数学中的四个“心”

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初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.&ang;BOC=2&ang;BAC，&ang;AOB=2&ang;ACB，&ang;COA=2&ang;CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，&ang;C=90°，r=(a+b-c)/2.5.&ang;BOC = 90 °+&ang;A/2 &ang;BOA = 90°+&ang;C/2 &ang;AOC = 90 °+&ang;B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

数学学习中的“眼、耳、口、手、心”

数学学习中的“眼、耳、口、手、心”乐安一中左海芳近几年来，旨在教会学生会学习、提高学生自学能力的学法指导的研究和实践已是基础教育改革的一个热门课题。

这一课题的提出和研究，不仅对当前提高基础教育质量、实施素养教育具有现实意义，而且对培养以后社会进展所需要的人才、促进科教兴国具有历史意义。

随着社会、经济、科技的高速进展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。

不仅如此，数学教育的实践和历史还说明，数学作为一种文化，对人的全面素养的提高具有庞大的阻碍。

因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。

可目前由于受“应试教育”的阻碍，数学教学中违抗教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。

在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。

全面推进数学素养教育，使学生成为积极的探究者、摸索者，必须重视学生“学”的过程，抓好学生数学学习中的“眼、耳、口、手、心”。

数学学习中的“眼”眼到：确实是在听讲的同时看课本和板书，观看要有条理（按先后、空间、结构、特点），有深度（既注意外显特性，又注意隐藏特性，既注意意料之中的事，又注意意外情形的发生）。

关于观看既要有分析又要有比较。

要善于发觉事物的细微差别和共同特点，使观看有一定深度。

同时要对观看结果进行记录，及时整理，以便得出规律。

现代社会已进入信息化时代，要求人们不仅要“学会”，更要“会学”。

“会学”的基础当是会“眼”读，包括：1.1看教材教材是学生学习数学的要紧材料，它是数学课程教材编制专家在充分考虑学生生理心理特点、教育教学质量、数学学科特点等众多因素的基础上精心编写而成的，具有极高的阅读价值。

读教材包括课前、课堂、课后三个环节。

课前读教材属于了解教材内容，发觉疑难问题；课堂读教材则能更深刻地明白得教材内容，把握有关知识点；课后读教材是对前面两个环节的深化和拓展，达到对教材内容的全面、系统的明白得和把握。

数学四心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图++2=+=∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为方向上的单位向量， ∴bc +平分BAC ∠, (λ=∴b AC c AB +)，令cb a bc++=λBCD∴cb a bcAO ++=（b c +) 化简得)(=++++c b c b a∴=++c b a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴λ2+=+= λ2=∴∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，∴+BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的B CD（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +BC ⋅++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OH ++=，则H 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222+=+，则O 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。

mba联考综合数学之三角形的“四心”

MBA 联考综合数学之三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

三角形四心性质在MBA 联考中常涉及，特别是重心的性质要多加注意。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：（MBA 考试重点内容）定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.三角形内部到三角形三个顶点和最小的点就是重心，即GC+GA+GB 最小。

初中数学竞赛辅导-三角形的四心

学科: 奥数教学内容：三角形的四心【内容综述】三角形的四心，指的是三角形的垂心。

重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。

（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。

垂心常用字母H来表示。

（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。

重心常用字母G来表示。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。

（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。

内心常用字母I来表示。

内心到三边的距离相等。

（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

【例题分析】★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。

求证：AO=BE+CF。

思路直接证AO=BE+CF比较困难。

可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。

证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。

∵G是重心，BD=DC。

过D 点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。

★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。

思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。

解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。

从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。

因而ID=IE。

在△DIE中，即由余弦定理解得★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。

思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。

证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。

又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。

同理可证AB=2BT。

专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)

专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-，所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论．【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心，故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）．（1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值；（3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+，由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误；对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确；对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______．【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=，即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝，最后根据OA OB 、不共线得到关于x y λ，，的方程组即可求解【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。

高中数学高考数学专题复习三角形四心的向量问题

三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

● 与“重心”有关的向量问题【命题1】已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.● 与“垂心”有关的向量问题【命题3】P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同图⑴图⑵理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.【命题5】若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的垂心证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙= 即()0HC HC BA +∙= AB HC ∴⊥图⑶ 图⑷A同理,AC HB BC HA ⊥⊥，故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题【命题6】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题7】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分图⑸图⑹B。

重难点突破之奔驰定理与“四心”问题学生版-高中数学

重难点突破之奔驰定理与“四心”问题【常用结论】考点一．四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．考点二．奔驰定理---解决面积比例问题(1)重心定理：三角形三条中线的交点．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G (x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33)．注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1．考点三．三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．考点四．常见结论(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上．AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心．(2)外心：P A =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心．(3)垂心：P A ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅P A⇔P 为△ABC 的垂心．(4)重心：P A +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心．【奔驰定理和四心的性质及证明】1、【重心】：若O 为△ABC 重心(1)S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1；(2)OA +OB +OC =0 ；(3)动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(4)动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(5)重心坐标为：x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3.2、【垂心】：若O 为△ABC 垂心(1)OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA(2)OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB2(3)动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C(5)tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0.3、【内心】：若O 为△ABC 内心(1)S △BOC :S △COA :S △AOB =a :b :c(2)a •OA +b •OB +c •OC =0 (3)动点P 满足OP =OA+λAB|AB |+AC|AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(4)OA ⋅AC |AC |-AB|AB |=OB ⋅BC|BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=04、【外心】：若O 为△ABC 外心(1)OA 2 =OB 2=OC 2 ；(2)动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACACcos C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；(3)若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的外心；(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ；(5)sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =0.5、奔驰定理以及四心的向量式证明：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ,ΔAOC ,ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A •OA +S B •OB +S C •OC =0【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BDDC=S ΔABD S ΔACD =S ΔBOD S ΔCOD =S ΔABD -S ΔBOD S ACD -S ΔCOD =S CS BOD =DC BC OB +BD BC OC=S BS B +S C OB +S C S B +S COC∵ODOA =S BOD S BOA =S COD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA =S A S B +S C ∴OD =-S A S B +S COA∴-S A S B +S C OA =S BS B +S C OB +S C S B +S COC∴S A •OA +S B •OB +S C •OC =0推论:O 是ΔABC 平面内的一点，且x •OA +y •OB +z •OC =0，则S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =x :y :z ②S △BOC S △ABC=xx +y +z 6、【奔驰定理与三角形四心向量式】1、O 是ΔABC 的重心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1⇔OA +OB +OC =02、O 是ΔABC 的内心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =a :b :c ⇔a •OA +b •OB +c •OC =03、O 是ΔABC 的外心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =sin2A :sin2B :sin2C⇔sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =04、O 是ΔABC 的垂心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C⇔tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0证明：如图O 为三角形的垂心，tan A =CD AD,tan B =CDDB ⇒tan A :tan B =DB :ADS ΔBOC :S ΔCOA =DB :AD ∴S ΔBOC :S ΔCOA =tan A :tan B同理得S ΔCOA :S ΔAOB =tan B :tan C ，S ΔBOC :S ΔAOB =tan A :tan C ∴S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一重难点题型(一)四心的识别1.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心2.O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.内心B.重心C.外心D.垂心3.O 是△ABC 所在平面上一点，若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心4.已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA 2 =OB 2 =OC 2 ，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心重难点题型(二)奔驰定理1.(23-24高一下·甘肃·期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC=0，则cos ∠AMB =()A.-63B.-66C.66D.632.已知点P 是ΔABC 所在平面内一点，满足2P A +5PB +3PC =0，S ΔABC =s ，则S ΔPBC =3.(22-23高一下·上海奉贤·阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则有S A OA +S B OB +S C OC =0，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是()A.若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C.则O 为△ABC (不为直角三角形)的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0D.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =924.(22-23高三上·江西·阶段练习)奔驰定理：已知点O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0，则cos C =()A.31010B.1010C.255D.55重难点题型(三)四心的相关的计算1.(2024·新疆·二模)已知椭圆x 29+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为ΔMF 1F 2的内心和重心，则IG ⋅F 1F 2=()A.0B.1C.22D.32.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =5，AC =4，则下列各式正确的有．①AG ⋅BC =-3 ②AO ⋅BC=-6③OH =OA +OB +OC ④AB +AC =4OM +2HM3.(23-24高一下·四川·期末)△ABC 中，AB =2，点P 为△ABC 平面内一点，且PB ⋅BC =-12,PC ⋅BC=12,O 、H 分别为△ABC 的外心和内心，当tan ∠BAC 的值最大时，OH 的长度为()A.2-22B.3-222C.22D.14.(23-24高一下·山东烟台·阶段练习)在斜△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，46a sin2C =3a 2+b 2-c 2sin B ，b =4，点O 满足2OA +OB +OC =0 ，且cos ∠CAO =14，则△ABC 的面积为()A.152B.10C.215D.45重难点题型(四)奔驰定理与四心的综合题1.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)已知△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若O ,P ,H 为△ABC 所在平面内点，则下列说法正确的个数为()①若PO =13(P A +PB +PC )，则O 为三角形ABC 的重心；②若HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2，则点H 是△ABC 的垂心；③若O 是△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④若O 是△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0.A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ΔABC 内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA +bOB +cOC =0 ；②tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0；③sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；④OA +OB +OC =0 ；则点O 分别为ΔABC 的()A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心3.(2024高一下·上海·专题练习)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC 内一点，△BMC ,△AMC ,△AMB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0．以下命题错误的是()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若∠BAC =45°,∠ABC =60°，M 为△ABC 的外心，则S A :S B :S C =3:2:1D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =-664.(23-24高一下·福建莆田·期中)(多选题)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB+S C ⋅MC =0．以下命题正确的有()A.若S A :S B :S C =1:1:1，则M 为△ABC 的重心B.若M 为△ABC 的内心，则BC ⋅MA +AC ⋅MB +AB ⋅MC =0C.若M 为△ABC 的外心，则MA +MB ⋅AB =MB +MC ⋅BC =MA +MC ⋅AC=0D.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0 ，则cos ∠AMB =665.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C 则S ，S A ⋅OA+S B ⋅OB +S C ⋅OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的一个内角，且点O 满足则OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =06.(20-21高一下·江苏苏州·期中)(多选题)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角△ABC 内的一点，A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB=OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则()A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-CC.OA :OB :OC=sin A :sin B :sin CD.tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =07.(2021·四川凉山·三模)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC P A +S △P AC PB +S △P AB PC =0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有P A +PB +PC =0 ；②若aP A +bPB +cPC =0成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，P A=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有.8.(23-24高一下·湖南·期中)已知△ABC 中AB =2，点D 满足BD =2DC ，且AD=AB 2⋅AC +AC 2⋅ABAB 2+AC2，点O 是△ABC 的外心，则AO ⋅BC =．。

高三数学一轮复习课件之三角形“四心”的相关向量结论

考点探究
【重心】：若 O 为△ABC 重心
（1） SBOC : SCOA : SAOB 1:1:1；
（2）OA OB OC 0 ；
A
O
B
C
考点探究 A
（3）
，P 为平面内任意一点； O
B
C
（4）动点 P 满足OP OA (AB AC) ， (0， ) ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的重
（5）sin 2A• OA sin 2B • OB sin 2C • OC 0 .
满足OP OB OC
2
AB AB cos B
AC
AC
cos C
， (0， ) ，则动点 P
的轨
迹一定通过△ABC 的外心；
考点探究
（3）若 OA OB AB OB OC BC OA OC AC 0 ，则O 是△ABC 的外心；
（4） S△BOC : S△COA : S△AOB sin 2 A : sin 2B : sin 2C ；
方法点拨
考点探究
【四心的概念】 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1，重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
三角形“四心”的相关向量结论
方法点拨
奔驰定理如图，已知 P 为△ ABC 内一点，则有 S△PBC·P→A＋S△PAC·P→B＋S△PAB·P→C＝0．
推论：已知 P 为△ ABC 内一点，且 xP→A＋yP→B＋zP→C＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋

高中数学平面向量四心总结

OP OA ( AB AC ) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（ B ）
AB AC
A．外心
B．杰老师高考驿站
98 训练营
分析： AB 、AC 分别为 AB、AC 方向上的单位向量， AB AC
AB AC 平分 BAC, AB AC
点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，即选 B .
（1） OA OB OC 0 O 是 ABC的重心.
证法 1：设 O(x, y), A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 )
OA OB OC
0
(x1 x) (x2 x) (x3 x) 0 ( y1 y) ( y2 y) ( y3 y) 0
比是（
） A．0
B． 3 2
C． 5 4
D． 4 3
4． ABC的外接圆的圆心为 O，若 OH OA OB OC ，则 H 是 ABC 的（）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5． O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，若
2
OA
2
BC
2
OB
2
CA
2
OC
2
AB
，则 O 是 ABC 的（
典型例题：例 1 ： O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OP OA (AB AC) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
分析：如图所示 ABC， D、E 分别为边 BC、AC 的中点.
AB AC AP ，则的值为（）

高中数学平面向量与三角形的“四心”

培优专题1 平面向量与三角形的“四心”三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。

因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。

知识点1 三角形的内心1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、常见内心的向量表示：（1）||||||0AB PC BC PA CA PB ++=（或0aPA bPB cPC ++=）其中,,a b c 分别是ABC ∆的三边AC AB BC 、、的长（2）(),(0,)||||AB ACAP AB AC λλ=+∈+∞，则P 点的轨迹一定经过三角形的内心（注：向量()AB AC ABACλ+(0λ≠)所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线)）3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。

拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心．【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量，的方向与的角平分线方向一致；又，；的方向与的角平分线方向一致，点的轨迹一定通过的内心．知识点2 三角形的外心1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、常用外心的向量表示：（1）222||||||OA OB OC OA OB OC ==⇔==（2）()()()0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅= 变形：P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()0OA OB PB PA OB OC PC PB OA OC PC PA +⋅−=+⋅−=+⋅−=，则O 为三角形的外心3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。

高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系

高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC +=AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=☆向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==☆乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a ba b•<>=•=222221212121y x y x +⋅+当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+ ∴AD OA OP λ2+= AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅=BC AC BC AB ⋅+=+-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，ABOC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心B CDB CD（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)

三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ．证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ．三条中线的交点B ．三条高线交点C ．三个内角平分线交点D ．三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。

三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

高考数学向量与三角形的四个心

ABC 的（
） B．内心 C．重心
A
A．外心
D．垂心
分析：如图所示 ABC ，D、E 分别为边 BC、AC 的中点. AB AC 2 AD
E
OP OA 2 AD
OP OA AP AP 2 AD
B
D
C
AP // AD
点 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心，即选 C .
向量与三角形内心、外心、重心、垂心一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、典型例题例 1： O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定通过

AC BC cos C AC cos C
= BC + BC =0
点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，即选 D .
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( AB AB cos B AB BC AB cos B AC AC cos C AC BC AC cos C ) BC
B D C A
AB AB cos B

AC AC cos C
) ， 0, ，则点 P 的轨迹一定
） B．内心 C．重心 D．垂
E
=

=
AB BC cos B AB cos B
例 2：（03 全国理 4） O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的