导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案解析)

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1．设函数．

（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；

（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；

（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．

2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．

3．已知函数（其中，）.

（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.

（1）求的值；

（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；

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（3）讨论关于的方程的根的个数.

6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.

（1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ⎛

⎤∈-∞- ⎥⎝⎦

，且函数()()1

2ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.

7．已知函数()ln x m

f x e

x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ；

（2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）.

8．已知函数()()2

ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3

3

x f x ≤；

（2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1

2ln ,13x F x e

x x f x a x -=++=-+.

（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x

f x e ax =+-

（1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且

[][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。

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参考答案

1．（1）;（2）；（3）．

【解析】

试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．

(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，

在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)令，可得，令，则

，所以在区间内单调递减，且在区间内必存

在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，将(*)式代入上式，得．使

得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．

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试题解析：

(1)当时，，

∴在处的切线斜率，

由，得，∴，∴．

(2)易知函数的定义域为，

又，

由题意，得的最小值为负，

∴．(注：结合函数图象同样可以得到)，

∴

∴，∴；

(3)令，其中，

则，

则，

则，

∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，即，可得，(*)

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则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，

将(*)式代入上式，得．

根据题意恒成立，

又∵，当且仅当时，取等号，

∴，

∴，代入(*)式，得，

即，又，

∴，∴存在满足条件的实数，且．

点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.

2．（1）①当时，在上为减函数；②当时，的减区间为，增区

间为；（2）证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导，当时，，故在

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上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2）根据，构造函数，设，，当时，，所以是增函数，，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为

，而此时，且，故恰有两个零点，

从而得到的增减性，当时，；当时，；当时，，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点．

试题解析：

（1）对函数求导得，

，

①当时，，故在上为减函数；

②当时，解可得，故的减区间为，增区间为；

（2），设，则，

易知当时，，

；

（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，

其最小值为，

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