非线性系统分析

第八章非线性系统分析

8-1 概述

一、教学目的和要求

了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。

二、重点

非线性概念，常见非线性特性。

三、教学内容：

1 非线性系统概述

非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。

（1）非线性系统特征—不满足迭加原理

1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始

条件及输入有关。

2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初

始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

（2）非线性系统研究方法

1)小扰动线性化处理（第二章介绍）

2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式

3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。

2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：

1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)

饱和对系统运动特性的影响：

进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪

⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）

（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ

死区对系统运动特性的影响：

⎪⎩⎪⎨⎧↓

↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误

等效%(e K ss

σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。 2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)

3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)

间隙对系统影响：

1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓

2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性

减小间隙的因素的方法：

(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。

5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理

改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪

⎨⎪⎩

、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性

摩擦对系统运动的影响：

影响系统慢速运动的平稳性

6)继电特性：

对系统运动的影响：

1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨

⎩⎪

⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨

⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪

⎪⎪⎪⎩

一、二阶系统可以稳定、理想继电特性　等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性　等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法

一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。 二、重点

相平面法。 三、教学内容：

1 相平面法基础(适用于二阶系统) 1）相平面 相轨迹

二阶非线性系统运动方程：()[(),()]x t f x t x t =――定常非线性运动方程

[,][,]dx dx

f x x dx dt

dx f x x dx x

⋅==

（1）相平面：由)(1x x 为横坐标，)(2x

x 为纵坐标的直角坐标平面，称为相平面或状态平面。

（2）相轨迹：由))()((12x f x

x f x == 在相平面上描绘的曲线叫做相轨迹； （3）相变量（状态变量）：独立变量21x x 、（或)(),(t x x x ）叫做相变量。 （4）相平面图：根据不同初始条件所描绘的相轨迹曲线的集合（曲线族），叫做相平面图。

（5）奇点或平衡点：即当同时满足021==x

x （或0,0==x x ）解出的点称为奇点。在奇点处，速度和加速度都为0，因此系统处于平衡状态（即静止状态）。奇点是所有相轨迹曲线分离或汇合的点。

（6）极限环：当系统出现等幅振荡时，其相轨迹为一闭合的曲线，此称之为极限环。 2、相轨迹的绘制方法

三种方法（1）解析法（2）图解法 1.解析法

解析法就是用求解微分方程的办法找出)(t x

和)(t x 的关系，从而在相平 面上绘制相轨迹。有两种方法。

（1）消除参变量t

直接从方程),(x x f x

=解出)(t x ，再由)(t x 求出)(t x ，消除)(t x ,)(t x 中的t ，即得x

与x 的关系。 （2）直接积分：

因为 dx

x

d x dt dx dx x d dt x d x

=⋅==

故 ),(x x f x =可写成

),(x x f dx

x d x = 若该式可分解为dx x h x d x

g )()(= 则

dx x h x d x

g x

x x

x

)()(0

0⎰⎰

= 找出x

与x 的关系，其中00,x x 为初始条件。 例8-1 已知系统的微分方程

02

20

0(0)

0(0)

12

2()

x m x x x x m

x mt

Mt t x M x x +====-=-=--0对积分得再积分x-x =-消去中间变量，得

2.

相轨迹绘制的等倾斜线法： 系统方程为：(,)dx

x x f x x dx

=⋅=-

(,)dx f x x dx x

α=-=令相轨迹的斜率 得出等斜线方程：(,)f x x x αα

⎧=-

⎨

=⎩相平面上此方程对应曲线点上的

相轨迹斜率为等值　

给定不同的α值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应α的

短线，可以构成相轨迹切线的方向场。由此可画出非线性运动的相轨迹。。

例 8-2 微分方程为 001=++x a x a x

绘制出来的相轨迹曲线。

因为：x a x a x 01--=

即

x

x

a a dx x d 01--=

令 α=dx

x

d ， 则α=--x x a a 0

1 ，此方程称为等倾线方程。由此可求得：

α

+-=10a a x x

令 K x x

= ，则Kx x =

令 1,110==a a 当1-=α 时，有-∞=+-

=1

1

αK