拓扑学基础

不满
3
足定义中条件(3),所以Τ
不是集合
3
X
上的拓扑.
定义
设Τ 1 ,Τ 2 是集合 X 上的两个拓扑.若Τ 1
Τ
,则称
2
拓扑Τ 1小于(或粗于)拓扑Τ 2 ,并称拓扑Τ 2 大于(或细于)拓扑Τ
.
1
在一个集合上的拓扑的粗细关系具有传递性,因此一个集合上
的所有拓扑依粗细关系构成一个偏序集.平凡拓扑是最粗拓扑,离
§１.１ 拓扑,拓扑空间
1
拓扑、拓扑空间的定义有多种等价形式.这里采用比较简洁也是 目前最为流行的方式给出拓扑、拓扑空间的定义.
定义 设 X 是非空集,Τ 是集合 X 的一个子集族,若满足 (1) Ø, X ∈Τ; (2) 若 1, 2∈Τ,则 1∩ 2∈Τ; (3) 若｛ λ|λ∈ ｝∪Τ( ≠Ø),則 ∪ λ∈Τ ,
散拓扑是最细拓扑.
§1.2 拓扑的基与子基 定义 设( X ,Τ )是拓扑空间,B Τ ,若Τ的元素都可表示为B 中某些元素的并,即对于 G ∈Τ ,存在 βG ⊂ B使得 G = ∪ B ,则称B
B∈β G
是拓扑Τ 的基或拓扑基,也称为拓扑空间( X ,Τ )的基或拓扑基,B
3
中的元素称为基开集.
7
定理 1 设( X ,Τ )是拓扑空间,又设 M ⊂ X ,则 M 是开集当且仅当 M
是它的每一点的邻域.即
G ∈Τ ⇔ ∀ x ∈ G , G ∈N x .
定理 2 设( X ,Τ )是拓扑空间,对于 x ∈ X , N x 是点 x 的邻域系,则
(1) 对于任意 x ∈ X , N x ≠ø,并且对于 M ∈N x ,有 x ∈ M ；
Τ 3 =｛Ø,｛ ｝,｛ ｝, X ｝,
则Τ
1 ,Τ
2 都是集合 X 上的拓扑.所以( X ,Τ
)与(
1
X
,Τ
)都是拓
2
扑空间.因为｛
,
｝是Τ
2 －开集,但不是Τ
-开集,所以(
1
X
,Τ
)
1
与( ,Τ
)是两个不同的拓扑空间,虽然它们的基础集相同.由于
2
｛
｝,｛
｝∈Τ
,｛
3
｝∪｛
｝=｛
,
｝
Τ
3 ,因此Τ
则称 是集合 上的度量, ( x, y )称为 与 y 之间的距离,( , ) 称为度量空间, 称为度量空间( , )的基础集.在不致引起混淆 时,简称 为度量空间.
定义 设( , )是度量空间, ∈ ,对于给定的实数ε＞0,集 合 Bρ (a,ε ) ={ ∈ | ( , )＜ ＝
称为以 为中心,ε为半径的球形邻域或开球,简称为点 的球形邻 域或开球.在不致混淆时,记作
例 4 设 X 是非空集,记
2
Τ =｛G | X - G 是 X 的有限子集｝∪｛Ø｝,
则 Τ 是集合 X 上的拓扑,称为集合 X 上的余有限拓扑,拓扑空间
( X ,Τ )称为余有限拓扑空间.
例 5 设 X =｛ , , ｝,
Τ 1 =｛Ø,｛ ｝, X ｝,
Τ 2 =｛Ø,｛ ｝,｛ , ｝,｛ , ｝, X ｝,
(2)若 M 1, M 2∈N
x ,则 M 1∩ M 2∈N
；
x
(3)若 M 1∈N
x ,则 M ⊂ W ⊂ X ,则W∈N
；
x
(4)若 M 1∈N x ,则存在 G ∈N x , G ⊂ M 使得对于任意 y ∈ G , G ∈N
y.
2. 闭包与导集闭集 定义 设( X ,Τ )为拓扑空间, F ⊂ X ,若 X - F ∈Τ ,则称 F 为( X ,Τ )的
例 1 设( X ,Τ )是任意拓扑空间,则 Τ 就是它的基.
例 2 设 是非空集,记 B ={{ }| ∈ X },
则 B 是集合 X 上的离散拓扑的基.
定理 1 设( X ,Τ )是拓扑空间,B Τ , 则B是拓扑Τ 的基的充
分必要条件是对于任意 G ∈Τ ,任意 ∈ G ,存在 Bx ∈B,使得 ∈ Bx G .
则称点 x 是集合 A的附着点或闭包点; (2)记 A ={ x ∈ X | x 是 A的附着点}(或记作 cl A),
则称 A 为集合 A在( X ,Τ )中的闭包. 定理 4 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X ,则 A = ∩ {F| A ⊂ F , F 是( X ,Τ )的闭集},
8
( ,ε). 定理 1 设( , )是度量空间,则集族 B ={ ( , )| ∈ , ＞0}
是集合 上的一个拓扑的基,称这个拓扑为由集合 上的度量 诱
5
导的拓扑,记作Τ ,也称为度量拓扑. 设( , )是度量空间, Τ 表示由度量 诱导的集合 上的拓
扑,因此( ,Τ )为拓扑空间,并约定:在称度量空间( , )为拓扑 空间时,指的是拓扑空间( ,Τ ).
即 A的闭包 A 是包含 A的最小闭集. 定理 5 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X ,则 A是( X ,Τ )的闭集当且
仅当 A= A . 定理 6 设( X ,Τ )是拓扑空间,又设 A, B 都是 X 的任意子集,则 (1) ∅= ∅, X = X ; (2) A ⊂ A ; (3) A = A ; (4) A ∪ B = A ∪ B . 定义 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X . (1)设 x ∈ X ,若对于点 x 的任意邻域 M 有 M ∩ ( A-{ x })≠ ∅ ,
§1.4 一些重要的拓扑概念
1. 邻域,邻域系 定义 设( X ,Τ )是拓扑空间, a ∈ M ⊂ X ,若存在 G ∈Τ ,使得 a ∈G ⊂ M ,
则称集合 M 为点 a 的邻域.对于 x ∈ X ,点 x 的所有邻域构成的集族称 为点 x 的邻域系,记作 N x .一点的邻域不一定是开集,但开集是它的每 一点的邻域,并称开集为它的点的开邻域.
例 2 设 X ＝｛0,1｝,Τ =｛Ø, ｛0｝, ｛0,1｝｝,则 Τ 是集合 X 上的拓扑,在集合 X =｛0,1｝上赋予这一拓扑的拓扑空间,称为西 尔宾斯基(SieRpinski)空间.
例 3 设 X 是非空集, Τ =P( X )(即 X 的所有子集组成的集族), 则 Τ 是集合 X 上的拓扑,称为集合 X 上的离散拓扑,拓扑空间 ( X ,P( X ))称为离散拓扑空间.
则称点 x 为集合 A的聚点或极限点,也称为凝聚点. (2)记 Ad ={ x ∈ X | x 是集合 A的聚点},
则称 Ad 为集合 A的导集. 定理 7 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X ,则 A = A ∪ Ad . 定理 8 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X ,则 A是( X ,Τ )的闭集当且
诱导相同的拓扑,即 Τ =Τ
则称 与 为集合 上的等价度量. 例 3 设R是实数集,对于任意 x = (x1, x2 ) , y = ( y1, y2 ) ∈R2,记 1( x, y )= { x1 − y1 , x2 − y2 }, 2( x, y )= x1 − y1 + x2 − y2
则 1, 2都是R2上的度量,并且它们与集合R2上的通常度量 是彼 此等价的度量. 即度量 1, 2和 诱导的R2上同一个拓扑.
拓扑空间学习课件
拓扑是英文 Topology 的音译，Topology 一词有时指拓扑，有时 指研究有关拓扑的整个学科。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分 支学科，起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形（拓 扑变换）下保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支。 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支，即一般拓扑学、代数 拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等多个分支。目前，拓扑学的概念、 理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及临近学科的许多领域中， 并且有了日益重要的应用。
λ∈Λ
则称 Τ 为集合 X 上的一个拓扑或拓扑结构,( X ,Τ )称为拓扑空间 (当拓扑自明而无需指明时,也称 X 为拓扑空间),简称为空间, X 称为拓扑空间( X ,Τ )的基础集,Τ 的元素称为( X ,Τ )的开集或 Τ 开集, X 的元素、子集分别称为拓扑空间( X ,Τ )的点,点集.
在 维欧氏空间(R , )中,以球形邻域族 B={ ( , )| ∈R , ＞0} 为基生成的拓扑,称为R 上的通常拓扑或欧氏拓扑,因 维欧氏空 间是拓扑空间,其拓扑就是欧氏度量诱导的拓扑. 2． 可度量化空间 定义 设( ,Τ )是拓扑空间,若存在集合 上的一个度量 使
得Τ 即是由集合X上的度量 诱导的拓扑Τ ( ,Τ )为可度量化空间.
闭集,或 Τ -闭集. 定理 3 设( X ,Τ )是拓扑空间,则( X ,Τ )的闭集有下列性质: (1) X , Ø 都是闭集; (2)有限个闭集的并是闭集; (3)任意个闭集的交是闭集. 定义 设( X ,Τ )是拓扑空间, A ⊂ X . (1)设 x ∈ X ,若对于点 x 的任意邻域 M 有 M ∩ A≠Ø,
根据数学归纳法,由拓扑空间的任意两个开集的交是开集可以 得到,任意有限个开集的交是开集.因此,集合 X 上的拓扑 Τ 即是 集合 X 的一个子集族 Τ,这个子集族 Τ 包含 Ø 与 X ,并且对“有限 交”(即 Τ 的有限个元素的交)、“任意并”(即 Τ 的任意个元素的 并)运算封闭.
例 1 设 X 是非空集,Τ =｛Ø , X ｝,则 Τ 是集合 X 上的拓扑, 称为集合 X 上的平凡拓扑,( X ,Τ )称为平凡拓扑空间.
研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓 扑学，也称为点集拓扑学，是拓扑学的基础。本部分介绍一般拓扑学 的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识。
第一章 拓扑空间及其相关概念
拓扑空间的概念产生于对实直线,欧氏空间以及这些空间上的 连续函数的研究,它是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概 念,给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义,以及它们的 性质.