2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1.1不等关系与不等式课件新人教A版必修第一册

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新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式23二次函数与一元二次方程不等式第2课时二次函数与一(

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：第二章 2.3 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为( D )A ．m >2B ．m <2C ．m <0，或m >2D ．0<m <2[解析] 由Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m <0可得．2．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4，或a ≥4D ．a <－4，或a >4[解析] 由Δ＝a 2－4×4≤0可得．3．若存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋m <0成立，则实数m 的取值范围是( B ) A ．m ≤1 B ．m <1 C ．m >1D ．m ≥1[解析] 由题意可得Δ＝4－4m >0，∴m <1.4．已知关于x 的不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |2<x <3}，则a ＋b 的值是( C ) A ．－11 B ．11 C ．－1D ．1[解析] 由已知可得2,3是方程x 2－ax －b ＝0的根，故a ＝5，b ＝－6，∴a ＋b ＝－1，故选C ．5．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，应有( D )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)[解析] 由条件知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝－2＋4，ca ＝－2×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a ，所以f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a [(x －1)2－9]，则f (－1)＝－5a ，f (2)＝－8a ，f (5)＝7a .又因为a >0，所以f (2)<f (－1)<f (5)．6．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( D )A ．－2<m < 2B ．－2<m <0C ．－2<m <1D ．0<m <1[解析] 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝m 2＋m －2<0，f －1＝m 2－m <0，解得0<m <1，故选D ．二、填空题7．若不等式x 2－ax －a ≤－3的解集为空集，则实数a 的取值范围是__{a |－6<a <2}__. [解析] 不等式x 2－ax －a ≤－3可化为x 2－ax －a ＋3≤0，由不等式x 2－ax －a ≤－3的解集为空集，得Δ＝(－a )2－4(－a ＋3)<0，即a 2＋4a －12<0，解得－6<a <2，则实数a 的取值范围是{a |－6<a <2}． 8．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，则实数a ＝__4__. [解析] 不等式x －ax ＋1>0等价于(x －a )(x ＋1)>0，因为不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，所以a ＝4. 9．若不等式x 2＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__{a |1<a <3}__.[解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴当x ＝－1时，x 2＋2x ＋2有最小值，最小值为1，由不等式x 2＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|<1，解得1<a <3， ∴实数a 的取值范围是{a |1<a <3}．三、解答题10．关于x 的不等式E ：ax 2＋ax －2≤0，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式E 的解集；(2)若不等式E 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，不等式E ：ax 2＋ax －2≤0可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，方程(x ＋2)(x －1)＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1，则不等式x 2＋x －2≤0的解集是{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ＝1时，不等式E 的解集为{x |－2≤x ≤1}．(2)当a ＝0时，不等式E 化为0·x 2＋0·x －2≤0，对x ∈R 恒成立，即a ＝0满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2－4a －2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－8≤a ≤0，解得－8≤a <0.综上可知，a 的取值范围为{a |－8≤a ≤0}．11．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：甲、乙两车有无超速现象？[解析] 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12，即x 2＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2>10，即x 2＋10x －2000>0，解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，即超过规定限速．B 组·素养提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( C )A ．{x |－1<x <0}B ．{x |－2<x <－1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}[解析] 由x (x ＋2)>0，得x >0或x <－2.又由|x |<1，得－1<x <1，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为{x |0<x <1}．2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( A )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}[解析] ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2，∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．3．(多选题)不等式x 2＋ax ＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，且|x 1|＋|x 2|≤2，其中错误的命题为( ACD )A ．|a |≥1B ．b ≤1C ．|a ＋2b |≥2D ．|a ＋2b |≤2[解析] 由题意知x 1x 2＝b ，|x 1|＋|x 2|≤2，不妨令a ＝－1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，但|a ＋2b |＝1，所以C 不正确；令a ＝2，b ＝1，则x 1＝x 2＝1，但|a ＋2b |＝4，所以D 不正确；令a ＝0，b ＝－1，则x 1＝－1，x 2＝1，但|a |＝0，故A 不正确；b ＝x 1x 2≤(x 1＋x 22)2≤⎝⎛⎭⎪⎫|x 1|＋|x 2|22≤1，所以B 正确，故选ACD ．4．(多选题)已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( BCD ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}[解析] 在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0，3－m >0，m >0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．二、填空题5．若对任意实数x ，不等式2kx 2＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值范围是__{k |－24<k ≤0}__.[解析] 当k ＝0时，不等式为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，解得－24<k <0.综上所述，－24<k ≤0.6．关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋2k －1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k 的取值范围是__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪k >112__. [解析] 令f (x )＝x 2－(k ＋1)x ＋2k －1，则f (4)<0，即42－4(k ＋1)＋2k －1<0，整理有2k －11>0，解得k >112.7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，则a 的最小值为__－52__.[解析] ∵x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，∴a ≥－(x ＋1x )在x ∈{x |0<x ≤12}上恒成立．令g (x )＝－(x ＋1x )，则g (x )在{x |0<x ≤12}上为增函数．∴g (x )max ＝g (12)＝－52.∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52.三、解答题8.如图，有一长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x 米．(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x 的取值范围．[解析] (1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x .所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23x 2(0<x <30)．(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故x 的取值范围是{x |12≤x ≤18}．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质(不等量关系、比较大小、重要不等式)

2ab
四个直角三角形的面积和S' =_____;
F
C
E
(2) S与S’有什么样的不等关系，如何表示？
S大于S'，即 + >
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？
B
D
当a=b时
+ =
即
当a=b时，S=S'，
ACE(FGH)来自综上， + ≥ （当且仅当 = 时取等号）
B
重要不等式：
一般地，a , b R,有
a 2 b 2 2ab
当且仅当a b时，等号成立。
还可以用别的方法证明重要不等式？
作差
变形
定号
定论
补充练习：比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
(1)2x2 +3 与 x+2
x∈R;
3
段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A C
Q
B
【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市
场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价
后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
练习：39页：1
2. 比较两个实数的大小
等，相等用等式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速； Τ；
设该路段行驶的汽车速度为，则0<v≤40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，

新教材高中数学第二章等式性质与不等式性质教案新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥，即(15)1102xx -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－，而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b 时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定．题型二利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->，所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

新教材高考数学第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系

第1课时不等关系与不等式课标解读课标要求核心素养1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(重点)2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.(重点、难点) 1.通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,培养数学抽象素养.2.在学习利用作差法比较两个实数大小的过程中提升数学运算素养,培养学生转化化归的数学思想.在日常生活中,购买火车票有一项规定:随同成人旅行,身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m 的儿童,享受半价客票(简称儿童票),超过1.5 m 时应买全价票.每一名成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m 的儿童,超过一名时,超过的儿童应买儿童票.问题:在上述情境中,如果设儿童的身高为h m,如何用含h 的不等式来描述一名买儿童票的儿童的身高?答案 1.2≤h≤1.5.1.基本事实实数a,b 大小的比较:依据a>b ⇔①a-b>0;a=b ⇔②a-b=0; a3和x=3中有一个成立时,x≥3就成立.2.重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2+b2⑥≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.探究一用不等式(组)表示不等关系例1 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式组.解析设购买的A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,那么{40x+90x≤1000, x≥5,x≥6,x,x∈N*.思维突破(1)将多个不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意,把文字语言转化为数学符号语言,找准不等式所联系的量;②选取恰当的不等号连接.(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把题目中的不等关系表示出来.解析设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,那么{4x +x ≤10,18x +15x ≤66,x ≥0,x ≥0.探究二作差法比较大小例2 x≤1,比较3x 3与3x 2-x+1的大小.解析 3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=3x 2(x-1)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x -1≤0,3x 2+1≥1, ∴(3x 2+1)(x-1)≤0,∴3x 3≤3x 2-x+1. 思维突破作差法比较大小的基本步骤2.(1)(变条件)把例2中的“x≤1〞变为“x∈R〞,再比较3x 3与3x 2-x+1的大小;(2)(变条件)把例2中的两个代数式变为3x 2+1与2x 2+3x-1,其他条件不变,比较这两个代数式的大小. 解析 (1)3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). 易知3x 2+1≥1,当x>1时,x-1>0,∴3x 3>3x 2-x+1; 当x=1时,x-1=0,∴3x 3=3x 2-x+1;当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.(2)3x2+1-(2x2+3x-1)=x2-3x+2=(x-2)(x-1),∵x≤1,∴x-2<0,x-1≤0,∴(x-2)(x-1)≥0,∴3x2+1≥2x2+3x-1.探究三不等关系的实际应用例3 为打造“书香校园〞,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出那些符合题意的组建方案.解析因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角(30-x)个,那么{0<x<30,80x+30(30-x)≤1900,50x+60(30-x)≤1620,x∈N*,解得18≤x≤20,x∈N*,所以x的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.易错点拨(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.(2)根据实际问题列出不等式(组),应从符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.3.某公司有20名技术人员,计划开发A、B两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下:产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类127.5B类136现制订计划欲使总产值最高,那么应开发A类电子器件件,最高产值为万元.答案20;330解析设应开发A类电子器件x(0≤x≤50,x∈N*)件,总产值为y万元,那么开发B类电子器件(50-x)件,由x2+50-x3≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取得最大值,且最大值为330. 所以应开发A类电子器件20件,最高产值为330万元.1.以下能表示“a不比b小〞的不等关系的是( )A.a-b>0B.a-b<0C.a-b≥0D.a-b≤0答案 C “a不比b小〞意味着“a与b的差大于等于0〞,应选C.2.在开山工程爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )A.4×2x≥100B.4×2x≤100C.4×2x>100D.4×2x<100答案 C 当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为4×2x米,为了保证安全,有4×2x>100.3.假设实数a>b,那么a2-ab ba-b2.(填“>〞或“<〞)答案>解析因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2.4.设x∈R,比较x1+x2与12的大小.解析x1+x2-12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,∴x1+x2≤12.逻辑推理——作差法证明不等式a>0,求证:a+1x≥2.素养探究:用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,其方法有配方、通分、分解因式等.解答此题可利用配方法把差式化为完全平方式以确定其符号,过程中表达逻辑推理核心素养.证明a+1x -2=(√x)2+(1√x)2-2=(√x-1√x)2≥0,∴a+1x≥2.a,b均为正实数,证明:a3+b3≥a2b+ab2.证明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,那么a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,∵a,b均为正实数,∴a+b>0,那么a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.1.以下说法正确的是( )A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000〞B.小明的身高为x,小华的身高为y,那么小明比小华矮可表示为“x>y〞C.变量x不小于a可表示为“x≥a〞D.变量y不超过a可表示为“y≥a〞答案 C 对于A 选项,x 应满足x≤2 000,故A 错误;对于B 选项,x,y 应满足x<y,故B 错误;对于C 选项,x 与a 的关系可表示为“x≥a〞,故C 正确;对于D 选项,y 与a 的关系可表示为“y≤a〞,故D 错误. 2.某校对高一美术生划定录取分数线,要求专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式组表示为( )A.{x ≥95x ≥380x >45B.{x ≥95x >380x ≥45C.{x >95x >380x >45D.{x ≥95x >380x >45答案 D3.设M=x 2,N=-x-1,那么M 与N 的大小关系是( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x 有关答案 A ∵M -N=x 2+x+1=(x +12)2+34>0, ∴M>N.4.假设A=a 2+3ab,B=4ab-b 2,那么A 、B 的大小关系是( ) A.A≤B B.A≥B C.AB D.A>B答案 B ∵A -B=a 2+3ab-(4ab-b 2) =(x -x 2)2+34b 2≥0,∴A≥B.5.不等式a 2+4≥4a 中,等号成立的条件为 . 答案 a=2解析令a 2+4=4a,那么a 2-4a+4=0,即(a-2)2=0,∴a=2.6.某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为 . 答案 |x-500|≤1解析 ∵某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么-1≤x -500≤1,∴|x -500|≤1.7.a,b 为实数,那么(a+3)(a-5) (a+2)(a-4).(填“>〞“<〞或“=〞)答案 <解析因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a 2-2a-15-(a 2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 8.甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg)1194假设用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x,y 表示混合食物成本c 元,并写出x,y 所满足的不等关系.解析依题意得c=11x+9y+4z,又x+y+z=100,∴c=400+7x+5y. 由{600x +700x +400x ≥56000,800x +400x +500x ≥63000及z=100-x-y, 得{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,∴x,y 所满足的不等关系为{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,x ≥0,x ≥0.9.(多选)以下不等式正确的是( ) A.x 2+3>2x(x∈R) B.a 3+b 3≥a 2b+ab 2C.a 2+b 2≥2(a -b-1)D.a 2+b 2≥2ab答案 ACD 对于A 选项,x 2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x 2+3>2x;对于B 选项,a 3+b 3-a 2b-ab 2=a 2(a-b)+b 2(b-a)=(a-b)(a 2-b 2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b 的符号不能确定,∴B 不一定正确;对于C 选项,a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a 2+b 2≥2(a -b-1); 对于D 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0, ∴a 2+b 2≥2ab.10.a,b,c 为不全相等的实数,P=a 2+b 2+c 2+3,Q=2(a+b+c),那么P 与Q 的大小关系是( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q答案 A ∵P -Q=a 2+b 2+c 2+3-2(a+b+c)=a 2-2a+1+b 2-2b+1+c 2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0, 且a,b,c 为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q,应选A.11.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下底面有一点B,那么A 、B 两点间的距离d 满足的不等式为 .答案 2≤d≤2√3解析最短距离是棱长2,最长距离是正方体的体对角线长2√3.故2≤d≤2√3. 12.当m>1时,m 3与m 2-m+1的大小关系为 . 答案 m 3>m 2-m+1解析 m 3-(m 2-m+1)=m 3-m 2+m-1=m 2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m 2+1),∵m>1,∴(m -1)(m 2+1)>0,∴m 3>m 2-m+1. 13.a,b,c 满足b+c=3a 2-4a+6,b-c=a 2-4a+4,比较a,b,c 的大小. 解析 ∵b -c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c. 由题意得方程组{x -x =x 2-4a +4,x +x =3x 2-4a +6,解得{x =2x 2-4a +5,x =x 2+1.∴c -a=a 2-a+1=(x -12)2+34>0,∴c>a,∴b≥c>a.14.有学生假设干人,住假设干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.解析设宿舍有x 间,那么学生有(4x+19)人,依题意得, {4x +19<6x ,4x +19>6(x -1),解得192<x<252.∵x∈N *,∴x=10,11或12,此时学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10和59或11和63或12和67.。

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1.1不等关系与比较大形件新人教A版必修第一册

【思考】 3≤3成立吗？提示：成立.不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b”或者“a=b”，即当“a<b” 与“a=b”一个成立时，该不等式就成立.
2.比较两个实数a，b大小的依据
文字语言
如果a>b，那么a-b是正数，反之亦然
符号表示 a>b⇔_a_-_b_>_0_
如果a<b，那么a-b是负数，反之亦然
课堂检测·素养达标
1.下列说法正确的是 ( ) A.x为非正数可表示为“x≥0” B.小华的实际年龄n不足18岁，表示为“n≤18” C.两数x，y的平方和不小于2，表示为“x2+y2≥2” D.甲数a比乙数b大，表示为“a≥b” 【解析】选C.x为非正数应表示为“x≤0”，小华的实际年龄n不足18岁应表示为“n<18”，甲数a比乙数b大，应表示为“a>b”，故A，B，D不正确，C正确.
【解析】“不超过”即小于或等于，故用不等式表示为：a≤3. 答案：a≤3
2.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管.按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
【补偿训练】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，
关键能力·合作学习
类型一利用不等式(组)表示不等关系(数学抽象、逻辑推理) 角度1 利用不等式表示不等关系
【典例】1.2019年10月5日14时18分，京张高铁联调联试正式启动.此条线路是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速350公里.用一个数学式子表示高铁时速v为_______. 2.中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为_______.

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式3二次函数与一元二次方程不等式第1课时课件新人教必修一

(√ ) (4)函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方
程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1 的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
第二章一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式
[课程目标] 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二二次函数和一元二次方程、不等式的关系对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点的____横__坐__标____；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系：
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0 恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0，得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求根公式得另一个根为－2.
例1 教材拓展求下列不等式的解集：
R __∅__
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二次方程．

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式等式与不等式1学生用书湘教版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1　相等关系与不等关系 2．1.1　等式与不等式最新课程标准学科核心素养1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)1.梳理等式的性质．2．理解不等式的概念．3．掌握不等式的性质．第1课时　等式与不等式(1)教材要点要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤状元随笔　不等式a≥b 或a≤b 的含义(1)不等式a≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b”，等价于“a 不小于b”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a≥b 正确．(2)不等式a≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b”，等价于“a 不大于b”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a≤b 正确．要点二　比较两个实数a ，b 大小的依据1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ；如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．2．符号表示a－b＞0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b＜0⇔a________b.状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )(2)若ab＞1，则a＞b.( )(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.( )(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )A．v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1　用不等式(组)表示不等关系例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种钢管．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1　(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用不等式表示x，y所满足的不等关系．题型2　实数(式)的比较大小例2　已知a＞0，试比较a与1a的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )A．p＞q B．p≥qC．p＜q D．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．题型3　不等关系的转化及应用例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是( )A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A．3或4B．4或5C．3或5D．4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．第二章　一元二次函数、方程和不等式2．1　相等关系与不等关系2．1.1　等式与不等式第1课时　等式与不等式(1)要点二1．正数　等于0　负数2．>　＝　<[基础自测]1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．答案：C3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x+12)2＋34>0，所以M>N.故选A.答案：A4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1　解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：¿答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.(2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56000，800x +400y ≥63000，x ≥0，y≥0，即{6x +7y≥560，4x +2y≥315，x ≥0，y≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2　(2)见解析例2　解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a −1)(a +1)a，a ＞0所以当a ＞1时，(a −1)(a +1)a＞0，有a ＞1a ；当a ＝1时，(a −1)(a +1)a ＝0，有a ＝1a ；当0＜a ＜1时，(a −1)(a +1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a；当a ＝1时，a ＝1a；当0＜a ＜1时，a ＜1a.跟踪训练2　解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b +m a +m −b a ＝ab +am−ab −bm a (a +m )＝m (a −b )a (a +m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a −b )a (a +m )＜0，∴b +m a +m ＜ba .答案：(1)C (2)见解析例3　解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n 5)，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3　解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，)则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a +b )200＝a +b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b ＝21a +1b ＝2aba +b ，因为a +b 2−2ab a +b ＝(a +b )2−4ab 2(a +b )＝(a −b )22(a +b )＞0，所以a +b 2＞2aba +b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；CD 正确．故选CD.答案：CD2．解析：∵n －m ＝x 2≥0，∴n ≥m .故选D.答案：D3．解析：设宿舍房间数量为x ，男生人数为y ，则{y =3x +60＜y −5(x−1)＜5x ，y ∈N ∗，解得x ＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.答案：B4．解析：因为x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y .答案：x <y5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a+mb+m.(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，易知淡糖水浓度为a1b1，浓糖水浓度为a2b2，则混合后的糖水浓度为a1+a2b1+b2，则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1+a2b1+b2＜a2b2.。

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1.2不等式的性质课件新人教A版必修第一册

ab
C中，当a=-1，b=-5时，a>b，而a4<b4，故不正确.
3.选C.对于A，若a<b，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于C，因为a<b， 1
a2b2
>0，所以
1 ab2
1；
a2b
对于D，当a=-1，b=1时， b = a =-1.
可乘方性
性质内容 aa>>bb，，cc<>00⇒⇒_aa_cc_><_bb_cc_
a>b，c>d⇒_a_+_c_>_b_+_d_
a>b>_0a_，c_>_cb_>d_d>0⇒ a>b>0⇒_a_n_>_b_n (n∈N，n≥2)
注意 c的符号
同向同向同正同正
本质：不等式的性质是由等式性质类比而得到的，是解决不等式问题的基本依据. 应用：判断证明不等式是否成立，解不等式问题时的依据.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A. a b>0⇒ a> b⇒a>b>0⇒a2>b2，但由a2-b2>0⇒/
a b>0.
（1）不等式两边同乘或除以负数时，要变号;
（2）同乘或除以代数式时，要注意代数式的正负分类讨论
逻辑推理：通过等式性质，类比推理不等式性质，培养逻辑推理的核心素养数学建模：不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养
ab

2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式教学课件

答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.1第1课时不等关系与不等式学案含解析第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式［目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2。

理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点］会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填］1．不等式的定义所含的两个要点：（1)不等符号〈，≤,〉，≥或≠。

(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答］1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗?（2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1）①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里;②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈｛t|7。

5≤t≤10｝．(2）①v≥50;②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.知识点二比较两实数a,b大小的依据［填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？提示：一般地，对差式分解因式或配方．4．比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．提示:因为(x2＋3）－3x＝x2－3x＋3＝［x2－3x＋错误!2]＋3－错误! 2＝错误!2＋错误!≥错误!〉0，所以x2＋3〉3x。

类型一用不等式(组）表示不等关系[例1]已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表:食物甲乙维生素A/(单位/kg）600700维生素B/（单位/kg）800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系．[分析]根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．［解］x kg甲种食物含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A（600x＋700y）单位，含有维生素B（800x＋400y）单位，则有错误!即错误!1.用不等式（组）表示不等关系的步骤：(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数；（2)适当设未知数表示变量；（3）用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．2．常见的文字语言与符号语言之间的转换［变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1。

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式1第1课时不等关系与比较大形件新人教A版必修第一册ppt

(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0，所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
证明:
例已知 a ，b ，m 都是正数,且 a b ,求证: b m b .
am a
因为 b m b (b m)a (a m)b
【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
作差，变
形，判断
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x > x－2.
5.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：
名称
月租费
中国电信卡 30元
每分钟通话费 0.40元
抽象概括
刻画
数学问题：不等式
【即时练习】写出满足下列条件的不等式: （1）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为 7 ℃，明天白天的最高温度为13 ℃．
7 ℃≤t≤13 ℃
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高５m”．
h 5m
微课2 作差法比较两个实数大小
关于实数a,b大小的比较，有以下事实：
求这个人月通话时间的取值范围.
【解析】设月通话时间为x分钟，由30+0.4x≤150，解得x≤300.
逆境是成长必经的过程，能勇于接受逆境的人，生命就会日渐的茁壮。
3.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h. 行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m) v≤120 km/h

2021_2022学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时不等关系与比较大形件

2．已知 a，b 分别对应数轴上的 A，B 两点，且 A 在原点右侧，B 在原点左侧，
则下列不等式成立的是( )
A．a－b≤0
B．a＋b<0
C．|a|>|b|
D．a>b
【解析】选 D.a>0，b<0，所以 a>b.
3．用不等式表示下面的不等关系： (1)a 与 b 的积是非负数：____________________． (2)m 与 n 的和大于 p：____________________． (3)某学校规定学生离校时间 t 在 16 点到 18 点之间：__________________．答案：(1)ab≥0 (2)m＋n>p (3)16≤t≤18
作差法证明不等式的步骤 (1)将不等式的两边作差． (2)进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号． (3)利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
【加固训练】
已知 a<b<0，求证：ba
a b a＝b
ab a＝b a<b
多维度理解比较两个实数大小的基本事实． 1．本质：等价符号(⇔)的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，揭示了实数的运算性质与大小顺序之间的关系． 2．作用： (1)证明不等式、解不等式的依据； (2)将比较两个实数大小，转化为比较它们的差与 0 的大小．

高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1.1不等关系与不等式a高一第一册数学

解：设A，B两地路程为2s，甲车从A地到B地所用的时间为 t1，则t21a＋t21b＝2s，∴t1＝a＋4sb；
设乙车从A地到B地所用的时间为t2，则t2＝as＋bs.
12/9/2021
第二十页，共二十四页。
t1－t2＝
4s a＋b
－
s a
－
s b
＝
4sab－sba＋b－saa＋b aba＋b＝－absaa＋－bb2，
合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单
位维生素B.试用x、y表示混合食物的成本c(单位：元)，并写出x、
y所12满/9/2足021 的不等关系．
第十七页，共二十四页。
解：依题意得，c＝11x＋9y＋4z，∵x＋y＋z＝100， ∴c＝400＋7x＋5y，
600x＋700y＋400z≥56 000，由800x＋400y＋500z≥63 000，
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第十三页，共二十四页。
10．打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，若购买桌子和椅子的数目分别为x，y，用不等式组表示上述不等关系为
50x＋20y≤2 000， x≤y， y≤1.5x， x≥0，x∈N， y≥0，y∈N ______________________________.
解析：∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)
＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋
1 2
)2－
3 4
<0，
∴a<b，∴点A在点B的左边．
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第十二页，共二十四页。
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200km，写成不等式为___8_(x_＋__1_9_)_>_2_2_0_0__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原8x来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____9_<_x_－__1_2_<_1_0__.