c a b λμ=+,则λ= . μ＝ ______.16.已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，求O C的坐标17.已知→a =（x+y+1，2x-y ），→b =（x-y ，x+2y-2），若2→a =3→b ，求x 、y 的值；。

高一数学人教A版必修四教案：平面向量的正交分解及坐标表示

2.3《平面向量的基本定理及座標表示》教學設計【教學目標】1．瞭解平面向量基本定理；2．理解平面裏的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 【導入新課】復習引入：1．實數與向量的積實數λ與向量a 的積是一個向量，記作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0時，λa與a 方向相同；λ<0時，λa 與a 方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律結合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共線定理向量b 與非零向量a 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b =λa .新授課階段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a ，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a 在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一確定的數量. 二、平面向量的座標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量、j 作為基底.任作一個向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我們把),(y x 叫做向量a 的（直角）座標，記作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 軸上的座標，y 叫做a 在y 軸上的座標，○2○2式叫做向量的座標表示.與．a 相等的向量的座標也為．．．．．．．．．．),(y x . 特別地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如圖，在直角坐標平面內，以原點O 為起點作a OA =，則點A 的位置由a 唯一確定. 設yj xi OA +=，則向量OA 的座標),(y x 就是點A 的座標；反過來，點A 的座標),(y x 也就是向量OA 的座標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的座標運算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，則b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差.設基底為、j ，則b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，則()1212,y y x x AB --=.一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和實數λ，則),(y x a λλλ=.實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標. 設基底為、j ，則a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=. 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的座標.例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的座標.例3 已知平面上三點的座標分別為A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求點D 的座標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD 時，由DC AB =，得D 1=(2，2).當平行四邊形為ACDB 時，得D 2=(4，6)，當平行四邊形為DACB 時，得D 3=(-6，0). 例4 已知三個力1F (3，4)，2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的座標. 解：由題設1F +2F +3F =0，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)，即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a＋4b 的座標.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的座標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD 的三個頂點A 、B 、C 的座標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D 的座標.解：設點D 的座標為（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以頂點D 的座標為（2，2）. 另解：由平行四邊形法則可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC=+=----+---=-例7 經過點(2,3)M -的直線分別交x 軸、y 軸於點,A B ，且||3||AB AM =，求點,A B 的座標.解：由題設知，,,A B M 三點共線，且||3||AB AM =，設(,0),(0,)A x B y ， ①點M 在,A B 之間，則有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--. 解之得：3,3x y =-=，點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-.②點M 不在,A B 之間，則有3AB AM =-，同理，可求得點,A B 的座標分別為3(,0)2-，(0,9)-.綜上，點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-.例8. 已知三點(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，試求實數λ的取值範圍，使M 落在第四象限.解：設點(,)M x y ，由題設得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-，要使M 落在第四象限，則330,40x y λλ=->=-<，解之得14λ<<.例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，問是否存在實數,,x y z 同時滿足兩個條件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，請說明理由.解：假設滿足條件的實數,,x y z 存在，則有8366,23124,1.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=∴滿足條件的實數111,,236x y z ===. 課堂小結（1）理解平面向量的座標的概念；（2）掌握平面向量的座標運算；（3）會根據向量的座標，判斷向量是否共線. 作業見同步練習拓展提升1.設,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 設,1e 2e是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e和21e +2e D. 1e +2e 和2e3.已知,1e 2e 不共線，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，並且a ，b共線，則下列各式正確的是（）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.設AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b，那麼下列各組的點中三點一定共線的是（）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ５．下列說法中，正確的是（）①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，那麼下列兩個結論中正確的是（）①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ為實數）可以表示該平面內所有向量；②若有實數1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，則1λ＝2λ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不對７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB ＝a，AC ＝b ，則AM ＝（）Ａ．21（a －b ）Ｂ．－21（a －b ）Ｃ．－21（a ＋b ）Ｄ．21（a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB ＝a，AE ＝b ，則BC ＝（）Ａ．21（a －b ）Ｂ．－21（a －b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b為已知向量，則1e ＝，2e ＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面內兩個不共線的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，CD ＝２1e －2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為 .１１．當ｋ為何值時，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共線，其中1e 、2e 是同一平面內兩個不共線的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋ1e +2e 與b ＝1e ＋ｋ2e 共線？。

高中数学人教A版(2019)必修第二册《平面向量的正交分解及坐标表示》教案

《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。

三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾问题情境【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底，任作一个向量a r，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj r r r …………○1 我们把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作(,)a x y r …………○2 其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。

结合定义，指导学生求出向量i r 、j r 、0r 的坐标。

（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a u u u r r ，则点A 的位置由a r 唯一确定。

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版

第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标 1．借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示2．会用坐标表示平面向量重点借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示难点借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题给定平面内两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a ，均可分解为两个向量11e λ，22e λ，即a +=11e λ22e λ，其中向量11e λ与1e 共线，向量22e λ与2e 共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．环节二抽象概括，形成概念1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示（1）基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．（2）坐标对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得j y i x a +=，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．（3）坐标表示：a =(x ，y )．（4）特殊向量的坐标：i =1(，)0，j =0(，)1，0=0(，)0环节三例题练习，巩固概念【例1】如图，分别用基底{i ，j }表示意向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知，j i AA AA a 3221+=+=，所以2(=a ，)3因为j i b 32+-=，所以2(-=b ，)3，因为j i c 32--=，所以2(-=c ，)3-，因为j i d 32-=，所以2(=d ，)3-．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且2||=a ，3||=b ，4||=c ，分别计算出它们的坐标．【解析】设1(a a =，)2a ，1(b b =，)2b ，1(c c =，)2c ，则222245cos ||1=⨯=︒=a a ， 222245sin ||2=⨯=︒=a a ， 23)21(3120cos ||1-=-⨯=︒=b b ，233233120sin ||2=⨯=︒=b b ， 32234)30cos(||1=⨯=︒-=c c ，2)21(4)30sin(||2-=-⨯=︒-=c c ，所以2(=a ，)2，23(-=b ，)233，32(=c ，)2-环节四小结提升，形成结构求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．环节五目标检测，检验效果【练1】如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成︒30角．求点B 和点D 的坐标以及AB 与AD 的坐标．【解析】由题意知B ，D 分别是︒30，︒120角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点．设1(x B ，)1y ，2(x D ，)2y ．由三角函数的定义，得2330cos 11=︒⨯=x ，2130sin 11=︒⨯=y ，所以23(B ，)21． 21120cos 12-=︒⨯=x ，23120sin 12=︒⨯=y ，所以21(-D ，)23．所以23(=AB ，)21，21(-=AD ，)23．环节六分层作业，应用迁移《课时作业》第195页；预习教材第29~30页；完成《学法大视野》第22~23页题型二、三．课后记：。

2013新人教A版必修四3.1《平面向量正交分解及坐标表示》word教案

§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示主编：彭小武审核：罗伍生班级姓名【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1：向量b r 、()0a a ≠r r r 是共线的两个向量，则a r 、b r之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量1e u r 、2e u u r ，请同学们作出向量1232e e +u r u u r 、122e e -u r u u r.（二）自主探究：（预习教材P93—P96）探究：平面向量基本定理问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+u r u u r的向量表示呢？1.平面向量的基本定理:如果1e ρ,2e ρ是同一平面内两个的向量，a ρ是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使。

其中，不共线的这两个向量,1e ρ2e ρ叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a ρb ρ，作=,a ρ=b ρ，则叫做向量a ρ与b ρ的夹角。

如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是。

当时，表示a ρ与b ρ同向；当时，表示a ρ与b ρ反向；当时，表示a ρ与b ρ垂直。

记作：a b ⊥r r .在不共线的两个向量中，90θ=o ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》优质课教案_0

平面向量的正交分解及坐标表示一、教材分析本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。

二、学情分析对于学生来说，向量是个新内容。

前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。

学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。

因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。

三、教学目标1．知识与技能（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)=；=，0(0,0)=，j(0,1)（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。

2．过程与方法学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

3．情感态度与价值观在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

四、教学重点平面向量的坐标表示。

五、教学难点对平面向量坐标表示生成过程的理解。

突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。

六、教学方法启发式教学法七、教学过程（一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．师：倾斜角为30o 的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？【设计意图】引出课题。

平面向量的正交分解及坐标表示教案

平面向量的正交分解及坐标表示（教案）陈育林教学目标掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算，让学生体验由一般到特殊的认知规律以及数形结合的思想，培养学生的应用意识，让学生感受平面向量的正交分解与现实的联系，教学重难点重点：平面向量的坐标运算；难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。

教学过程复习：平面向量基本定理及定理的理解(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量新课引入：火箭的速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。

（情景介绍）新课概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解探究1分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底?探究2任一向量a ，用这组基底能不能表示?探究3在直角坐标系中点可以用坐标来表示，对于直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？ 1.平面向量的坐标表示 a =x i +y j把（x ，y ）叫做a 的坐标记作a =（x ，y ），x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，（x ，y ）叫做向量a 的坐标表示特别的， i =（1,0） j =（0,1）0=（0，0) 思考：在直角坐标平面内以原点O 为起点作向量OA =a 则点A 的位置由向量a 唯一确定吗？设OA=x i +y j ，则OA 的坐标(x,y)就是点A 的坐标，也是对应向量的坐标评注:向量OA=(x ， A(x,y)相等的向量坐标也对应相等.即a =（x 1，y 1），b =（x 2，，y 2）若a =b x1=x 2,y 1=y 2示例巩固例1、如图分别用基底i ，j 表示a 、b 、c 、d ，并求出他们的坐标。

《平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计、导学案、同步练习

《6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。

因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。

【教学目标与核心素养】A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；【教学重点】：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；【教学难点】：平面向量的坐标表示。

【教学过程】二、探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？【解析】在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。

【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。

高中数学第二章平面向量正交分解及坐标表示教案新人教A版

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=，求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。