随机事件的概率及分布教

离散型随机变量与分布

【知识梳理，考点分析】

离散型随机变量分布的概念

1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做________.常用希腊字母ξ、η等表示

2、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____________.

3、连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____________.

4、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

x 1，x 2，…，x 3，…，

ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列 5、分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴;,2,1,0 =≥i P i

⑵_.121=++ P P

几种特殊的分布：

1、两点分布

2、超几何分布:

设一批产品共有N 个，其中有M 个次品，现从中任取n 个（n N M ≤-）,则这n 个产品中所含的次品数X 是一个离散型随机变量，X 所有可能的取值为0，1，2，…，j , ( 其中{}min ,j M n =)，

其概率分布为：n N k n M N k M C C C k X P /)(--== （k =0,1,2,…, j ），

3、二项分布：

如果随机变量X 所有可能取的值为0，1，2，…，n ，它的分布律为k n k k n p p C k X P --==)1()(，(k = 0，1，2，…，n )，其中0 < p < 1为常数，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为),(~p n B X 。

4、几何分布：

从一批次品率为p （01p <<）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止。设检验的次数为X ，则X 可能取的值为1，2，3，…, 其概率分布为：

,....)2,1(,)1()(1=-==-k p p k X P n ，

条件概率

一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称)

()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。

条件概率具有的性质：

（1）1)|(0≤≤A B P ；

（2）C B ,是两个互斥事件时，)|()|()|(A C P A B P A C B P += 。

事件的独立性

设B A ,为两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。

【例题剖析，变式演练】

例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果

（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．

变式：1、下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果

（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；

（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差．

2、盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ．

ξ所表示的事件

（1）写出ξ可能取的值；（2）写出1

=

例2、在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；

（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.

变式：1、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列？

2、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的

三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

例3、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B

为ξ、η.

（1）求ξ、η的概率分布；

（2）求Eξ、Eη.

变式：一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

例4、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，

遇到红灯的概率都是1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.

变式：金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少?

【习题训练，巩固记忆】

1、一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则4=ξ表示的试验结

是 ．

2、将一颗骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差是2的概率是 ．

3、某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示

这6人中“三好生”的人数，则概率等于612

3735C C C 的是 （ ） A ．)2(=ξP B ．)3(=ξP C ．)2(≤ξP D ．)3(≤ξP

4、若a n P -=≤1)(ξ，b m P -=≥1)(ξ，其中n m <，则)(n m P ≤≤ξ等于（ ）．

A ．)1)(1(b a --

B ．)1(1b a --

C ．)(1b a +-

D ．)1(1a b --

5、已知随机变量ξ的分布列为

为奇数的概率为 ．

6、盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设X 表示其中黑球的个数，求出X

的分布列。