数学方法在物理解题中应用

浅谈数学方法在物理解题中的应用

摘要：在新课标高考物理考试大纲中，要求考查学生五个方面的能力，即理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力。关于应用数学处理物理问题的能力，在多年的高中物理教学经验中，总结了几种数学方法在物理解题中的应用，并且举例谈了多种常见数学方法在物理解题中的应用。

关键词：物理问题；数学方法；数学图象；三角函数

新课标物理高考考试大纲对能力的考查有五项，即理解能

力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力。从物理高考大纲中可以看出，要求考查学生多方面的能力，其中一项就是应用数学处理物理问题的能力。经过多年的教学经历，我发现数学方法在物理解题中有着广泛的应用，笔者借此进行详谈：

一、利用抛物线知识求解直线运动中的追及相遇问题

例1.汽车前面7 m处有一骑自行车的人以5 m/s的速度行

驶，汽车速度为10 m/s，此时此地，发现交叉路口的红灯亮了，汽车和自行车分别以4 m/s和2 m/s的加速同时减速，问：①汽车能否撞着自行车？②若撞着，在什么地方？若撞不着，相距的最短距离是多少？

解析：①用s1表示汽车t时间内的位移，用s2表示自行车t

时间内的位移，用d表示两者之间的距离。先写出汽车和自行车各自的位移公式，再写出距离的表达式，即：s1=10t-2t2，s2=5t-t2，

所以d=s2+7-s1=t2-5t+7，由此方程d=t2-5t+7可以得知它的判别式

δ=b2-4ac=（-5）2-4×1×7=-30，b>0），求解物理中的极值问题，存在两种情况

1.由公式a+b≥2■可知，在两数乘积为定值的情况下，当两数相等时，它们的和有最小值。

例2.如图1所示，电源的电动势为e，内阻为r，r为串联在电路中的滑动变阻器的电阻，当滑片移动时，什么时候电源的输出功率最大？

解析：电源的输出功率即外电路上所消耗的功率，计算式为

p=i2r=（■）2r=■=■，根据此式可知，r和■两数乘积为定值r2，所以，当r=■即r=r时，r+■有最小值，分母有最小值，故电源的输出功率有最大值，而且最大值等于pm=■。换句话说，当外电路的电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大。

2.由不等式a+b≥2■（a>0，b>0）变形可得到，ab≤（■）2，那么，在两数和为定值的情况下，当两数相等时，它们的乘积有最大值。

例3.把一电量q分为q和q-q的两部分，使它们相距一定距离，若想使它们之间有最大的斥力，则q和q的关系如何？

解析：由库仑定律公式f=k■可知，两电荷之间的库仑力与它们电量的乘积成正比，要想f有最大值，也就是让q（q-q）有最大值；又因q与（q-q）两数和为定值q，当两数相等时，即q（q-q）或

q=■时，q（q-q）乘积有最大值，f有最大值。所以说，当它们之间有最大斥力时，q和q的关系为q=■。

三、利用数学相似三角形知识求解物理习题

例4.如图2所示，光滑半圆柱面，其中心轴线过o点与地面平行，在o点的正上方有一个不计摩擦的小定滑轮q，跨过q的一条轻绳，一端连在小球p上，当另一端在f作用下使小球沿柱面缓慢上升时，设绳中拉力大小为t，小球重力为g，小球受柱面支持力大小为n，同时圆柱的半径为r，滑轮到圆柱顶部的距离为h，q与p之间的绳长为l，求①拉力t和支持力n；②在上升过程中，拉力t和支持力n怎样变化？

解析：①图2中两个三角形相似，根据对应边的比例相等，可以得出■=■=■，所以n=■r，t=■l；

②当小球上升时，绳长变短即l变小，所以拉力t变小，而支持力n不变。

四、数学图象在物理中的广泛应用

1.运动学中的速度-时间图象（即v-t图象），图象与横轴所包围的面积可以代替物体的位移。

例5.一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙

地，汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动，开到乙地刚好停止。其速度图象如图3所示，那么0～t0和t0～3t0两段时间内位移的比值是多少？

解析：根据面积代表位移的原理，由图3可以算出两个三角形的

面积之比为1∶2，所以两段时间内位移的比值也是1∶2。

②匀变速直线运动的v-t图象是一条直线，直线的斜率则表示物体的加速度。通过斜率的大小可以判断物体加速度的大小关系。

③解析：根据v-t图象的斜率表示物体加速度的原理，可以得到图3中的a1>a2。

五、数学三角函数知识在物理解题中的应用

数学三角函数知识在矢量的合成与分解中广泛应用，尤其是在力的合成与分解中应用广泛。

例6.如图4所示，倾角为θ的斜面上静止了一个质量为m的物体，求斜面对物体的支持力fn和摩擦力ff各是多少。

解析：把重力进行正交分解，如图4所示，在直角三角形中，利用三角函数知识可以得到，重力的两个分力大小分别为g1=mgsin θ，g2=mgcosθ再根据平衡条件可以得到支持力fn=mgcosθ，而摩擦力ff=mgsinθ。

以上是几种数学知识在物理解题中的简单应用，当然还会有更多的数学方法广泛地应用在物理解题中。在物理解题中，巧妙地选用解题方法，往往会收到事半功倍的效果，而且用数学知识解决物理问题，经常会收到这种事半功倍的效果。所以，在物理教学中，教师应该更加注重培养学生的这种用数学知识解决物理问题的能力。（作者单位天津市滨海新区大港油田第三中学）