实际问题与一元二次方程()解决面积问题
21.3 实际问题与一元二次方程 教案 【新人教版九年级上册数学】
21.3 实际问题与一元二次方程教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．课时安排3课时.1教案A第1课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、新课教学探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）2答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．三、巩固练习某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．四、课堂小结本节课应掌握：1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、新课教学探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 0003元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，于是有5 000(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有6 000(1－x)2＝3 600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、巩固练习某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．整理，得1 280x2＋800x＋1 600x＝320，即8x2＋15x－2＝0．解得4。
13实际问题与一元二次方程(3)
1、会用一元二次方程解决一些图形面积问题. 2、培养自己独立思考的能力.
课堂要求：多思考、多交流、积极发言、高
②
矩形的面积= 长×宽 ③
正方形的面积= 边长2 ④
20-3x
20m
解：设水渠应挖xm宽，则 (20-3x)(10-2x)=136
32 解得：x1=1，x2= 3 (舍去)
答：水渠应挖1m宽.
规则：同学们在草稿纸上完成题目，之后确定两名同学进行投影展示，一题5分！
第一轮
1、用22cm的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，这个矩形的长 与宽分别是多少？
规则：同学们在草稿纸上完成题目，之后确定两名同学进行投影展示，满分5分！
第二轮
如图，一块矩形耕地，长20m，宽10m，在这块地上沿东西、南北 方向各挖一条等宽的水渠，要使余下的耕地面积是 171m2，水渠应挖多 宽？
规则：同学们在草稿纸上完成题目，之后确定两名同学进行投影展示，满分5分！
第三轮
如图所示：在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周 镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个 挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽应为多少？
答：养殖场的长是15m，宽是10m.
1、如图，小明家要建一个面积为150m2的矩形养殖场，养殖场的一面 靠墙，另三面用竹篱笆围成，竹篱笆的总长度是35米，墙的长度 是18m，养殖场的长、宽各是多少？
18m
墙
设养殖场的宽是xm 思考 ①你能用含x的式子表示出长吗？
x
35-2x 竹篱笆
35-2x
②由此你能列出方程吗？
22.3实际问题与一元二次方程(面积问题)沈贵芬
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、 如图， 设道路的宽为x米， 32x 米2 则横向的路面面积为 纵向的路面面积为 所列的方程是不是 20x 米2 。
(2)
，
32 20 (32 x 20 x ) 540
？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是
b 2 4 ac ( 10 ) 2 4 1 30 20 0
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度?
小结
•列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、找、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方 程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
问题 （1）本题中有哪些等量关系？ （2）如何理解“正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知 数并列出方程？
27
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
( 32 2 x )( 20 2 x ) 540 化简得，
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
实际问题与一元二次方程(四)图形面积问题(课件)数学九年级上册(人教版)
A.(80+x)(50#43;2x)(50+x)=5400
C.(80+x)(50+2x)=5400
D.(80+2x)(50+2x)=5400
3.一个直角三角形的斜边长为 20，一直角边长是另一直角边长的2倍，则
这个直角三角的面积是( B )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
1.矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为_a_b__m2，周长为_2_(_a_+_b_)_m. 2.梯形的上、下底分别为acm和bcm，高为hcm，则其面积为__12_(_a_+_b_)_h__cm2. 3.圆的半径为rcm，则其面积为π___r_2 cm2，周长为__2_π_r___cm.
备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成
如图所示，所用的篱笆长为36米．
(2)当花圃的面积为144平方米时，求垂直于 墙的一边的长为多少米？
20米
解：由题意可列方程：
x(36-2x)=144 整理得，x2-18x+72=0 解得x1=6，x2=12 当x=6时，36-2x=24(米)＞20米，不符合题意舍去； 当x=12时，36-2x=12(米)
解得：x1=1，x2=13．
∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1．
答：AE的长为1m．
几何图形与一元二次方程问题
课本封面问题 常见类型 彩条/小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
列方程依据 常见几何图形面积是等量关系.
实际问题与一元二次方程(面积问题)教案
实际问题与一元二次方程-------面积问题七中刘英【教学目标】1.知识与技能掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2.过程与方法经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度和价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点与难点】⒈重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．。
【教学方法】引导学习法【教具准备】PPT课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、列方程解应用题的基本步骤：①审（审题）；读题目，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
②设（设元）；包括设直接未知数或间接未知数，同时用含有未知数的式子表示其他的相关量.③列（列方程）；以一二步骤为基础，用题中的等量关系列方程④解（解方程）；⑤验（检验）；检验根的准确性及是否符合实际意义和题目中的要求⑥答（总结）；写出答语作总结二例题讲解例1.例1. 如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为864平方米，求小路的宽度？分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关。
为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）解：设道路的宽为x米，则草坪长（40-2x）米，宽（26-x）米（40-2x）（26-x）=864化简得：x2-46x+88=0解得：x=2，x=44∵40-2x>0 26-x>0∴0<x<20当x=44时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去．答：道路的宽为2米．变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，用x表示草坪面积，并指出x的取值范围。
21.3 实际问题与一元二次方程 21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
21．3 实际问题与一元二次方程
21．3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
武汉专版·九年级上册
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多
10 m，设绿地的宽为x m，根据题意，可列方程为B( )
A．x(x－10)＝900
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝9பைடு நூலகம்0
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出局部区域栽种鲜花(如图中阴影局部)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正 方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，那么可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 6．将外表积为550 cm2的包装盒剪开铺平，纸样如下图，包装盒的高为15 cm，求出包装盒底面的长与宽．
x2－6x＋8＝0，解得
x1
＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过 2 s 或 4 s，△PBQ 的面积为 8 cm2
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草 坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
10．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小 颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2 300 m2.
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
《实际问题与一元二次方程》---(面积问题)教学设计
41203023422023302x x x x )411(2030)3220)(2230(x x 41203023422023302x x x x )411(2030)3220)(2230(x x 《实际问题与一元二次方程》---（面积问题）教学设计导入：我们知道议程是刻画实际问题中数学关系的有效数学模型，所以我们经常用议程来分析解决实际问题，在以前的学习中，我们已经了解并掌握了怎样用一元一次方程、二元一次方程组及分式方程等去解决实际问题，那么今天，我们就尝试着用一元二次方程去分析解决实际问题。
板书：实际问题与一元二次方程活动一：（你一言、我一语，道破天机）如图是某中学长30m 、宽20m 的矩形草坪活动场，因需要四周要铺成四条小路，使横、纵路的宽度之比是3：2，如果小路的面积是原矩形草坪面积的四分之一，那么小路宽应是多少？都有哪些已知量？表示等量关系的又是哪些？思考后说说。
解：设横路的宽是3Xm ，纵路的宽是2Xm ，据题意可列方程：用一元二次方程解决实际问题的基本步骤是什么？活动二：（独上高楼赏月）变式：为了美观和实用，学校计划重新铺筑小路，有些同学为学校设计了新的图案，如图所示：如果其它条件都不变，那么这时的小路应修多宽？独立完成后，组内交流。
板演。
通过这两个题，你有什么联想？解：设横路的宽是3Xm ，纵路的宽是2Xm ，据题意可列方程：这两个图形有什么区别和联系？你还能为学校设计别的图案吗？总结：我们可以利用“图形平移位置变，面积大小不改变”的道理，也可叫做“靠边站”，这样使所列方程更容易些，以便求出路宽，也就是把不规则的图形转化为规则的图形，是解决这类问题的关键所在。
活动三：（大显身手）独立完成，男女同学每题各找一名同学板演，方法补充（喜羊羊）如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．解法（1）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米.根据题意，可列出方程为2032540x x. 整理得2521000xx . 解得150x （舍去），22x .答：道路宽为2米.解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得：133x 2233x ()2舍去220322032540x x .整理得：2521000x x . 解得：12x ，250x （舍去）.答：道路宽应是2米.（灰太狼）如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?活动四：（团结就是力量）先独立，再小组合作，充分发挥合作探索交流的优势，充分交流后，小组出代表发言（注意语言的总结）。
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃 的长为( C ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长 方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 2cm，7cm 条直角边长分别为______________ ．
11 ． 如图 ， 已知点 A 是一次函数 y ＝ x － 4 图象上的一点 ， 且矩形 (3，－1)或(1，－3) ． ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________ 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道 ， 其余部分 ( 图中阴影部分 ) 种植的是不同花 草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米？ 解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x2－75x ＋350 ＝0 ，解得x1＝5 ， x2＝70 ，∵x2＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝ 4，解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7， 此方程无解，所以不能
实际问题与一元二次方程(握手、面积问题)
01
02
03
建立数学模型
通过实际问题抽象出一元 二次方程，将实际问题转 化为数学问题。
解方程
根据一元二次方程的解法， 求解方程得到最优解。
解释结果
将求解结果代入实际问题 中，解释其意义和影响。
实际问题中一元二次方程的应用案例分析
投资收益问题
假设某投资者有一定资金， 需要选择不同的投资方式， 通过一元二次方程可以计 算出最优投资方案。
02
面积问题
面积问题的背景
面积问题在日常生活和生产实 践中广泛存在，如土地测量、 建筑规划、经济活动等。
面积问题涉及到空间形态的定 量描述，需要运用数学工具进 行计算和表达。
面积问题具有多种表现形式， 如平面图形、立体图形等，需 要根据具体情况选择合适的数 学模型进行解决。
面积问题的数学模型
平面图形的面积计算
计算利润最大化问题
一元二次方程可以用来解决利润最大化问题，例如通过设定成本、 售价和销量之间的关系来求解最大利润。
求解最优化问题
一元二次方程可以用来解决最优化问题，例如在一定资源限制下， 通过调整资源配置来达到最优效果。
计算几何图形问题
一元二次方程可以用来解决几何图形问题，例如计算面积、周长等。
一元二次方程的解法与实际问题解决步骤的对应关系
一元二次方程在日常生活中的应用
建筑和设计
在建筑和设计领域，一元二次方程可 以用于计算物体的面积、体积和周长 等参数，例如计算矩形、圆形、三角 形等基本几何形状的面积和周长。
日常生活问题
一元二次方程还可以用于解决一些日 常生活中的问题，如路程、时间、速 度问题，以及工资、税收、保险等问 题。
谢谢观看
握手问题的数学模型
《实际问题与一元二次方程——面积问题》教学设计2
实际问题与一元二次方程一、教材分析本节是在学习学习了一元二次方程解法后，解决生活中的实际问题，重点是分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示的这种数学建模思想。
二、学情分析学生已经学会了一元二次方程的解法，并且能在实际问题中抽象和建立一元一次方程、可化为一次方程的分式方程的模型，从而在此基础上建立一元二次模型则水到渠成．三、教学目标1.知识与能力（1）、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（2）、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.过程与方法在解决实际问题的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3.情感、态度与价值观培养学生分析解决问题的能力，体会数学知识应用的价值．四、重点、难点重点：据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型交流宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？自学指导:1、题目等量关系是什么？2、如何设未知数？3、你还有其他方法列方程吗？学习热情，使学生体会解决问题方法的多样性。
试一试我校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米思考：以上2图有什么联系和区别？还有下面几种方案：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。
（只写解设、列出方程即可）试一试中，思考中的问题是中心环节，以图形对比的问题为引导，通过对比两个图形的联系和区别，启发学生以边框问题为模型，构建草坪问题的解题思路。
充分思考之后，学生会产生动手实践的欲望，教师要给学生一定的空间，同时也注意对图形变换的指导。
21.3.3实际问题与一元二次方程6(面积问题)
智慧
你能行吗
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽 多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题 意得：
x (x＋2) ＝120.
x
X+2
一元二次方程的 几何解法
x X+2
X+2 x
X+2 x
3、一元二次方程的几何解法: 解方程 X² +2x-35=0
解:要放x层,则每一层放 (1+x) 支铅笔.得 x (1+x) =190×2 X2 ＋ X －380＝0
解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
几何问题方法提示：
1)有关几何图形的面积问题, 与面积公式是等量关系；
如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之
间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 2)与直角三角形有关的问题：用勾股定理列方程。即直
考点：一元二次方程的应用． 专题：几何图形问题． 分析：设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列 出方程求解即可． 解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532． 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞20（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并 列出方程．
根据题意可列方程
整理得
1 x10 x 12 2
解得
x2－10x+24 = 0. x1=4, x2=6(不符题意).
边长＝
根据勾股定理
2 3 13
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。
人教版数学九年级上册2实际问题与一元二次方程(面积问题)课件
人教版 九年级上册
学习目标
1.会分析实际问题（面积问题）中的数量关系并会列 一元二次方程. 2.理解栅栏问题中的等量关系. 3.通过用一元二次方程解决面积问题，体会数学知识 应用的价值.
知识回顾
列方程解实际问题的一般步骤：
1.审：分清已知未知，明确数量关系； 2.设：设未知数 ；3.列：列方程； 4.解：解方程； 5.验：验方程、验实际；
EF
则BC=29-2x+1=30-2x
解：设AB为xm，AD长为（30-2x）m 矩形ABCD的面积x(30-2x)=112，
解得x1=7, x2=8 当x=7时，AD=30-2x7=16>15（不合题意，舍去） 当x=8时，AD=30-2x8=14 ∴猪圈的长为14m，宽为8m．
如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的 养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围 住，在AB,BC边各开个门（宽度都为1米），MN的长 度为15m,为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积到达 112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少 若设AB=xm则可列方程为 x(31-2x)=112 .
1.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长 为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便 进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面
积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中）， 则可以列出关于x的方程是（ ）
2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角 墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面 积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有 一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也 围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为 （A．12） B．16或12 C．16 D．8或12
2022人教版数学《实际问题与一元二次方程(精品)3》配套教案(精选)
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为m 2，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm ，则上口宽为x+2，渠底为，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm则渠底为（）m ，上口宽为（x+2）m 依题意，得：（） 整理，得：5x 2+6x-8=0 解得：x 1==0.8m ，x 2=-2（舍） ∴上口宽为，渠底为．（2）=25天12451.675048答：渠道的上口宽与渠底深各是和；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到）？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm ，则左、右边衬的宽均为7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x ）cm ，宽为（21-14x ）cm ． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的． 所以（27-18x ）（21-14x ）=×27×21 整理，得：16x 2-48x+9=0 解方程，得：， x 1≈，x 2所以：9x 1=（舍去），9x 2=，7x 2=因此，上下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为． 三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺） 四、应用拓展 例3．如图（a ）、（b ）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动． （1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S △PBQ =8cm 2．（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于2．（友情提示：过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则：） 九 年级 练数 学 习同步1434DQ CQAB AC=分析：（1）设经过x 秒钟，使S △PBQ =8cm 2，那么AP=x ，PB=6-x ，QB=2x ，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y 秒钟，这里的y>6使△PCQ 的面积等于cm 2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y ，CP=（14-y ），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ ，那么根据三角形的面积公式即可建模． 解：（1）设x 秒，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 的面积为8cm 2． 则：（6-x ）·2x=8 整理，得：x 2-6x+8=0 解得：x 1=2，x 2=4∴经过2秒，点P 到离A 点1×2=2cm 处，点Q 离B 点2×2=4cm 处，经过4秒，点P 到离A 点1×4=4cm 处，点Q 离B 点2×4=8cm 处，所以它们都符合要求．（2）设y 秒后点P 移到BC 上，且有CP=（14-y ）cm ，点Q 在CA 上移动，且使CQ=（2y-8）cm ，过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则有 ∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=则：（14-y ）· 整理，得：y 2-18y+77=0 解得：y 1=7，y 2=11 即经过7秒，点P 在BC 上距C 点7cm 处（CP=14-y=7），点Q 在CA 上距C 点6cm 处（CQ=2y-8=6），使△PCD 的面积为m 2．经过11秒，点P 在BC 上距C 点3cm 处，点Q 在CA 上距C 点14cm>10， ∴点Q 已超过CA 的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y 1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．(a)BACQ P (b)B ACQD P12DQ CQAB AC=6(28)6(4)105y y --=126(4)5y -六、布置作业1．教材综合运用5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）． AB ．5CD ．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m ，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m 2，这两块木板的长和宽分别是（）． A ．第一块木板长18m ，宽9m ，第二块木板长16m ，宽27m; B ．第一块木板长12m ，宽6m ，第二块木板长10m ，宽18m; C ．第一块木板长9m ，宽，第二块木板长7m ，宽; D ．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A ．8cmB ．64cmC ．8cm 2D ．64cm 2 二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为4500m 2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度=，迎水坡度）（精确到）2．在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m 2的长方形花台，CF BF 1211DE AE B ACE DF要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m和或15m和10m三、1．设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，依题意，得：（3+3+3x）x×30=4500整理，得：x2+2x-100=0解得x≈即x≈（m）2．设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x整理，得：x2-10x+22=0解得：x1（舍去），x23．设道路的宽为x，AB=a，AD=b12220.102-+则（a-2x ）（b-2x ）=ab 解得：x=[（a+b ）] 量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线），得L=AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽，即．第2课时 分式的乘方一、教学目标：1、理解分式乘方的运算法则2、熟练地进行分式乘方的运算 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.12144AB AD BD +-4a b +-2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 计算下列各题：（1）2)(ba =⋅b a ba =（ ） (2) 3)(ba =⋅b a ⋅b a ba =（ ） （3）4)(ba =⋅b a ⋅b a b a ba⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出nba )(（n 为正整数）的结果吗？2、例题讲解例5.计算(1) 332)2(a b - (2)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 3、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(ab -=2249a b - （3）3)32(xy -=3398x y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算(1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （2）32223)2()3(x ay xy a -÷（3）23322)()(z x zy x -÷- （4))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (5)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 4、小结谈谈你的收获 5、布置作业 6、板书设计第2课时 分式的乘方1、分式乘方的运算法则 例：2、分式乘方的运算 练习：四、教学反思：第1课时 等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
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四边形PBCQ的面积是33c㎡
AD
分析:四边形PBCQ的形状是梯形, 上下底,高各是多少?
P Q
(2)P、Q两点从出发开始几秒时,
B
C
点P点Q间的距离是10㎝
分析:PQ的长度如何求?如图过Q点作垂线,构造直角三角形
通过这节课的学习， 谈谈你掌握了什么？
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
例4．某林场计划修一条长750m，断面为 等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上 口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，
则每个小长方形的面积为【 】 A
练习： A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金
色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个
挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x
满足的方程是【B】
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小
正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）C【 】
A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
例题2：有一个面积为150m2的长方形鸡
场,鸡场的一边靠墙(墙长18m,)另三边用竹 篱笆围城,如果竹篱笆的长为35m,求鸡场 的长和宽各为多少?
18m
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
x
80cm
x
50cm
x
x
a
练习：
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边 靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为35m，所围的面积为150m2，则此长方 形鸡场的长、宽分别为_______．
练习：
5、围绕长方形公园的栅栏 长280m.已知该公园的面积 为4800m2.求这个公园的长 与宽.
x 280 2x 4800 2
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多 少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨 设渠深为xm，则上口宽为x+2， 渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建 模．
解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
D
ห้องสมุดไป่ตู้
形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动
点P、Q分别从点A、C同时出发,点P
P
以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点
Q
B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. B
C
问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形 PBCQ的面积是33c㎡
(2)P、Q两点从出发开始几秒时, 点P点Q间的距离是10㎝
问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,
依题意，得： 1 (x 2 x 0.4)x 1.6 2
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去） ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2)1.6 750 2（5 天） 48
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m； 需要25天才能挖完渠道．
例5 如图,已知A、B、C、D为矩 A
第4课时 解决面积问题
封丘县第一初级中学 王立霞
例题1：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm, 则
x(18 x) 81 化简得，x2 18x 81 0
(x9)2 0 x1 x2 9
答:应围成一个边长为9米的正方形.