江苏省苏北四市2017届高三上学期摸底考试(11月) 数学含答案
江苏省苏北四市2017届高三上学期期中学考试试数学精彩试题(解析汇报版)
2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= ．2．已知复数z 满足z （1﹣i ）=2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ．3．函数y=cos （x+）的最小正周期为 ．4．如图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ．5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人．6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ．7．设实数x ，y 满足，则3x+2y 的最大值为 ．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2=3，S 4=16，则S 9的值为 ．9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是 ．11．若tan β=2tan α，且cos αsin β=，则sin （α﹣β）的值为 ．12．已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．13．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是．14．已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．19．（16分）在数列{an }中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= {0，1} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，所以∁U A={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为4π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．【解答】解：∵ω=，∴函数的最小正周期T==4π，故答案为：4π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为23 ．【考点】程序框图．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知第1次循环，x=5，n=2；第2次循环，x=11，n=3；第3次循环，x=23，n=4；退出循环，输出x=23．故答案为：23．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．5．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取8 人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人故答案为：8．【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．6．（2016秋•江苏期中）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（2016秋•江苏期中）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=3×1+2×0=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（2016秋•江苏期中）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为81 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=3，S 4=16，∴a 1+d=3，4a 1+d=16，解得a 1=1，d=2．则S 9=9+×2=81． 故答案为：81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•江苏期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】综合题；方程思想；演绎法．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：． 【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．10．（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由B 2F ⊥AB 1，可得•=0，即可得出．【解答】解：F （c ，0），A （a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），∴=（﹣c ，b ），=（a ，b ），∵B 2F ⊥AB 1，∴•=﹣ac+b 2=0， ∴a 2﹣c 2﹣ac=0，化为：e 2+e ﹣1=0，0＜e ＜1．解得e=， 故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2016秋•江苏期中）若tan β=2tan α，且cos αsin β=，则sin （α﹣β）的值为 ﹣ ． 【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sin αcos β=cos αsin β，再根据cos αsin β=，求得 sin αcos β的值，利用两角差的正弦公式求得sin （α﹣β）的值．【解答】解：∵tan β=2tan α，即=2， ∴2sin αcos β=cos αsin β．∵cos αsin β=，∴sin αcos β=，则sin （α﹣β）=sin αcos β﹣cos αsin β=﹣=﹣，故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12．（2016秋•江苏期中）已知正数a ，b 满足+=﹣5，则ab 的最小值为 36 ． 【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】正数a ，b 满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足+=﹣5， ∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0， 解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab ≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2016秋•江苏期中）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是[﹣9，0] ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．14．（2016秋•江苏期中）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知y min=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan （B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…因为：A∈（0，π），所以：A=．（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．所以：sinB=，sinC=，所以由正弦定理可得：b===2…（10分）【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，∴直线EF⊥平面ADC1．【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…（4分）因为，而，所以，…（6分）解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km ）．故灌溉水管EF 的长度为km ．…（8分）（2）设DE=a ，DF=b ，在△ABC 中，，所以在△ADC 中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF 的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC 中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF 的最短长度为km ．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•江苏期中）在数列{a n }中，已知a 1=，a n+1=a n ﹣，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．（1）求证：数列{3na n }是等差数列； （2）求S n ；（3）是否存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）把给出的数列递推式a n+1=a n ﹣，n ∈N *，变形后得到新数列{3n a n }，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{a n }的通项公式，利用错位相减法从而求得求S n ；（3）根据等差数列的性质得到2S q =S p +S r ，从而推知p ，q ，r 的值． 【解答】（1）证明：由a n+1=a n ﹣，n ∈N *，得到3n+1a n+1=3na n ﹣2，则3n+1a n+1﹣3na n =﹣2． 又∵a 1=，∴3×a 1=1，数列{3na n }是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3na n =1﹣2（n ﹣1）， 所以，a n =，所以S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，①S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得S n =﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以S n =．（3）假设存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列． 则2S q =S p +S r ， 即=+．由于当n ≥2时，a n =＜0，所以数列{S n }单调递减． 又p ＜q ，所以p≤q﹣1且q至少为2，所以≥，﹣=．①当q≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{S n}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）（2016•宿迁三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE •AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016秋•江苏期中）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，…则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋•江苏期中）已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．【解答】解：由展开得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016秋•江苏期中）设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．【考点】绝对值三角不等式．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，则|2x+y﹣3|＜c成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角．【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则令x=2，解得y=0，z=1，所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．证明：（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，则当n=k+1时，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1时也成立．由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．。
江苏省苏锡常镇四市2017年高考数学一模试卷(解析版)
2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．（16分）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，20．（16分）己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．【点评】本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域以及对数函数的性质，是一道基础题．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．【点评】本题考查了循环语句的应用问题，模拟程序的运行过程，是解答此类问题的常用方法．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．【点评】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查抛物线的焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列中第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与线性表示的应用问题，也考查了运算推理能力，是基础题．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增，＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，此时y=15×﹣22=，则x3+y3﹣x2﹣y2≥（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥﹣y=﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．【点评】本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）（2017•江苏一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B +，C=，可得sinC=sin ．代入可得﹣16sin 2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l ，∴a ×=3，b ×=1，化为：a 2+c 2﹣b 2=6c ，b 2+c 2﹣a 2=2c ． 相加可得：2c 2=8c ，解得c=4． （2）由（1）可得：a 2﹣b 2=8．由正弦定理可得： ==，又A ﹣B=，∴A=B +，C=π﹣（A +B ）=，可得sinC=sin ．∴a=，b=．∴﹣16sin 2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B ）=，即cos2B ﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B ∈．解得：B=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏一模）如图，在斜三梭柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E 是AB 中点；（2）若AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．17．（14分）（2017•江苏一模）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，取得函数的模型是关键．18．（16分）（2017•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）（2017•江苏一模）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（16分）（2017•江苏一模）己知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，设数列{b n }满足b n =（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，化为： =2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n ﹣1．数列{b n }满足b n =，可得b 1，b 2，b 3，利用数列{b n }是等差数列即可得出t ．（3）根据（2）的结果分情况讨论t 的值，化简8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m ，即可得出a 1．【解答】（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，∴=a n +1，即=2，∴数列{}是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： =，∴ =n•4n ﹣1．∵b n =，∴b 1=，b 2=，b 3=，∵数列{b n }是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）（2017•江苏一模）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．（10分）【点评】本题主要考查了弦切角、解三角形知识等，属于基础题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏一模）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•江苏一模）已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．【点评】本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四.必做题：每小题0分，共计20分25．（2017•江苏一模）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．（2017•江苏一模）设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省苏北四市2016-2017届高三年级第二次调研测试数学试卷word(修正版)
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b满足a b a b ==+ ，则a 与2a b - 夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-= 上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD-中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA EB⊥，点,M N分别是,AE CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BAN BCNπ∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016—2017学年度高三年级第二次调研测试数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分 所以24sin22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--=．…………………………………………………14分16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B = ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =．则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB (km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为π()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP = ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得2c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分 （2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k-++，……………………10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k k Q k k --++， 所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k ==”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分 19．（1）当0a =时，2()2ex f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e '()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分 （3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x -+≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-，即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立，令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++，所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?．设(1)k m n =-，因为214114443k k --++++=，所以(1)21545[3(1444)1]m n k --??++++，213[5(144+4)2]1k -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k -++++为正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m -=?， 由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准21．[选做题]A ．因为D 为弧BC 的中点，所以DBC DAB ∠=∠，DCDB =，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒， 又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥， 所以ABD △∽BDE △，所以2AB BD BD AD BE BC==，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为2，4．……………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，…………………………………………5分圆心C 到直线l =1m =-或5m =-．…………10分 D ．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18≥，当且仅当a b c ===”， 所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．AB CDEO （第21(A)题）甲选做D 题的概率为1113C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2=．则1111()32212P E =⨯⨯=．答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为112． …………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分1112(0)(1)32212P X ==-⨯⨯=，212111115(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222111(3)C (1)3212P X ==⨯-=． ……………………………………………8分X 的数学期望4()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n -，………………………………1分由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n nn n n n n n x x x x x x ------++=++++++可知， 1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++．所以0111111121C C C C C C C n n n n n n n n n n n ------+++= ．…………………………………4分（2）当*k N Î时，!!C !()!(1)!()!k nn n k k k n k k n k =?--- 11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---=?--．……………………………6分所以12222211111(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n nn k k k k knnnnn nn n k k k n k k n --===+++===邋?11111(CC )(C C )nn k k n k kn nn n k k n n----====邋．………8分由（1）知0111111121C C C CC C Cn n n n n nn nn nn ------+++= ，即1211(C C )C nn k k nn n n k ---==å，所以1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++= ． …………………………………10分。
江苏省苏北四市2017届高三上学期摸底考试(11月) 化学含答案
苏北四市高三年级摸底考试化学本试卷满分120分，考试时间100分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Cu 64第I卷选择题(共40分)单项选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意1．日常生活中硫、氮氧化物的排放可能导致“酸雨”。
下列活动会导致“酸雨”危害加剧的是A．种草植树，建设“海绵”城市B．推广使用电动车C．普及燃煤供暖，减少石油依赖D．开发太阳能照明2．下列有关化学用语表示正确的是A．中子数为1的氢原子：B．氯原子的结构示意图：C．N2的电子式：D．乙醇的结构简式：C2H5OH3．下列物质性质与应用对应关系正确的是A．次氯酸有酸性，可用于漂白、杀菌消毒B．纯碱能与酸反应，可用作治疗胃酸过多的药物C．液氨汽化时要吸收大量的热，工业上可用作制冷剂D．晶体硅的熔点高、硬度大，可用于制作半导体材料4．短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X元素原子最外层电子数是内层的2倍，Z是地壳中含量最高的元素，W是同周期原子半径最大的金属元素。
下列说法正确的是A．原子半径的大小顺序：r(W)＞r(Z)＞r(Y)B．Z的简单气态氢化物的热稳定性比Y的强C．X的最高价氧化物对应水化物的酸性比Y的强D．Z分别与X、W形成的化合物的化学键类型相同5．下列指定反应的离子方程式正确的是A．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag+2H＋+NO3－＝Ag＋+NO↑+H2OB．碳酸钙粉末加入醋酸溶液中：CaCO3+2H+＝Ca2++CO2↑+H2OC．Ca(OH)2溶液与过量NaHCO3溶液反应：HCO3－+Ca2＋+OH－＝CaCO3↓+H2O D．电解饱和NaCl溶液：2Cl－＋2H2O 2OH－＋H2↑＋Cl2↑6．根据侯氏制碱原理制备少量NaHCO 3的实验，需经过制取NH 3、制取NaHCO 3、分离NaHCO 3、干燥NaHCO 3四个步骤，下列图示装置和原理能达到实验目的的是7．下列说法正确的是A ．镀铜铁制品镀层破损后，铁制品比破损前更容易生锈B ．标准状况下，22.4 L Cl 2与足量NaOH 溶液反应，转移电子数为2molC ．水的离子积常数K w 随着温度的升高而增大，说明水的电离是放热反应D ．Na 2CO 3溶液中加入少量Ca(OH)2固体，CO 32－水解程度减小，溶液的pH 减小8．真空碳热还原-氯化法可实现由铝矿制备金属铝，其相关的热化学方程式如下： ①Al 2O 3(s)+3C(s)＝2Al(s)+3CO(g) △H 1＝1344.1kJ ·mol －1 ②2AlCl 3(g)＝2Al(s)+3Cl 2(g) △H 2＝1169.2 kJ ·mol －1 ③Al 2O 3(s)+ 3C(s) +3Cl 2(g)＝2AlCl 3(g)+3CO(g) △H 3＝Q kJ ·mol －1 下列有关说法正确的是A ．反应①中化学能转化为热能B ．反应②中若生成液态铝则反应热应大于△H 2C ．反应③中1molAlCl 3(g)生成时，需要吸收174.9kJ 的热量D ．该生产工艺中能循环利用的物质只有AlCl 39．下列物质的转化在给定条件下能实现的是A ．①③B ．①②C ．②④D ．③④10．下列图示与对应的叙述相符的是①Mg CO 2 点燃 C SiO 2 高温 Si 点燃 ④S H 2O 2SO 4 SO 3 △②NH 3 NO H 2O O 2/催化剂 HNO 3 MnO 2 ③浓HClKBr(aq) Cl 2 Br 2 △A．图甲表示某可逆反应物质的浓度随时间的变化，且在t时刻达到平衡状态B．图乙表示向0.1 mol·L–1的氨水溶液中逐渐加水时溶液的导电性变化C．图丙表示某放热反应分别在有、无催化剂的情况下，反应过程中的能量变化D．图丁表示向CH3COOH溶液中逐渐加入CH3COONa固体后，溶液pH的变化不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。
江苏省苏北四市高三上学期摸底考试(11月)——数学数学
江苏省苏北四市2017届高三上学期摸底考试（11月）数 学 试 题参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集，集合，则 ▲ ．2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为 ▲ ．3．函数的最小正周期为 ▲ ．4．右图是一个算法的流程图，则输出的值为 ▲ ．5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 ▲ 人．6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．7．设实数，满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则的最大值为 ▲ ．8．设是等差数列的前项和，且，，则的值为 ▲ ．9．将斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ▲ ．10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右、下、上顶点，是椭圆 的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ▲ ． 11．若，且，则的值为 ▲ ．12．已知正数，满足，则的最小值为 ▲ ． 13．已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，．若的最大值是，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（本小题满分14分）在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）若，求的长．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱上，且．求证：（1）直线∥平面；（2）直线平面．（第10题）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分） 某城市有一直角梯形绿地，其中， km ， km ．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．19．（本小题满分16分）在数列中，已知，，，设为的前项和．（1）求证：数列是等差数列；（2）求；（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）设函数，为正实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若函数有且只有个零点，求的值．（第18题图②）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：2AB BE BD AE AC=⋅-⋅．B．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分）求椭圆在矩阵1312⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A对应的变换作用下所得的曲线的方程．C．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程．D．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）设，，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．23．（本小题满分10分）设，．（1）求，，的值；（2）证明：对任意正整数，是8的倍数．参考答案与评分标准一、填空题1． 2．1 3． 4．23 5．8 6． 7． 8．819． 10． 11． 12．36 13． 14．二、解答题15．（1）因为，，，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分，………………………………4分又，所以．……………………………………………………6分（2）因为，且，又，所以，……………………………………………8分同理可得，． …………………………………………………10分由正弦定理，得3sin sin c B b C ===……………………………14分 16．（1）连结，因为，分别为，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………2分所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………4分所以，又因为，，所以直线平面．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱中，平面，又平面，所以，又是正三角形，且为的中点，所以，……………9分又平面，，所以平面，又平面，所以，……………………………………11分又，平面，，所以直线平面．…………………………………………………14分17．（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．因为，，，所以直线的斜率为，设直线的方程为， ……………………………………………2分则圆心到直线的距离为d ==…………………………4分因为MN AB ==而，所以， ……………………………6分解得或，故直线的方程为或．…………………………………8分（2）假设圆上存在点，设，则，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即，即， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分所以圆与圆相交，所以点的个数为．…………………………………………………………14分18．（1）因为，，，所以，……………………………………2分取中点， 则四边形的面积为12EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形，即1313)22222GF =⨯++⨯， 解得，…………………………………………6分所以3EF =(km)． 故灌溉水管的长度为km ．……………………8分（2）设，，在中，，所以在中，，所以，所以的面积为1sin 602DEF S ab =︒△， 又，所以，即．……………………12分在中，由余弦定理，得EF ==当且仅当时，取“”．故灌溉水管的最短长度为km ．……………………………………16分19．（1）证明：因为，所以，…………………2分又因为，所以，所以是首项为1，公差为的等差数列． …………………………4分（2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-⋅-=-，所以，………6分 所以12311111()(1)()(3)()(32)()3333n n S n =⋅+-⋅+-⋅++-⋅…，（第18题图②）所以23+1111111()(1)()(52)()+(32)()33333n n n S n n =⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅ ， 两式相减得2312111112[()()()](32)()333333n n n S n +=-++⋯+--⋅ 1111()11132[](23)()139313n n n -+-=-⨯+-⋅-， 所以．…………………………………………………………………10分（3）假设存在正整数，，，使成等差数列，则，即．由于当时，，所以数列单调递减．又，所以且至少为2，所以， ………………12分．①当时，，又，所以，等式不成立．…………………………………………14分②当时，，所以，所以，所以 (单调递减，解唯一确定)．综上可知，，，的值为，，． ………………………………16分20．（1）当时，，则，……………2分所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．…………4分（2）因为，设函数，则， …………………………………………………6分所以111()ln 10f a aa =-+≤．………………………………………………8分 （3）2121'()2ax ax f x ax a x x --=-+=-，， 令，得44a a x a a-<<，因为， 所以在上单调增，在上单调减．所以()f x f ≤．………………………………………………10分 设，因为函数只有1个零点，而，所以是函数的唯一零点．当时，，有且只有个零点，此时，解得．…………………………………………12分 下证，当时，的零点不唯一．若，则，此时，即，则．由（2）知，，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；若，则，此时，即，则．同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．因此，所以的值为．…………………………………………………16分21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题．．．．．．．区域内作答．．．．．．若多DE做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．证明：连结，因为为圆的直径，所以，又，，则四点共圆，所以，…………………………5分又∽，即，所以BE BD AE AC BA BF AB AF ⋅-⋅=⋅-⋅．………… 10分B ．设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到点， 则11111103311022x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………5分 则代入椭圆方程，得，所以所求曲线的方程为．……………………………………………10分C．由得1sin cos 32ρθθ=，…………………………………5分 又，，所以曲线的直角坐标方程为．…………………………………10分D ．因为，所以，故|23||221|x y x y +-=-+-………………………………………………………5分，故．………………………………………………………………10分22．（1）因为平面，且平面，所以，，又因为，所以两两互相垂直．分别以为轴建立空间直角坐标系，则由，可得，，，，，又因为为的中点，所以．所以，，…………2分 所以cos ,||||AP BM AP BM AP BM ⋅〈〉==， 所以异面直线，所成角的余弦值为．…………………………5分（2）因为，所以，则，，，设平面的法向量为， 则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即令，解得，， 所以是平面的一个法向量．……………………………7分因为直线与平面所成角的正弦值为，所以||4|cos ,|5||||MN MN MN ⋅〈〉===m m m ， 解得，所以的值为．……………………………………………………………10分23．（1）代入求出，，．……………………………3分（2）①当时，是8的倍数，命题成立．…………………………4分②假设当时命题成立，即是8的倍数，那么当时，11(1)3723(372)4(71)k k k k k f k +++=+-=+-++，因为是偶数，所以是的倍数，又由归纳假设知是8的倍数，所以是8的倍数，所以当时，命题也成立．根据①②知命题对任意成立．…………………………………………10分。
苏北四市2017一模数学试卷
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B =U ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b r r 满足a b a b ==+r r r r，则a r 与2a b -r r 夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、 4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．徐州市2017届高三期末调研测试 数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分 所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()252=-⨯--⨯．…………………………………………………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面I ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B =I ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =． 则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB =(km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为π()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP =． ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4-km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得2c a a c c ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k-++，……………………10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k kQ k k --++，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q kS OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k =时，取“=”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分19．（1）当0a =时，2()2e x f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-，若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e'()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <<'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x x +≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-，即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立， 令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++， 所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立， 所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分（3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?．设(1)k m n =-，因为214114443k k L --++++=， 所以(1)21545[3(1444)1]m n k L --??++++，213[5(144+4)2]1k L -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k L -++++为正整数，所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m-=?， 由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分。
江苏省苏北四市2017届高三第一次调研考试数学试题-Word版含答案
连云港市2017届高三第一学期期末调研考试数学Ⅰ注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本试卷满分160分，考试时间120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回. .3．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置；在其它位置作答一律无效. 4.如有作图需要，空用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 参考公式： 样本数据：12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑圆锥的侧面积公式为12S cl =，其中c 为圆锥的底面的周长，l 为母线长. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.已知集合{2,0},{2,3}A B =-=-，则AB = ．z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分， 则剩下4个分数的方差为 ．4.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ．1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为 ．6.若抛物线28y x =的交点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则a 的值为 ．2，则该圆锥的侧面积为 ．()sin()(0)6f x w x w ππ=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x ≤-的解集为 ．,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． ,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -的夹角的余弦值为 ．13．已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，3,AB P =是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点， 则PA PB +的取值范围为 ．()32sin ,1925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )A b C c B a +=. （1）求A 的值；（2）若3cos 5B =，求sin()B C -的值. 15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，,,EA EB M N ⊥分别为,AE CD 的中点，求证：（1）直线//MN 平面EBC ； （2）直线EA ⊥平面EBC . 17.（本小题满分14分）如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖总小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 出，3tan 4BAN ∠=，4BCN π∠=.现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，由两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，在沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 、4万元/km .（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？ 18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>22，且右焦点F 到左准线的距离为62.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，角y 轴于点N . ①当直线PA 的斜率为12时，求FMN ∆的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求APQ ∆的面积的最大值. 19.（本小题满分16分）已知函数()2,()ln ,2x f x ax g x x ax a R e=-=-∈.（1）解关于()x x R ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x ≥+≥对任意的0x >恒成立？若存在，求出,a b 的值； 若不存在，请说明理由. 20.（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于n N *∀∈，都有(31)n S n n ≤+，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =， 证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b连云港市2017届高三第一学期期末调研考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．[选修4-1]：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 中点，E 为BC 的中点， 求证：2AB BC AD BD ⋅=⋅B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分） 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求,a b 的值.C ．[选修4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2sin()()4l m m R πθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos (23sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），当圆心C 到直线l 的距2m 的值.D[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知,,a b c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m ，解关于x 的不等式12x x m +-<. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）甲、乙、丙分别从,,,A B C D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题. （1）求甲选做D 题，且乙、丙都不做D 的概率；（2）设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 23. （本题满分10分） 已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++.（1）求21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数，并化简01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++；（2）证明：1222221()2()()n nn n n n C C n C nC -+++=.试卷答案一、填空题1.{}2,0,3- 3.14 4.20 5.1 8.12-9.2 10.(,3]-∞-11.8 12.571413.[]7,13 14.{}20,16-- 二、、解答题15.（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， 2分 即2cos sin sin A A A =，因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， 4分 又(0,)A π∈，所以3A π=. 6分（2）因为3cos 5B =，(0,)B π∈，所以24sin 1cos 5B =-=， 8分 所以2247sin 22sin cos ,cos 212sin 2525b B B B B ===-=-， 10分所以()2222sin sin[()]sin(2)sin 2cos cos 2sin3333B C B B B B B ππππ-=--=-=- 12分241737324()25225250-=-⨯--⨯=. 14分 16.（1）取BE 的中点F ，连接,CF MF , 又M 是AE 的中点，所以1//,2MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 的中点， 所以1//,2NC AB NC AB =, 所以//,MF NC MF NC =，所以四边形MNCF 是平行四边形， 4分 所以//MN CF ,又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以//MN 平面EBC . 7分（2）在矩形ABCD 中，BC AB ⊥， 又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面EAB AB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ， 10分 又EA ⊂平面EAB ，所以BC EA ⊥， 又,,,EA EB BCEB B EB BC ⊥=⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EAB EBC . 14分 17.（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ， 在Rt ABD ∆中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==, 所以43AD BD =, 在Rt BCD ∆中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==, 所以CD BD =，则413AC BD CD BD BD =-=-=，即3BD =, 所以3,4CD AD ==， 由勾股定理得225()AB AD BD km =+=，所以,A B 两镇间的距离为5km 4分（2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=万元 6分 方案②：设BPD θ∠=，则0(,)2πθθ∈，其中0BAN θ=∠在Rt BDP ∆中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-，则总铺设费用为6122cos 2488tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=-8分 设()2cos sin f θθθ-=，则()222sin (2cos )cos 12cos sin sin f θθθθθθθ---'==， 令()0f θ'=，得3πθ=，列表如下：所以()fθ的最小值为()3f π=所以方案②的总铺设费用最小为8+万元，此时4AP =-820+<. 12分 所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向(4km -处，总铺设费用最低.14分18.（1）由题意，得2c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则b =， 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=. 4分（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN 的方程为y x =-，则2(0,)N k-， ①当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2),(0,4),M N F -， 因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN ∆的外接圆的方程为22(1)9x y ++=. 8分②联立22(4)1168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222(12)16320k x k x k +++=，解得2122484,12k x x k -=-=+，所以222488(,)1212k kP k k -++， 10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得222848(,)1212k k Q k k -++， 所以,P Q 关于原点对称，即PQ 过原点，所以APQ ∆的面积211632()212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⨯=≤++ 14分 当且仅当12k k=，即k =时，取“=”所以APQ ∆的面积的最大值为分19．（1）当0a =时，()22x f x e=，所以()0f x ≤的解集为{}0；当0a ≠时，()()2xf x x a e=-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[]0,2ea ； 若0a <，则()0f x ≤的解集为[]2,0ea ；综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{}0；当0a >，则()0f x ≤的解集为[]0,2ea ； 当0a <，则()0f x ≤的解集为[]2,0ea ； 4分（2）设()()2()2x h x f x g x lnx e =-=-，则()21x x eh x e x ex-'=-=， 令()0h x '=，得x =所以函数()h x 的最小值为0h=，所以()2ln 02x h x x e=-≥，即()()f x g x ≥. 8分 3、假设存在常数,a b 使得()()f x ax b g x ≥+≥对任意的0x >恒成立，则22ln 2x ax b x e≥+≥对任意的0x >恒成立， 而点x =21ln 22x x e ==，所以11222b ≥+≥，所以122b =，则122b =-.所以2222222x x ax b ax e e --=-+，所以2212220222x x ax b ax e e --=-+-≥， ①当0a ≤时，1202<，所以在(0,)+∞上不恒成立； ②当0a >时，2214(2)02a e -≤，即21(2)02≤，所以a =12b =-. 12分 令()1ln 2x x x ϕ=-+，则()x ϕ'=()0x ϕ'=，得x =当0x <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ在上单调增；当x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ在)+∞上单调减，所以()x ϕ的最大值为0ϕ=，所以1ln 02x x -+≤恒成立，所以存在12a b ==-符合题意. 16分 20、（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故15a =，当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以111(1)(1)(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n +--++-++=+-+-，即1(1)()6(1)n n n n a a a a ++-=+又0n a >，所以16n n a a +-=，所以2126(1)66,56(1)61k k a a k k a a k k -=+-=+-=+-=-，故33,31,n n a n n N a n n n N**⎧+-∈⎪=⎨-∈⎪⎩为奇数为偶数 5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ++≤+恒成立，令()()()22332394101(2)(1)n n n n f n f n f n n n n ++++=+-=>+++， 所以()14a f ≤=， 8分当n 为偶数时，13(31)6n S n n a n =⋅++-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤，由10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4] 10分（3）设222231(3)k b a k k ==-≥，所以公比2315k q -=， 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数， 取252()k m m N *=+∈，则31q m =+，故15(31)n n b m -=⋅+， 由1315(31)n n k m --=⋅+得，11[5(31)1]3n n k m -=⋅++， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++. 14分。
精品解析【全国市级联考】江苏省徐州市(徐州宿迁连云港淮安四市)2017届高三11月模拟考试数学试题解析(解
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，则U A =ð ． 【答案】{0,1} 【解析】试题分析：因为全集{1,0,1,2}U =-，所以U A =ð{0,1} 考点：集合补集 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi3.函数1πcos()26y x =+的最小正周期为 ． 【答案】4π 【解析】试题分析：2412T ππ== 考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 4.右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ．【答案】23 【解析】考点：循环结构流程图学科网【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查 活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人． 【答案】8（第4题）试题分析：在足球兴趣小组中应抽取40248120⨯= 考点：分层抽样6.若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ． 【答案】35【解析】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中1111(,),(,),(1,0)2233A B C ，则直线32x y z +=过点C 时取最大值3 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，416S =， 则9S 的值为 ． 【答案】81考点：等差数列求和9.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ． 【答案】16π3【解析】试题分析：形成的几何体为两个相同的锥体，体积是2116π22233π⨯⨯⨯⨯= 考点：三棱锥体积学科网【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ．【解析】试题分析：由题意得222211,01b bb ac a c ac e e e e c a-⨯=-⇒=⇒-=⇒-=<<⇒=考点：椭圆离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用（第10题）椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11.若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ． 【答案】13- 【解析】试题分析：1tan 2tan sin cos 2sin cos sin cos 3βαβααβαβ=⇒=⇒=，所以sin()αβ-1sin cos sin cos 3αββα=-=-考点：两角差正弦公式12.已知正数a ，b 满足195a b+，则ab 的最小值为 ． 【答案】36 【解析】考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则M A M B ⋅的取值范围是 ．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-，而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=，所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,5]-∞- 【解析】考点：二次函数最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求b 的长．【答案】（1）π4A =（2）b =【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+tan tan 1tan tan B C B C +=--231123+=-=-⨯，再由三角形内角范围得π4A =（2）已知两角一边，求另一边，应用正弦定理得sin sin c Bb C=，所以先根据同角三角函数关系求对应角正弦值：sin B =，sin C =b =试题解析：（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分tan tan 1tan tan B CB C +=--231123+=-=-⨯，………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π4A =．……………………………………………………6分考点：正弦定理，两角和正切公式，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ； （2）直线EF ⊥平面1ADC ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】ABCD EA 1B 1C 1 F（第16题）试题解析：（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分 所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分 （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，ABCD EA 1B 1C 1 F（第16题）又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分 考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）0x y -=或40x y --=．（2）2． 【解析】也为圆，所以根据两圆位置关系可得点P 的个数（2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分学科网 考点：直线与圆位置关系，圆与圆位置关系【思路点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 18.（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分． （1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．【答案】（1（2【解析】试题解析：（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AB =2分 取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为12EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形，即112)22⨯+1313)2222GF =++⨯，解得GF =6分（第18题图②）（第18题图②）所以EF =(km)．故灌溉水管EF 的长度为3km ．……………………8分考点：余弦定理，基本不等式求最值学科网 19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知113a =，111233n n n a a ++=-，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求证：数列{3}n n a 是等差数列； （2）求n S ；（3）是否存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析（2）3n n nS =（3）p ，q ，r 的值为1，2，3． 【解析】试题解析：（1）证明：因为111233n n n a a ++=-，所以11332n n n n a a ++-=-，…………………2分 又因为113a =，所以113=1a ⋅， 所以{3}n n a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分 （2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-⋅-=-，所以1(32)()3n n a n =-，………6分所以12311111()(1)()(3)()(32)()3333n n S n =⋅+-⋅+-⋅++-⋅…，所以23+1111111()(1)()(52)()+(32)()33333n n n S n n =⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅ ，两式相减得2312111112[()()()](32)()333333n n n S n +=-++⋯+--⋅1111()11132[](23)()139313n n n -+-=-⨯+-⋅-112()3n n +=⋅， 所以3n n nS =．…………………………………………………………………10分 （3）假设存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列，则2q p r S S S =+，即2333q p r q p r =+． 由于当2n ≥时，()132()03n n a n =-<，所以数列{}n S 单调递减．又p q <，所以1p q -≤且q 至少为2，所以1133p q p q --≥， ………………12分1123333q q q q q q ----=．①当3q ≥时，112333p q q p q q --≥≥，又03r r>，所以2333pr q p r q+>，等式不成立．…………………………………………14分 ②当2q =时，1p =，所以41933r r=+，所以139r r =，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1，2，3． ………………………………16分考点：等差数列定义，错位相减法求和，不定方程正整数解学科网 【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 20.（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值． 【答案】（1）10x y +-=（2）详见解析（3）1． 【解析】试题解析：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分 （2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分 令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以()g x 的极大值为(1)0g =． 所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，1=，解得1a =．…………………………………………12分下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=1>，即01a <<，则11a >．考点：导数几何意义，利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点 【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．附加题[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题．．．．．．．区域内作答．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明线段关系，一般利用三角形相似、圆中相交弦定理进行论证：先证,,,A D E F 四点共圆，得BD BE BA BF ⋅=⋅，再根据Rt ABC △∽Rt AEF △，得AB AF AE AC ⋅=⋅，因此(第21－A 题)BE BD AE AC BA BF AB AF ⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =．考点：四点共圆，三角形相似、相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．21.B [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）求椭圆22:194x yC +=在矩阵103102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下所得的曲线的方程． 【答案】221x y +=【解析】(第21－A 题)考点：矩阵运算21.C [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．60y +-= 【解析】试题分析：根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析：由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，…………………………………5分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 60y +-=．…………………………………10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程21.D [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0c >，|1|3cx -<，|1|3cy -<，求证：|23|x y c +-<． 【答案】详见解析 【解析】考点：利用绝对值三角不等式证明不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒， 4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．【答案】（12）1． 【解析】==所以异面直线AP ，BM 5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---，(0,2,0)BC =，(2,0,4)PB =-，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,240.y x z =⎧⎨-=⎩ 令2x =，解得0y =，1z =， 所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以||4|cos ,|5||||MN MN MN ⋅〈〉===m m m ， 解得[]10,4λ=∈，所以λ的值为1．……………………………………………………………10分考点：利用空间向量求空间角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.23.（本小题满分10分） 设*n ∈N ，()372n n f n =+-．（1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．【答案】（1）(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．（2）详见解析【解析】（2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分②假设当n k =时命题成立，即()372k k f k =+-是8的倍数，考点：数学归纳法。
江苏省苏北四市2017届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．A= {0，1} ．1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁UA={0，1}．解：全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，所以∁U2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．3．（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为4π．解：∵ω=，∴函数的最小正周期T==4π，4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为23 ．解：模拟程序框图的运行过程，知第1次循环，x=5，n=2；第2次循环，x=11，n=3；第3次循环，x=23，n=4；退出循环，输出x=23．5．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取8 人．解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人6．（2016秋•江苏期中）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．7．（2016秋•江苏期中）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时zmax=3×1+2×0=3，8．（2016秋•江苏期中）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为81 ．解：设等差数列{an }的公差为d，∵a2=3，S4=16，∴a1+d=3，4a1+d=16，解得a1=1，d=2．则S9=9+×2=81．9．（2016秋•江苏期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．10．（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），∴=（﹣c，b），=（a，b），∵B2F⊥AB1，∴•=﹣ac+b2=0，∴a2﹣c2﹣ac=0，化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=，11．（2016秋•江苏期中）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为﹣．解：∵tanβ=2tanα，即=2，∴2sinαcosβ=cosαsinβ．∵cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=﹣，12．（2016秋•江苏期中）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为36 ．解：∵正数a，b满足+=﹣5，∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab≥36．13．（2016秋•江苏期中）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是[﹣9，0] ．解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以•的取值范围是[﹣9，0]．14．（2016秋•江苏期中）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，=﹣5，a≤﹣5，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知ymin故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…因为：A∈（0，π），所以：A=．（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．所以：sinB=，sinC=，所以由正弦定理可得：b===2…（10分）16．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，∴直线EF⊥平面ADC1．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…（4分）因为，而，所以，…（6分）解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）18．（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，（16分）BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km）．故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF 的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC 中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF 的最短长度为km ．…（16分）19．（16分）（2016秋•江苏期中）在数列{a n }中，已知a 1=，a n+1=a n ﹣，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．（1）求证：数列{3n a n }是等差数列； （2）求S n ；（3）是否存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．（1）证明：由a n+1=a n ﹣，n ∈N *，得到3n+1a n+1=3n a n ﹣2，则3n+1a n+1﹣3n a n =﹣2．又∵a 1=，∴3×a 1=1，数列{3n a n }是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3n a n =1﹣2（n ﹣1），所以，a n =，所以S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，①S n =﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得S n =﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以S n =．（3）假设存在正整数p ，q ，r （p ＜q ＜r ），使S p ，S q ，S r 成等差数列．则2S q =S p +S r ，即=+．由于当n ≥2时，a n =＜0，所以数列{S n }单调递减．又p ＜q ，所以p ≤q ﹣1且q 至少为2，所以≥，﹣=．①当q ≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{S n }单调递减，解唯一确定）． 综上可知，p ，q ，r 的值分别是1，2，3．20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f （x ）=lnx ﹣ax 2+ax ，a 为正实数． （1）当a=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）求证：f （）≤0；（3）若函数f （x ）有且只有1个零点，求a 的值．（1）解：当a=2时，f （x ）=lnx ﹣2x 2+2x ，f′（x ）=﹣2x+1， ∴f′（1）=0，∵f （1）=0，∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y=0；（2）证明：f （）=﹣lna ﹣+1（a ＞0），令g （x ）=﹣lnx ﹣+1（x ＞0），则g′（x ）=，∴0＜x ＜1时，g′（x ）＞0，函数单调递增；x ＞1时，g′（x ）＜0，函数单调递减， ∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g （x ）≤g （1）=0，∴f （）≤0；（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y=0， ∴若函数f （x ）有且只有1个零点，则a=2．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）（2016•宿迁三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016秋•江苏期中）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋•江苏期中）已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．解：由展开得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016秋•江苏期中）设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，则|2x+y﹣3|＜c成立．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…2016-2017 苏北四市11 （2）因为AN=λ，所以N （0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则令x=2，解得y=0，z=1， 所以=（2，0，1）是平面PBC 的一个法向量．…（7分）因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n ∈N *，f （n ）=3n +7n ﹣2．（1）求f （1），f （2），f （3）的值；（2）证明：对任意正整数n ，f （n ）是8的倍数． 解：（1）∵n ∈N *，f （n ）=3n +7n ﹣2，∴f （1）=3+7﹣2=8，f （2）=32+72﹣2=56，f （3）=33+73﹣2=368．证明：（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，f （1）=3+7﹣2=8，成立；②假设当n=k 时成立，即f （k ）=3k +7k ﹣2能被8整除，则当n=k+1时，f （k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k +7×7k ﹣2=3（3k +7k ﹣2）+4×7k +4=3（3k +7k ﹣2）+4（7k +1）， ∵3k +7k ﹣2能被8整除，7k +1是偶数，∴3（3k +7k ﹣2）+4（7k +1）一定能被8整除，即n=k+1时也成立．由①②得：对任意正整数n ，f （n ）是8的倍数．。
江苏省苏北四市2017届高三上学期摸底考试(11月) 物理 含答案
学必求其心得，业必贵于专精苏北四市高三年级摸底考试物 理注意：本试卷满分120分，考试时间100分钟。
请将答案填写在答题卡上，直接写在试卷上不得分.一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只．有一个．．．选项符合题意。
1．关于物理学思想方法，下列叙述不正确．．．的是A ．演示微小形变时，运用了放大法B ．将带电体看成点电荷,运用了理想模型法C ．将很短时间内的平均速度看成瞬时速度，运用了等效替代法D ．探究弹性势能表达式用F -l 图象下梯形的面积代表功，运用了微元法2．甲、乙两物体从同一地点同时出发，其v —t 图象如图所示.下列说法正确的是A ．两物体的加速度方向相同B ．前2s 内两物体的平均速度相等C ．前4s 内两物体的位移相等D ．第1s 末两物体相遇3．如图所示，用两根细线AC 和BD 悬挂一薄板.下列说法正确的是A ．薄板的重心一定在AC 和BD 的延长线交点处B ．BD 的拉力大于AC 的拉力 C ．剪断BD 瞬间，薄板的加速度方向一定沿BD 斜向下D ．若保持AC 位置不变,缓慢移动BD 至竖直方向，则AC 的拉力一直减小 4．图示为某电场中等势面的分布图，各等势面的电势值图中已标出。
下列说法正确的是 A ．A 点的电场强度比B 点的大B ．电子在A 点的电势能比B 点的小C ．电子由A 点移至B 点电场力做功 —0。
17eVD ．中心轴线上各点的电场强度方向向右5．电视综艺节目《加油向未来》中有一个橄榄球空中击剑游戏：宝剑从空中B 点自由下落，同时橄榄球从A 点以速度v 0沿AB 方向抛出,恰好在空中C 点击中剑尖,不计空气阻力。
关于橄榄球,下列说法正确的是A ．在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度B ．若以大于v 0的速度沿原方向抛出,一定能在C 点上方击中剑尖 C ．若以小于v 0的速度沿原方向抛出,一定能在C 点下方击中剑尖D ．无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖二、多项选择题：本题共4小题,每小题4分，共16分。
江苏省苏北四市2017-2018学年高三上学期期末调研数学及答案
苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ …（第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=. ⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.B （第14题） ADC E （第16题）1A 1B NM1C CBA17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2 （第17题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A C D E F(第21－A 题)O .B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 6．2 7．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间3上单调递增，在区间(3上单调递减，所以()f x在x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin 3θ=时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====（第16题）1A 1B NM1C CB AP答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2 B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d = 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,22=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,||4α-⨯=<>==AC BE ，所以直线AC 和BE． ………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ， 因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC =， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<=m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ， 由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=．……………………………………………………………10分。
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试--数学--试题--带答案
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学I 试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B =U ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x-≤的解集为．11、若实数,x y满足133(0)2xy x x+=<<，则313x y+-的最小值为．12、已知非零向量,a br r满足a b a b==+r r r r，则ar与2a b-r r夹角的余弦值为．13、已知,A B是圆221:1C x y+=上的动点，3AB=，P是圆222:(3)(4)1C x y-+-=上的动点，则PA PB+u u u r u u u r的取值范围为．14、已知函数32sin,1()925,1x xf xx x x a x<⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x的图象与直线y x=有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c．已知2cos(cos cos)A b C cB a+=．（1）求角A的值；（2）若3cos5B=，求sin()B C-的值．16、如图，在四棱锥E ABCD-中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA EB⊥，点,M N分别是,AE CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BAN BCNπ∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求APQ ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点， 求证：AB ·BC=2AD ·BD ．B ．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分） 已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a =，求实数a ，b 的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线 l ：2ρsin （θ一4π）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值。
苏北四市高三一模数学试卷(Ⅰ)答案
苏北四市高三年级第一次模拟考试数学参考答案与评分标准（定稿）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．6； 2．3-； 3．143； 4．56； 5．7； 6； 7．2-；8．22； 9．18； 10．12； 11．2； 12．25 ； 13．(-∞； 14．3．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．(1)因为⊥a b ，所以=0a b ， …………………………………………………………2分所以π2sin sin 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin 02θθ=． …………………4分因为cos 0θ≠，所以tan 5θ=-． …………………………………………6分 (2)由a ∥b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………………………………8分即2ππ2sin cos2sin cos sin 133θθθ+=，即()11cos 2sin 2122θθ-+=， 整理得，π1sin 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ……………………………………………………11分 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ266θ-=，即π6θ=． …………………………………………………14分16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． …………………………………………………2分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB . ………………………………………………4分又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，…………………………………………………………………6分 又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ．……………………………………………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．…………………………………8分因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．……………………………………………………12分 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ．……………………………14分17．(1) 因为(3,4)A -，所以5OA ==，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，…………………………………3分 由4BD =，得(5,0)D ，…………………………………………………………… 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………………………………………5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………………………6分 （2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，APCBD所以D 点的坐标为 (5+4,0)m ………………………………………………………8分 又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩……………………………………………10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…………12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分 18．(1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,4)．……………………………………………………………………………1分设边缘线AC 所在抛物线的方程为2y ax ，把(2,4)代入，得242a ，解得1a ，所以抛物线的方程为2y x ．…………………………………………………………3分因为2yx ，……………………………………………………………………………4分所以过2(,)P t t 的切线EF 方程为22y txt ．………………………………………5分 令0y，得(,0)2tE ；令2x，得2(2,4)F tt ，…………………………………7分所以21(2)(4)22tS t t =--，…………………………………………………………8分所以321(816)4S t t t =-+，定义域为(0,2]．………………………………………9分 (2)2134(31616)(4)()443S t t t t '=-+=--， (12)分由()0S t '>，得403t <<， 所以()S t '在4(0,)3上是增函数，在4(,2]3上是减函数，…………………………14分所以S 在(0,2]上有最大值464()327S =．又因为6417332727=-<，所以不存在点P ，．…………………………16分19．（1）因为211221n n n a a a a a λ+++=+==，，所以32121a a a λλ==+-+，同理，432231a a a λλ==+-+，543261a a a λλ==+-+， ……………………2分 又因为413a a λ-=，543a a λ-=，…………………………………………………3分 所以4154a a a a -=-，故1a ，4a ，5a 成等差数列．…………………………………………………………4分 （2） 由212n n n a a a λ+++=+，得211+n n n n a a a a λ+++-=-，…………………………5分（第18题）令1n n n b a a +=-，则1n n b b λ+-=，1210b a a =-=， 所以{}n b 是以0为首项，公差为λ的等差数列，所以1(1)(1)n b b n n λλ=+-=-，…………………………………………………6分 即1(1)n n a a n λ+-=-，所以212()(21)n n n n a a a a n λλ++-=-+=-， 所以2(21)22n na a n n c λ+--==． ………………………………………………………8分 35(21)122222n n n S c c c λλλλ-=+++=++++当0n S n λ==时，， ……………………………………………………………9分 当235(21)22(12)0222212n n n S λλλλλλλλ--≠=++++=-时，．………………10分（3）由（2）知1(1)n n a a n λ+-=-，用累加法可求得()(1)(2)1+22n n n a n λ--=≥，当1n =时也适合，所以()(1)(2)1+2n n n a n N λ*--=∈ ……………………12分假设存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列，则2111(1)(1)(1)t s p a a a +++-=--，即22(1)(1)(1)44t t s s p p ---=， ………14分 因为,,s t p 成等比数列，所以2t sp =， 所以2(1)(1)(1)t s p -=--，化简得2s p t +=，联立 2t sp =，得s t p ==． 这与题设矛盾．故不存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列．…16分20．（1）当2a =时，2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥．………………………………………… 6分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………8分 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 13分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………15分所以21212()()1x x x x +++≥，因此1212x x +≥成立．………………………………………………………… 16分。
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则AB = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ． 9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的 正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．附加题A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 为半圆O 的直径,D 为BC 的中点,E 为BC 的中点，求证：AB ·BC=2AD ·BD.B.选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为α=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a ,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l ：sin()4m πθ-=(m ∈R),圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t=-+⎧⎨=-+⎩(t 为参数).当圆心C 到直线l 时，求m 的值.D. 选修4-5:不等式选讲 已知a ,b ,c 为正实数,33311127abc a b c+++的最小值为m ,解关于x 的不等式|x+1|-2x<m.22.甲、乙、丙分别从A ,B ,C ,D 四道题中独立地选做两道题,其中甲必选B 题.(1) 求甲选做D 题,且乙、丙都不选做D 题的概率;(2) 设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数,求X 的概率分布和数学期望E (X ).23. 已知等式(1+x )2n-1=(1+x )n-1(1+x )n .(1)求(1+x )2n-1的展开式中含x n 的项的系数,并化简:01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++；(2)证明：1222221()2()()n nn n n n C C n C nC -+++=.徐州市2016～2017学年度高三年级第一次质量检测数学试题参考答案与评分标准1． }3,0,2{- 2．3． 14 4． 20 5．316．1 78． 12- 9． 2 10． (,3]-∞- 11． 8 12．13． [7,13] 14． {20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=，…………2分 即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分 （2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ==，…………………8分 所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分 所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=- 2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()()252252=⨯---⨯2450=． ……………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥．因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以12NC AB =∥．所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形．……4分所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以直线MN ∥平面EBC ．………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥．又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．……………………10分又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥． 又EB EA ⊥，BCEB B =，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以直线⊥EA 平面EBC ．…………………………………………………14分A BCDEMN(第16题)F17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ． 在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =． 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =． 则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，所以3BD =，则3CD =，4AD =．…2分由勾股定理得，5AB ==(km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ． ……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．…6分 方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠． 在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-． 则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．…………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得π3θ=，列表如下：所以()f θ的最小值为()3f =所以方案②的总铺设费用最低为8+(万元)，此时4AP =．……12分 而820+<，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………14分(第17题)18．（1）由题意，得22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=．………………………………………4分（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ， 所以直线FN的方程为4y x k =-，则2(0,)N k-． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ， 因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k -++，……………………10分直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k kQ k k --++，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q kS OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤……14分当且仅当12k k=，即k =时，取“=”．所以APQ △的面积的最大值为．…16分19．（1）当0a =时，2()2ex f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ； 若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． 综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}； 当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e'()e e x x h x x x-=-=．令'()0h x =，得x所以2()ln 02ex h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x =21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x ϕ=-+，则'()x ϕ=，令'()0x ϕ=，得x当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x x +≤恒成立．所以存在a =12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =； 当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-， 即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立，令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++， 所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分 当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-，由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?． 设(1)k m n =-，因为214114443k k --++++=， 所以(1)21545[3(1444)1]m n k --??++++，213[5(144+4)2]1k -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k -++++为正整数，所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m -=?，由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分 又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)答案A ．因为D 为弧BC 的中点， 所以DBC DAB ∠=∠，DC DB =，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒， 又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥， 所以ABD △∽BDE △， 所以2AB BD BDAD BE BC==，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分 B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为2，4．…………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，………………………………………5分 圆心C 到直线l=1m =-或5m =-．…………10分D ．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ===“=”，（第21(A)题）所以18m =．…………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+， 所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-，所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．…10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．甲选做D 题的概率为1113C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2=．则1111()32212P E =⨯⨯=．答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为112．…………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………4分1112(0)(1)32212P X ==-⨯⨯=，212111115(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222111(3)C (1)3212P X ==⨯-=． ……………………………………………8分 所以X 的概率分布为X 的数学期望()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………10分23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n -，……………………1分由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n nn n n n n n x x x x x x ------++=++++++可知，1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++．所以0111111121C C C C C C C n n n nn n n n n n n ------+++=．…………………………………4分（2）当*k N Î时，!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =?---11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---=?--．……………………………6分所以12222211111(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n nn k k k k k nnnnn nn n k k k n k k n --===+++===邋?11111(CC )(C C )nnk k n k k n nn n k k n n----====邋．………8分由（1）知0111111121C C C CC C Cn n n n n nn nn n n ------+++=，即1211(C C )C nn k k nn n n k ---==å，所以1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++=． …………………………………10分。
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苏北四市高三年级摸底考试数学Ⅰ参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，则UA = ▲ ．2．已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．3．函数1πcos()26y x =+的最小正周期为 ▲ ．4．右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ▲ ．5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 ▲ 人． 6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．7．设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ▲ ． 8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，416S =， 则9S 的值为 ▲ ．9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积 是 ▲ ．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。
开始 结束Y x ←2，n ←1输出xn ←n +1 x ←2x +1 n ≤3N（第4题）10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ▲ ．11．若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ▲ ．12．已知正数a ，b 满足195a b+，则ab 的最小值为 ▲ ．13．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求b 的长．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证： （1）直线1A E ∥平面1ADC ；（2）直线EF ⊥平面1ADC ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程； （2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度；A B C D EA 1B 1C 1F （第16题） （第10题）（2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知113a =，111233n n n a a ++=-，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求证：数列{3}n n a 是等差数列； （2）求n S ；（3）是否存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：1()0f a≤； （3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．（第18题图①）（第18题图②）(第21－A 题)B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）求椭圆22:194x yC +=在矩阵103102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下所得的曲线的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0c >，|1|3cx -<，|1|3c y -<，求证：|23|x y c +-<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒， 4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23．（本小题满分10分）设*n ∈N ，()372n n f n =+-． （1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．参考答案与评分标准一、填空题1．{0,1} 2．1 3．4π 4．23 5．8 6．357．3 8．81 9．16π3 1011．13- 12．36 13．[9,0]- 14．(,5]-∞-二、解答题 15．（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分tan tan 1tan tan B CB C +=-- 231123+=-=-⨯，………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π4A =．……………………………………………………6分（2）因为sin tan 2cos BB B==，且22sin cos 1B B +=，又(0,π)B ∈，所以sin B =，……………………………………………8分同理可得，sin 10C = …………………………………………………10分由正弦定理，得3sin sin c B b C ===．……………………………14分 16．（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =， 所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =， 所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面， 所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，A BCD EA 1B 1C 1 F（第16题）所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分17．（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d =．…………………………4分因为MN AB ===而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-<+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 18．（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AB 2分取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为1EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形， 即112)22⨯+1313)22222GF =⨯++⨯，解得GF =6分所以EF =(km)．故灌溉水管EF．……………………8分 （2）设DE a =，DF b =，在ABC △中，2CA所以在ADC △中，2AD DC CA ===， 所以60ADC ∠=︒， 所以DEF △的面积为1sin 602DEF S ab =︒△， 又ABCDS 梯形=，即3ab =．……………………12分 在ADC △中，由余弦定理，得EF == 当且仅当a b ==时，取“=”．（第18题图①）（第18题图②）故灌溉水管EFkm ．……………………………………16分19．（1）证明：因为111233n n n a a ++=-，所以11332n n n n a a ++-=-，…………………2分 又因为113a =，所以113=1a ⋅， 所以{3}nn a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分（2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-⋅-=-，所以1(32)()3n n a n =-，………6分所以12311111()(1)()(3)()(32)()3333n n S n =⋅+-⋅+-⋅++-⋅…，所以23+1111111()(1)()(52)()+(32)()33333n n n S n n =⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅ ，两式相减得2312111112[()()()](32)()333333n n n S n +=-++⋯+--⋅1111()11132[](23)()139313n n n -+-=-⨯+-⋅-112()3n n +=⋅， 所以3n n nS =．…………………………………………………………………10分（3）假设存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列， 则2q p r S S S =+，即2333q p rq p r =+． 由于当2n ≥时，()132()03n n a n =-<，所以数列{}n S 单调递减．又p q <，所以1p q -≤且q 至少为2，所以1133p q p q --≥， ………………12分1123333q q q q q q ----=．①当3q ≥时，112333p q q p q q --≥≥，又03r r>，所以2333p r q p r q+>，等式不成立．…………………………………………14分②当2q =时，1p =，所以41933r r=+，所以139r r =，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1，2，3． ………………………………16分20．（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln 1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln 10f a a a =-+≤． (8)分（3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<， 所以()f x 在上单调增，在)+∞上单调减． 所以()f x f ≤．………………………………………………10分 设0x =()f x只有1个零点，而(1)0f =，所以1是函数()f x 的唯一零点．当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，1=，解得1a =．…………………………………………12分 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=1>，即01a <<，则11a>． 由（2）知，1()0f a<，又函数()f x 在以0x和1a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0x 和1a 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；若01x <，则0()(1)0f x f >=1<，即1a >，则101a<<． 同理可得，在1a和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．证明：连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒，又EF AB ⊥，90AFE ∠=︒， 则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，…………………………5分 又ABC △∽AEF △，即AB AF AE AC ⋅=⋅，所以BE BD AE AC BA BFAB AF ⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =．………… 10分(第21－A 题)B ．设椭圆C 上的点11(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ，则11111103311022x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………5分 则113,2,x x y y =⎧⎨=⎩ 代入椭圆方程22194x y +=，得221x y +=，所以所求曲线的方程为221x y +=．……………………………………………10分 C ．由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，…………………………………5分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C60y +-=．…………………………………10分D ．因为|1|3c x -<，所以2|22|3c x -<， 故|23||221|x y x y +-=-+-………………………………………………………5分|22||1|x y -+-≤ 233c cc <+=， 故|23|x y c +-<．………………………………………………………………10分22．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且,AB AD ⊂平面ABCD所以PA AB ⊥，PA AD ⊥， 又因为90BAD ∠=︒，所以,,PA AB AD 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 则由224AD AB BC ===，4PA =可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，P 又因为M 为PC 的中点，所以(1,1,2)M ．所以(1,1,2)BM =-，(0,0,4)AP =，…………2所以cos ,||||AP BMAP BM AP BM ⋅〈〉===， 所以异面直线AP ，BM ．…………………………5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---，(0,2,0)BC =，(2,0,4)PB =-，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,240.y x z =⎧⎨-=⎩ 令2x =，解得0y =，1z =，所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以||4|cos ,|5||||MN MN MN ⋅〈〉===m m m ，解得[]10,4λ=∈，所以λ的值为1．……………………………………………………………10分23．（1）代入求出(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．……………………………3分 （2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分 ②假设当n k =时命题成立，即()372k k f k =+-是8的倍数，那么当1n k =+时，11(1)3723(372)4(71)k k k k k f k +++=+-=+-++， 因为71k +是偶数，所以4(71)k +是8的倍数，又由归纳假设知3(372)k k +-是8的倍数， 所以(1)f k +是8的倍数，所以当1n k =+时，命题也成立．根据①②知命题对任意*n ∈N 成立．…………………………………………10分。