方程与函数的思想方法
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用（1）一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
1.证明：若则为整数．解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得，于是此时(1)式的值等于－4．若x＋y＋z＋t≠0，则由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4．2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x 的方程f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．解：（1）g （x ）=ax 2﹣2ax+1+b ，函数的对称轴为直线x=1，由题意得： ①得②得（舍去）∴a=1，b=0 ∴g （x ）=x 2﹣2x+1，（2）不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，即k设，∴，∴k ≤（t ﹣1）2 ∵（t ﹣1）2min =0，∴k ≤0 （3）f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0，即|2x ﹣1|++﹣3t ﹣2=0． 令u=|2x ﹣1|＞0，则 u 2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0记方程①的根为u 1，u 2，当0＜u 1＜1＜u 2时，原方程有三个相异实根，记φ（u ）=u 2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或． ∴时满足题设． 3.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）若()0f x ≤ 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+（*n N ∈且1n >）解：（1）0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；易知k>0,则max 1()(1)0f x f k =+≤即1k ≥； （2）令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立, 即：ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
初中数学思想方法之函数与方程思想
初中数学思想方法之函数与方程思想
函数与方程思想是初中数学的一个重要思想，是数学学习的理论基础。
函数与方程思想是数学分析的重要方法，是数学思维方法的核心。
函数与方程思想的概念是数学分析的核心，它把复杂的问题简化为基
本概念，从而找出解决问题的办法。
它是学习数学的基础。
学会函数与方
程思想，可以帮助学生掌握数学的基本概念，把学习的内容归纳起来，提
高学习效率，为学习其他数学知识奠定坚实的基础。
函数与方程思想，所谓的函数，就是一个有输入和输出的过程，一个
函数将一个或多个未知变量的输入变换为一个输出，表示为y=f（x），
其中x是变量，f（x）是函数，y是函数的输出。
函数是数学分析的基础，它可以用数学语言表达自然现象，把复杂的问题简化，从而帮助人们更好
地理解自然现象。
方程是一个等式，表示两边（等式左边和等式右边）相等，有时也可
以表示两边的大小关系，如一元二次方程，可以表示为ax2+bx+c=0。
通
过求解方程，我们可以找到一个或多个解，这就是解方程的思想。
求解方
程是数学学习的重要方法，它不仅可以帮助我们得到问题的解决方法，还
可以丰富我们的思维方式，是理解数学的重要方式之一
函数与方程思想是初中数学学习的重要思想。
函数与方程思想
函数与方程思想作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第04期F.克莱因（F.Klein）有一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.”函数思想，就是用变量和函数来思考问题，就是通过建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决. 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决. 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间又有着密切的联系. 函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用.对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要.数列的通项或前n项和可看做自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要的.函数f（x）=（a+bx）n（n∈N？鄢）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题.解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一. 在高考试卷上，体现函数与方程思想的试题所占比例始终在25%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.下面从几个方面阐述函数与方程思想在解题中的应用.■ 函数与不等式、方程的相互转化■ 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=______.■ 已知集合M={（x，y）（x+■）（y+■）=1}，则集合M表示的图形是（）A. 直线B. 线段C. 抛物线D. 圆■ 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.（1）如果x1-1；（2）如果x1思路点拨初做前两个题目，同学们可能会先进行一些式子的变形，然后发现其后的运算较为复杂，于是便无从下手了. 如果我们用函数思想来处理方程的问题，就简单多了. 第一题可构造函数f（x）=x3-3x2+5x；第二题可构造函数f（x）=lg（x+■）；对于第三题，利用函数与方程的思想，把二次方程的根的问题转化成函数图象与x轴交点的问题，由二次函数图象的特征得出对应的不等式（组），然后进行求解. 二次方程、二次函数、二次不等式三者密不可分，应该引起我们的高度重视.破解 1. 构造函数f（x）=x3-3x2+5x=（x-1）3+2（x-1）+3，则有f（a）=1， f（b）=5，又g（t）=t3+2t在R上是单调递增的奇函数，且g（a-1）=-2，g（b-1）=2，故a+b=2.2. 构造一个常见函数f（x）=lg（x+■），则f（x）为R上的增函数，且为奇函数. 由已知得f（x）+f（y）=0，所以x+y=0，所以选A.3. 设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，则g（x）=0的两个实数根为x1和x2.（1）由a>0及x10，即4a+2b-10，即3+3·■-■-1.（2）由（x1-x2）2=■■-■，可得2a+1=■. 又x1x2=■>0，所以x1，x2同号. 所以可知x1或x2即 g（2）0，2a+1=■，或g（-2）0，2a+1=■.解之得？摇b■.■1. 已知f（x）=asinx+b■+4（其中a，b为常数），若f[lg（log310）]=5，则f[lg（lg3）]=____________.？摇2. 不等式4x+log■x+x2>5的解集为________.3. 已知关于x的方程3x2-5x+a=0的一根分布在区间（-2，0）内，另一根分布在区间（1，3）内，求实数a的取值范围.■ 函数与方程思想解决数列中的相关问题■ 求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn>■+■+■+…+■.思路点拨■+■+■+…+■无法求和，这是一个关于正整数n的具有递推关系的不等式，我们可以考虑用数学归纳法去证明.由假设■+■+■+···+■其中需要证明lnk+■■，即ln■>■.令x=■，则只要证明lnx>■（x>1）成立.所以我们想到了构造函数f（x）=lnx-■.这种思考方式对于证明数列不等式有很重要的借鉴意义.破解构造函数f（x）=lnx-■，f ′（x）=■，故f（x）在[1，+∞）上为增函数.则当x>1时， f（x）>f（1）=0，当n>1时，令x=■，则f■>0，即ln■>■.所以l n■>■，ln■>■，ln■>■，…，ln■>■，将这些不等式相加得ln■+ln■+ln■+…+ln■>■+■+■+…+■，即lnn>■+■+■+…+■.■已知不等式■+■+■+…+■>■log■（a-1）+■对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围.■ 函数与方程思想解决解析几何中的相关问题.■ 已知两条曲线：椭圆C1：■+■=1和圆C2：x2+（y+1）2=r2（r>0），若两条曲线没有公共点，求r的取值范围.思路点拨通过联立两个方程，得到一个关于y的方程-■y2+2y+10-r2=0，因为两条曲线没有公共点，所以方程没有实数根，所以Δ=4+5（10-r2）■.这个结论是否正确？我们取r=■，画图发现满足题目要求，所以上面的结论是错误的，问题出现在哪里？这也是我们在利用方程与函数思想处理解析几何问题时需要特别注意的地方——要注意变量的取值范围，注意问题的等价转化.破解思路1：用函数思想，通过联立两个方程，得-■y2+2y+10-r2=0，把r2=-■y2+2y+10看做y的函数，由椭圆知-2≤y≤2，因此r2的值域为1，■，即r∈1，■，它的补集即为所求，因此r∈（0，1）∪■，+∞.思路2：用方程思想来考虑，两条曲线没有公共点，等价于方程-■y2+2y+10-r2=0没有实数解，或者其两个根y■，y■？埸[-2，2]. 若没有实数解，则Δ=4+5（10-r2）■；若两个根y■，y■？埸[-2，2]，设h（y）= -■y2+2y+10-r2，则由h（2）>0，h（-2）>0解得0因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是0■.■1. 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-■y=4相切，圆O与x轴相交于A，B 两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求■·■的取值范围.2. 已知椭圆C：■+y2=1（m>1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A 的坐标为（2，0）.（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求PA的最大值与最小值；（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围.■ 函数与方程思想解决函数综合问题.■ 已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（1）若k∈Z，且k1恒成立，求k的最大值；（2）当n>m≥4时，证明（mnn）m>（nmm）n.思路点拨由题意易知f（x）=x+xlnx.第一问是一个恒成立问题，k1恒成立. 如果令g（x）=■，那么g′（x）=■，我们发现方程x-lnx-2=0的根求不出来，我们再次利用函数与方程思想，将方程根的问题转化成函数零点问题，通过研究函数h（x）=x-lnx-2的性质确定零点位置.对于第二问，我们可以用类似于例4的想法进行求解.破解（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f ′（x）=a+lnx+1.因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，所以f ′（e）=3，即a+lne+1=3. 所以a=1.所以k1恒成立，即k1恒成立.若令g（x）=■，则g′（x）=■，令h（x）=x-lnx-2（x>1），则h′（x）=1-■=■>0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增.因为h（3）=1-ln30，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）.当1当x>x0时，h（x）>0，即g′（x）>0.所以函数g（x）=■在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增.所以[g（x）]min=g（x0）=■=■=x0∈（3，4）. 所以k（2）由（1）知，g（x）=■是[4，+∞）上的增函数，所以当n>m≥4时，■>■.即n（m-1）（1+lnn）>m（n-1）（1+lnm）.整理，得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+（n-m）.因为n>m，所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn，即ln（nmnmm）>ln（mmnnn）.所以（mnn）m>（nmm）n.■1. 记函数f■（x）=（1+x）n-1（n≥2，n∈N？鄢）的导函数为f ′n（x），函数g（x）=f■（x）-nx. 若实数x0和正数k满足：■=■，求证：02. 已知偶函数f（x）的定义域为R，且当x>0时， f（x）=lnx-ax（a∈R）.若方程f（x）=0恰有5个不同的实数解.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a的取值范围.3. 已知函数f（x）=ex-x，其中e为自然对数的底.（1）若函数F（x）=f（x）-ax2-1的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；（2）求证：f■+f■+f■+…+f■>n+■，n∈N？鄢.■ 参考答案1 函数与不等式、方程的相互转化1. 32. {xx>1}3. {a-122 函数与方程思想解决数列中的相关问题{a13 函数与方程思想解决解析几何中的相关问题1. （-2，0]2. （1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0），则a=2；椭圆的焦点在x轴上，则c=■，则椭圆焦点的坐标为（■，0），（-■，0）.（2）若m=3，则椭圆的方程为■+y2=1，变形可得y2=1-■，PA2=（x-2）2+y2=x2-4x+4+y2=■-4x+5. 又由-3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得：当x=-3时，PA2=■-4x+5取得最大值，且最大值为25；当x=■时，PA2=■-4x+5取得最小值，且最小值为■. 所以PA的最大值为5，PA的最小值为■.（3）设动点P（x，y），则PA2=（x-2）2+y2=x2-4x+4+y2=■x-■■-■？摇+5，且-m≤x≤m. 当x=m时，PA取得最小值，且■>0，则■≥m，且m>1，解得14 函数与方程思想解决函数综合问题1. 由题，x0=■，要证明x0>0，只需考虑h（k）=（nk-1）·（1+k）n+1（k>0）的性质，要证明x02. （1）因为f（x）为偶函数，且f（x）=0恰有5个不同的实数解，所以f（0）=0. 设x0，f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax. 所以f（x）=lnx-ax，x>0，0，x=0，ln（-x）+ax，x（2）因为f（x）为偶函数，且f（x）=0的5个不同的实数解中有两个大于零，两个小于零，一个等于零. 由对称性，只需研究x>0时的情况.①当a≤0时， f（x）=lnx-ax为单调增函数，y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，不符合题意.②当a>0时，f ′（x）=■-a，令f ′（x）=0得x=■. 当00， f（x）单调递增，当x>■时，f ′（x）0时，y=f（x）的图象与x轴有两个不同交点，只需-lna-1>0，解得03. （1）F ′（x）=f ′（x）-2ax=（ex-1）-2ax. 由于函数F（x）的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，故[（ex-1）-2ax]′=ex-2a≥0，从而a≤■ex，x∈[0，+∞），即a的最大值为■.（2）由（1）知F′（0）=0，且当a=■时，F′（x）在[0，+∞）上是增函数，故F′（x）≥F′（0）=0，所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，此时F（0）=0，故F（x）≥0，x∈[0，+∞），即f（x）≥■x2+1，x∈[0，+∞）. 依次令x=■，■，■，…，■，可得f■≥■■■+1，f■≥■■■+1，…，f■≥■■■+1. 将以上不等式相加，有f■+f■+f■+…+f■≥■■■+■■+…+■■+n>■■+■+…+■+n=■■-■+■-■+…+■-■+n=■■-■+n=n+■，n∈N？鄢. ■。
函数与方程的思想方法二
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得：
2k x1 x 2 , 2 2k x · 2 . x 1 2 k2 2 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)+y1y2=0. 返回目录
模拟训练
即(x1－c)(x2－c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得：(k2+1)x1x2+(k－c)(x1+x2)+c2+1=0. ③
6 代入③式化简得： 2
把②式及c=
5k2+2 6 k－6=0.
6 6 6 6 或k (2, 2 )(舍去). 5 5 6 6 可知存在实数k=－ 使得以线段AB为直径的圆经 5 解得k
第一部分 常用数学思想方法 专题一 函数与方程的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问 题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或
值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想.这种思想方
法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量 动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路. 方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系.从而建立 方程(组)将问题解决的一种思想方法. 方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解，就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元 方程f(x)－y=0.确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个 或某些量的方程，通过解方程(组)来求得这些量.函数与方程之 返回目录
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
小学数学：方程和函数思想
方程和函数思想1．方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝f(χ)。
其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr2h。
半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。
第六讲 函数与方程的思想方法
2014·高考专题辅导与训练
思想方法强化
文科
数学
函数与方程思想方法解决范围问题的技巧 1．此类题型在高考题中占较大的比重，且考查的知识 范围广，通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量， 列出函数、不等式或方程(组)，求解即可． 2．在解决此类型的问题时，一般会用到代数式的变形， 消元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法． 3．此类问题通常可以转化为函数的值域问题，方程的 解的问题或不等式的解集问题．
综上可得{x|x<－1，或 x>2}．
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数学
解法二：原不等式可化为(x－2)m＋(x－2)2>0， 1 令 f(m)＝(x－2)m＋(x－2) ，m∈[2，3]时，
2
有 f(m)的最小值大于 0，∵x＝2 时，不成立． ∴ x≠2， 1 f >0， 2 f3>0， x≠2， 1 即2x－2＋x－22>0， 3x－2＋x－22>0，
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3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转 化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以 解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点，解不等 式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间，再如方 程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与y＝g(x)的交 点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题， 方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方 程的这种相互转化关系十分重要．
2014·高考专题辅导与训练
函数与方程思想总结(很好很全面)
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根. (1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根； (4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个答案：1234【例2】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值为_____________解答：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，a≥－52.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ，则a b +=_________解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=,根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+. 函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有 ()()12,12,f a f b -=--= 于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+=【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________ 解答： 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2，∴22|22|2a b a b ++≤，∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0， ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭，a k b =-，∴ 2323k -≤≤+，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________解答：根据已知等式,画出以()2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率. 显然,yx的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 33π=【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答：由题意，， 因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切．【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f ＝x 2－1，对任意x ∈),23(+∞，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝⎛⎭⎫23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83， 整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题．为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值． 设t ＝2x ＋3，则t ∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4tt 2－6t ＋9＝4t ＋9t－6. 因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎨⎧1－1m2＋4m 2＞0，F ⎝⎛⎭⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ，每月的增加投入百分率为r．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解答：1. (0,1) 解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．2. 10 解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－16；由1＋(k －1)⎝⎛⎭⎫－16＋1＋3×⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 本题也可用数列性质解题，S 9＝S 47＝0.3. (－∞，0) 解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝＝－13x 3(x ＞∈(－∞，0)．4. (－∞，－1) 解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －mx＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)＝x|x 2－3|，x ∈[0，m]，其中m ∈R ，且m>0 (1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m 的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值．解答：(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3， 因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数， (2) 解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，则g(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，0≤x ≤3，x 3－3x ，x> 3.当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数， 所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0， 所以0<m<1不符合题意，1≤m ≤3符合题意． 当m>3时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]， 在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3<m ≤2. 综上，m 的取值范围是[1,2]．(3) 由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m －m 3， 当1≤m ≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2. 由题意知2＝λm 2，即λ＝2m 2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，这是增函数，∴ λ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为12.变式训练已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式．证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F ′(x)＝g ′(x)－2⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0， 即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G ′(x)＝lnx －ln a ＋x2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0， 即g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.【例2】已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )x.(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点． 解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分) 又g(x)在x ＝－1取极小值，－b2＝－1，b ＝2，∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分) f(x)＝g (x )x ＝x ＋mx＋2，设P(x 0，y 0)， 则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝m 2x 02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2.当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分) 当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分) (2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋mx ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m2；(8分)当k ≠1时，方程(*)有二解＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(10分)若m<0，k<1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(12分)当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m， 函数y ＝f(x)－kx 有一个零点，x ＝1k －1.(14分) 【例3】．对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件：①f(x)在D 内单调递增或单调递减；②存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围．分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件．解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为[－1，1]．（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f(x)的值域为[a，b]，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根．设f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2.法一：当时有解得．当有此时不等式组无解．综上所述，．法二：只需满足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题．题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】．设a>b>c，且a＋b＋c=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：．证明：，且．从而．故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得．．可见，是的二次函数．由及，得，解得．在上是减函数，，即．【例5】．已知函数f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)．(1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2＋cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m．（1）证明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，∴＜A＋B＜π．∴tan(A＋B)＜0，即．∴∴m≥5．(2)证明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1，∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0．=3，∴m≥x max=3．即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但xmax(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=，且≥2，∴当sinα=－1时，f(sinα)有最大值8．即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．【例6】．直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】．如图，已知面，于D，．（1）令，，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴．∴．．∵为在面上的射影．∴，即．∴．即的最大值为，等号当且仅当时取得．（2）．令，解得：，与交集非空．∴满足条件的点Q存在．点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键．。
初中数学思想方法
初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。
1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。
2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。
3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。
4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。
5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。
6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。
7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。
分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。
总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。
《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。
本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。
二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。
在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。
函数与方程的思想
函数与方程的思想1、专题概述函数思想，就是通过建立函数关系式或构造函数，运用函数的概念和性质等知识去分析、转化和解决问题。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征，重在对问题的变量的动态研究。
方程的思想，就是分析变量间的等量关系，通过构造方程，从而建立方程〔组〕或方程与不等式的混合组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。
方程的思想与函数的思想是密切相关的，方程0)(=x f 的解，就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数式)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-x f y ；函数与不等式也可以相互转化，对于函数)(x f y =，当0＞y 时，就化为不等式0)(＞x f ，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性态，也离不开不等式。
这种函数与方程、不等式之间的关系表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点，应注意函数思想与方程思想是相辅相成的。
利用函数思想方法解决问题，要求我们必须深刻理解掌握初等图像与性质，以及函数与反函数、最值或值域、图像的变换、函数图像的交点个数，这是必备的基础。
因此，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
运用函数思想解题具体表现在：〔1〕遇到变量，构造函数关系，利用函数沟通知识间的联系；〔2〕有关的不等式恒成立、方程根的个数及其一元二次方程根的分布、最值、值域之类的问题转化为函数问题；〔3〕含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，使问题得以解决；〔4〕等差、等比数列中，通项公式、前n 项和公式都可以看成关于自然数n 的函数，因此数列问题可以用函数思想解决；〔5〕解析几何中的直线与直线、直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过方程或方程组解决；〔6〕利用函数)()()(+∈+=N n b a x f n 用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题；〔7〕通过构造函数〔或建立函数关系〕，解决实际或应用问题。
函数与方程的思想方法在解题中的应用
函数与方程的思想方法在解题中的应用何登文数列、解析几何、立体几何、不等式及实际应用问题是高中数学的几个重要内容，在高考试题中占了较大的比例，能否顺利的解答这几类问题，直接影响到学生的高考成绩。
函数与方程思想从某些方面来说，给我们指出了解决这些问题的思路和方法。
将这些问题转化为相应的函数或方程，我们就可以应用函数和方程的性质来解决问题了。
下面，我们通过例题来说明它们的应用。
一、利用函数与方程的思想解答数列问题例1、已知数列的通项公式n a =-2n +6n+2,这个数列的最大项的值是多少？从第几项起以后的项均为负值？分析：数列是以自然数n 为变量的点列函数，因此，我们在处理数列问题是，往往将其转化函数问题，利用相应函数的性质来求解。
解：∵ n a =-2n +6n+2，∴n a 可以看作是关于n 的二次函数，利用二次函数的性质，当n=-62--=3时，n a 有最大值11。
令-2n +6n+2≤0 解得 n ≥7∴从第七项起以后的项均为负值。
此题利用了数列的函数特性求解，使得问题简单化，使用了化未知为已知的思维方法。
例2、已知数列﹛n a ﹜是等差数列，若n s =10，2n s =50，求3n s 。
分析：本题我们可以用“等差数列中，依次取每k 项作和，其和仍成等差数列”的性质来求解，即ns、2ns-ns、3ns-2ns成等差数列，此时公差d=50-20=30,所以3ns=2ns-ns+2ns+d=50-10+50+30=120.这样很直接。
另外，在等差数列中211()22()22n d dn d d n n n n a s a +-==+-是关于n 的一次函数，因此，我们可以利用一次函数的点共线的性质求解。
解：∵﹛n a ﹜是等差数列，∴n n s ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭也是等差数列，是关于n 的一次函数，∴ 23,,2,,3,23n n n n n n n n n s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线，∴35010102323n n n n n n n n n s --=-- 解得3n s =120。
用函数与方程的思想方法解题
解 析 ： ｊ设 商场第 一次购进 套运 动服 ， （）
由题意得 一３ ０ ０ １ — — ：０ ２０
，
种商 品若 干件 ， 怎样购进才能使超市经 销这 两
解 这个 方程 ． ｘ ２ ０ 得 ＝０ ．
经 检验 。＝ ０ ｘ ２０是所列 方程 的根．
２ ＋ ＝ ２ ０＋ ０ ＝ ０ ｘ ｘ ２ × ０ ２ ０ ６ ０． －
・ ． ．
小 华 去该 超 市 购 买 Ｂ种 商 品 ２ ８８ ６ ．÷
０８４ ＝ （ ） ． ８７件 ． ＋
又 ７ ３ ＋ × ８ ５ ６＞４ ０ ×０ ７４＝４ ０．
如 图 ２ 将 矩形 纸 片 Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ折 叠 ， 点 Ｂ 使 落在 Ｃ Ｄ边 Ｅ 点 Ｅ 不与点 Ｃ Ｄ重合 ）压平 一 （ 、 ．
后得 到折 痕 删
１
，
小明付款为 ５ ６ ＝ ８ ．（ ） ４￣ ． ３２ 元 ． ７ ２
吸 Ａ （ １ 则 ，丽Ｂ＝ １ ｍ＞ ）
，
．
～ 一 一
＝
小 明付款 ３２２ ． ８ ．元 点评 ： 本题是方程 问题 与函数 问题 的综合
・
． ．
￣ｌ 的值 等 于 ｌＭ Ａ
优 惠措 施 不 优 惠
售 价 打 八 折 售 价 打 七 折
促销活 动期间小颖 去该 超市购 买 ／ ４种商
品， 小华去该超市购买 日种 商品 ， 分别付款 ２ ０ １ 元与 ２ ８ 元 ． 销活动期 间小 明决定一次性 ６． ８ 促 购买小颖和小华购买 的同样 多的商品 ， 他需付
款多少元 ？ Ｙ件 ． 所获利润为 元 ．
解析 ：１设购进 Ａ、 （） 两种商品分别为 件 、 ．
2019年高考数学一轮复习解题方法汇总函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。