高三阶段性测试数学试卷
湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段性测试数学试题
湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}3217xA x =<<，{}0,1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,5C ．{}2,3,4D ．{}42．已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．3i -D ．3-3．若a b c ===a b c 、、的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b a c <<4．已知2b a =r r ，若a r 与b r 的夹角为60︒，则2a b -r r 在b r 上的投影向量为（ ） A ．12b rB ．12b -rC ．32b -rD ．32b r5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120,ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．16B ．18C ．20D ．146．已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a >- B ．49103a -<<- C ．4933a -<<- D ．103a -<<-7．若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cossin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（ ）A ．12±B ．12C ．D ．8．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为f ′ x ，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，f 1 =0，()112f '=，则()2f '=（ ） A ．0B ．1C ．32D ．52二、多选题9．已知复数12,z z ，满足120z z ⋅≠，下列说法正确的是（ ） A ．若12=z z ，则2212z z = B ．1212z z z z +≤+ C ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R D ．1212z z z z =10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为R的水车，一个水斗从点()3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+π0,0,2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．6R =，π30ω=，π6ϕ=- B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6 C ．当[]35,55t ∈时，函数()y f t =单调递减 D ．当20t =时，PA =11．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()ex xf x =在()1,2上是“弱减函数” C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥ D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤三、填空题12．若曲线ln xy x=上点P 的切线平行于直线10x y -+=，则点P 的坐标是. 13．在ABC V 中，已知3DC BD =u u u r u u u r ，P 为线段AD 的中点，若BP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则11λμ+=．14．已知函数()π2sin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ=+的交点有个，四、解答题15．如图，已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A aC b c=-.(1)求A 的值；(2)若24c b ==，M 为边BC 上一点，且2BM MC =，求AM 的长.16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，π6BCD BDC ∠=∠=，P 为棱AC 的中点，点Q 在棱CD 上，PQ BC ⊥，且2DQ QC =.(1)证明：AB ⊥平面BCD ；(2)若AB BD =，求平面CPQ 与平面ABD 的夹角的余弦值.17．已知函数()e cos xf x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.(1)求实数a 的值；(2)探究()f x 在区间3π,2⎫⎛-+∞ ⎪⎝⎭内的零点个数，并说明理由.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，离心率为2，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，两点()11,A x y ，()22,B x y 都在C 上. (1)求C 的方程；(2)若222AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若12//AF BF ，且120x x <，120y y >，求四个点A ，B ，1F ，2F 所构成四边形的面积的最小值.19．随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES 、DES 、RSA 等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA 的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA 加密算法中的应用.设p ，q 是两个正整数，若p ，q 的最大公约数是1，则称p ，q 互素.对于任意正整数n ，欧拉函数是不超过n 且与n 互素的正整数的个数，记为()n ϕ. (1)试求()()19ϕϕ+，()()721ϕϕ+的值；(2)设p ，q 是两个不同的素数，试用p ，k 表示()kp ϕ（*k ∈N ），并探究()pq ϕ与()p ϕ和()q ϕ的关系；(3)设数列{}n a 的通项公式为()5332m m m a ϕ-=（*N m ∈），求该数列的前m 项的和m T .。
江苏省连云港市灌南县第二中学2023-2024学年高三上学期阶段性测试一数学试卷(含解析)
灌南县第二中学数学阶段性测试姓名：班级：学号：一．单选题1．函数f （x ）＝lg （x 2+3x +2）的定义域是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．[﹣2，﹣1] C ．（﹣∞，﹣2）⋃（﹣1，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]⋃[﹣1，+∞） 2．设集合A ＝{x |x ＞1}，集合，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．B ．C ．{x |x ≤1}D ．3．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a 2＜b 2C ．a |c |＞b |c |D ．的值为（）则已知函数)4(,0),3(0,12)(.42f x x f x x x f ⎩⎨⎧>-≤+= 3.A 9.B 19.C 33.D的最小值为则已知121,0,0,1.5++>>=+y xx x y y x （ ）45.A 0.B 1.C 22.D6．若不等式mx 2+mx ﹣4＜2x 2+2x ﹣1对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣10，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）7.若集合A={x|2a +1≤x ≤3a -5},B={x|5≤x ≤16},则能使A ⊆B 成立的所有a 组成的集合为 ( )A.{a |2≤a ≤7}B.{a |6≤≤7}C.{a |a ≤7}D.{a |a<6}8.已知方程05)2(2=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-5,-4)∪(4,+∞)B.(-5,+∞)C.(-5,-4)D.(-4,-2)∪(4,+∞) 二．多选题9．“关于x 的不等式ax 2﹣4ax +4＞0对∀x ∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．0＜a ＜1C ．0≤a ＜1D ．a ≥010．已知实数x ，y 满足﹣1≤x +y ≤3，4≤2x ﹣y ≤9，则4x +y 可能取的值为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．1611．下列命题中正确的是（ ）A ．命题：“∀x ≥0，x 2≥0”的否定是“∃x ＜0，x 2＜0”B ．函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）恒过定点（4，2）C ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]D ．若函数，则f （x ）＝x 2﹣x ﹣2（x ≥﹣1） 12．下列命题中的真命题有（ ） A ．当x ＞1时，的最小值是3B ．的最小值是2C ．当0＜x ＜10时，的最大值是5D ．若正数x ，y 为实数，若x +2y ＝3xy ，则2x +y 的最大值为3 三．填空题的最小值为则，且，已知21131,73231.13-+-=+>>y x y x y x ．的取值范围为则已知y x y x -<<-<<,31,42.14 ．15．若函数f （x ）＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．. 则实数,123+234,=+满足,实数16.2取值范围为的恒成立且不等式若正m m m yx y x y x --≥+四、解答题17.已知二次函数y ＝f （x ）的图象过点A （1，1），不等式f （x ）＞0的解集为（0，2）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数y ＝f （x ）图象的顶点在函数g （x ）＝b （x ﹣m ）2+f （m ）（m ≠1）图象上，求关于x 的不等式g （x ）＜（2﹣m ）x 的解集．18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的中点.(1)求证：PB 平面AEC ；(2)设PA=AB=1，求平面AEC 与平面AED 夹角的余弦值.．已知ABC 的内角；6，求ABC 面积的最大值．(n na ++=21．已知函数()ln f x x ax =-，()()211g x a x =+-，()R a ∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当()()()2h x f x g x =-时，讨论()h x 的单调性.22．已知双曲线C 的渐近线为430x y ±=，右焦点为()5,0F ，右顶点为A . (1)求双曲线C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点（与点A 不重合），当0AM AN ⋅=时，求直线l 的方程.参考答案1. C2.A3.D4.B5.A6.B7.C8. C9.AB 10.BC 11.BCD 12.AC13.1 14.(-1,5) 15.(-2,2) 16.[-1,3]17.解：（1）因为f（x）＞0的解集为（0，2），所以设f（x）＝ax（x﹣2），因为f（1）＝﹣a＝1，所以a＝﹣1，所以f（x）＝﹣x（x﹣2）；（2）由（1）可知f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1，函数y＝f（x）的顶点（1，1）在g（x）的图象上，则g（1）＝b（1﹣m）2﹣m（m﹣2）＝1，则b（m﹣1）2＝（m﹣1）2，m≠1，所以b＝1，所以g（x）＝（x﹣m）2﹣m（m﹣2）＜（2﹣m）x，整理为：x2﹣（m+2）x+2m＜0，即（x﹣2）（x﹣m）＜0，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2），综上，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2）．18.【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，E为PD的中点，OE PB∴∥AEC PB⊄平面AEC，又OE⊂平面,∴平面AEC.PB（2）方法一：由于CD AD ⊥,,ADPA A AD PA =⊂平面AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥由于,PA AD E =为PD 中点，所以因此CED ∠即为平面AEC 与平面由于1,CD ED =22⎝⎭(110,,,1,1,022AE AC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭平面ADE 的法向量为(1,0,0AB =设平面AEC 的法向量为(,,n x y z =0,0,AE AC ⋅=⋅=即(1,n ∴=-1,13AB n =⨯设平面AEC 与平面ADE3,3AB n =，与平面ADE 夹角的余弦值为）由正弦定理可得3,sin 0,A A ≠π3⎫=⎪，由于所以π3B -=2ac +，，当且仅当a =(n na ++=222a S +=()1n n a -++-()122n n S --+也适合上式，所以)2，故数列()1n ++-()1n ++-122222n n =+++-)12+.定义域为()0,∞+，(f '，77而()(1123,,AM x y AN x =-=-，则(1AM AN x ⋅=-()212122(3)x x m x x m +-+++)214418(7m m ++化简得27542250m m --=，即75)(3)0m +=，而75。
高三数学阶段性试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(1) = 0，f(2) = 4，则a、b的值为：A. a=1, b=1B. a=2, b=1C. a=1, b=2D. a=2, b=22. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 24，则数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)5. 若等比数列{an}的公比q > 1，首项a1 > 0，则下列结论正确的是：A. an > 0B. an < 0C. an > a1D. an < a16. 函数y = 2^x + 3在定义域内的值域为：A. (3, +∞)B. [3, +∞)C. (0, +∞)D. [0, +∞)7. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，∠B = 30°，则sinC的值为：A. 1/2B. √3/2C. 1/√3D. √38. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 2]上单调递增，则下列结论正确的是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c > 0D. a < 0, b < 0, c > 09. 在直角坐标系中，若点P(x, y)到点A(2, 1)的距离等于点P到直线x + y - 3 = 0的距离，则点P的轨迹方程为：A. x + y - 3 = 0B. (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1C. x^2 + y^2 = 4D. x^2 + y^2 = 910. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上有极值，则f(x)在区间[0, 2]上的极值点为：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = -1二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则a、b、c的取值范围分别为______。
北京市第四中学2023-2024学年高三下学期阶段性测试(零模)数学试题(解析版)
高三数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则A B ⋃=（）A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]【答案】A 【解析】【分析】先解对数函数不等式化简集合B ，然后利用并集运算求解即可.【详解】因为3log 1{|}{|03}B x x x x =<=<<，又{|03}A x x =≤≤，所以A B ⋃=[]{|03}0,3x x ≤≤=.故选：A2.在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()212i i i -=+，对应的点为()1,2，在第一象限考点：复数运算3.命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是（）A.()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≠-B.()0,x ∃∉+∞，ln 1x x =-C.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D.()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】【分析】结合特称命题的否定的方法即可.【详解】命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-.故选：C4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 是双曲线22:12y C x -=的两个焦点，点M 在C 上，且120MF MF ⋅= ，则12F F M △的面积为（）A.B.2C.D.4【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点M 在C 上，12,F F 是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设12MF MF >，则1222MF MF a -==①，122F F c ===，因为120MF MF ⋅=，所以12MF MF ⊥，由勾股定理得222121212MF MF F F +==②，①②联立可得11MF =+，21MF =，所以1212122F F M S MF MF == ，故选：B5.函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为（）A.a b c >>B.b a c>> C.b c a >> D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】令()0f x =，即2x x =-，令()0g x =，即2log x x =-，令()0h x =x =-，分别作出2xy =，2log y x =，y =和y x =-的图象，如图所示：由图象可知：0c =，所以b c a >>.故选：C .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆()()22:341C x y -+-=上的动点．若(),0A a -，(),0B a ，0a ≠，则PA PB +的最大值为（）A.16B.12C.8D.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到2PA PB PO +=，max1PO OC =+ ，即可得到答案.【详解】因为2PA PB PO +=，max116POOC =+== ，所以max12PA PB +=.故选：B7.在无穷项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，则“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】设出公比为()0q q ≠，分10a >且1q >，10a >且01q <<，10a <且1q >，10a <且01q <<，10a <且10q -<<，10a <且10q -<<，1q <-及1q =±等情况，进行分类讨论，从而得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，当10a >，1q >时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最大值，当10a >，01q <<时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最大值，当10a <时，1q >时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最小值，当10a <时，01q <<时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最小值，当10q -<<时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110nn n n n a a a q a q a qq --+-=-=-<，故1n n a a +<，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于0，故{}n a 有最大值，也有最小值，若10a >且10q -<<，()1101nn a q S q-=>-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +<，当n 为偶数时，1n n S S +>，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=<--，()21112110111a a a q S a q q q q -=-+=>---，故111a S q <-且121a S q>-，故{}n S 有最大值1S ，也有最小值2S ，若10a <且10q -<<，()1101nn a q S q-=<-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +>，当n 为偶数时，1n n S S +<，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=>--，()21112110111a a a q S a q q q q-=-+=<---，故111a S q >-且121aS q<-，故{}n S 有最大值2S ，也有最小值1S ，当1q <-时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110n n n n n a a a q a q a qq --+-=-=->，故1n n a a +>，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于正无穷或负无穷，故{}n a 无最大值，也无最小值，此时{}n S 无最大值，无最小值，当1q =时，{}n a 为常数列，此时{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 无最大值或无最小值，故充分性不成立，当1q =-时，{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 有最大值和最小值，综上，当{}n S 既有最大值，又有最小值时，{}n a 既有最大值，又有最小值，必要性成立，故“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件.故选：B8.在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A.31010 B.1010C.1010-D.31010-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2,2,sin cos ,sin ,cos cos2AD a AB CD a AC a A ααββ=⇒=⇒==⇒10cos()10αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1CC 的中点，P 是正方体表面上的一点，若1D P AF ⊥，则线段1D P 长度的最大值是（）A. B.344C.32D.【答案】C 【解析】【分析】通过线面垂直的性质找到点P 的轨迹，然后利用梯形的性质求解即可.【详解】连接1111,,,AC BD A C B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，四边形1111D C B A 是正方形，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，又1111AC B D ⊥，1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AACC ，11AC ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥平面11A ACC ，因为AF ⊂平面11A ACC ，所以11B D AF ⊥，所以当点P 在线段11B D （点1D 除外）时，1D P AF ⊥，取BC 的中点E ，连接1,BF B E ，在正方形11B BCC 中，因为E 为BC 的中点，F 是棱1CC 的中点，所以1BF B E ⊥，因为AB ⊥平面11B BCC ，1B E ⊂平面11B BCC ，所以1AB B E ⊥，因为AB BF B = ，且AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以1B E ⊥平面ABF ，又AF ⊂平面ABF ，所以1B E AF ⊥，因为1111B E B D B = ，且11B D ⊂平面11D B E ，1B E ⊂平面11D B E ，所以AF ⊥平面11D B E ，设平面11D B E ⋂平面ABCD GE =，则11//GE D B ，所以//GE DB ，则G 是棱CD 的中点，所以当点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面线段1111D B B E EG GD ---上时，1D P AF ⊥,由题意可知，在梯形11D GEB 中，11D B =1152D G B E ==，22EG =，132D E ===，所以线段1D P 长度的最大值是132D E =.故选：C10.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.123x x x >>B.132x x x >>C.231x x x >>D.321x x x >>【答案】C 【解析】【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.已知等差数列{}n a 满足12a =，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则d =______.【答案】4【解析】【分析】由等差数列通项公式结合等比数列性质计算求解即可.【详解】因为11252,,,a a a a =成等比数列，所以2215a a a =，即()()22224d d +=+，即240d d -=，解得4d =或0d =（舍）.故答案为：412.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】15【解析】【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()122123166C 1C 1r r r r r rr r T x x x ---+=-⋅⋅=-⋅，令1230r -=，4r =，故该展开式中的常数项为46C 15=，故答案为15．【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.抛物线24x y =-的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】抛物线24x y =-的焦点(0,1)F -，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以点F到直线0y -=的距离为12d ==.故答案为：1214.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P （P 不在坐标轴上）．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记()f α为点M 到直线OP 的距离，则()f α的最大值为___________，此时α的一个取值为___________.【答案】①.12##0.5②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义得(cos ,sin )P αα，再利用等面积法求得()f α，借助正弦函数性质求得答案.【详解】依题意，(cos ,sin )P αα，R α∈且π,Z 2k k α≠∈，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得11()|cos |sin ||sin 2|22|f αααα=⋅=≤，当且仅当sin 21α=-或sin 21α=，即π2π,Z 2k k α=+∈，ππ,Z 42k k α=+∈时取等号，所以()f α的最大值为12，ππ,Z 42k k α=+∈.故答案为：12；π415.设n 是正整数，且2n ≥，数列{}{},k k a b 满足：()10a a a =>，()211,2,,1kk k a a a k n n+=+=⋅⋅⋅-，()11,2,,k k b k n a n==⋅⋅⋅+，数列{}k b 的前k 项和为k S .给出下列四个结论：①数列{}k a 为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{}k b 为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，{}1,2,,1k n ∈⋅⋅⋅-，111k k S a a +=-；④对任意正整数{}1,2,,k n ∈⋅⋅⋅，1k S <.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】由210k k k a a a n+-=>和10a >可确定①正确；由10k k b b +-<知②错误；根据已知等式可得11111k k k k a n a a a ++⋅=-及1k k k a a n a n ++=，推导得到111k k k b a a +=-，加和可得③正确；由已知等式可推导得到1111k k a a n +->-，累加得到1111k a a+>-，进而得到1k S <，知④正确.【详解】对于①，，()10a a a => ，210k k k a a a n +∴-=>，∴数列{}k a 为单调递增数列，10a > ，0k a ∴>，即数列{}k a 各项均为正数，①正确；对于②，()()111111k k k k k k k k a a b b a n a n a n a n ++++--=-=++++，由①知：10k a n ++>，0k a n +>，10k k a a +-<，∴数列{}k b 单调递减数列，②错误；对于③，由21k k k a a a n +=+得：21k k ka a a n +=-，11111k k k k a n a a a ++∴⋅=-又11k k k k a a a n a n n ++=+=，11111k k k k k k a b a n na a a ++∴===-+，122311111111111111k k k k k S a a a a a a a a a a +++∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-=，③正确；对于④，由21k k k a a a n +=+得：()1111k k k k k n a a a n a a n +==-++，11111k k k a a a n n +∴-=->-+，1112111111111111k k kkk a a a a a a a a a ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111k a a +∴-<-，1111111k a a a a+∴-<+-=，即1k S <，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前n 项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到111k k k b a a +=-、1111k k k a a a n+-=-+等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数1()cos cos )2f x x x x =-+.（1）求π()3f 的值；（2）当π[0,2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1(1,)2--.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再代入求值即可；（2）由x 的取值范围求出π26x -的取值范围，从而得到函数的值域，由()2c f x c <<+，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）()21cos cos +2f x x x x-1=sin 2cos222x x -π=sin(2)6x -，所以π()13f =.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质的应用，属于基础题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面π,//,32ABCD AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，点O 是AB的中点．（1）求证：PO CD ⊥；（2）求直线CP 与平面POD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.（2）以点O 为原点建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，利用空间向量求出线面角的正弦.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，由PA PB =，点O 是AB 的中点，得PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作Oy AB ⊥，由（1）知直线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，直线,,OB Oy OP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，由π//,,32AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，得PO ==则(0,0,0),(1,1,0),(1,3,0)O P C D -，(1,1,(1,3,0)PC OP OD =-==-，设平面POD 的一个法向量(,,)n x y z =，则030n OP n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，得(3,1,0)n = ，所以直线CP 与平面POD所成角的正弦值为||2|cos ,|5||||n PC n PC n PC ⋅〈〉==.18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7∶364月9日5∶467月9日4∶5310月8日6∶171月12日7∶314月28日5∶197月27日5∶0710月26日6∶362月10日7∶145月16日4∶598月14日5∶2411月13日6∶563月2日6∶476月3日4∶479月2日5∶4212月1日7∶163月22日6∶156月22日4∶469月20日5∶5912月20日7∶31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7∶232月11日7∶132月21日6∶592月3日7∶222月13日7∶112月23日6∶572月5日7∶202月15日7∶082月25日6∶552月7日7∶172月17日7∶052月27日6∶522月9日7∶152月19日7∶022月29日6∶49（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7∶00的概率；（2）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7∶00的人数，求X的分布列和数学期望()E X；（3）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7∶31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s，判断2s与2*s的大小﹒（只需写出结论）【答案】（1）3 4（2）分布列见解析，()2 3E X=（3）22*s s<【解析】【分析】（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，由此能求出从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）由方差性质推导出22*s s <．【小问1详解】记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，()P A ∴153204==．【小问2详解】X 可能的取值为0，1，2．记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=．4(0)(()9P X P B P B ===，()121241C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1(2)()()9P X P B P B ==⋅=，所以X 的分布列为：X012P 4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由表1所有升旗时刻对应数据比较集中，而表2所有升旗时刻对应数据比较分散，可得22*s s <．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点()1,0P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列关于,,a b c 的方程组，即可得到结果；（2）设方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线MN 方程和椭圆的方程可得()121232my y y y =+，表示出直线NQ 方程，对称性可知直线NQ 恒过的定点在x 轴上，令0y =，将()121232my y y y =+代入化简即可得出答案.【小问1详解】由题意得，2,a b ==，所以222244b c c a +===，解得1c =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意直线MN 过点()1,0P 且斜率不为0，故设直线MN 方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234690m y my ++-=，所以122122Δ0634934m y y m y y m ⎧⎪>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，所以()121232my y y y =+，因为112AM PQ y k k x ==+，则PQ ：()1112y y x x =-+，令52x =，解得11324yy x =+，所以1135,224y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故直线QN 的方程为：()12122232452y y x y y x x x -+-=--，根据对称性，直线QN 所过的定点在x 轴上，不妨令0y =，则222211221121221510532332424y x y y x y x x x y y y x y y x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=+=---+，将11221,1x m y x m y =+=+代入得所以()()()()()2211221122112212121212121221051311533153218232143623639y y my y my y y y y y y my y y x y y my y y y my y y y y y y --+++-+-+-+--=====-+-----+-，故直线NQ 恒过定点()2,0.20.已知函数()ln .f x x a x =-（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a -＞【答案】（1）(1)y a x a =-+；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()af x x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：(1)y a x a =-+，（2）函数()ln f x x a x =-定义域为(0,)+∞，()1a x a f x x x'-=-=当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上()0f x '<，()f x 单调递减，在(,)a +∞上()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明：由（2）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立），所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减，当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增，所以0()g x g （1）0=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明0111a x ->即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明00011lnx x x ->，利用构造函数的方法即可.21.对给定的正整数n ，令(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i a a a a a i n Ω==⋯∈=⋯∣，对任意的()12,,,…=n x x x x ，()12,,,n n y y y y =⋯∈Ω，定义x 与y 的距离()1122,n n d x y x y x y x y =-+-++- ．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合(){},,,D d x y x y x y A =≠∈中的最小值称为A 的特征，记作()A χ．（1）当3n =时，直接写出下述集合的特征：()(){}()()()(){}()()()(){}0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1A B C ===；（2）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()2A χ=，求A 中元素个数的最大值；（3）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()3A χ=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（1）()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=（2）20192（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（2）一方面先证明A 中元素个数至多有20192个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为20192个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（3）设{}12,,,m A x x x = ，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，先证明对任意的1i j m ≤≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，进而证明结论．【小问1详解】依题意可得()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=．【小问2详解】（a ）一方面：对任意的()12320192020,,,,,a a a a a a A =∈ ，令()()12320192020,,,,,f a a a a a a = ，则()()2020,1212d a f a a =-=<，故()f a A ∉，令集合(){}|B f a a A =∈，则A B ⋂=∅，则2020ΩA B ⊆ 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω中共有20202个元素，其中至多一半属于A ，故A 中至多有20192个元素．(b )另一方面：设()123201920202020122020{,,,,,Ω|A a a a a a a a a a ==∈++⋯+ 是偶数}，则对任意的()122020,,,x x x x = ，()122020,,,y y y y A =∈ ，x y ≠，都有A 中的元素个数为024202020192020202020202020C C C C 2+++⋯+=，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，又x y ≠，则(,)0d x y >，所以(,)2d x y ≥，注意到()0,0,0,0,,0,0 ，()1,1,0,0,,0,0A ∈ 且它们的距离为2，故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为20192．【小问3详解】当2020n =时，设2020A ⊆Ω且()3A χ=，设{}12,,,m A x x x = ，则对任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，（a ）一方面：对任意的1i m ≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，事实上，①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，()i N x 中恰有2021个元素，（b ）对任意的1i j m ≤≤≤，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，()()122020122020,,,,,,,i j x x x x x x x x ''='= ，则()11112020202020202020(,)2k k k k i j k k kk k k d x x x x xa a x x a a x =====∑-'≤∑-+-'=∑-+∑-'≤，这与()3A χ=矛盾，由（a ）和（b ）可得12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，即202022021m ≤，注意到m是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于20202 2021．【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．。
山东省栖霞市2024届高三阶段性测试(四)数学试题
山东省栖霞市2024届高三阶段性测试（四）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）3．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10B ．3C ．5D ．25．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．3633⎣⎦B ．3,1)3C ．3]D ．6[7．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 8．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π9．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．410．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数12．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月期中阶段性测试数学试题
山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月期中阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}22B x x =<，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．已知复数()21i =+z ，则z =（）A ．2BC ．1D ．123．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A ．()cos f x x =B ．()1f x x=C ．()13f x x=-D ．()22x xf x -=-4．已知数列{}n a 的各项均不为0，设甲：()2*22,3n n n a a a n n -+=∈≥N ；乙：数列{}n a 是等比数列，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC V 满足AB AC ⊥ ，3144AM AB AC =+ ，且向量BA 在向量BC 上的投影向量为34BC uu ur ，则tan CMA ∠=（）A ．12B ．CD ．26．如图，设矩形()ABCD AB AD <的周长为8cm ，把ACD 沿AC 向ABC V 折叠，AD 折过去后交BC 于点P ，记ABP 的周长为l ，面积为S ，则Sl的最大值为（）A ．3-B ．3+C ．6+D ．6-7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()2321x f x x =+-，则下列结论中正确的是（）A ．()143f >B ．1633f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()ln33f <D ．()2log 183f <8．当[]0,2πx ∈时，曲线()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与sin π2x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为4个，则实数ω的取值范围是（）A ．513,36⎛⎫⎪⎝⎭B ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．138,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．1sin cos tan 1tan θθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．(sin 40tan101︒︒-=C ．在等差数列{}n a 中，n a m =，m a n =，()m n ≠，则0m n a +=D ．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若46S =，810S =，则1618S =10．若实数,x y 满足22223x y xy +-=，则（）A ．223x y +≤B ．32xy ≥C ．x y +≥D ．y x -≤11．已知函数()1ln 1x f x x x +=--，则下列结论正确的是（）A ．若0a b <<，则()()f a f b >B ．()f x 有两个零点C ．()()20232024log 2024log 20230f f +=D ．若()e 1e 1b b f a b +=--，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =三、填空题12．已知向量()2,3a = ，3,2b m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()2a b a +//，则m =．13．对于数列{}n a ，定义数列{}1n n a a ++为数列{}n a 的“和数列”，若11a =，数列{}n a 的“和数列”的通项公式为32n ⋅，则数列{}n a 的前21项和21S =．（结果保留指数形式）14．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a ac -=，则ab ba+的取值范围为．四、解答题15．已知函数()()2cos 2cos 10,f x x x x x ωωωω=-+>∈R ，且()f x 的最小正周期为π．(1)将函数()f x 的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，求ϕ的最小值；(2)若()65f θ=，π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos 2θ的值．16．已知函数()()22log 22f x x x =-+．(1)证明：曲线()y f x =是轴对称图形；(2)若函数()()32223f xg x x x a =+-+在[]3,3-上有三个零点，求实数a 的取值范围．17．民族要复兴，乡村需振兴．为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展．度假区按如图所示规划为三个功能区：PBC △区域规划为露营区，PAB 区域规划为休闲垂钓区，PAC 区域规划为自由活动区．为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏．已知90ABC ∠=︒，AB =，3km BC =，P 为ABC V 内一点，120BPC ∠=︒．(1)当PB =时，求护栏的长度（PAB 的周长）；(2)若120APB ∠=︒，求tan PBA ∠；(3)为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值．18．已知函数()()()ln f x x x m m =+∈R ．(1)令()()2f x g x mx x x=++，求()g x 的单调区间；(2)若存在()1212,x x x x <使得()()12f x f x =，求证：2212e mx x --<．19．对于无穷数列{}n a ，“若存在()*,,m k a a t m k N m k -=∈>，必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有()M t 性质．(1)若数列{}n a 满足()()*21,2253,n n n a n n n ⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩N判断数列{}n a 是否具有()1M 性质？是否具有()4M 性质？(2)把（1）中满足()M t 性质的t 从小到大一一列出，构成新的数列{}n b ，若12121inn b i S ==-∑，求证：2n S <；(3)对于无穷数列{}n a ，设{},j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 具有()0M 性质，求集合T 中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明）。
云南省文山市2024学年高三下学期第一次阶段性测试数学试题
云南省文山市2024学年高三下学期第一次阶段性测试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>2．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15605．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．12i C ．12-- D ．12i - 6．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+7．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．8．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 10．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+11．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<12．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．3D ． 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学阶段性测试卷(附答案)
高三数学阶段性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a2(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)A.66B.99C.144D.297(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )A.(－∞，－4) (1，∞)B.[－4，1]C.(－∞，－4] [1，∞)D.(－4，1)(5)设函数f(x)＝1－x2＋log12(x－1)，则下列说法正确的是( D)A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)A.－1B.0C.－1或0D.－1或4(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域y( C)A B C D(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f(x ＋1)＝x 2＋2，则f －1(x ＋1)的表达式是 ( B )A.2x －2B.2x －1C.2x ＋2D.2x ＋1(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是 ( D )A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )A.7个B.8个C.9个D.10个 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2） ． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o＝(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与yB CD＝(1a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f－1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝12(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (π3－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)． （I ）求f (x )的解析式；（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π6)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，∴2π|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1． 又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π3），即 12（sin0＋a cos0）＝12（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．令u ＝x ＋π3，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1． 同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0． 又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m2∈（－1，1）．又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根．∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分条件．令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－12∈(－1，1)，∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋16＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，但 ｜m ｜＋｜n ｜＝56＋16＝1，故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的必要条件．综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).(I)求函数f (x )的定义域、值域；(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)． 令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4， 当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立． 综上，满足条件的a 的取值范围是 ．(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．DBACP(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ⊂平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ⊂平面PBD ，PD BD ＝D ，∴ 直线AC ⊥平面PBD ．过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AEOA＝22a 23a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．(20)（本小题满分12分）以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0）， 则旺季的最高价格为－bk元/件，利润函L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－bk]，D BACP OE当x ＝100k －b 2k ＝50－ b 2k 时，L （x ）最大，由题意知，50－ b 2k ＝140，解得 － b k ＝180，即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×23＝120（元/件）．现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n （m ＜0）， 则淡季的最高价格为－nm＝120（元/件），即n ＝－120m ，利润函数L （t ）＝（t －100）·（mt ＋n ）＝（t －100）·（mt －120m ） ＝－m （t －100）·（120－t ），t ∈[100，120]． ∴ t －100＝120－t ，即t ＝110时，L （t ）为最大，∴ 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．(21)（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n +1＞50成立的正整数n 的最小值．解：（I ）设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，其中a 1≠0，q ≠0．由题知⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ①a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， ②由②×7－①得 6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即 2q 2－5q ＋2＝0， 解得 q ＝2或q ＝12．∵ 等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴ a n ＝2·2n -1＝2n ． （II ）由（I ）得 b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－（1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ）． 设 T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ 则 2T n ＝ 1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④由③－④得 －T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝－（n －1）2n ＋1－2，∴ S n ＝－（n －1）·2n ＋1－2．要使S n ＋n ·2n +1＞30成立，即要 －（n －1）·2n ＋1－2＋n ·2n +1＞50，即要 2n ＞26． ⑤ ∵ 函数y ＝2x 是单调增函数，且24＝16＜26，35＝32＞26， 由⑤得n 的最小值是5．(22)（本小题满分14分）已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 的两个交点为M ，N ，且|MN |的最小值为6． (I)求椭圆C 的方程；(II)设A ，B 为椭圆C 的长轴顶点．当|MN |取最小值时，求∠AMB 的大小． 解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中c ＝2，a 2－b 2＝4．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN ⊥x 轴，则MN 的方程为x ＝－2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2(1－4a 2)＝b 4a 2，∴ |y 1－y 2|＝b 2a ，即|AB |＝2b 2a．若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得 x 2a 2＋k 2(x 2＋4x ＋4)b 2＝1，即 (a 2k 2＋b 2)x 2＋4a 2k 2x ＋a 2(4k 2－b 2)＝0．△＝(4a 2k 2)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(4k 2－b 2)＝4a 2b 2[(a 2－4)k 2＋b 2]＝4a 2b 4(1＋k 2)， ∴ |x 1－x 2|＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b2，∴ |MN |＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b 2·1＋k 2＝2ab 2(1＋k 2)a 2k 2＋b2＝2b 2a ·1＋k 2k 2＋b 2a2＞2b 2a ．综上，|MN |的最小值为2b 2a ．由题知 2b 2a＝6，即 b 2＝3a ．代入a 2－b 2＝4，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1(舍)，或a ＝4．∴ b 2＝12． ∴ 椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A (－4，0)，B (4，0)．当|MN |取得最小值时，MN ⊥x 轴． 根据椭圆的对称性，不妨取M (－2，3)，∠AMB 即直线AM 到直线MB 的角．∵ AM 的斜率k 1＝3－0－2＋4＝32，BM 的斜率k 2＝3－0－2－4＝－12，∴ tan ∠AMB ＝k 2－k 11＋k 1k 2＝－12－321－12×32＝－8．∵ ∠AMB ∈(0，π)，∴ ∠AMB ＝π－arctan8．。
高三数学阶段性测试试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(1, 1)$B. $(1, 0)$C. $(0, 1)$D. $(0, 0)$2. 若$\sin \alpha = \frac{1}{2}$，且$\alpha$在第二象限，则$\tan\alpha$的值为（）。
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$C. $\sqrt{3}$D. $-\sqrt{3}$3. 下列各式中，能表示集合$A = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$的是（）。
A. $\{1, 3\}$B. $\{x | x = 1 \text{或} x = 3\}$C. $\{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$D. $\{x | x^2 = 4x - 3\}$4. 设$a, b$是方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个实数根，则$(a+b)^2 + 4ab$的值为（）。
A. 16B. 12C. 8D. 45. 已知函数$y = a(x-1)^2 + b$（$a \neq 0$）的图像与$x$轴交于点$(2, 0)$，则$y$的取值范围是（）。
A. $y \geq 0$B. $y \leq 0$C. $y > 0$D. $y < 0$6. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_4 = 9$，则该数列的公差$d$为（）。
A. 3B. 6C. 2D. 47. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z-1| = |z+1|$，则实数$a$和$b$的关系是（）。
A. $a = b$B. $a = -b$C. $a^2 + b^2 = 1$D. $a^2 + b^2 = 4$8. 已知平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$，$B(4, 5)$，则线段$AB$的中点坐标为（）。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案
1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4,52．已知复数0z ≠，若|3||3i |z z -=-，则z 的实部与虚部的比值为（）A ．3B ．2C ．1D ．123．已知{}n a 是正项等比数列，若2436,,a a a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．13B ．12C ．2D ．34．函数2,2lg (),lg ,2lg x x xxf x x x---⎧≤=⎨>⎩在区间(0,)+∞上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．先增后减5．放射性物质的衰变规律为：012t TM M ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中0M 指初始质量，t 为衰变时间，T 为半衰期，M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为12,T T （单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则2111T T -=（）A ．31024B ．1512C ．11024D ．35126．若函数2e ()1xf x x bx =++在2x =时取得极小值，则()f x 的极大值为（）A ．1eB ．1C ．3e 8D ．e7．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上有唯一极值点，则ω的取值范围是（）A ．(0,2]B ．(1,2]C ．72,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22228a b c --=，点O 在ABC V 所在的平面内，满足1110OA OB OC a c b++= ，且1cos 3OAC ∠=，则a （）A ．有最大值10B ．有最小值10C ．有最大值8D ．有最小值8二、多选题9．已知函数()()π2sin ,2sin 232x x f x g x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D ．将()f x 的图象绕点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭旋转180︒可得到()g x 的图象10．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，13BD BC =，点P 在以CD 为直径的半圆上（含端点），设AP xAB yAC =+，则（）A ．y 的值不可能大于1B ．1233AD AC AB=+ C ．AP AB ⋅ 的最小值为13D ．AP AB ⋅的最大值为111．已知数列{}n a 满足1,042ππn a a =<<，且()()11(21)sin sin ,n n n n n a a a a +++-=+则（）A ．2sin 5a =B ．1tan 2n n a -=C ．当2n ≥时，1n a >D ．2πn a <-三、填空题12．若[0,1]x ∃∈，使得230x x a +-≤，则实数a 的取值范围为.13．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α，则cos cos 2cos 4ααα=.14．已知函数3()1f x x x =++，若关于x 的不等式(1)(ln )2f ax f x x -+->的解集中有且仅有2个整数，则实数a 的最大值为.四、解答题15．已知数列{}12n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，且11a =.(1)证明：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan tan B C +=(1)求B ；(2)若ABC V 的外接圆半径为R ，周长为R ，且a b >，求A .17．已知函数()2()2sin cos ().f x x x x a x a a =++-∈R(1)求()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围.18．已知函数()e 2()x f x ax a =--∈R .(1)当2a =时，求()f x 的零点个数；(2)设2a ≥，函数2e ()()e 12xx g x f x a =-+-.（i ）判断()g x 的单调性；（ii ）若()()()g m g n m n ''=<，求()()g m g n +的最小值.19．设有穷数列{}n b 的项数为m ，若1i m i b b a +-=（a 为常数，且0,1,2,3,,a i m ≠= ），则称该数列为等积数列，a 叫做该数列的公共积.(1)若231,,,2,4b b 是公共积为a 的等积数列，求该数列的公共积a 及23,b b ；(2)若{}n b 是公共积为a 的等积数列，且212k k b b c -=（*k ∈N 且,2mk c 为常数），证明：当()*42m r r =+∈N 时，对任意给定的,a c ，数列{}n b 中一定存在相等的两项；(3)若{}n b 是公共积为1的等积数列，且10(1,2,3,,1),i i b b i m m +<<=- 是奇数，对任意的1,,,,2i j m b b i j m ⎛⎫+⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都存在正整数[]1,u m ∈，使得j i u b b b =，求证：{}n b 是等比数列.。
2025届甘肃省庆阳市高三上学期阶段性调研测试(一模)数学试卷
2025届甘肃省庆阳市高三上学期阶段性调研测试（一模）数学试卷一、单选题(★) 1. 若集合，，则中元素的个数为（）A． 1B． 2C． 3D． 4(★★) 2. 已知复数，则的实部为（）A．B．C．D．(★★) 3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（）A． 3B． 12C． 15D． 3或15(★) 4. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 函数的值域为（）A．B．C．D．(★★) 6. 在平行四边形ABCD中，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若锐角满足，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（）A．B．是奇函数C．D．的图象关于点对称二、多选题(★★) 9. 已知椭圆：，则（）A．的焦点在轴上B．的焦距为10C．的离心率为D．的长轴长是短轴长的5倍(★★★) 10. 设函数的最小正零点为，则（）A．的图象过定点B．的最小正周期为C．是等比数列D．的前10项和为(★★) 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（）A．在四面体中，点的曲率为B．在四面体中，点的曲率大于C．四面体外接球的表面积为D．四面体内切球半径的倒数为三、填空题(★★★) 12. 已知一组数据1， 2， 3， 3， 5， 1， 6， 8，则这组数据的第60百分位数为_______ ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ______ ．(★★)13. 为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为________ 分钟．(★★★) 14. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 __________ ．四、解答题(★★) 15. 在中，，，．(1)求BC的长；(2)设D为AC边上一点，且，求sin∠BDA．(★★★) 16. 如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．(1)证明：平面平面．(2)若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值．(★★) 17. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．(1)求．(2)求．(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．(★★★) 18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5.(1)求的方程；(2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率.(★★★★★) 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.(1)已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；(2)已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；(3)若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）。
高三数学阶段性试卷及答案
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试(二)数学试题含答案
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】 曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时， ， 在()0,e 上单调递增，当e x >时， ， 在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与 的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与 的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。
高三阶段性考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\;?$A. -2B. 0C. 1D. 22. 若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中正确的是$\;?$A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<2$B. $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}>2\sqrt{ab}$C. $\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab$D. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 2$3. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cos A=\;?$A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则$a_{2019}=\;?$A. $2^{2019}-1$B. $2^{2018}-1$C. $2^{2019}+1$D. $2^{2018}+1$5. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)=0$的实数解为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\;?$A. 1B. 2C. 3D. 46. 若$\log_2(x-1)=\log_2(4x-3)$，则$x=\;?$A. 1B. 2C. 3D. 47. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$d=2$，则$a_{10}=\;?$A. 19B. 20C. 21D. 228. 若$a>0$，$b>0$，则$\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab$的充分条件是$\;?$A. $a+b\geqslant 2$B. $a^2+b^2\geqslant 2ab$C. $a^2+b^2\geqslant 2$D. $a^2+b^2\geqslant 4$9. 在$\triangle ABC$中，$a=2$，$b=3$，$c=4$，则$\sin B=\;?$A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$10. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)=0$的实数解为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2=\;?$A. -1B. 0C. 1D. 211. 若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中正确的是$\;?$A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<2$B. $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}>2\sqrt{ab}$C. $\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab$D. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 2$12. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cos A=\;?$A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{5}{4}$二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 已知函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，则$f(2)=\;?$14. 在$\triangle ABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\sin A=\;?$15. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则$a_{10}=\;?$16. 若$a>0$，$b>0$，则$\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab$的充分条件是$\;?$17. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)=0$的实数解为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\;?$18. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$d=2$，则$a_{10}=\;?$19. 若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中正确的是$\;?$20. 在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cos A=\;?$三、解答题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）21. 已知函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求$f'(2)$的值。
北京中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学试题含解析
北京2023～2024学年度第一学期10月阶段性测试高三数学试卷（答案在最后）班级__________姓名__________学号__________考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知复数i1i z =-，则z =（）．A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先化简i 1i z =-得到1i22z =-+，再根据复数模的定义，即可求解.【详解】()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z +-====-+--+，2z ==.故选：B2.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1}A =，(){3}U C A B = ，则集合B 可能是（）A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】∵{1,2,3,4}U =，(){3}U C A B = ∴{1,2,4}A B ⋃=又∵{1}A =∴{2,4}B =故选：C.3.下列函数()f x 中，其图像上任意一点(),P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是（）．A.()3f x x= B.()f x =C.()e 1x f x =- D.()()ln 1f x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算，即可得到结果.【详解】当2x =时，38x =，2x =，3x x >，故A 错误；当14x =时，12=，14x =x >，故B 错误；当1x =时，e 1e 1x -=-，1x =，e 1xx ->，故C 错误；当10x -<<时，()0f x <，0x >，满足y x <，当0x ≥时，设()()ln 1g x x x =+-，则()11011x g x x x -=-=+'<+，则()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()00g x g ≤=，满足y x ≤，故D 正确；故选：D.4.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A.53 B.23C.13D.59【答案】A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-= .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.已知0.53a =，3log 2b =，2tan 3c π=，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.a c b>>【答案】A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a =>=，3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b <<，又2tan3c π==，所以a b c >>.故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx3π56πsin()A x ωϕ+055-0根据这些数据，要得到函数sin y A x ω=的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于ωϕ，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A =，325362ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26πωϕ==-，，所以()5sin(26f x x π=-，y =5sin 2x ，将()5sin(2)6f x x π=-=5sin[2()]12x π-图象向左平移12π单位后得到y =5sin 2x 的图象.7.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.()11f x --B.()11f x -+ C.()11f x +- D.()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知()sin f x x x =-，命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A.P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B.P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C.P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D.P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，【答案】D 【解析】【分析】求导分析()sin f x x x =-的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】∵()sin f x x x =-，∴()cos 10f x x '=-≤∴()f x 是定义域上的减函数，∴()()00f x f <=∴命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，是真命题；∴该命题的否定是()00002P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，，.故选：D.9.已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④ B.①③C.①②D.③④【答案】A 【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确.甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______．【答案】10-【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()5152155C 11C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令521r -=-，可得3r =，故1x的系数为()3351C 10-=-.故答案为：10-12.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】 角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.13.设函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()(1)1f x f x ++>的x 的取值范围是___________.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】分1x ≤-、10-<≤x 和0x >三种情况解不等式即可求解.【详解】当10x +≤即1x ≤-时，()(1)1f x f x ++>即1(2)1x x +++>，可得1x >-，此时无解，当010x x ≤⎧⎨+>⎩即10-<≤x 时，()(1)1f x f x ++>即1121x x +++>，所以120x x ++>，令()12x g x x +=+，则()12x g x x +=+在(]1,0-上单调递增，()()10g x g >-=，所以120x x ++>恒成立，所以10-<≤x 符合题意，当010x x >⎧⎨+>⎩即0x >时，()(1)1f x f x ++>即1221x x ++>恒成立，所以0x >符合题意，综上所述：满足不等式的x 的取值范围是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若方程e 0x ax a -+=有根，则实数a 的取值范围是______．【答案】2e a ≥或a<0，【解析】【分析】构造函数()e 1xf x x =-，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0.【详解】由e 0x ax a -+=得()e 1xa x =-，当1x =，方程显然无根，故1x ≠时，e 1xa x =-，令()e1xf x x =-，则()()()2e 12x xf x x '-=-，令()()()2e 201x xf x x -'=>-，则2x >，故()f x 在()2,+∞单调递增，在()1,2以及(),1-∞单调递减，故2x =时，()f x 取极小值()22e f =，而当1x <时，()e 01xf x x =<-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0，故答案为：2e a ≥或a<0，15.已知函数()f x 由下表给出：x1234()f x 0a 1a 2a 3a 4a 其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数，则4a =__________；0123a a a a +++=__________．【答案】①.0②.5【解析】【分析】假设k ＝4出现次数大于等于1次，即4a 的值大于等于1，推出矛盾，由此得4a ＜1，4a ＝0，同理可得30a =，由此可得02a ≥，从而讨论可得02a =，于是可以得到1a ，2a ∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.【详解】(0,1,2,3,4)k a k =等于在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中k 所出现的次数，则{}0,1,2,3,4k a ∈，若k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则4a ＝1.设0a ＝4，则k ＝0在“1a ，2a ，3a ”这3个数中出现4次，矛盾，同理k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现过2、3、4次也不可能，即k ＝4不能出现，∴4a ＝0.同理，若k ＝3出现次数超过0次，不妨设k ＝3出现1次，即31a =，设0a ＝3，则k ＝0在“1a ，2a ”这2个数中出现3次，矛盾，故k ＝3不可能出现，∴30a =.∵30a =，4a ＝0，∴k ＝0在“0a ，1a ，2a ，30a =，40a =”中至少出现了2次，∴02a ≥.若0a ＝3或4，即k ＝3或k ＝4出现了1次，则3a 或4a 不为0，矛盾，∴02a =.∴02a =，30a =，40a =，∴1a ，2a ∈{1，2}，∴“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”仅有下列四种可能：①02a =，1a ＝1，2a ＝1，30a =，40a =，②02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =，③02a =，1a ＝2，2a ＝1，30a =，40a =，④02a =，1a ＝2，2a ＝2，30a =，40a =，其中：①中，k ＝1出现2次与1a ＝1矛盾，不可能；②满足题意；③k ＝2出现2次与2a ＝1矛盾；④中，k ＝2出现3次与2a ＝2矛盾；故仅有“02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =”满足题意，故0123a a a a +++=5.故答案为：0；5【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，4AB =，点E 在线段AB 上，且34AE AB =.（1）求证：CE ⊥平面PBD ；（2）求二面角P CE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PD CE ⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BD CE ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,AD CD PD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE 和平面ACE 的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥.因为4AB =，34AE AB =，所以3AE =，1BE =.所以2AB BCAD BE==.所以Rt Rt CBE BAD △∽△，所以BD CE ⊥.又因为PD CE ⊥，PD BD D ⋂=，所以CE ⊥平面PBD .【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.又因为ABCD 是矩形，AD CD ⊥，所以,,AD CD PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,4,0C ，()002P ,,，()2,3,0E ，所以()0,4,2PC =-，()2,1,0CE =-.设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CE n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,420.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则2y =，4z =.于是()1,2,4n =.因为PD ⊥平面ABCD ，取平面ACE 的法向量为()0,0,1m =.则cos ,21m n m n m n ⋅〈〉==.由图可知二面角P CE A --为锐角，所以二面角P CE A --的余弦值是21.17.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题．（1）求ϕ的值；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，求m 的取值范围．条件①：π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；条件②：π12-是()f x 的一个零点；条件③：π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6f x x =+，由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：ππππ3sin cos 1si 63332f n ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭无意义，所以选条件①时()f x 不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ(sin()cos(01266f ϕ-=-++-=，所以πsin()6ϕ-=．因为ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，所以ππ63ϕ-=-．所以π6ϕ=-．选条件③，由题设2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++．整理得πsin()62ϕ-=-．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos 26f x x x =-+1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为ππ63x -≤≤，所以ππ5π2666≤≤x -+．于是，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值1；当且仅当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值12-．又π5π266x +=，即π3x =时，π5π1(sin362f ==．且当πππ2666x ≤≤-+时，()f x 单调递增，所以曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，则1122m ≤<-或1m =m 的取值范围是{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭．18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]10,12(单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k = .当()20P k 最大时，写出k 的值.（只需写出结论）【答案】（1）0.10a =（2）分布列见解析（3）4k =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出a 的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得k 的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a ++++++++=，解得0.10a =．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为：5000.1050⨯=人，5000.0840⨯=人，5000.0210⨯=人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取：40104504010⨯=++人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，36310201(0)1206C P X C ====，1246310601(1)1202C C P X C ====，2146310363(2)12010C C P X C ====，3431041(3)12030C P X C ====，X ∴的分布列为：X0123P1612310130【小问3详解】解：由（1）可知(]10,12的概率0.120.2P =⨯=，所以()()20202020200.210.20.20.8kkk kk kP k C C --=-=依题意()()()()2020202011P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201121202020111920200.20.80.20.80.20.80.20.8k k k k k k kk k k k k C C C C -----++-⎧≥⎨≥⎩，即()2010.20.820110.80.21k k k k -+⎧⨯≥⎪⎪⎨-++⎪≥⨯⎪+⎩，解得162155k ≤≤，因为k 为非负整数，所以4k =即当20()P k 最大时，4k =．19.设函数()e a xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）1,1a b ==；（2）函数()f x 在R 上单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得()()11e 1xf x x -'=-+，令1x t -=，得到函数()f x '的最小值，即可得到()min 110ef x =-+>'.【小问1详解】因为()ea xf x x bx -=+，则()()1e a x f x x b -'=-+，由题意可得，()()1211f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即1e 21a b b -⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知，()1exf x x x -=+，()()11e 1x f x x -'=-+，令1x t -=，令()e 1t p t t =⋅+，所以()()1e tp t t ='+，当(),1t ∞∈--时，()0p t '<，则函数()p x 单调递减；当()1,t ∞∈-+时，()0p t '>，则函数()p x 单调递增；当1t =-时，函数()e 1tp t t =⋅+有极小值，即最小值，最小值为11e-+，则()min 110ef x =-+>'，则函数()f x 在R 上单调递增.20.已知函数()3211132a f x x x ax +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]0,1的最大值为1，求实数a 的取值范围；（3）若对任意1x ，()20,x ∈+∞，当12x x <时，不等式()()()()121222f x f x a x a x -<---恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f =，极小值5(1)6f =；（2）(],0-∞（3）1a ≤-【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；（2）求导，得到()()()1f x x x a '=--，讨论a 与1的关系，利用导数，得出()f x 的最大值，进而求出a 的范围.（3）构造函数()()()2g x f x a x =+-，由()()12g x g x <可得到()g x 的单调性，进而可求得a 的范围.【小问1详解】当0a =，()3211132f x x x =-+，()2f x x x '=-，令()0f x '=，则0x =或1x =，则当(,0],[1,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以在0x =时，取得极大值(0)1f =；在1x =时，取得极小值5(1)6f =；【小问2详解】()()()1f x x x a '=--，令()0f x '=，得1x =或x a =.当0a ≤时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]0,1上单调递减，()max ()01;f x f ==成立当01a <<时，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>；当(),1x a ∈时，()0f x '<.故()f x 在()0,a 上单调递增，在(),1a 上单调递减；()()max ()01f x f a f =>=，不合题意；当1a ≥时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[]0,1上单调递增，()()max ()101f x f f =>=，不合题意.综上，实数a 的取值范围是(],0-∞.【小问3详解】设()()()2g x f x a x =+-，根据题意有，120x x <<，12()()<g x g x ，故()g x 单调递增，则()32112132a g x x x x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()g x 在()0,∞+上单调递增，则有0x >时，()0g x '≥恒成立.而()()212g x x a x =-++'，即()2120x a x -++≥恒成立，参变分离可得，则有21a x x+≤+，而2x x +≥x =时等号成立），所以min 2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即有1a ≤.21.已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,,1,N i i j T S i j S i j a a a i j j +==+++≤<∈ ．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,*∈i j N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，…，m b ，…．若2024m b ≤，求m 的最大值．【答案】（1）{3T =，5，6，7，9，10}；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根据题意给出的集合T 新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，进行计算检验，从而得出结论；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意得123a a +=，1231236a a a ++=++=，1234123410a a a a +++=+++=，23235a a +=+=，2342349a a a ++=++=，34347a a +=+=，{3T ∴=，5，6，7，9，10}；【小问2详解】假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，i j ∴+与1j i -+奇偶性不同，又3i j +≥ ，12j i -+≥，1024∴有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =；【小问3详解】由题意得(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故*{2|N T n n =∈，2k n ≠，*N }k ∈，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，∴2024910032m =-=，故m 的最大值为1003．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120 分钟；满分 150 分）第I 卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B = （）A ．(]0,1B ．(]1,2C ．[]1,2D ．[]0,22．已知复数z 满足23i z z +=+，则3i z +=（）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i-3．已知向量a ，b 满足222a b a b -=-= ，且1b = ，则a b ⋅= （）A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．如图为函数=在[]6,6-上的图象，则()fx 的解析式只可能是（）A ．())ln cos f x x x=B ．())lnsin f x x x =C ．())ln cos f x x x =D．)f x x x 5．已知()()cos ()=ln sin f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（）A ．ππ0x y +-=B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=6．在体积为12的三棱锥A BCD -中，AC AD ⊥，BC BD ⊥，平面ACD ⊥平面BCD ，π3ACD ∠=，π4BCD ∠=，若点,,,A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π7．若sin()cos 2sin()αβααβ+=-，则tan()αβ+的最大值为（）A．2B．4CD．48．设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c<<16．（15分）如图，在三棱锥D －ABC 中，△ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，△ABD 是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，F 为DC 上一点，且平面BEF ⊥平面ABD .(1)求证：AD ⊥平面BEF ；(2)若平面ABC ⊥平面ABD ，求平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值.17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.841 6.6357.87910.82822()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．(1)根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X ，每天看电子产品超过一小时的人数为Y ，求()P X Y =的值．18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．(1)求曲线=在3x =处的切线方程；(2)讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性；(3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线=关于直线x m =对称.19．（17分）已知椭圆C 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点)和⎛- ⎝⎭．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0M 作不与坐标轴平行的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，E ，直线AE 与直线BD 相交于P 点．①求证：点P 在定直线上；②求PAB 面积的最大值．。
山西省吕梁市2024届高三上学期阶段性测试数学试题
A
x
|
1 x 1
1
，B
x | loga
x
1 ，若
A
B
，则 a 的取值范围（
）
A．1,
B． (1, )
C． 0,1
D． 0,1
3．已知角
0，π 2
，且满足
3
2
sin
4
cos
，则
sin
2cos
=（
）
A． 2
B． 25 16
C． 25 16
D． 2
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学
1
C． g x 的最大值为 cos 1
6
D． g x 在 0,1 内有唯一极值点
8．方程 x2 y (2y)x 满足 x y 的正整数解的组数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数组
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A． x R ， x2 2x 1 0 的否定为 x R，x2 2x 1 0
山西省吕梁市 2024 届高三上学期阶段性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 z(1 2i) 2 i （ i 为虚数单位），则 z =（ ）
A．1
B． 1
C． i
D． i
2．已知
D．若正方形 ABCD 的边长为 2，E 为线段 BF 的中点，则 AF BC 4
11．若数列 an 满足 a1 a2 1， an an1 an2 n 3, n N* ，则称该数列为斐波那契
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连云港外国语学校—高三阶段性测试数 学 试 卷命题人：刘希团 10月25日一、.填空题（共14小题，每题5分，计70分）1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在第 ▲ 象限。
2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程a bx y +=表示的直线一定过定点__▲__。
3．若)1,2(-P 为圆)0()1(222>=+-r r y x 内，则r 的取值范围是 ▲ 。
4．“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ▲ 条件。
5．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ▲ 。
6．设a (,3)x =，(2,1)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ▲ 。
7．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 ▲ 。
8．已知椭圆的焦点是F 1(-1,0),F 2(1,0),P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆方程为 ▲ 。
9．已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα+ ▲ 。
10．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ▲ 。
11.已知函数22()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有()()f x x f x +∆>， 则实数a 的取值范围是 ▲ 。
12．函数x x x f lg sin )(-=的零点个数是 ▲ 。
13．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 。
14．对于ABC ∆，有如下命题：（1）若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆为等腰三角形； （2）若B A sin sin =，则ABC ∆为直角三角形；（3）若1cos sin sin 222<++C B A ，则ABC ∆为钝角三角形； （4）若0tan tan tan >++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是 ▲ 。
（把所有正确的都填上）二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(1tan ,1)x =-a ，(1sin 2cos2,0)x x =++b ，记()f x =⋅a b ． （1）求f (x )的解析式并指出它的定义域和值域；（2）若π()8f α+=，且π(0,)2α∈，求()f α．16．（本题满分14分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点。
求证：（1）MN //平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ．_ G_ M_ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D_ C_ B_ A17．（本题满分14分）由倍角公式1cos 22cos 2-=x x ，可知x 2cos 可以表示为x cos 的二次多项式。
对于x 3cos ，我们有x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+= x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(2--= x x x x cos )cos 1(2cos cos 223---= x x cos 3cos 43-=可见x 3cos 可以表示为x cos 的三次多项式。
一般地，存在一个n 次多项式)(t P n ，使得)(cos cos x P nx n =，这些多项式)(t P n 称为切比雪夫多项式。
（1） 请求出)(4t P ，即用一个x cos 的四次多项式来表示x 4cos ； （2） 利用结论x 3cos x x cos 3cos 43-=，求出018sin 的值。
18．（本题满分16分）已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数，（1）求实数b a ,的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围。
19．(本小题满分16分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分16分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（－3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B . (1)求椭圆的方程；（2）若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的直线方程； （3）求⋅的最大值与最小值。
连云港外国语学校—高三阶段性测试数 学 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1． ； 2． ；3． ； 4． ；5． ； 6． ； 7． ； 8． ；9． ； 10． ；11． ； 12． ； 13． ； 14． ；二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）校 姓名 班级 考试号 座位号EABCDNA 1B 1C 1D 1MG高三数学试卷答案一、填空题1．二 2．（4，5）3． ),2(+∞4．充分不必要5．）［３，＋，－１］（－∞∞ 6．3(,6)(6,)2-∞-⋃-7．10[2,]38． 13422=+y x 9．５４－ 10．4 11. (4,4]- 12． 3 13． 12+n 14．（3）、（4）二、解答题15．解：（1）∵(1tan ,1),(1sin 2cos2,0)x x x =-=++a b ，∴()(1tan )(1sin 2cos 2)f x x x x =⋅=-++a b ……………………………2分2cos sin (2cos 2sin cos )cos x xx x x x-=⋅+222(cos sin )x x =-2cos2x =．…5分 定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 值域为[)(]1,00,1-⋃…………………7分（2）因ππ()2cos(2)84f αα+=+=，即πcos(2)4α+=0，故π24α+为锐角，于是πsin(2)4α+．…………………………………8分∴()f α=ππ2cos22cos((2))44αα=+-ππππ2cos(2)cos 2sin(2)sin 4444αα=+++=85． …………………………14分16．证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得NE ∥D 1D 且NE =12D 1D ， ………………………………2分又AM ∥D 1D 且AM =12D 1D ………………………………4分所以AM ∥EN 且AM =EN ，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ……………………… ………6分 又AE ⊂面ABCD ,所以MN ∥面ABCD ……8分 （２）由AG ＝DE ，90BAG ADE ∠=∠=︒，DA ＝AB可得EDA ∆与GAB ∆全等 ……………………………10分所以ABG DAE ∠=∠， ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=︒∠=∠，，所以90BAF ABG ∠+∠=︒，所以AE BG ⊥， ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG …………………………………………………14分 17．解：（1）1)1cos 2(212cos 2)22cos(4cos 222--=-=⋅=x x x x 1cos 8cos 81)1cos 4cos 4(22424+-=-+-=x x x x ……7分（2）0054cos 36sin = ， ……………………………9分0030018cos 318cos 418cos 18sin 2-=∴，0118sin 218sin 4002=-+∴41518sin 0-=∴ ………………………………14分 18．解：（1）)(x f 的定义域为R021)0(=++-=∴abf ，即1=b ………………3分 又af +-=41)1( ，)1(21)1(a f +=-0)1()1(=-+f f ，0)1(2141=+++-∴a a ， 则2=a 经检验1,2==b a 满足要求。
………………7分（2）)2121(212121212221)(1xx x x x x f ++-=+-⋅=+-=+ 易证)(x f 为R 上的减函数， ………………………9分又 0)2()2(22<-+-k t f t t f ，则)2()2(22t k f t t f -<- 2222t k t t ->-∴， ………………………12分即t t k 232-<，又31)23(min 2-=-t t 31-<∴k ………………………16分 19．解：（Ⅰ）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，……2分 解得22a =． 设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q ==，．………4分 又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．……………………7分故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（Ⅱ）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n b b +-= {}n b ∴是等差数列．……………10分12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．……16分 20．解：由题意得：22222229411510a b a a b c b c a⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=+∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ 所以椭圆的方程为1101522=+y x …4分 （2）由题可知当直线P A 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大,因为直线P A 的斜率一定存在，设直线P A 的方程为：y －6=k (x －8),又因为P A 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线P A 的距离为10即101|68|2=+-k k可得直线P A 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 ………………………9分（3）设α=∠AOP , 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP …………………12分 10200cos ||||2-=∠⋅=⋅∴OP AOB OB……………………14分 max min 55155(),()818OA OB OA OB ∴⋅=-⋅=-…………………16分。