高数常见导数公式推导
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高数常见求导数题
1.√x+1((1+√x+13
)
=.
解:令t 6=x +1,则dx =6 t 5dt ⇒t =√x +16
dx
√x +1((1+√x +13
)
= ∫
6 t 5dt
3(2)=∫
6t 2dt 2=6∫t 2+1−1
2dt =6∫1dt −6∫
dt
t 2+1
=6t −6arctant +C ∴√x +1((1+√x +13
)
=6√x +16
−6arctan√x +16
+C
2.∫
dx x −2x+3
= 解：∫
dx x 2−2x+3=∫
dx 2+(x−1)2
=
√2
∫√2
dx 1+(x−12
)
2=
√2
2arctan (√2
)+C
3.√
2
= .解：√1+x−x =√54−(x −x+14
)
=√54−(x−12
)= √5
2√1−(2x−1√5
)=
√52
(
2x−1√5
)2√5
√1−(√5
)
√1−(
√5
(√5)=arcsin (√5
)+C 4.23
=
解：令x=tant,则dx=
1
cos 2t
dt ，易知x ∈R ⇒t ∈(−π
2,0)∪(0,π
2)，从而有：sint =
xcost =x√1
1+tan 2t =√
2
dx 23
=1
cos 2t dt 23
=∫
1
cos 2t
dt
1
cos 3t
=∫costdt =sint +C =
x
√1+x 2
+C
∴∫
dx 23
=
x
√+C
5.∫
√X 2+X+1
dx =
解：
√X+X+1=∫(x+12+12)dx
√x+x+1
=x+12
√x+x+1
+1
2
√x+x+1
=
2√x2+x+1+
1
2
√(x+
2
)+
4
=√+
1
2
ln(x+
1
2
+√(x+
1
2
)
2
+
3
4
)+C 常用的积分公式及基本类型
(一)
1.∫tanxdx=−ln|cosx|+C∫cotxdx=ln|sinx|+C
2.∫tan2xdx=∫(sec2x−1)dx=∫sec2xdx−∫dx=tanx−x+C
3.∫cot2xdx=∫(csc2x−1)dx=cotx−x+C
(二)
1..∫sinxcosxdx=sin2x
2+C=−cos2x
2
+C=−cos2x
4
+C
2.∫cos2xcos3xdx=1
2
∫[cos(3x+2x)+cos(3x−2x)]dx=
1 2∫cos5xdx+1
2
∫cosxdx=1
10
sin5x+1
2
sinx+C
∫sin3xsin2xdx=
1
2
∫[cos(3x−2x)−cos(3x+2x)]dx=
1
2
sinx −
1
10
sin5x+C
3.∫cos2xdx=∫1+cos2x
2dx=1
2
∫dx+1
4
∙∫2cos2xdx =
x
2
+
1
4
sin2x+C
∫sin2xdx=∫1−cos2x
2
dx=
1
2
∫dx−
1
4
∫2cos2xdx
=x
2
−
1
4
sin2x+C
4. ∫cos 3xdx =∫cos 2x ∙cosxdx =∫(1−sin 2x)d(sinx)=sinx −
13
sin 3x +C
∫sin 3
xdx =∫sinx 2
sinxdx =−∫(1−cos 2x )d (cosx )=13
cos 3x −cosx +C
(三)
1) ∫secxdx =∫dx
cosx
=ln |secx +tanx |+C
证明：令t=secx=
1cosx
,则x=arccos 1
t
易知x ∈[0,π
2)∪(π2,π]⇒1
t ∈[−1,0)∪(0,1];
当x ∈[0,π
2)⇒secx >0⇒t >0⇒dx =t√t 2−1
,√sec 2x −1=tanx
⇒∫secxdx =∫t ∙
dt t√t 2−1
=dt √t 2−1
=ln |t +√t 2−1|+C
=ln |secx +tanx |+C
当x ∈(π
2,π]⇒secx <0⇒ t <0⇒ dx =t√t 2−1
,√sec 2x −1=
−tanx
⇒∫secxdx =∫−t ∙
dt t√t 2
−1
=−dt √t 2−1
=−ln |t +√t 2−1|+C =ln |t −√t 2−1|+C =ln |secx +tanx |+C
从而有∫secxdx =∫dx
cosx
=ln |secx +tanx |+C
***∫sec 3xdx =∫dx cos 3x =∫1cosx 1cos 2x dx =∫1cosx dtanx =1
cosx tanx −
∫tanxd 1cosx =1cosx tanx −∫sinx cosx sinx cos 2x dx =1
cosx tanx −∫
1−cos 2x cos 3x
dx =