北师大中考数学总复习《等腰三角形》课件

∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
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解
连接AO.
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：
∵△BDC≌△CEB， ∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上
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(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半
拓展
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 离之差等于一腰上的高
图20－2
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解
析
(1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；
(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到
∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距 离相等，证明结论．
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解
(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
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考点2 定理
等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成： ___________) 等角对等边 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形
拓展
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形
考 点 聚 焦
考点1 定义 等腰三角形的概念与性质 两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两 有____ 边叫腰，第三边为底 轴对 称性 一 等腰三角形是轴对称图形，有____ 条对称轴
性质
定理1 定理2
等腰三角形的两个底角相等(简称为： __________) 等边对等角
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的________ 中线 和底边上的高互相重合， 简称“三线合一”
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(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关 系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常 用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两 个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．
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探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定． 例2 [2011· 扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
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定义
性质
判定 实质 构成
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归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性质．
例1 如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是 BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E， EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
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解
析
因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是
底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
①当4为底时，其他两边长都为8，
长为4、8、8的三条线段可以构成三角形，
周长为20；
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析
②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，
∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去． ∴答案只有20.
考点ห้องสมุดไป่ตู้焦
考点4
线段的垂直平分线 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这 条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的____________ 垂直平分线 上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ________的所有点的集合 距离相等
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综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分 线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可 以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
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探究四 等边三角形的判定与性质 命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、 AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
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要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相 等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边 得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3) 利用 垂直平分线的性质得两边相等．
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探究三 等腰三角形的多解问题 命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两 种情况． 例3 [2013· 毕节] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20 D．12
图20－1
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解
析
根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因
为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距 离相等可证明结论．
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证明
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
考点3
等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都______ 相等 ，并且每一个 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形，有______ 条对 3 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
定义
性质
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形
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