北师大中考数学总复习《等腰三角形》课件
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初中数学《等腰三角形》课件-ppt【北师大版】1
初中数学《等腰三角形》课件北师大 版1-精 品课件p pt(实 用版)
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证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM＝∠ANM＝90°. ∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°. ∴∠PAQ＝∠AMN. ∵PQ⊥AB，MN⊥AC， ∴∠PQA＝∠ANM＝90°.
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3. 如图，已知 D 是△ABC 边 BC 上的一点，它到 AB、AC 的距离分别为 DE、DF，且∠B=∠C. 当 点 D 在什么位置时，DE=DF？并加以证明.
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谢谢！
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第十三章 轴对称
第8课 等腰三角形的判定
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A
组
1. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=90°，
∠DAC=∠BAC，连接 AC.
（1）求证：AD=DC；
（2）若∠D=120°，
求∠ACB 的度数.
（1）证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC. ∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA. ∴AD＝DC.
在△PQA与△ANM中，
∴△PQA≌△ANM（ASA）. ∴AP＝AM. ∴△APM是等腰三角形.
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初中数学《等腰三角形_公开课课件-ppt【北师大版】1
B
组
4. 如图，在△ ABC 中，AB=BC，∠B=40°，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于点 E，EF⊥AD 于点 F，求∠AEF 的度数.
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解：∵AB＝BC，∠B＝40°， ∴∠BAC＝∠C＝70°. ∵AD 平分∠BAC 交 BC 于 D， ∴∠BAD＝12∠BAC＝35°. ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°. ∵AE⊥BC，EF⊥AD， ∴∠AEF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠AEF＝∠ADE＝75°.
∵△BPD 与△CQP 全等，
∴BD＝CQ，BP＝PC.
∴5＝3t 且 3t＝8-3t.
解得 t＝5且 t＝4（舍去）.
3
3
综上所述，△BPD 与△CQP 全等时，点 P 运动的
时间为 1s.
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第十三章 轴对称
第7课 等腰三角形的性质2）
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A
组
1. 如图，在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，
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从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？
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置关系怎样？
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努力
学习
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下列各组数据为边长，可以 构成等腰三角形的是（ B ） （A）1,2,1 （B）2,2,1 （C）2,5,2 （D）1,3,1
成绩
进步
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若一等腰三角形的腰长是 底边的3倍，周长为35cm,， 则这个等腰三角形各边的 长______ 5,15,15
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等腰三角形的一边长为4，周 长为20，那么它的腰长是（B ）
（A） 4 （C） 4或8
（B） 8 （D）不能确定
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下列各组数据为边长，可以 构成等腰三角形的是（ B ） （A）1,2,1 （B）2,2,1 （C）2,5,2 （D）1,3,1
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初中数学《等腰三角形》ppt北师大版3
6. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且 BE=CF，BD=CE. （1）求证：△ DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数.
（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（SAS）. ∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形.
谢谢！
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
●
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
●
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠ABC=
∠ADC.求证：BC=DC.
证明：连接BD，如图. ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD＝∠ADC-∠ADB， 即∠CBD＝∠CDB. ∴BC＝DC．
二级能力提升练
9. 如图所示，在△ ABC 中，BE 平分∠ABC，
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝75°. ∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠DBC＝180°. ∴∠BDE＝105°．
10. 如图，给出四个等式：①AB=DC，②BE=CE， ③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE. 请你从这四 个等式中选出两个作为条件，推出△ AED 是 等腰三角形. （要求写出所有符合要求的条 件，并给出其中一种条件下的证明过程）
初中数学《等腰三角形》_精品课件-ppt【北师大版】5
•等腰三角形
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温故而知新
有两边相等的三角形是等腰三角形
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B
A
D
C
设问1： △ABC 有什么特点？
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二、折一折
设问2：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称 轴是什么？
B
A
D
C
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C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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谈谈你的收获！
这节课你又学到 了什么知识？
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小结
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
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有两边相等的三角形是等腰三角形
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设问1： △ABC 有什么特点？
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二、折一折
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B
A
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C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
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•求证：CE⊥BE
D
C
E
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A
B
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变式10
•在四边形ABCD中， CE平分
∠BCD ,BE平分∠ABC , BC=AB+CD 。
•求证：CE⊥BE D C
A
B
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变式6
•在四边形ABCD中， BE平分
∠ABC, BC=AB+CD， E是AD的
中点。
•求证：CE⊥BE D
C
E
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A
B
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平分∠ABC ,E是AD的中点。
•求证：CE⊥BE
D
C
E
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A
B
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变式9
•在四边形ABCD中， AB//CD, CE
平分∠BCD ,BE平分∠ABC 。
BC=AB+CD，E是AD的中点。
•求证：CE⊥BE D C
E
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A
B
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考 点 聚 焦
考点1 定义 等腰三角形的概念与性质 两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两 有____ 边叫腰，第三边为底 轴对 称性 一 等腰三角形是轴对称图形，有____ 条对称轴
性质
定理1 定理2
等腰三角形的两个底角相等(简称为： __________) 等边对等角
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的________ 中线 和底边上的高互相重合， 简称“三线合一”
回归教材 中考预测
考点聚焦
归类探究
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半
拓展
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 离之差等于一腰上的高
考点聚焦
考点4
线段的垂直平分线 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这 条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的____________ 垂直平分线 上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ________的所有点的集合 距离相等
考点3
等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形，有______ 条对 3 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
定义
性质
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形
归类探究 回归教材 中考预测
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关 系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常 用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两 个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．Fra bibliotek考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2 [2011· 扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相 等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边 得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3) 利用 垂直平分线的性质得两边相等．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
探究三 等腰三角形的多解问题 命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两 种情况． 例3 [2013· 毕节] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20 D．12
图20－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
解
析
根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因
为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距 离相等可证明结论．
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证明
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
考点聚焦
归类探究
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中考预测
解
连接AO.
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：
∵△BDC≌△CEB， ∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上
考点聚焦
归类探究
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综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分 线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可 以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
考点聚焦
归类探究
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中考预测
探究四 等边三角形的判定与性质 命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、 AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
图20－2
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
解
析
(1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；
(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到
∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距 离相等，证明结论．
考点聚焦
归类探究
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中考预测
解
(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
考点聚焦
归类探究
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中考预测
考点2 定理
等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成： ___________) 等角对等边 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形
拓展
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形
归类探究 回归教材 中考预测
定义
性质
判定 实质 构成
考点聚焦
归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例1 如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是 BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E， EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
解
析
因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是
底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
①当4为底时，其他两边长都为8，
长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，
周长为20；
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
解
析
②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，
∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有20.
考点1 定义 等腰三角形的概念与性质 两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两 有____ 边叫腰，第三边为底 轴对 称性 一 等腰三角形是轴对称图形，有____ 条对称轴
性质
定理1 定理2
等腰三角形的两个底角相等(简称为： __________) 等边对等角
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的________ 中线 和底边上的高互相重合， 简称“三线合一”
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归类探究
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半
拓展
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 离之差等于一腰上的高
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考点4
线段的垂直平分线 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这 条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的____________ 垂直平分线 上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ________的所有点的集合 距离相等
考点3
等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形，有______ 条对 3 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
定义
性质
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形
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(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关 系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常 用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两 个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．Fra bibliotek考点聚焦
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探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2 [2011· 扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
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要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相 等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边 得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3) 利用 垂直平分线的性质得两边相等．
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探究三 等腰三角形的多解问题 命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两 种情况． 例3 [2013· 毕节] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20 D．12
图20－1
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析
根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因
为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距 离相等可证明结论．
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证明
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
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解
连接AO.
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：
∵△BDC≌△CEB， ∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上
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综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分 线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可 以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
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探究四 等边三角形的判定与性质 命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、 AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
图20－2
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解
析
(1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；
(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到
∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距 离相等，证明结论．
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解
(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
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考点2 定理
等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成： ___________) 等角对等边 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形
拓展
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形
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定义
性质
判定 实质 构成
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归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例1 如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是 BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E， EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
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解
析
因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是
底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
①当4为底时，其他两边长都为8，
长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，
周长为20；
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解
析
②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，
∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有20.