高斯曲率的计算公式解析
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第二章 曲面论
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理
2
122LN M
K k k EG F
-==- 。
注意
(,,)
uu r r r L n r =⋅=
r r r r r ，
(,,)uv r r r M n r =⋅=
r r ，
(,,)
vv r r r N n r =⋅=
r r 。
所以
2
2LN M K EG F -=
-
222
1
[(,,)(,,)(,,)]()
u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =
--r r r r r r r r r ，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得
2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r
(,,)(,,)
u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v u
v v v vv v u v v v uv uu u
uu v
uu vv uv u
uv v
uv uv
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u
uv v uv uv
E F r r E F r r F
G
r r F G
r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r
u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u
uv v E F r r E F r r F
G
r r F G
r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，
（其中用到行列式按第三行展开计
算的性质。）
利用 u u r r E ⋅=r r ，u v r r F ⋅=r r
，
v v r r G ⋅=v v
，
可得12u uu u r r E ⋅=r r ，12u uv v r r E ⋅=r r
，
12
v vu u r r G ⋅=v v ，12v vv v r r G ⋅=v v ，
12
v uu u v r r F E ⋅=-r r
，
12
u vv v u r r F G ⋅=-r r
。
由于
()()
uu vv uv uv uu vv u vvu u vvu uv uv r r r r r r r r r r r r ⋅-⋅=⋅+⋅-⋅+⋅r r r r r r r r r r r r
()()u vv u u vu v r r r r =⋅-⋅r r r r
11
()()22v u u v v F G E =--
11
22
vu uu vv F G E =-- ；
或者
uu vv uv uv r r r r ⋅-⋅r r r r
()()uu v v v uv u r r r r =⋅-⋅r r r r
11
()()22u v v u u F E G =--
11
22
uv vv uu F E G =-- ；
于是得到
22
11221
11[]()
22111111
2
2
222
2
v u v v u u u v
uv vv uu v
u E
F F
G E
F E K F
G G F G G EG F E F E F E G E G -=
----- (1)
公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。
将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得
2
22
1[(2)4()
v v u v u K E E G F G G EG F =-+-
(242)
u v v u v v u v u u F E G E G E F F F F G +--+- 2
(2)u u u v v G E G E F E +-+
22()(2)]vv uv uu EG F E F G ---+,(2)
高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。