学案七 等差数列的性质

学案七 等差数列的性质

一、教学目标：

知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

二、教学重点、难点：

重点：等差数列的性质及推导。

难点：等差数列的性质及应用。

三、新课探究与讲解：

1、复习：

①若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则通项公式为：

②a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么A =

2、等差数列的常见性质探究：

（1）、若数列

{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质： ①()d m n a a m n -+=； ②

m n a a n a a d m n n --=--=11； ③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；

④m n m n n a a a +-+=2。

（2）、等差数列的其它性质探究：

①{}n a 为有穷等差数列，按序等距离之和构成等差数列； 即{}n 12n n a a a ++++构成等差数列。

②下标成等差数列且公差为m 的项()

*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。

③若数列

{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数

列。

④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。

四、典型例题：

例１．设{}n a 是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a + 。

变式1：（1）已知{}n a 是等差数列，若45076543=++++a a a a a ,则82a a +=

（2）等差数列{}n a 中，135246+a 105,99a a a a a +=++=，则20a = 例２．三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数；

变式2：四个数成递增等差数列，中间两数之和为2，首末两项的积为-8，求这四个数

例3.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是

变式3：方程（x 2－x +m ）（x 2－x +n ）=0有四个不同的根，且组成公差为

12

的等差数列，则mn 的值是

例4、已知{a n

}为等差数列123456+a 10,13a a a a a +=++=,则222324+a a a +=等于 A.-1 B.1

C.3

D.7

变式4：在等差数列

{}n a 中，135246+a 6,8a a a a a +=++=则 222426+a a a +=

五、课堂小结

六、课后巩固

1．已知等差数列{}n a 中，m ,,n m n a n a m a +===则（ ）

A ．-1

B ．1

C ．0

D ．12

- 2.已知数列{}n a 是等差数列，128,a d a a ≠+≠则（ ）

A ．19a a +

B ．46a a +

C ．52a

D ．135a a a ++

3.等差数列{}n a 中，12505152100+,+a 200,+,+a 2700,a a a a +=+==则d K K （ ）

A ．1

B ．-3

C ．32

D ．32

- 4.若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有（ ）

①{}3n a +，②2{}n a ，③{}1n n a a +-，④{}2n a ，⑤{}2n a n +

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5.若 {}n a 是等差数列，且14745,a a a ++=25839,a a a ++=则369a a a ++=（ ）

A ．39

B ．20

C ．19.5

D ．33

6．在等差数列{}n a 中，已知,,m n m n m a A a B a +-===则

7．等差数列{}n a 中，若2402020114,a a a +==则

8. 若x ≠ y,数列12123x,,,,,,,a a y x b b b y 和各自成等差数列，则2131

a a

b b -=- 9. 等差数列{}n a 中，若23101167+4,a a a a a a ++=+=则

10．设数列{}n a 是等差数列，1231231211,,,288n a

n b b b b b b b ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭又求等差数列的通项n a ；

11.2()23f x x x =--，等差数列{}n a 中，1233(1),,(),2a f x a a f x =-=-= 求：（1）x

（2）n a