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计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。
()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
()4.用近似表示cos x产生舍入误差。
( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。
现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法试题及答案
计算方法试题及答案在计算方法的学习过程中，练习解答试题是非常重要的一部分。
下面，将提供一些计算方法试题及答案，以供学习和练习之用。
请按照正确的格式阅读和完成题目。
一、选择题1. 下列哪个选项是计算方法的基本思想？A. 运算过程B. 程序设计C. 算法和分析D. 数据采集答案：C. 算法和分析2. 当使用二分法求解函数 f(x) = x^2 - 4 = 0 的根时，若初始区间 [a,b] 为 [0, 5]，则最终结果为：A. x = 2.0B. x = 2.2C. x = 2.4D. x = 2.5答案：C. x = 2.4二、填空题1. 约化消元法是一种求解方程组的方法，其基本思想是__________。
答案：逐行约化，得到简化方程组。
2. 在数值计算中，利用级数展开的方法求函数近似值的过程称之为__________。
答案：泰勒展开。
三、计算题1. 求解下列方程组的解：2x + y - z = 1x - y + 3z = 93x + 4y - 5z = -5答案：x = -2, y = 3, z = 42. 使用拉格朗日插值法，已知函数 f(x) 在点 x = 0, x = 1, x = 4 处的值分别为 1, 5, 7，求 f(2) 的近似值。
答案：f(2) 的近似值为 3.通过以上试题，希望能够帮助学习者巩固和加深对计算方法的理解，并提供一定的练习机会。
在学习过程中，建议理解每道题目的解题思路和方法，灵活运用所学知识，加强实际问题的应用。
希望大家能够通过不断的练习和学习提升计算方法的能力。
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
计算方法-习题第一、二章答案.doc
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
(完整版)计算方法练习题与答案.doc
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x *–12.0326 作为 x 的近似值一定具有6 位有效数字，且其误差限1 10 4( )2。
2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )x 24.1( )用2近似表示 cos x 产生舍入误差。
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题y 123 4 9x 1231.为了使计算x 1x 1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2. x * –0.003457是 x 舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1． x * –0.026900作为 x 的近似值，它的有效数字位数为 ( ) 。
(A) 7；(B) 3；(C) 不能确定(D) 5.2．舍入误差是 ( )产生的误差。
(A) 只取有限位数(B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量(D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示 e x 所产生的误差是 ()误差。
(A). 模型(B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入1．用 * 22 表示自由落体运动距离与时间的关系式(g 为重力加速度 )，s t 是在4s =gt时间 t 内的实际距离，则 s t s * 是（ ）误差。
(A). 舍入(B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5． 1.41300作为 2 的近似值，有 ( )位有效数字。
(A) 3 ；(B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题221． 3.142，3.141， 7 分别作为 的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：11 x, | x | 1x 11 dt | x |1(1) 1 2x 1 x， (2) x1 t 2(3) ex1, | x | 1，(4)ln(x 2 1 x) x114．真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s= 2 gt 2，g 为重力加速度。
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案1. 单选题1. 数值3.1416的有效位数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。
A. 零B. 一C. 二D. 三正确答案：A3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A. 超线性B. 平方C. 线性D. 三次正确答案：C4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（）A. 使残差的最大绝对值为最小B. 使残差的绝对值之和为最小C. 使残差的平方和为最小D. 是残差的绝对值之差为最小正确答案：D5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。
A. AB. BC.CD. D正确答案：B6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（）A. xB. x+1C. x-1D. x+2正确答案：B7. 题面如下，正确的是（）A. 2B. 3C. -2D. 1正确答案：B8. 题面如下图所示，正确的是（）A. AB. BC. CD. D正确答案：D9. 用列主元消去法解线性方程组,A. 3B. 4C. -4D. 9正确答案：C10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。
A. nB. n+1C. n-1D. n*n正确答案：C11. 线性方程组的解法大致可以分为（）A. 直接法和间接法B. 直接法和替代法C. 直接法和迭代法D. 间接法和迭代法正确答案：C12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。
A. 牛顿法B. 下山法C. 弦截法D. 迭代法正确答案：A13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D14. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：C15. 所谓松弛法，实质上是（）的一种加速方法。
计算方法练习题集和答案解析
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.*x=–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限£41021-⨯。
( )2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
()4.用212x-近似表示c o s x产生舍入误差。
() 5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
() 二、填空题1.为了使计算()()2334912111yx x x=+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.*x=–0.003457是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．*x=–0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s *=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在时间t 的实际距离，则s t s *是（ ）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1． 3.142，3.141，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+⎰+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。
计算方法考试题及其答案
计算方法考试题及其答案题目一：1. 计算以下方程的实根个数：3x^2 - 5x + 2 = 0解答一：首先，我们需要判断方程的判别式是否大于0。
判别式 D = b^2 - 4ac，其中 a、b、c 分别为方程中各项的系数。
对于方程 3x^2 - 5x + 2 = 0，a = 3，b = -5，c = 2。
将这些值代入判别式公式得到 D = (-5)^2 - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1。
由于判别式大于0，根据二次方程解的性质可知，该方程有两个不相等的实根。
题目二：2. 求下列函数的导数：f(x) = sin(2x) + 3x^2 - 2x解答二：对于这个函数，我们需要分别求出各项的导数，然后将其相加。
f'(x) = (sin(2x))' + (3x^2)' - (2x)'对于第一项，根据链式求导法则，其导数为 cos(2x) * (2x)' =2cos(2x)。
对于第二项，使用幂函数求导法则，其导数为 3 * 2x^(2-1) = 6x。
对于第三项，一次项的导数为常数系数，即 -2。
将上述导数相加，得到 f'(x) = 2cos(2x) + 6x - 2。
题目三：3. 某公司年利润为 100 万元，假设每年增长 10%，那么经过 n 年后公司的利润是多少？解答三：假设 n 年后公司的利润为 P（万元）。
根据题意可知，公司每年的利润增长率为 10%，也即每年的利润增加量为当前利润的 10%。
因此，我们可以得到以下关系式：P = 100 + 0.1 * 100 + 0.1^2 * 100 + ... + 0.1^n * 100这是一个等比数列求和的问题，我们可以使用等比数列求和公式来解决：P = 100 * [(1 - 0.1^(n+1)) / (1 - 0.1)]简化上述公式后可得 P = 1000 * (1 - 0.1^(n+1)) / (1 - 0.1)。
计算方法练习题与答案
计算方法练习题与答案一、加减乘除练习1. 计算下列数的和并简化：a) 2 + 3 + 4 + 5b) 10 + 20 + 30 + 402.计算下列数的差：a) 100 - 50b) 75 - 253.计算下列数的积：a) 6 × 8b) 12 × 54.计算下列数的商：a) 100 ÷ 10b) 36 ÷ 6二、百分数计算练习1.计算以下百分数的值：a) 50% × 200b) 25% × 802.将以下分数转换为百分数：a) 1/4b) 3/53.将以下小数转换为百分数：a) 0.6b) 0.75三、比例计算练习1.解决以下比例问题：a) 如果一个长方形的长度为8cm，宽度为4cm，求其长宽比。
b) 假设一辆汽车每小时行驶50千米，行驶3小时，求行驶的总距离。
2.解决以下反比例问题：a) 如果一个鸟笼里有24只鸟，如果再加入6只鸟，那么所有鸟将平均得到多少空间？b) 一个机器能够在10小时内完成一项工作，那么如果再增加一倍的机器，需要多少小时才能完成同样的工作？四、平均值计算练习1.计算以下一组数的平均值：a) 5, 7, 9, 11, 13b) 16, 20, 24, 28, 322.已知某商品的销售数据如下，计算其平均销售量：月份销售量一月 120二月 150三月 170四月 140答案：一、加减乘除练习1.a) 2 + 3 + 4 + 5 = 14b) 10 + 20 + 30 + 40 = 1002.a) 100 - 50 = 50b) 75 - 25 = 503.a) 6 × 8 = 48b) 12 × 5 = 604.a) 100 ÷ 10 = 10b) 36 ÷ 6 = 6二、百分数计算练习1.a) 50% × 200 = 100b) 25% × 80 = 202.a) 1/4 = 25%b) 3/5 = 60%3.a) 0.6 = 60%b) 0.75 = 75%三、比例计算练习1.a) 长宽比为 8:4，简化为 2:1b) 汽车行驶总距离为 50km/h × 3h = 150km2.a) 初始鸟笼中每只鸟占据空间为 1/24，加入鸟后每只鸟占据空间为 1/30，所以平均空间为 30 / (24 + 6) = 1/2b) 原机器完成工作速率为 1/10，加入一倍机器后速率变为 1/20，完成工作所需时间为 10 × 2 = 20小时四、平均值计算练习1.a) 平均值 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 9b) 平均值 = (16 + 20 + 24 + 28 + 32) / 5 = 242. 平均销售量 = (120 + 150 + 170 + 140) / 4 = 145以上是本篇计算方法练习题与答案的内容。
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案在计算方法课程中，学生通常会接触到各种数学问题的求解方法，包括但不限于数值分析、线性代数、微分方程等。
以下是一些课后习题的解答示例：习题一：求解线性方程组设线性方程组为：\[ \begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\\vdots \quad \quad & \ \vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m,\end{align*} \]解答：使用高斯消元法或矩阵分解法求解上述方程组。
首先将系数矩阵转换为行简化阶梯形式，然后回代求解未知数 \( x_1, x_2,\ldots, x_n \)。
习题二：数值积分给定函数 \( f(x) \)，需要在区间 \( [a, b] \) 上进行数值积分。
解答：可以使用梯形法、辛普森法等数值积分方法。
例如，使用梯形法的公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \cdots + 2f(b-h) + f(b) \right), \]其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是区间的等分宽度，\( n \) 是等分数。
习题三：常微分方程的数值解给定一个常微分方程 \( y' = f(x, y) \)，初始条件为 \( y(x_0) = y_0 \)。
解答：使用欧拉法或龙格-库塔法求解。
以欧拉法为例，其迭代公式为：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n), \]其中 \( h \) 是步长，\( x_{n+1} = x_n + h \)。
计算方法及答案
《计算方法》练习题一一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。
7．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx（ ）。
8．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pka ，则=-)1(k pk a （ ）。
9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （ ）。
10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 6．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ ）。
Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。
A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A8．已知T x )5,3,1(--=，则=1x （ ）。
计算方法练习题与答案
2. 求方程 x3 x2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。
(1)
x
1
1 x2
xk 1 ，迭代公式
1
1 xk2
；
1
(2)
x3 1 x2 ，迭代公式 xk1
1 xk2
3
；
x2 1
xk1
(3) x 1 ，迭代公式
1 xk 1 ；
xk 1
xk
2[
f
2 f ( xk ( xk )]2
) f (xk ) f ( xk )
f
( xk )
并证明：当 x* 是方程 f (x) 0 的单根时，公式是 3 阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3 1 1
A 2 5 3
1．矩阵 1 2 5 具有严格对角优势。
()
3 1 1
A 1 5 3
()
3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
插值的结果。
(
)
4.
在拉格朗日插值中，插值节点 x0, x1, , xn 必须按顺序排列。 ( )
5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算 x0 附近的 f (x) ，用后插公式。 ( )
二、填空题 1. 已知 n 3，则三次插值基函数 l2 (x) =_____________________。
() () ()
1 x2 4. 用 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
()
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
()
二、填空题
1.
为了使计算
y
12
3 x 1
(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
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习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法xmax x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A nR n n .2.试证明maxa ij , A ( a ij )1 in1 i n1j证明：（ 1）令 x rmaxxi1 i nnp 1/ pnx ip1/ pnx r p 1/ p1/ pxlim(x i lim x r [( ]lim x r [limx r))() ]x r npi 1pi 1 x rpi 1 xrp即 xx rnp1/ pnp 1/ p又 lim(lim(x rx i)x r)pi 1pi 1即 xx rxx r⑵ 设 x(x 1,... x n )0 ，不妨设 A 0 ，nnnn令maxaijAxmaxaijx jmaxa ij xjmax x i maxaijx1 i nj 11 i nj 11 i nj 11 i n1 i nj 1即对任意非零 xR n，有Axx下面证明存在向量 x 00 ，使得Ax 0，x 0n( x 1,... x n )T 。
其中 x j设j a i 0 j ，取向量 x 0sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。
1nn显然x 01 且 Ax 0 任意分量为ai 0 jx jai 0 j，i 1i1nn故有Ax 0maxaijx jai 0 j即证。
ii 1j 13. 古代数学家祖冲之曾以355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？113解： x325 &0.314159292 101133xx355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T ) : T (h) T A i h2 ii 1T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。
试证明由 4 m T m 1 ( h) T m 1 ( h)Tm(h) 2 , m 1,2,4 m 1所定义的 T 的逼近序列{T m(h)}的误差为T m(h) T A i( m) h 2m 2 ，i 1其中诸 A i(m)是与h无关的常数。
证明：当m=0 时左边（） - 2 i 右边T0 h T= i hi 1设 m=k 时等式成立，即T（k h） - T=i(k)h2 k 2ii 1当 m=k+1 时4k 1T k ( h) T k ( h) 4k 1[T i( k ) (h) 2k 2 i ] [T i( k) (h)2 k 2i ]T k（1 h） - T=2T = i 12 i 1T 4k 1 1 4k 1 1(i k) (h)2( k 1) 2i即证。
i 1习题 21.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（ 1）x cos x sin x ; (2) x 4 2x。
4解：（ 1）迭代公式x k 1 cos x k sin x k , ( x) cos x sin x ，(x)' 1 公式收敛4 4k 0 1 2 3x k 0 0.25 0.25098 0.25098x* 0.25098（ 2）( x) ln(4 x) ， x0 1.5 ，(x0 )' 1 局部收敛ln 2x k 1 ln(4 x k ) ln 2k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x k 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386 x* 1.3862. 方程x3 x 2 1 0 在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（ 1）x 1 1,对应迭代公式x k 1 11 x2 2;x k（ 2）x3 1 x2 ，对应迭代公式x k 1 3 1 x k2 ;（ 3）x2 1 ,对应迭代公式x k 1 1 。
x 1 x k 1判断以上三种迭代公式在x0 1.5 的收敛性，选一种收敛公式求出x0 1.5 附近的根到4位有效数字。
解：（ 1）(x) 1 1 ' (x) 2 ( x )' 1 局部收敛x2 x3 0x2 ' (x) 2x(1 x2 )2( x0 )'（ 2）(x) 1 3 1 局部收敛31 ' ( x) 1 2（ 3）(x)x( x 1) 3 (x0 )' 1 不是局部收敛1 2迭代公式（1）：0 1 2 3 4 5 6 7 81.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.466479 10 11 12 13 14 15 161.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595x* 1.466迭代公式（ 2）：k 0 1 2 3 4 5 6x k 1.5 1.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.466 x* 1.4663.已知 x(x) 在[a,b]内有一根 x*，(x) 在[a,b]上一阶可微，且x [ a,b], ( x) 3 1 ，试构造一个局部收敛于x *的迭代公式。
解：方程 x(x) 等价于 x 0.5[ (x) 3x]构造迭代公式x k 10.5[ ( x k )3x k ]由于( x) 在 [a,b] 上也一阶可微[ 0.5( (x) 3x) ]0.5 ' ( x) 30.51故上述迭代公式是有局部收敛性.4.设 ( x) 在方程 x ( x) 根 x * 的邻近有连续的一阶导数，且(x * ) 1 ，证明迭代公式 x k 1( x k ) 具有局部收敛性。
证明 ：( x)在 x * 邻近有连续一阶导数，则'( x) 在 x * 附近连续，令 ' (x *) L 1 则取1 L则0当 x x *时 有'( x)'( x * )从而'( x)'( x)'(x * )'( x * )L(1L)1( x) x *(x) ( x * )'( )( x x * )x x *故 x *< (x)< x *令 ax *， bx *由定理 2.1 知，迭代公式 x k 1(x k ) 是有局部收敛性。
5.用牛顿法求方程f (x) x 3 2x 24x 7 0 在 [3,4] 中的根的近似值（精确到小数点后两位） 。
解： f ( x) x 3 2x 2 4x 7f ' ( x) 3x 2 4x4y 次迭代公式 x k 1x k 32x k 2 4x k 7x k3x k 2 4x k 4k0 1 2 3x k3.53.643.633.63x *3.636.试证用牛顿法求方程 ( x 2)2( x3) 0 在 [1,3] 内的根 x *2 是线性收敛的。
解：令 f ( x) ( x 2) 2 ( x 3)f ' (x) 3x 22x 8 (x 2)(3 x 4)y 次迭代公式 x k 1 x k (x k 2)( x k 3)3x k 4故 e k 1x *xk 12 x k( x k 2)( x k 3)( x k 2)(2x k 1)3x k 43x k 4e k x* x k x k 2 从而ek 1 2x k1， k 时， x k 2 e k 3x k 4故 kek 1 1 ，2e k故牛顿迭代公式是线性收敛的7. 应用牛顿法于方程x3 a 0 ,导出求立方根 3 a 的迭代公式，并讨论其收敛性。
解： f ( x)x3 af ' (x) 3x2相应的牛顿迭代公式为xk 1 x kx k3 a 2x k3 a3x2 3x k2迭代函数(x) 2x k3 a ，' ( x) 2 x3 2a ，'' ( x) 2ax 43x k2 3x3则' 3a ) 0 ，'' 3a ) 0 ( (习题 31.设有方程组5x 1 2x 2 x 3 12 x 1 4x 22x 3202x 1 3x 2 10x 33(1) 考察用 Jacobi 法， Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性；(2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当x ( k 1) x (k)10 4 时迭代终止。
5 2 1解：（ 1） A1 44A 是强对角占优阵。
23 10故用雅克比法及高斯 -塞德尔法解此方程均收敛。
（ 2） x 121x 3125x255x 2 41x 1 21 x 3 5x 351 x 1 103 x 3310雅克比法：x ( k 1)2x (k )3 x ( k) 12 ，( k 1)1(k )1 ( k )5 ， x ( k 1)1 x (k)3 x (k)3 ， 15 2535x 24 x 12x 335110210取初始向量 x 1(0)x 2(0) x 3(0)0 ，迭代 18 次有 x i 18 x i 17 10 4 （ i=1,2,3 ）x 1 3.999996 ， x 2 2.999974 ， x 3 2.000000高斯 -塞德尔法：x 1( k 1)2 x 2(k )3 x ( k) 12 ， x 2(k 1) 41 x1(k ) 12 x ( k )5 ， x 3(k 1)1x 1(k)3 x (k)3 5 5 3535 10 210取初始向量 x 1(0)x 2(0) x 3(0)0 ，迭代 8 次有 x i 8 x i 710 4 （ i=1,2,3 ）x 1 4.000033 ， x 2 2.999983 ， x 32.0000022. 设有方程组a 11 x1a 12 x2b 1 , (a 11 ,a 120),a 21 x1a 22x2b 2x 1(k )1(b 1 a 12 x 2(k 1) )迭代公式：a 11, k1,2, .x 2(k)1 (b2 a 21x 2(k 1) )a22求证由上述迭代公式产生的向量序列x ( k ) 收敛的充要条件是a 12a211.a a证明 ：a12a11a 12a21迭代公式 x ( k 1)Bx ( k)f 中的矩阵 B，det( EB) 2，a21a 11a22a22由迭代收敛的充要条件知(B) 1a 12a211即证。
a 11a223. 用 SOR 方法解下列方程组（取松驰因子1.2 ） ,要求 x (k 1) x (k )10 4 .2x 1 x 21x 1 4x 2.5解： SOR 方法x 1(k 1) x 1(k )(b 1 a 11x 1( k) a 12 x 2(k ) )a11x 2(k 1) x 2(k )(b 2a 21x 1(k 1) a 22x 2(k ) )a22a 11 2, a 12 1,a 21 1,a 224, b 1 1,b 2 5, 1.2故 x 1(k 1)0.2x 1( k) 0.6x ( k ) 0.6 ， x 2(k 1)0.2x 2(k) 0.3x ( k 1) 1.521迭代初值 x 1(0)x 2(0)kx 1(k)x 2(k)0 0.000000 0.000000 1 0.6000000 -1.320000 2 1.2720000 -0.854400 3 0.858240 -1.071648 4 1.071341 -0.964268 5 0.964293 -1.017859 6 1.017857 -0.991071 7 0.991071 -0.997768 8 1.004464 -0.997768 9 0.997768 -1.001116 10 1.001116 -0.999442 11 0.999442 -1.000279 12 1.000279 -0.999861 13 0.999861 -1.000070 14 1.000070 -0.999965 15 0.999965 -1.000017x (16) x (15) 0.000052 10 4x 1 x 1(16) 1.000017 x 2 x 2(16)0.9999914.用选列主元高斯消去法求解方程组3x 1 x 2 4x 3 7x 1 2x 2 2x 3 12x 1 3x 2 2 x 3 0解：31 4 731 4 75 2 4 M 1 2 2 1 0A D3 3 3232 07 14 143 3 33 14 7 3 1 4 7 07 14 14 0 7 14 14 3 3 3 3 335 2 4 042333解得2,1,0.55.用追赶法解三角方程组2 1 0 0 0 x 1 1 1 2 1 0 0 x 2 0 0 1 2 1 0 x3 0 00 1 21 x 40 01 2 x 5解：高斯迶元11 00 122 2 1 0 00 11 01 2 0 0 1 2 1 00 0 331 0 12 1 0 0 01 30 4 0 0 1 2 1 0 44112 00 0155x 5 1 6 x 4 1 4 1 15 56 3 回代得x 3 1 3 1 1 4 4 3 2 x 2 1 2 1 2 3 3 2 3 x 1112 52 23 65211 1解为x63 2 3 66.用三角分解法求解方程组2 4 8 x 1 5 4 18 16 x 2 6 6 220 x 37解：系数矩阵三角分解为：2 4 8 1 0 0 2 4 8 4 18 16 2 1 00 10 32 6 22031 10 76原方程可表为：1 0 02 4 8 21 0 0 10 32 31 10 0761 2587310 0 y 1 5 解 21 0 y2 8 得y5 2 1031 1y 372 4 8 x 1 解0 10 32 x 20 076x3得 x291,21, 5190 95 385 2 101.5316,0.2211,0.13161 2 67.用选主元法去法计算下列行列式的值3 24 .1 2 69 5 195 1 r 1r3m 21 11 11 解： 32 43 24 3 0m 311 3 3 9 5 11 2 6 913 539991 5r 2 r 353 13 33m 32 53 l 2 l 39911 1339 1 5 053 13 9 930 5353 30 9309531 104 8.设 A 计算 cond ( A) .11解：110411- 104 104-1A1 1104 -1 1- 104cond AAA 110411041 4 104101习题四1.给出概率积分f ( x)2xe x 2 dx的数据表：试用二次插值计算 f (0.472) .X 0.460.470.480.49 f( x)0.48465550.49375420.50274980.5116683解：取插值节点：x 00.46x 10.47x 20.48L 2x2 y i l i xi 0y0 x x x 1 x x 2x x 0 x x 2x x 0 x x 10 x x 0 x2 y1 x x0 x x y 2 x 2 x 0 x 2 x111 21 L2 0.4720.4955616f 0.472 L 2 0.472 0.49556162.已知 y=sin x 的函数表X 1.5 1.6 1.7 sinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次 Newton 插值公式计算 sin(1.609)( 保留 5 位小数 )，并估计其误差 .解：由题意得如下差商表k x k fxkfx 0,xkfx 0,x 1,xk0 1.5 0.997491 1.60.99957 0.020802 1.70.991660.029150.49950N 2 x0.997490.02080x 1.50.49950 x1.5 x 1.6故N 2 1.609 0.999273R 2 1.609f1.609 1.5 1.609 1.6 1.609 1.763又f xsin x,fx cos xf 3max cos x0.128841.5 x 1.7故： R 2 1.609 1.92 1063. 设 x j 为互异节点 ( j0,1, , n ),求证nx k j l j (x) x k ( k(1)0,1, , n)j 0n( x j x) k l j ( x)(2)0 (k0,1,,n)j 01kL nxnkf xj 0x证明：令xx j l jf n 1又R nxf xLnxn 1xn 1 !所以f n 1故R n xL nxf xx k2 原等式左边用二项式展开得：nx knk x j l jxj 0 x j l jj 0nkj 0x j ljnkk由1结论j 0x jx jxx得k1 k 1kxC nx jx l jxL1 x l jx1k 11 kk 0xC n xx j l jxLx x j l jxnkk1 k 12 2 k 1k k0x jx l j xx C n x x C n x x1 x xj 0x k 1 1k即证4. 若 y n2n ,求 2 y n 和 4 y n .解：2y n 1yny nyyn 22 y n 1 y n n 2n 1n n2 22224y n3y n 13 y n 1222222y n 3 y n 1y n 1y n 12222y n 1y n 1y n 1y n 32222y n 2yn 1y n 1yny n 1yny n y n 1y n 1y ny n yn 1y n yn 1yn 1yn 2y n 2 4y n 1 6y n 4y n 1 y n 2n 2n1 2 n2 n 1n 22 4 26 4 2n 225.证明两点三次 Hermite 插值余项是R 3 (x)1 f (4 ) ( )( x x k )2(x x k 1 )2,( x k , x k 1)4!证明：f xs3xR3x且R 3xk0,R 3xk 10,R3xk0,R3xk 1即x k ,x k 1为R 3x的二阶零点设R 3x R xx x k 22x x k 1f xs 3xt x k 2x k 12令tf ts3tt 2 fxs3 x2x x kx x k 1易知 xk0,xk 10,xk0,xk 1又x 0由微分中值定理（ Rolle 定理）1x k , x , 2 x, x k 1 ，使得0,12x 有三个零点， x4进而 有两个零点，x 有一个零点，即xk,xk 1 使得 44f 44!xx x k 22R3x x k 14x22x6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)X -1 0 1 3Y -1 1 3 31y 4 28解：已知x0 1, x1 0, x2 1, x3 3,y0 1, y1 1, y2 3, y3 31,边界条件y0 4, y3 28h i x i 1 x i, i 0,1,2 即 h0 1, h1 1, h2 2从而a1h0 1 ,a2h1 1 , h0 h1 2 h1 h2 33 1f 1 f 0 f 2 f 16b a h a h1 1 10 1b2 3 1 a2 f 2 f 1 a2 f 3 f 2 18h1 h2m0 4, m3 282 1m1 6 1 4 4解 2 2 262 2 m2 18 1 28 33 3得 m1 1,m2 4当 xx0, x1 即x 1,0 时2x 0 01 0x 1 21 2 0 1 x 2 x 32x 1 10 1x 0 21 2 1 0 x 1 1 2x2x 021 0x 1xx1x 12210 1x 0x 1xy 0y 1 1xmxm131故 s xx1xxx同理，在 0,1 及 1,3 上均有 s xx 3 x 17. 用最小二乘法求一个形如y a bx 2 的经验公式，使与下列数据相拟合X 19 25 3138 44Y19.032.349.073.397.8解：依题意n 4, m1,x1,xx20 14x ixi故,50 i 042,5327x i1i 01 ,0 5327441,1i 0x i727769944y ixi271.41i yi 1x i369321.5i 0正则方程为553271271.45327解得0.973,17277699 1369321.50.050故拟合曲线为2y 0.973 0.05x习题 51． 试确定下面求积公式1 f ( x 1 ) f ( x2 )]f ( x)dx C[ f ( x 0 )1使其具三次代数精度 .解：要公式有 3 次代数精度，需有C(1 1 1)1dx 21C(x 0 x 1 x 2 )1 xdx1C(x 02 x 12 x 22 ) 12x 2 dx13C(x 03x 13 x 23) 1x 3dx 01解得： C2, x 00, x 12, x 2232 2故求积公式为122 ) f (2f ( x) dx [ f (0)f ()]132 22． 在区间 [a, b] 上导出含五个节点的 Newton-Cotes 公式，并指出其余项及代数精度 .解：bN(b a) B n f (a nh) f ( x) dxan 0( 1)N nNNB n(t i )dtn)!]N [ n!( N 0 i 0,i n当 N4时， B 07,B 1 16,B 2 29045 15 又B nBN n故 B 3 B 116,B 4B 0 7当 N4 时，有求积公式 459064 hf (x 1) 24hf (x 2 )64hf ( x 3 )14hf ( x 4 )（＊）f ( x) dx 14hf (x 0)ba4545454545其中 h ba, x i a ih ,i1,2,3, 44由 Lagrange 差值定理有： R 4 ( f , x)f (4 1)( )4( x x i )(4 1)!i 0故余项 R 4 ( f , x)bf 5 ( ) 4( x x i )dxa5!i 0对（＊）至少有四次代数精度f ( x) x 0 , C 5 时 式（＊）左边 =右边 =b 6a 66C 6 时 左边 右边故（＊）式具有 5 次代数精度3． 分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算2xdx , (取步长 h=1/6).1ln( x 1)解：（ 1）用复合梯形公式 a 1,b2, h1 故 N6x 6 f (x)ln( x 1)f ( a)11.4427ln 2f ( a 1) 716 1.50896 ln(1316) f ( a 2) 413 1.57366 ln(713) f ( a 3) 312 1.63706 ln(512) f ( a 4) 513 1.6992 6 ln(813)5 11f ( a 6 1.7604)ln(1716)6f (b) 2 1.8205ln(3)52f ( x n ) 16.3582n 12x1[ f ( a)5dxf (b) 2 f (x n )]1.63511671ln( x 1) 12n 1（ 2）用复合 Simpson 公式：f ( x 1 ) f (a 1 ) 1.4760212 f ( x 3 ) f ( a 3 5141.5414 )ln(914) 2 12 f ( x 5 ) f ( a5 ) 17112 1.6055212ln( 1114)f ( x 7 ) f ( a 7 ) 19112 1.6683 2 12 ln(31112)f ( x 9 ) f ( a 9 )7141.7299212 ln(11 4)f ( x 11 )f (a 11 23112 1.7905) 352 12 ln(12)54f (x n 1 ) 39.2464n 02b1[ f (a)55f (b) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x n )] 1.6352167 f (x)dxna36 n 0 2 n 14． 用变步长梯形求积公式计算1e x2).dx , ( 精确到 10 4解： a0, b 1, f ( x)e x2b a11T 02 [ f ( a) f (b)]2 (1e)0.68393972由1ba 2 k 12n 1T k 2 Tk 12kn 1f [a 2k(b a)](k1,2,L )11 2k 12n 12Tk 12k n 1 f ( 2k )得：T 1 T 1f ( 1) 0.7313702512 0 2 211 1 31(e( 1)2 ( 3 ) 2T 2 2 T 1 4 [ f ( 4 ) f ( 4 )] 0.36568513 44e4)0.7429841T 31T 2 1 [ f ( 1) f ( 3) f ( 5 ) f ( 7)] 0.745865622 8 8 8 8 8T 1 T 1 [ f ( 1 ) f ( 3) f ( 5 ) f ( 7)f ( 9) f (11) f (13 ) f (15)] 0.7465845942 3 16 16 16 16 161616 16 16 T 5 1T 4 1 16 f ( 2n 1 ) 0.746764252 32 n 1 32 T1 T 1 32 f ( 2n 1) 0.7468162 5 64 n 1 64Q|T 6 T 5 | 10 41 ex 2dx 0.746815． 用 Romberg 算法计算积分4s in(x 2 )dx , (精确到 10 4 ).解：a 0,b4 , f ( x) sin x 2T 0(0)b a[ f ( a) f (b)] 0.227162T 0(1)1 T 0(0) b a[ f (a b a )]0.173902 2 2 T 1(0)4T 0(1) T 0(0)0.1561464 1( k) 1 (k 1)b a 2k 1b aT 0 T 02 kf ( a (2 n 1)2 k)由公式2n 1m(l1)(l )T m (l )4 T m 1Tm 14m1 得：T 0(2)1 T 0(1) [ f ( ) f ( 3 )] 0.1612882 16 16 16(1)4T 0(2) T 0(1) 0.157147T 14 1T 2(0)42 T 1 (1) T 1(0)0.157147421T 0(3)1 T 0(2) [ f ( ) f ( 3 ) f ( 5) f ( 7)] 0.1581842 32 32 32 32 32(2)4T (3) T (2)T 10 0 0.1571504 1T (1) 42T 1 (2) T 1(1)0.1571542 42 1(0)43 T 2(1) T 2(0)0.157154T 343 1又 Q|T 3(0)T 2(0) |0.1571540.157147 0.000007 10 4即 T 3(0) 已经达到预定精度取 4 sin x 2 dsT 3(0)0.15726． 试构造两点 Gauss 公式11 f (x) dx A 0 f ( x 0 ) A 1 f (x 1 ) ,并由此计算积分 (精确到 10 4 )1 1 2xdx .解：二次 Lagendre 多项式：w2 ( x) 2 d 2 (x2 1)2 x214! dx2 3Gauss 点为x0由公式 A n1f ( x)dx1 1 , x1 13 3b w N 1 (x)dx N 1得a ( x x n )w N 1 ( x n )1 x 21A0 3 dx 11 (x 3 )*2* 33 31 x2 1A1 3 dx 11( x 3 )*2*( 33)3f ( 1 ) f ( 1 )3 3令t 2( x 1) 即 xt 1使得 [0,1] [ 1,1] 2 21 11 2xdx0 2 11[ (32) (32)] 1.3991t 2dt 3 31 2习题 61． 试用三种方法导出线性二步方法y n 2 y n2hf n 1解：（ 1） Taylor 展开法kk线性 k 步公式为iy n ih i fn ii 0i 0k 2, p 2, 201, 1 2 得1 21 0 122( 012 ) 00 0 1 ( 142)(122) 022!即得 y n 2y n 2hf n 1且C 3 1 ( 1 8 2 ) 1 ( 1 4 2 )13! 23（ 2） 数值积分法yn 2y ntn 2f (t, y(t ))dtt n用矩形求积公式yn 2y n (t n 2 t n ) f [ t n (1 )t n 2 , y n (1令1（中矩形公式）2即得： y n 2 y n 2hf (t n 1, y n 1 ) y n 2hf n 1（ 3） 由隐式欧拉法得 y n1y n hf n 1由显示欧拉法得 y n 2y n 1hf n 1① 代入②得) y n 2 ]①②y n 2 y n 2hf n 12． 用 Taylor 展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.解：线性 k 步公式为kkiyn ihi fn ii 0ik 3, p 4 ，在（ 6.17）中令C 0 1 C 4 0, C 5C LC 0 0 1 2 3C 112 23 3 (3 0123 ) 0即 C 21 ( 14293) (12 233) 021 C 31( 182)1 ( 14 2)3!23C 41 ( 116 281 3)1 ( 182 273) 04!3!取31。