(完整word版)计算方法习题集及答案.doc

习题一

1.

什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？

数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法

x

max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n

R n n .

2.

试证明

max

a ij , A ( a ij )

1 i

n

1 i n

1

j

证明：

（ 1）令 x r

max

x

i

1 i n

n

p 1/ p

n

x i

p

1/ p

n

x r p 1/ p

1/ p

x

lim(

x i lim x r [

( ]

lim x r [

lim

x r

)

)

(

) ]

x r n

p

i 1

p

i 1 x r

p

i 1 x

r

p

即 x

x r

n

p

1/ p

n

p 1/ p

又 lim(

lim(

x r

x i

)

x r

)

p

i 1

p

i 1

即 x

x r

x

x r

⑵ 设 x

(x 1,... x n )

0 ，不妨设 A 0 ，

n

n

n

n

令

max

a

ij

Ax

max

a

ij

x j

max

a ij x

j

max x i max

a

ij

x

1 i n

j 1

1 i n

j 1

1 i n

j 1

1 i n

1 i n

j 1

即对任意非零 x

R n

，有

Ax

x

下面证明存在向量 x 0

0 ，使得

Ax 0

，

x 0

n

( x 1,... x n )T 。其中 x j

设

j a i 0 j ，取向量 x 0

sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。

1

n

n

显然

x 0

1 且 Ax 0 任意分量为

a

i 0 j

x j

a

i 0 j

，

i 1

i

1

n

n

故有

Ax 0

max

a

ij

x j

a

i 0 j

即证。

i

i 1

j 1

3. 古代数学家祖冲之曾以

355

作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？

113

解： x

325 &0.314159292 101

133

x

x

355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。

4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为

R(T ) : T (h) T A i h2 i

i 1

T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。试证明由 4 m T m 1 ( h

) T m 1 ( h)

Tm(h) 2 , m 1,2,

4 m 1

所定义的 T 的逼近序列{T m(h)}的误差为T m(h) T A i( m) h 2m 2 ，

i 1

其中诸 A i(m)是与h无关的常数。

证明：当m=0 时左边（） - 2 i 右边T0 h T= i h

i 1

设 m=k 时等式成立，即T（k h） - T=i(k)h2 k 2i

i 1

当 m=k+1 时

4k 1T k ( h

) T k ( h) 4k 1[T i( k ) (h) 2k 2 i ] [T i( k) (h)2 k 2i ]

T k（1 h） - T=

2

T = i 1

2 i 1

T 4k 1 1 4k 1 1

(i k) (h)2( k 1) 2i即证。

i 1

习题 2

1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：

（ 1）x cos x sin x ; (2) x 4 2x。

4

解：

（ 1）迭代公式x k 1 cos x k sin x k , ( x) cos x sin x ，(x)' 1 公式收敛

4 4

k 0 1 2 3

x k 0 0.25 0.25098 0.25098

x* 0.25098

（ 2）( x) ln(4 x) ， x0 1.5 ，(x0 )' 1 局部收敛

ln 2

x k 1 ln(4 x k ) ln 2

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10