高三阶段性测试数学试卷

连云港外国语学校—高三阶段性测试

数 学 试 卷

命题人：刘希团 10月25日

一、.填空题（共14小题，每题5分，计70分）

1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在第 ▲ 象限。 2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：

若y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程a bx y +=

表示的直线一定过定点__▲__。 3．若)1,2(-P 为圆)0()1(2

2

2

>=+-r r y x 内，则r 的取值范围是 ▲ 。

4．“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ▲ 条

件。

5．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ▲ 。 6．设a (,3)x =，(2,1)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ▲ 。 7．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1

()()()

F x f x f x =+

的值域是 ▲ 。 8．已知椭圆的焦点是F 1(-1,0),F 2(1,0),P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，

则椭圆方程为 ▲ 。 9．已知cos （α-

6π）+sin α=的值是则)6

7sin(,354πα+ ▲ 。 10．设x 、y 满足条件3

10x y y x y +⎧⎪-⎨

⎪⎩

≤≤≥，则22

(1)z x y =++的最小值 ▲ 。 11.已知函数2

2()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有

()()f x x f x +∆>， 则实数a 的取值范围是 ▲ 。

12．函数x x x f lg sin )(-=的零点个数是 ▲ 。

13．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 。

14．对于ABC ∆，有如下命题：

（1）若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆为等腰三角形； （2）若B A sin sin =，则ABC ∆为直角三角形；

（3）若1cos sin sin 222<++C B A ，则ABC ∆为钝角三角形； （4）若0tan tan tan >++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是 ▲ 。（把所有正确的都填上）

二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤） 15．（本小题满分14分）

已知向量(1tan ,1)x =-a ，(1sin 2cos2,0)x x =++b ，记()f x =⋅a b ． （1）求f (x )的解析式并指出它的定义域和值域；

（2

）若π()8f α+=，且π(0,)2

α∈，求()f α．

16．（本题满分14分）

如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点。

求证：（1）MN //平面ABCD ；

（2）MN ⊥平面B 1BG ．

_ G

_ M

_ D

_1

_ C

_1

_ B

_1

_ A

_1

_ N

_ D

_ C

_ B

_ A

17．（本题满分14分）

由倍角公式1cos 22cos 2-=x x ，可知x 2cos 可以表示为x cos 的二次多项式。对于x 3cos ，我们有x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+= x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(2

--= x x x x cos )cos 1(2cos cos 22

3

---= x x cos 3cos 43-=

可见x 3cos 可以表示为x cos 的三次多项式。一般地，存在一个n 次多项式)(t P n ，使得

)(cos cos x P nx n =，这些多项式)(t P n 称为切比雪夫多项式。

（1） 请求出)(4t P ，即用一个x cos 的四次多项式来表示x 4cos ； （2） 利用结论x 3cos x x cos 3cos 43-=，求出018sin 的值。 18．（本题满分16分）

已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数，

（1）求实数b a ,的值；

（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的

取值范围。

19．(本小题满分16分）

设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且

123334a a a ++，，构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．

（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

20．（本小题满分16分）

若椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 过点（－3，2），离心率为33，⊙O 的

圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(2

2

=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B . (1)求椭圆的方程；

（2）若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的直线方程； （3）求⋅的最大值与最小值。