例举初等数学与高等数学的一些联系
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。
初等数学与高等数学的联系及一些应用
２ ０ １ ３年 第 ３期
学卜（ ｌ
在此 例 中引 人矩 阵作 为工具 使 用 了矩 阵 的性质 ， 得 以求
由概率的性质知０ ≤ Ｐ （ Ａ ｕ 当 ） ｌ ， 扶旧０ 口 ＋ ｂ — ａ ｂ ｌ
４ 总 结
由以上 ５个 例 子可 以看 出 ， 如 果用 初等 数 学 的知识 解 题
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例１ ＿设 ａ ， Ｉ ∽者 隰正数， 且ａ ＋ ｈ ＂ ｔ － Ｃ ＝ １ ， 求征二 ＋ ＿ ． ＿ ＋ ≥９ 。
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证明： 在Ｒ ， 中， 使用标准内积。设 亏＝
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发展 ， 中学教 师要 掌握 一定的高等数学的知识与方 法， 并在教 学 中与初等数 学的知识 有机结合起 来 ， 那／ ／ ， 将 能 提 高学生的思维， 开阔学生的思路 ， 培养学生的数 学修 养并提 高其解决 问题的能力。因而 ， 本文着重把 高等数 学 与初等数 学联 系起来 ， 通过几 个例子来 阐述 高等数 学在初 等数 学中的一 些重要的应用。 关键 词 ： 高等数 学； 初等数学 ； 联 系； 应用
之， 学 习高 等 数学 能 加 深 对初 等 数学 的理 解 和 掌握 ， 可 以 开 阔思 路 、 提 高数 学 修养 和解 决问 题 的 能力 。为 了解 决上 述 长
期存 在 的 问题 ， 笔者 认 为研 究高 等数 学 与 中学 数学 的联 系是
一
设 ＝ ［ “ Ｕ ｉ ， ＝ ］ ＝ ［ ： ］ 贝 ｕ ｃ ２ ， 式 为 ＝ 一 ， 且 ｃ ， 。 ＝ ［ ］ ＝ ］
初中数学基础与高数的关系
初中数学基础与高数的关系在数学的世界里，初中数学和高等数学就像是亲密的兄弟，彼此间有着千丝万缕的联系。
初中数学是高数的基石，它在数学的道路上扮演着至关重要的角色。
虽然它们的难度和复杂性有着显著的差异，但从初中到高数的过程，就像是一个逐步成长的故事，展现了数学知识由浅入深的自然演变。
初中数学的基本概念，如代数、几何和统计，是高数的基础。
初中时，学生们通过学习代数方程、几何图形的性质以及简单的数据处理，奠定了未来学习高数所需的基础知识。
例如，代数中的变量和方程式的解决方案为高数中的函数、极限和导数等概念的理解打下了基础。
而几何学中的图形和面积计算则为高数中的多维空间和积分提供了直观的基础。
随着学术旅程的推进，初中数学中的知识将被更为复杂的概念所替代。
高等数学引入了许多新颖且复杂的主题，如微积分、线性代数和概率论。
这些内容需要学生在初中所学的基础上进行深度的思考和应用。
微积分，作为高数中的核心部分，其主要思想是从变化的角度去理解数学问题，而这正是建立在初中数学中对函数和图形性质的基本理解之上的。
更深入地探讨，初中数学的知识不仅是高数的基础，而且还为学生们提供了解决复杂数学问题的方法。
例如，初中数学中培养的逻辑思维能力和问题解决技巧，将帮助学生在高数中应对更具挑战性的任务。
在学习高数时，学生们会发现自己需要将初中所学的知识进行综合应用，并在此基础上发展更高层次的数学能力。
因此，初中数学不仅仅是为了完成学业中的一个阶段，而是为高数的学习提供了不可或缺的支持。
每一个数学概念和技能的掌握，都如同为未来的数学探索铺设道路。
这种关系提醒我们，基础教育的重要性不可低估，它为学生们进入高数的世界提供了坚实的支持。
在这个过程中，学生们不仅要掌握具体的数学技巧，还要学会如何将这些技巧应用到新颖的数学情境中。
每一步的进步都反映了从初中基础到高数应用的不断过渡，这种过渡不仅是数学学习的过程，也是思维能力提升的过程。
因此，理解和掌握初中数学的知识，将为学习高等数学提供强大的支持，使得学生能够在复杂的数学领域中游刃有余。
初等数学与高等数学教学衔接问题的研究
初等数学与高等数学教学衔接问题的研究
初等数学与高等数学之间的教学衔接问题是教育领域中的一个重要课题。
初等数学通常是指小学和初中阶段的数学教育，包括整数、分数、代数、几何等基本概念和计算方法。
而高等数学则是大学阶段的数学教育，涉及微积分、线性代数、概率统计等高级数学知识。
教学衔接问题主要体现在初等数学与高等数学之间的知识脉络、教学方法和学习要求的不连贯性。
学生在初等数学学习之后，进入高校学习高等数学时常常会遇到知识重复、知识断层、知识跳跃等问题，导致学习困难和学习兴趣的减退。
这种不衔接的现象不仅影响学生成绩，还可能影响其对数学学科的兴趣和学习动力。
因此，对初等数学与高等数学教学衔接问题的研究具有重要的理论和实际意义。
这方面的研究可以从以下几个方面展开：
1. 教材设计：通过对初等数学和高等数学教材内容的分析和比较，设计出衔接性强的教材，使学生在学习高等数学之前能够有所准备和适应，避免知识的重复和断层。
2. 教学方法：研究不同阶段数学教学的最佳教学方法和策略，使学生能够有针对性地掌握和应用初等数学知识，并逐渐引导学生进入高等数学学习的状态。
3. 课程设置与调整：针对初等数学和高等数学之间的衔接问题，可以在教育体制和课程设置方面进行调整，逐步建立连贯性的
数学教育体系，使学生能够有一个平滑的过渡。
4. 师资培养与教师专业发展：培养素质过硬的数学教师，提高他们对数学课程衔接问题的认识和解决能力，提供对学生更好的指导和支持。
总之，初等数学与高等数学之间的教学衔接问题需要多方面的研究和努力，以促进学生在数学学习中的顺利过渡和发展。
初等数学和高等数学的联系与矛盾
例 ： 无 限 和 １ ＋ ＋…＋ ＋… 求 ＋ 二
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先 求 有 限 和Ｓ＝ ＋ １＋ ＋ ＝ （一 一 ） 然 后 对 ｎ 一１ 一 …＋ ２ １ ， 取
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极 限就 成 无 限 ￣ Ｓ ｌ ２另外 ， 个 确 定 的 数 或 初 等 函 数 也 １ ＝ｉ ＝ ． １ ｍＳ 一
考 试 周 ２１ 第３ 刊 ｏ年 ４ ２ 期
初 等 数 学 和 高 等 数 学 的 联 系 与 矛 盾
张 艳
（ 州江南专修学院 ， 杭 浙江 杭 州 摘 要 ： 论 文 由初 等 数 学 与 高等 数 学 本 身的 一 些 特 性 本 出发 ， 论 了初 等 数 学 和 高等 数 学 的一 些联 系和 矛 盾 ， 们之 讨 它 间联 系的 意 义 ， 及 如 何从 初 等 数 学过 渡 到 高 等数 学 。 以 关 键 词 ： 等 数 学 高等 数 学 联 系 矛 盾 过 渡 初
１ 引 言 ．
３０： ： 二 ＋ 如 ＿－
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３１
（ ｋ ） ２ 一１ １
数 学 专 业 的 学 生 。 别 是 毕 业 后 当 老 师 的 同学 ， 入 学 就 特 一 发 现 他 们 面 对 的 问 题 是 ．要 学 的 知识 好像 同 中 学 学 过 的一 点 联 系 也 没 有 。由于 缺 乏 指 导 ， 又很 难 明 辨 当前 的 中学 教 学 内容 和 大 学课 程 之 间 的 联 系 。因此 常 会 对 大 学 所 学 课 程 有 疑 惑 ， 甚 至 忽 视 。 际 上 ． 决办 法之 一是 通过 掌 握 相 当程 度 的高 等 数 实 解 学 知 识 ， 初 等 数 学 与 高 等 数 学 有 机 结 合 ，居 高 临 下 ” 注 重 让 “ ， 高 等 数 学 对 初 等数 学 的 渗 透 ． 较 高 层 次 去 联 系 、 导 和 研 究 从 指 初等数学 。 我 们 所 说 的初 等数 学 通 常 是 指 中学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识， 内容 包 含 有 代 数 ， 何 ， 析几 何 ， 数 与 数 列 等 内 容 ， 几 解 函 处 理 一 些 有 限量 的直 观 的 实 际 问 题 。高 等 数 学 是 大 学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识 ， 容 有 微 积 分 ， 象 代 数 ， 析 几 何 等 内容 ， 内 抽 解 其 特 点 是 用 极 限 的手 段 解 决 更 切 合 实 际 的问 题 ．是 初 等数 学 知 识 的 补 充 与 扩 充 。本 论 文研 究 的 主 要 内容 是 初 等 数 学 与 高 等 数 学 的联 系 和 矛 盾 。 ２初 等 数 学 与 高 等 数 学 的 矛 盾 和 联 系 ． ２ １ 等 数 学与 高等 数 学 的矛 盾 ．初 ２ １１ 与 静 的 矛 盾 现 象 ．．动 因 初 等 数 学 是 用 较 直 观 的方 法 处 理 问 题 ，从 而 对 事 物 的 变 化 规 律 的 揭 示 。往 往 停 留于 相 对 静 止 的 状 态 下 去 分 析 解 决 问 题 ， 高 等 数 学 却 采 用 极 限 的 手 段 ， 事 物 的 变 化 规 律 通 过 而 对 对 事 物 的 动 态 描 述 而 揭 示 ， 而 结 果 更 精 确 。如 对 物 理 问题 ： 从 已 知非 匀 速 连续 运 动 的路 径 ， 给 定 时 刻 的 速 度 等 。 求 ２ １ 曲 与 直 的 矛 盾 现 象 ．． ２ 初 等 数 学 主要 以 研 究 “ 边 图 形 ” 主 ． 对 于 不 规 则 的 直 为 而
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档浅谈初等数学与高等数学的关系从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。
初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。
高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。
1.初等数学简介及其研究内容代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。
那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。
从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。
特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。
例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。
到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。
纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。
随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。
（1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学（2）代数学是研究多项式和线性代数的科学（3）代数学是研究各种代数结构的科学（4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。
初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
1.1数的概念及其运算 1.2解析式及其恒等变换 1.3方程1.4不等式 1.5函数 1.6 平面几何1.7立体几何2.高等数学简介及其研究内容16世纪以后，由于生产力和科学技术的发展，天文﹑力学﹑航海等方面都需要很多复杂的计算，初等数学已经不能满足时代发展的需要了，在此种情况下，高等数学随之应运而生。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径高等数学是大学数学的重要组成部分，也是很多专业课程的基础。
而初等数学是高等数学的先修课程，它们之间的有效衔接对学生的学习和发展至关重要。
本文将从课程内容、教学方法和学生自身能力提升三个方面探讨初等数学与高等数学的有效衔接路径。
一、课程内容的衔接初等数学主要包括代数、几何、概率论等内容，而高等数学则进一步涉及到微积分、线性代数、复变函数等高阶概念。
为了让学生顺利过渡到高等数学，初等数学的内容应该为后续的学习做好铺垫。
初等数学应该打下数学基本概念和运算的基础。
包括数的概念、集合与函数的基本概念、关系、数列与极限等。
这些概念是后续高等数学的基石，学生在初等数学中一定要扎实掌握。
初等数学应该培养学生的逻辑思维和证明能力。
高等数学中，很多定理和公式都需要通过逻辑推理和严密证明得出。
初等数学教学应该引导学生进行严密的推理和证明，培养他们的数学思维能力。
初等数学中的一些概念和方法在高等数学中有很多应用。
比如向量在初等几何中的应用，在高等数学中可以应用到向量代数和多元函数等。
教师可以适当通过案例等方式，引导学生理解初等数学的应用及其在高等数学中的延伸。
二、教学方法的衔接初等数学与高等数学之间的有效衔接，除了内容的铺垫外，还需要教学方法的衔接。
教师在教学初等数学时，要注重培养学生自主学习、动手实践的能力，鼓励学生提出问题和展开思考。
这样有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们进入高等数学做好准备。
教师在教学高等数学时要注意与初等数学进行对比和延伸。
要及时向学生展示高等数学与初等数学之间的联系和延伸，强调高等数学的基础是初等数学，同时也强调高等数学的新概念和方法。
通过对比与延伸，帮助学生理解和掌握高等数学的概念和方法。
三、学生自身能力的提升在初等数学与高等数学的有效衔接中，学生自身的能力提升是非常重要的。
学生在学习初等数学时要注重以下几点。
要注重基础知识的牢固掌握。
高等数学的学习是基于初等数学的，如果初等数学的基础不扎实，会给后续的学习带来很大困难。
高中数学论文 高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
初等数学和高等数学的区别与联系_浅析高等数学与初等数学相关内容的比对论文
初等数学和高等数学的区别与联系_浅析高等数学与初等数学相关内容的比对论文论文关键词高等数学初等数学教材内容比对衔接论文摘要高等数学与初等数学教材内容的有效衔接问题，是切实提高高等院校高等数学课程教学质量的关键问题之一。
本文对高等数学与初等数学教材中有关“函数与极限”、“导数与微分”等内容及教学要求进行了比对，并给出了解决这些问题的一些建议。
经过调研了解到，2021年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。
试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。
但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。
这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。
高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。
1“函数与极限”的衔接函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。
高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。
（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。
因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。
（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。
反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。
而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。
新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。
（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。
高等数学与初等数学衔接问题的探究——以对数函数为例
h log a （ 1 + ） log a （ x + h） － log a x x 1 h = lim = lim log a （ 1 + ） h→0 h→0 h h h x 1 1 x /h 1 /x 1 /x = limlog a （ （ 1 + h / x） ） = log a e = log a e = ．（这 h→0 x xlna 里先形式变换， 再求极限） 方法二 按反函数的求导方法， y a ≠1 ） 为直接函数， 设 x = a （ a ＞ 0， 则 y = log a x 是它 y a ≠ 1 ） 在区间 I y = （ － 的反函数， 已知函数 x = a （ a ＞ 0 ， y y + ɕ ） 内单调 、 可导， 且（ a ） ' = a lna ≠0 ． ɕ， y a ≠1 ） 在区间 （ 下转 72 页） 解 x = a （ a ＞ 0，
1 1 = lim 1 / t （ 这里利用的是 t→0 log （ 1 + t ） 1 a log a （ 1 + t ） t 可以求极限） 对数的运算性质， 1 1 = （ 第二个重要极限公式） = = lna． （ 这里利 log a e lne ln a 用的是对数的换底公式） 学生的原有认知结构： （ 1 ） 对数的定义； （ 2 ） 对数的运算性质； （ 3 ） 对数的换底公式； （ 4 ） 第二个重要极限公式 ． 学生要学习的新知识： （ 1 ） 极限的计算； （ 2 ） 等价无穷小 ． 教学建议： （ 1 ） 知识准备： 教师提前复习对数的定义 、 运算性质 、 换底公式； （ 2 ） 方法要总结： 前面的计算部分是围绕指数函数 、 对数函数的转换及第二个重要极限的应用， 所以这里是 先变换再计算极限（ 这种方法经常用在不能直接求函数 有普遍性） ； 的极限问题上， （ 3 ） 学生要主动在已有的知识经验的基础上与从题 目的已知部分选择对数部分的变换和极限计算的过程， 这是能否解出该题的关键 ． 二、 求 y = log a x 的导数 ． 分析 可以用导数定义， 也可以用反函数的导数公 式 ． 这里， 笔者建议两种方法都用， 进行比较 ． 方法 一 按 导 数 定 义， 得 （ log a x） ' = lim = lim
高等数学知识在初等数学中的应用
高等数学知识在初等数学中的应用：高等数学知识在初等数学中的应用代写论文高等数学知识在初等数学问题中的应用具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.但解决的知识是中学所学习的初等数学知识，它对学生的数学语言信息的阅读、收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高，是考查数学创新能力的有效手段，是模式化训练“题海战术”所达不到的.此类问题对培养学生独立发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有很大的帮助.下面，笔者就对此类问题进行归类、例析，以期广大专家、同行对此类问题进行更深入的研究.一、知识背景的应用例1：已知函数，当f（x）=tanx，x∈（0，），x，x∈（0，），且x≠x，证明[f（x）+f（x）]>f（）.分析：本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景，以三角函数为知识载体，通过对正切函数和不等式的引入，使函数的凹凸性的性质得以充分体现.证明：因为x，x∈（0，），x≠x，所以2sin（x+x）>0，cosxcosx>0，且0<COS（X-X）<1，从而有0<COS（X+X）+COS（X-X）<1+COS（X+X），由此得tanx+tanx>，即>tan（），所以[f（x）+f（x）]>（）.思想汇报 /sixianghuibao/例2：设a>0，实数x，y，z满足x+y+z=a，x+y+z=.求证0≤x，y，z≤.分析：本题的知识背景是高等数学中的空间解析几何问题，x+y+z=a表示过三点（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示与坐标原点距离为的点（x，y，z）应满足的条件，即以O为圆心，为半径的球.如把已知方程中的z视为已知数，将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆，构造一个直线和圆有公共点得图形，初等方法就可以解决了.证明：将已知两方程分别化简为x+y=a-z，x+y=-z.因为此两式同时成立，所以在平面直角坐标系中，直线x+y=a-z和圆x+y=-z有公共点（即相交或相切），于是圆心（0，0）到直线x+y=a-z的距离不超过半径即≤，将该式化简得3z-2az≤0，即z（3z-2a）≤0，解得0≤z≤.同理可证0≤x≤，0≤y≤，所以0≤x，y，z≤.二、语言叙述的应用例3：设绝对值小于1的全体实数的集合为S.在S中定义一种运算*，使得a*b=.（1）证明：若a，b∈S，则a*b∈S；（2）证明：结合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.分析：本题是以高等数学语言习惯定义一：种新运算，并将集合语言融入，来让学生证明结合率，使得问题变得新颖，有创意，能力要求较高.解：（1）要证明，若a，b∈S，则a*b∈S，即证明：当-1<A<1，-1<B<1时，有-1<<1成立，也就是证（）<1成立.此式易用作差比较法证明（证明略）.（2）两次用条件中的公式a*b=分别得：（a*b）*c=*c==a*（b*c）=a*==所以有（a*b）*c=a*（b*c）.三、推理方法的应用例4：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则？摇？摇？摇？摇.”分析：此题主要是考查对勾股定理的实质性类比，类比是高等数学中最为基本的推理方法，从类比推理的方法和规律来看，应将由线段长度到三角形面积的升维类比，过渡到由指数的二次向指数的三次转变，可得结论是S+S+S = S，但恰恰相反，此结果是错误的.特别的，直三棱锥A-BCD的三条直棱AB、AC、AD的长度均为1，显然有S=S=S=，S=，而（）+（）+（）≠（），但（）+（）+（）=（），所以有S+S+S = S.对于得到S+S+S=S这个结果的学生来说，不是因为他们的类比推理能力差，而是其在推理过程中缺少检验和修正的环节.。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学是数学中最基础的部分，包括了基本的算术、代数、几何等方面。
初等数学主要让学生掌握基本的数学知识和思维，培养逻辑思维和抽象思维能力。
而高等数学则是在初等数学基础上进一步发展成熟起来的，包括微积分、线性代数、数学分析、复函数论等方面。
初等数学和高等数学之间存在一定的距离，需要有适当的桥梁来构建两者之间的联系和衔接。
下面就是我对初等数学和高等数学之间有效衔接的几点看法：首先，初等数学和高等数学在学习方式和思维方法上的差异较大。
初等数学更强调的是对数学方法的掌握和运用，强调具体的实际问题与解决方法之间的联系。
而高等数学则更多地强调数学方法的理论性、抽象性和严谨性，旨在培养学生的数学思维和分析能力。
因此，我们需要通过深度的学习、反思和实践，逐渐理解和掌握数学的本质和普适性，从而在初等数学和高等数学之间进行顺畅的转换。
其次，初等数学和高等数学之间的联系和衔接主要体现在共性与差异上。
虽然两者之间存在一定的差异，但在很多基本概念和方法上仍然是相通、相互关联和互为基础的。
例如，高等数学中的微积分和初等数学中的函数及其变化率、导数等都有密切关系，并共同构成了数学知识结构的重要组成部分。
最后，有效的初等数学和高等数学衔接需要实现“以点带面”的理念，注重综合性和系统性。
我们需要重视数学知识之间的交叉与整合，通过大量的实例、题目、练习等形式，帮助学生将初等数学和高等数学的内容融会贯通，从而进一步推动数学能力的提高。
在实践中，我们可以通过以下几种途径实现初等数学和高等数学之间的有效衔接：首先，加强数学基础，掌握好初等数学的基本概念、方法和技巧，为高等数学的深入学习和掌握打下坚实的基础；其次，学习高等数学时注重理论性，掌握数学方法的本质和普适性，避免只停留在应用层面；第三，注重实践和实例，通过实际问题的应用和解决，巩固理论知识，并提升数学思维和能力；最后，加强对数学科学发展的认知、对数学学科的价值和重要性的认识和理解，从而激发学生学习数学的兴趣和热情。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径1. 引言1.1 初等数学和高等数学的联系初等数学和高等数学在数学领域中扮演着不同但又相互联系的角色。
初等数学是学生在学习数学的最基础阶段所接触到的数学知识，包括算术、代数、几何等内容。
而高等数学则是在大学阶段深入学习数学理论和方法的学科，包括微积分、线性代数、概率论等内容。
虽然初等数学和高等数学的内容有着一定的差异，但它们之间也存在着紧密的联系。
在学习初等数学的过程中，学生打下了数学基础知识和解题方法，为将来学习高等数学奠定了基础。
初等数学中的概念、定理和方法往往是高等数学的基础和前提。
学习初等代数中的方程、不等式、函数等知识，可以为学习高等数学中的微积分和线性代数打下坚实的基础。
初等数学中培养的逻辑思维能力和解决问题的能力也是学生在学习高等数学时必不可少的素养。
初等数学和高等数学之间的联系是不可分割的，建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性也逐渐受到人们的重视。
通过巧妙设计教学内容和方法，帮助学生在初等数学和高等数学之间建立起衔接桥梁，可以提高学生学习数学的积极性和效果。
促进初等数学与高等数学的有效衔接也有助于培养学生的数学兴趣和自信心，使他们更好地适应未来的学习和生活。
1.2 建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性在于确保学生在数学学习过程中能够顺利过渡，更好地理解和掌握各种数学概念和方法，避免在学习高等数学时出现知识的断裂和混乱。
初等数学是数学学习的基础，是学生掌握数学思维和解决问题的关键。
而高等数学则需要学生具备扎实的初等数学基础，才能更深入地理解和运用各种数学知识和技巧。
建立初等数学与高等数学有效衔接的重要性还在于促进学生数学素养的全面发展。
通过有效的衔接，学生可以逐步提升数学思维能力、解决问题的能力和创新能力，培养扎实的数学基础和自信心，为将来深造和工作打下坚实的数学基础。
教育工作者和家长都应重视初等数学与高等数学的衔接问题，注重打好数学学习的基础，引导学生建立正确的数学学习观念和方法，从而帮助他们更好地适应高等数学学习的要求，实现数学学科的有机衔接和发展。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学和高等数学是两个紧密相连又有所不同的学科。
初等数学侧重于基本的数学概念和基础知识，高等数学则更注重抽象与理论的深度探究。
学习高等数学需要具备一定的初等数学知识，但两个学科之间的过渡不容易。
为了成功实现初等数学与高等数学之间的有效衔接，下面以以下五个阶段为例进行浅议：第一阶段：数学思维的培养学习初等数学的过程中需要在理解基本数学概念和运算基础上培养数学思维。
这种数学思维能力包括发现模式、合理推断、解决问题和创新思维，加强这些能力对学习高等数学有着很大的帮助。
第二阶段：数学基础知识的强化在初中和高中的数学核心课程中，我们可以学习到大部分数学知识和技能。
这些技能包括代数、几何、三角函数和微积分等方面。
学生可以通过解决问题、示例演练、课堂互动以及教师和同学的帮助来加强对数学基础知识的掌握。
第三阶段：课外拓展与延伸拓展和延伸课程被认为是初等数学到高等数学的桥梁。
通过参加科学竞赛、阅读数学文献、完成独立项目和讨论小组等，学生可以拓展他们对数学思想的理解，在学习开发性任务的过程中，涉及了多个数学部分的知识点，能够有效修补知识的漏洞。
第四阶段：引入几何与代数思想高等数学强调代数与几何思想之间的联系，可以通过引入简单的代数符号和几何图形来帮助学生更好地理解这种关系。
学生应该加强熟悉代数和几何符号的能力和手段，以便更好地理解高等数学中抽象的概念和思想。
第五阶段：交叉学科除了数学自身的知识以外，学生还应该加强与其他学科的交叉学习。
特别是在物理学和计算机科学等领域，数学的应用非常广泛。
学生可以通过跨学科的学习加深对数学的了解，并掌握它们与其他领域的互动关系。
总之，初等数学与高等数学的有效衔接需要学生具备数学思维、掌握基础知识、拓展课外知识、熟悉几何和代数思想、学习交叉学科等技能和手段的培养。
这些阶段是数学学科之间衔接的有效渠道，可以为学生打开通往数学高峰的大门。
高数与初中数学的衔接
高数与初中数学的衔接高等数学（简称高数）是大学数学的重要组成部分，而初中数学则是学生在中学阶段学习的数学内容。
高数与初中数学之间存在着衔接的问题，即高中毕业后学生在进入大学学习高数之前，需要充分理解和掌握初中数学的基本概念和方法。
本文将围绕高数与初中数学的衔接问题展开探讨，并提供一些方法和建议。
一、知识体系的延续高数是建立在初中数学的基础上的，二者有着紧密的联系。
初中数学主要包括代数、几何和概率统计等方面的知识，而高数则是在这些基础上进一步发展和深化。
因此，学生在学习高数之前，应该对初中数学的基本概念和方法有一个扎实的掌握。
在代数方面，初中数学涉及到代数式的展开、因式分解等内容，而高数会进一步引入函数、极限和导数等概念。
在几何方面，初中数学涉及到线、面、体的几何关系等基本概念，而高数则会引入曲线、曲面的研究。
在概率统计方面，初中数学主要涉及到概率的基本计算和统计图表的分析，而高数则会引入连续性随机变量、概率密度函数等进一步的内容。
二、概念的理解与扩展在高数学习中，初中数学中的一些概念会被进一步扩展和深化。
例如，在初中数学中，学生已经学习了函数的概念，而在高数中，学生需要对函数的性质、函数的极限以及导数等进行更深入的研究。
因此，学生在过渡阶段应该将初中数学中的概念进行有效的扩展和理解。
三、方法与思维方式的转变高数与初中数学不仅在内容上存在差异，还在学习方法和思维方式上有所不同。
初中数学注重的是基本概念和基本方法的掌握，而高数则更注重对抽象概念和证明方法的理解。
因此，学生在学习高数之前需要进行方法与思维方式的转变。
在初中数学中，学生通常会通过计算和应用来解决具体问题，在高数中则需要学会运用公式和理论来推导和证明问题。
这对于学生来说是一个挑战，但也是一个成长的机会。
学生可以通过多做习题和参加数学竞赛等活动来提升自己的抽象思维能力和证明能力。
四、培养兴趣与探索精神为了更好地衔接高数与初中数学，学生需要培养对数学的兴趣和探索精神。
例谈中学数学与高等数学之间联系
恒等式的证 明在 中学数学 中是屡见 不鲜的问题，如果用
内容 的教学研 究，使 中学数学 的教 学达 到理 想 的教学效 果． 高等 数学 的方法来证 明恒等式，有 着初等数学无 可比拟 的优
我们可 以通过 以下几 个方面 的例题 ，就会发现 中学数学 与高 势 ．
等数学 间存在 紧密联 系．
例谈 中学数学与高等数学之 间联 系术
广 东省 中山市 民众 中学 （５２８４４１） 陈晓明 杨 良畏
摘 要 中学 数学 教学 内容 是高 等数 学 内容 学 习 的基 础，
例 ２已知 ｆ（ｘ）＝ａｘ。＋ｂｘ ＋ｃｘ（ａ≠０）在 ＝４－１时，
初等数 学相 关题 目，采用 高等数学 解答显得 尤为 轻松．本文 取 的极值且 ｆ（１）： 一１，试求常数 ａ，ｂ，ｃ的值．
一 自然数 ，求证 ：方 程 ＾（ ）·＾＋１（ｚ）＝ ０在 实数域 内有唯
一 实根．
， 在令 ｙ２＝ （ 一 ２）ｅｚ＋ ＋ ２，当
以及 ２００８年 浙江省 大学生高 等数学竞 赛试题第 五题．下 面 解 （分 离 参 数 法 ）由 条 件 司 知 ，ｅ 一 １一 一 ａｘ ≥ ０，
我们具体看看 四川师范大学那 道题 ． 因 为 ｚ ＝ ０时 不 等式 成 立，所 以 只是 考 虑 ｚ ≠ ０时 的情
例５＾（ ）＝ｌ＋ ＋ ＋ ＋…＋山 ＿其中ｎ是任 况，当 ≠ ０时，ｎ ≤ ＿二＝ ，令 ｙｌ： 二 ，则
主要引例说 明中学数学 与高等数学 之间联 系．
解 。， （ ）＝ ３ａｘ。＋２ｂｘ＋ｃ，因为 ＝ 土１为函数极值 点，
关键词 中学数学；高等数学；联系
所 以 ：士１是方程 ， （。）：０的根，即 ３ａｘ ＋２ｂｘ＋ｃ＝０．
浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题
浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题摘要：高中教材中安排了大学数学课程里的一些根本概念、根底知识和思维方法.经过对高中数学的学习，对一些数学知识有一定的了解，后来通过对大学数学的学习，有了更深一层的认识，且知道了高中数学与大学数学的有关问题的联系与区别. 关键词：导数；极限；不等式；联系.1 导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比拟容易地得到结果或找到解题的方向。
1.1 导数的单调性定理1.1 设函数在上连续，在内可导如果在内，那么函数在上单调增加；如果在内，那么函数在上单调减少.例1-1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设是上的任意两个实数，且，那么由得要使，那么.于是.即时，是增函数；时，是减函数.解法二：令解得；因此，当时，是增函数.再令，解得，因此，当时，是减函数.经过对两种方法的比照，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.2 极限的应用学习极限是从一个“有限〞到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.2.1 数列极限高中我们给出了数列极限的概念：如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.数学分析里也给出了数列极限的概念：定义2.1 设为数列，为有限常数，假设对总存在正整数，使得当时，有那么称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.假设数列没有极限，那么称不收敛或称为发散数列.中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了〞收敛〞这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义来证明高中数列极限中所用的结论.例2-1 证明在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.证明由有即对，那么当时，有.即利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四那么运算法那么.例2-2 假设数列与都收敛，那么和数列也收敛，且.证明设与.根据数列极限的定义，即有有同时有与于是，有即在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.2.2函数极限与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作也可记作当时，也叫做函数在点处的极限.但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.当趋于时函数极限的精确定义：定义2.2 设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或.由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.当趋于时，函数极限精确定义：定义2.3 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数的极限，记作或.函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四那么运算法那么及一些常用结论：运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.例2-5 求的值.解令当时，即故中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四那么运算法那么，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法那么等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.例2-6 求的值.我们先用中学的方法来求解：解=这是中学最根本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利下转第页上接第页用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法那么求解.运用洛必达法那么，有：此题似乎没有表达洛必达法那么的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法那么在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.例2-7 求的值.在中学，我们可以这样求解解原式现在用洛必达法那么解答，可以比拟一下：解由于当时，故是型用洛必达法那么有在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们根本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以到达一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的比照，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.参考文献：【1】同济大学应用数学系主编.高等数学.北京：高等教育出版社，2002. 【2】数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. ―5版.―北京：高等教育出版社.2021.5【3】全日制普通高级中学教科书数学第一册人民教育出版社中学数学室编著【4】洪毅.数学分析[M].广东：华南理工大学出版社，2003.【5】张文琦.浅谈中学数学与大学数学的衔接[J].山西农业大学文理院，2021，1：111-114.。
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x1 + λ x2 y1 + λ y2 a11 x3 − 1 + λ + a12 y3 − 1 + λ = 0, a x − x1 + λ x2 + a y − y1 + λ y2 = 0, 22 3 21 3 1+ λ 1+ λ
∆abc
与
∆ABC
的面积之比为
S ∆ABC = a11a22 − a12 a21 S ∆abc
. 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
一、仿射几何与平面几何
性质1.5 性质1.5 在平面上给定不共线三点
C A、B、
A、 、 B C
及不共线三点
X3 = X1 + λ X 2 1+ λ
和
Y3 =
Y1 + λY2 + x + λ ( a11 x2 + a12 y2 + x0 ) a11 x3 + a12 y3 + x0 = 11 1 12 1 0 , 1+ λ a x + a y + y = a21 x1 + a22 y1 + y0 + λ ( a21 x2 + a22 y2 + y0 ) , 0 21 3 22 3 1+ λ
.
一、仿射几何与平面几何
例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得 S1 = S 2 = S3 = S 4 ？
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届 都有一道不等式. 数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与CMO都有一道不等式 与 都有一道不等式 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜. 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
x + λ x2 = 0, x3 − 1 1+ λ y − y1 + λ y2 = 0, 3 1+ λ
一、仿射几何与平面几何
性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
x1 1 x2 2 x3 y1 1
三点连线，则
y2 1 = 0， 则 y3 1 a21 x1 + a22 y1 + y0 1 a11 x1 + a12 y1 1 = a11 x2 + a12 y2 2 a11 x3 + a12 y3 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3 a21 x1 + a22 y1 1 a21 x2 + a22 y2 1 a21 x3 + a22 y3 1
推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形 (2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形
∆ABC 变到等腰直角 ∆A′B′C ′ 是否有解. ′ ∆ABC 变到等边 ∆A′B′C.
一、仿射几何与平面几何
B．若干应用 例1.1 、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
其中：
a11 a12 ≠0 a21 a22
，即
a11a22 − a21a12 ≠ 0
一、仿射几何与平面几何
性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 性质 说明：一一对应性指的是变换
（1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若
A′、 ′、 ′,总存在一仿射变换把 B C
分别变到
A′ 、 B′ 、C ′
说明：若 A 、B 、C 的坐标分别为
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
， A′、B ′ 、 ′ 的坐标为 C
( X 1 , Y1 ) , ( X 2 , Y2 ) , ( X 3 , Y3 ) ， 则问题化为：在
x1 x2 x3
y1 1 y2 1 ≠ 0 y3 1
和
X 1 Y1 1 X 2 Y2 1 ≠ 0 X 3 Y3 1
的条件下，问关于
a11 , a12 , a21 , a22 , x0 , y0 的方程
X 1 = a11 x1 + a12 y1 + x0 Y =a x +a y + y 21 1 22 1 0 1 X 2 = a11 x2 + a12 y2 + x0 Y2 = a21 x2 + a22 y2 + y0 X 3 = a11 x3 + a12 y3 + x0 Y3 = a21 x3 + a22 y3 + y0
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
参考文献
[1]杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11. [2]何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78. [3]张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月. [4]Albert W．Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]． New York :Academic Press,Inc,1979． [5]王伯英．控制不等式基础[M]．北京：北京师范大学出版社，1990年． [6]张小明.三角形不等式的“B-C”证法．不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月. [7]杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等数学研究，2009年第1期，P.7-16. [8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006. [9]/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82 作者介绍： 作者介绍： 张小明，浙江电大海宁学院数学副教授，校科研督导处主任，安徽大学93届硕士毕业生，全国不等式研究会常务理 事、秘书长，全国初等数学研究会常务理事，《中国初等数学研究》编委.在国内外发表学术论文五十多篇，出版学 术专著两本.
证明：通过仿射变换，把
∆ABC 变成等腰直角三角形（ ∠B = Rt ∠ ），则此时平形四边形ABCD为正方形 ABCD
△AEF、△DFH、△CHG、S△BGE为全等三角形，命题得证.
一、仿射几何与平面几何
例1.2 求证：三角形的三条中线共点.
一、仿射几何与平面几何
y 2 x2 例1.3 求证椭圆 2 + 2 = 1 的面积为 π ab a b
a21 x2 + a22 y2 + y0 1 a21 x3 + a22 y3 + y0 1 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3
a22 y1 1 a22 y2 a22 y3