学案七等差数列的性质

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等差数列的性质与公式

等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。

一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。

首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。

二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。

2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。

3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。

4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。

5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。

三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。

1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。

(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。

2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。

(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。

3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。

(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。

等差数列的性质

等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

在数学中，等差数列具有许多重要的性质和特点。

本文将从等差数列的定义、通项公式、前n项和以及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解等差数列的性质。

一、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之间的差保持不变。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

二、通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差，可以求得任意一项的数值。

对于等差数列来说，通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。

三、前n项和等差数列的前n项和是指数列中前n个项的和。

使用等差数列的前n项和可以快速计算出数列的和。

对于等差数列来说，前n项和的公式可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sₙ表示前n项和。

四、等差数列的性质1. 共线性：等差数列的图像上的点都在一条直线上，这是等差数列的一个重要特点。

2. 等差性：数列中相邻两项之差保持不变，即每一项与它的前一项之差等于公差d。

这个性质使得等差数列的计算更加简便。

3. 对称性：等差数列以其中间的项为对称轴，对称轴两边的元素之和相等。

4. 递推性：等差数列的每一项可以通过前一项的值加上公差得到。

五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中。

以下是一些常见的等差数列应用场景：1. 增长和衰减问题：等差数列可以应用于描述某一变量的增长或衰减过程，如财富的积累、人口的增长等。

2. 等距离问题：等差数列可以应用于描绘等距离问题，比如车辆在匀速行驶时的位置变化、航空飞行中的高度变化等。

3. 资金管理问题：等差数列可以应用于资金管理问题中，如每月存入固定金额的储蓄计划、还款计划等。

4. 数字排列问题：等差数列可以应用于数字排列问题中，如排队的位置、打印机打印的顺序等。

总结：等差数列作为一种常见的数列形式，在数学和实际生活中都发挥着重要作用。

等差数列的性质与应用

等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每个数字与它前面的数字之差都相等。

它具有很多独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨等差数列的性质以及在数学和现实生活中的应用。

一、等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：1. 公差等差数列的公差是指相邻两项之间的差值。

记为d，公差可以为正、负或零。

公差的大小决定了等差数列的增长趋势，如果公差大，则数列增长得快；如果公差小，则数列增长得慢。

2. 通项公式等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速地找到数列中的任意一项。

通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3. 前n项和我们可以通过求等差数列的前n项和，来得到数列中若干项的总和。

前n项和的公式如下：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和。

二、等差数列的应用1. 数学等差数列在数学中有广泛的应用。

它们可以用来解决各种问题，例如算术运算、图形和数学模型的建立等。

在数学建模中，等差数列可以用来表示各种数量的变化规律，从而帮助我们了解和解决实际问题。

2. 经济学等差数列在经济学中也有很多应用。

例如，我们可以通过等差数列来分析某个经济指标的变化趋势，从而预测未来的发展趋势。

另外，等差数列还可以用来计算复利、折旧等经济学中常见的概念。

3. 物理学在物理学中，等差数列也非常有用。

例如，当我们研究一个物体的运动规律时，可以将其位置与时间建立为等差数列，从而更好地描述和分析物体的运动过程。

此外，等差数列还可以用来解决一些关于波动、振动等问题。

4. 工程学在工程学中，等差数列有时用来分析和计算一些工程问题。

例如，在工程设计中，如果某个参数的变化规律可以用等差数列表示，我们可以通过计算等差数列的通项来得到不同情况下的参数取值，从而更好地指导工程设计和优化。

结论等差数列具有明确的数学定义和重要的性质，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。

等差数列的性质与应用

等差数列的性质与应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，它是一种具有特定规律的数列。

本文将介绍等差数列的性质及其在实际问题中的应用。

一、等差数列的定义等差数列是指具有相同公差的数列。

公差（common difference）是指相邻两项之差的固定值，用d表示。

一般情况下，等差数列的首项用a1表示。

例如，数列1，4，7，10，13是一个等差数列，其公差为3，首项为1。

二、等差数列的性质1. 公差确定等差数列的性质之一是公差确定了数列的规律。

通过公差的取值，可以唯一确定一个等差数列。

2. 通项公式等差数列可以由通项公式来表示。

通项公式（general term formula）用an表示等差数列的第n项，首项为a1，公差为d，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的第n项的数值，而不需要一个一个进行递推。

3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式（sum of the first n terms）是指等差数列的前n项和的计算公式。

设Sn表示等差数列的前n项和，则有Sn =(a1+an) * n / 2。

前n项和公式的应用非常广泛，可以用于计算各种等差数列的和，简化计算过程。

三、等差数列的应用等差数列是数学在实际问题中的重要应用之一，广泛用于各种领域。

1. 财务规划在财务规划中，我们经常需要计算一系列年度投资或者收益的总和。

如果投资或者收益之间存在固定的增长或者减少幅度，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总和。

通过这种方式，可以快速计算出未来的财务状况。

2. 人口统计人口统计学中，经常需要计算一段时间内的人口总数或者增长率。

如果人口每年按照相同的比例增长或者减少，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总数。

这在城市规划、人口迁移研究等领域中具有重要意义。

3. 流程控制在控制工程中，常常需要设计各种流程控制方案。

等差数列的性质教案

第7-8课时【教学题目】§6.2等差数列的性质【教学目标】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式；3.掌握等差数列的前n 项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学内容】1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n 项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学重点】理解等差数列的性质.【教学难点】理解等差数列的性质.【教学过程】一、知识点梳理（一）等差数列的定义1n n a a d +-=；（二）等差数列的递推公式1n n a a d +=+；（三）等差数列的通项公式()11n a a n d =+-；（四）等差数列的前n 项和公式二、新授———等差数列的性质（一）等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；（二）等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；()11.2n n n S na d -=+()12n n n a a S +=（三）等差中项1.如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2．2.等差中项数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a ． 3.等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+．（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项．()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）．（四）等差数列的判定方法1.定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．2.等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．3.数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）．4.数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）．（五）等差数列的证明方法1.定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．2.等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．（六）提醒：1.等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

等差数列的概念、性质(优质课)教案

等差数列的概念、性质（优质课）教案教学目标：教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。

教学过程：1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++−=∈或()12,n n a a d n n N −+−=≥∈2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+− 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+−()11q a a q d =+− 两式相减，得()p q a a p q d =+− 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+−可得()1n a dn a d =+−，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =−=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a −−+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+−（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+−=−+−⨯=−令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =−，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d −≤<−∈∴=− 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==−其中n N +∈设221n n b a =−（1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++−−=−=−==−−−−− 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+−=−+∴==−答案：（1）略（2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a −−==≥+令1n nb a =（1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n b 与{}n a 的通项公式答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列（2）443n a n =− ，34n b n =− 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =−= 求1,a d 答案：15,1a d =−=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =−；由b 为2与c 的等差数列，得4c =− 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a −的值为（） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==−则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =−=∴=−+∴=−+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =−+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =−，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1）求1b 和2b （2）求{}n b 的通项公式（3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列（1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+−−=− 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==−==− （2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n −=+−=−∴===−−=− 则1320n b n =−（3）503132*********b=−⨯=−，设它是{}n a中的第m项，则1004785m−=−，则2011m=，即{}n b中的第503项是{}n a中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．14答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______.答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________．答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项．(3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5，即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。

等差数列的性质总结

等差数列的性质总结等差数列是数学中常见的一种数列。

在等差数列中，每个项之间的差均相等，这个差值称为公差。

等差数列具有许多特性和性质，下面将对其进行总结。

首先，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n个项，a1为第一个项，d为公差。

这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中任意项的值。

其次，等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 +an)，其中Sn为前n项的和。

这个公式可以在求等差数列前n项和时很方便地使用。

等差数列的性质还包括以下几个方面：1. 等差数列中任意三项的中项等于它们的平均数。

对于等差数列中的第m项和第n项，它们的中间项为am+n/2。

例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，中项7 = (1 + 13) / 2 = 7。

2. 等差数列中两项之和等于它们的对称项之和。

对于等差数列中的第m项和第n项，它们的和等于第(m+n)/2项和第(m+n)/2+1项的和。

例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，2+7 = 1+13 = 14。

3. 等差数列中的任意项等于它们的对称项之和的平均数。

对于等差数列中的第m项和第n项，它们的平均数等于第(m+n)/2项。

例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，(2+7)/2 = (1+13)/2 = 7。

4. 等差数列的奇数项和等于偶数项和的一半加上第一个项。

对于等差数列中的第m项和第n项，其中n为奇数，它们的和等于第(n+1)/2项的和加上第一个项。

例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，1+7+13=(3+1)/2 +1 = 11。

5. 等差数列的特殊求和公式。

对于等差数列中的第一个项和公差为1的情况，前n项和等于n(n+1)/2。

例如，数列1, 2, 3, 4, 5的和为5(5+1)/2 = 15。

最后，等差数列广泛应用于数学和实际生活中。

在数学中，等差数列常用于推导与证明其他数学公式和理论。

在实际生活中，等差数列可以用来表示一些具有规律性的变化，如时间序列、成绩排名等。

等差数列的性质

等差数列的性质等差数列是数学中常见的一种数列，它的每个元素与前一个元素之间的差值都相等。

在这篇文章中，我们将讨论等差数列的性质，包括计算方法、公式推导以及应用领域的例子。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差相等。

一般地，等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an是第n项，a1是首项，d是公差，n为项数。

二、等差数列的性质1. 公差d的计算为了计算等差数列的公差，我们可以利用任意两项之间的差值。

例如，已知某等差数列的第3项与第5项分别为8和16，我们可以计算公差d的值：16 - 8 = 8 = 2d因此，公差d=4。

2. 各项之和的计算等差数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项的和。

3. 第n项的计算公式an = a1 + (n-1)d可以用于计算等差数列的第n项。

4. 等差中项的计算等差数列中项指的是位于首项和末项中间的某个项。

我们可以利用以下公式计算中项的值：中项 = (首项 + 末项) / 2三、等差数列的应用举例等差数列在现实生活和数学问题中具有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 数字排列游戏在数字排列游戏中，参与者需要根据等差数列的性质来猜测下一个数字是什么。

通过观察前几项的差值，他们可以推测出公差，进而推测出后续的数字。

2. 财务规划在财务规划中，等差数列可以帮助我们计算未来几年的预算。

例如，如果我们知道每年的支出都以固定的增加速度递增，那么我们可以利用等差数列的性质来计算每年的支出情况。

3. 等差数列和等差平均数等差数列的和以及等差平均数在数学中有重要的应用。

通过计算等差数列的和，我们可以得到一段数列的总和；而等差平均数则是将总和除以项数，得到的是数列的平均值。

四、结论等差数列是一种常见的数学概念，具有明确的计算方法和性质。

通过理解和应用等差数列的性质，我们能够更好地解决实际问题并进行数学推导。

等差数列的概念、性质及其应用

等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。

它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。

本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。

一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。

设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。

2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。

3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。

4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。

5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。

三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。

例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。

2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。

例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。

3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。

等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。

通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。

希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。

等差数列的性质与计算

等差数列的性质与计算等差数列是数学中一种常见且重要的数列类型。

它是指一个数列中的每个数字与它的前一个数字之间的差值都是相等的。

本文将介绍等差数列的基本性质，并阐述如何根据已知信息计算等差数列的相关值。

一、等差数列的定义和表示方法在等差数列中，任意一项与其前一项之间的差值称为公差，通常用字母"d"表示。

第一项称为首项，通常用字母"a"表示。

等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项。

二、等差数列的性质1. 公差的性质- 公差为正数时，等差数列为递增数列；公差为负数时，等差数列为递减数列。

- 公差的绝对值越大，等差数列的项之间的差距越大。

2. 首项与末项的关系等差数列的首项和末项的关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d当知道等差数列的首项、末项和公差时，可以通过上述公式计算各项的值。

3. 通项公式与项数的关系等差数列的通项公式中的"n"表示项数，通过该公式可以根据项数计算出等差数列的任意一项。

4. 等差数列求和公式等差数列的前n项和可以表示为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和。

三、等差数列的计算实例为了更好地理解等差数列的计算过程，以下为一个具体的实例：已知等差数列的首项为3，公差为5，求该等差数列的前10项和。

解：根据前述的等差数列求和公式，可以计算出该等差数列的前10项和为：S10 = (10/2)(2*3 + (10-1)*5)= 5*(6 + 9*5)= 5*(6 + 45)= 5*51= 255因此，该等差数列的前10项和为255。

四、等差数列在实际应用中的意义等差数列在现实生活中有许多应用。

例如，利用等差数列的性质和计算方法，可以快速准确地计算出一系列数字之间的差值。

在金融领域，等差数列可以用于计算贷款、投资等方面的利息、本金等。

等差数列性质教案

等差数列性质教案2篇等差数列性质教案（一）导语：数学是一门抽象而又具体的学科，它包含了许多重要的概念和性质。

等差数列正是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

本教案将介绍等差数列的性质，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、等差数列的定义1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差相等的数列。

这个相等的差值称为等差数列的公差，用d表示。

2. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，若已知第一项a1和公差d，那么可以通过通项公式an=a1+(n-1)d来求得任意一项的值。

3. 等差数列的常用表示方法：等差数列也可以用{an}或{an}来表示。

二、等差数列的性质1. 常数数列是等差数列的一种特殊情况，其中公差d=0。

对于常数数列{an}=a1，其每一项的值都相等。

2. 等差数列的前n项和公式：等差数列的前n项和Sn是等差数列的前n项的和，可以用公式Sn=n(a1+an)/2来计算。

3. 等差数列的性质之一：等差数列的相邻项之和等于该项前面所有项的和。

即an + an+1 = 2an+2。

4. 等差数列的性质之二：等差数列的中间项等于该项前面和后面项的平均值。

即an = (an-1 + an+1)/2。

5. 等差数列的性质之三：等差数列的任意三项构成一个等差数列。

即an-1, an, an+1是一个等差数列。

三、等差数列的应用等差数列在实际生活中有着广泛的应用，如下所示：1. 计算天数：如果已知某个事件从第一天开始发生，且每天处理的数量保持等差数列增长，我们可以利用等差数列的通项公式来计算到达某个特定天数时的处理数量。

2. 财务管理：等差数列可以应用于财务规划中，如利息计算、还款计划等。

3. 构建模型：等差数列可以用来构建一些数学模型，如人口增长模型、环境污染模型等。

4. 数学推理：等差数列常常出现在数学推理题中，通过观察数列的性质和规律，可以帮助我们解答问题。

综上所述，等差数列是数学中一个重要的概念，具有其独特的定义和性质。

等差数列及其性质

等差数列及其性质等差数列是数学中常见的一种数列，它是指从第二项起，每一项与前一项的差值都相等的数列。

在本文中，我们将探讨等差数列的定义、公式以及一些重要的性质。

一、等差数列的定义和求和公式等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，......，其中a为首项，d为公差。

根据这个定义，我们可以推导出等差数列的求和公式。

设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)二、等差数列的性质1. 公差性质：等差数列的每一项与它的前一项之差都相等，这个差值称为公差。

公差可以是正数、负数或零。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。

通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an为第n项的值。

3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an，可以通过通项公式计算得到。

4. 等差中项：等差数列中两个相邻项的中间项称为等差中项，其值可以通过前一项和后一项之和再除以2来计算。

5. 等差数列的求和：等差数列的求和公式可以用来计算数列中前n 项的和。

这个公式是数列求和的一种常用方法。

6. 等差数列的性质：等差数列的每一项都可以通过前一项和公差来计算，这个性质使得等差数列在数学和应用领域中具有广泛的应用。

三、等差数列的应用举例等差数列在数学和应用领域中有许多重要的应用。

下面我们举几个具体的例子来说明。

1. 成绩排名：某班级的数学成绩按照等差数列排名，第一名是90分，公差是2分，求第n名的成绩。

2. 人口增长：某城市每年的人口增长率按照等差数列递减，首年的增长率为4%，公差是0.5%，求第n年的增长率。

3. 购物优惠：某商场连续n天推出满减优惠，第一天满100元减20元，公差是5元，求第n天的满减金额。

四、结论等差数列是一种常见的数列，其性质包括公差性质、通项公式、求和公式等。

等差数列的应用广泛，可以用于成绩排名、人口增长、购物优惠等方面。

等差数列的性质教案

等差数列的性质教案一、教学目标1.知识目标：了解等差数列的概念、性质及计算方法，掌握等差数列的通项公式和求和公式。

2.能力目标：能够分析等差数列的规律，利用等差数列的性质解决问题。

3.情感目标：培养学生对数列的兴趣，激发学生对数学的探索与思考能力。

二、教学重难点1.教学重点：等差数列的概念、性质及计算方法的学习和掌握。

2.教学难点：等差数列的分析和应用问题的解决。

三、教学过程1.导入新课（10分钟）引入数列的概念，回顾等差数列的定义和前两项的求法。

2.基础知识讲解（20分钟）（1）等差数列的概念：讲解等差数列的定义和特点。

（2）等差数列的通项公式：推导并解释通项公式的含义。

（3）等差数列的前n项和公式：推导并解释前n项和公式的含义。

3.例题引入（15分钟）给学生出一道例题：“一个等差数列的首项是10，公差是3，求第10项的值。

”通过让学生利用通项公式求解，引导学生掌握等差数列的通项公式和计算方法。

4.锻炼训练（20分钟）出一些类似的例题让学生在黑板上解答，并进行讲解。

5.巩固练习（20分钟）完成课后练习题，加深学生对等差数列的理解和掌握。

6.拓展延伸（10分钟）引导学生思考如何利用等差数列的性质解决实际问题，如何应用等差数列在生活中。

四、教学手段1.板书：绘制等差数列的概念、通项公式和前n项和公式。

2.多媒体演示：通过多媒体展示等差数列的相关例题和计算过程。

3.互动讨论：引导学生参与课堂讨论，积极提问和回答问题。

五、教学资源1.教材：提供教学内容和例题。

2.多媒体设备：展示教学内容和例题。

3.黑板、彩笔：辅助板书。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对等差数列的概念、性质和计算方法有了一定的认识和掌握。

课堂上的例题练习和讲解，培养了学生的分析和解决问题的能力。

同时，学生的主动参与和互动讨论，提高了教学效果。

在下节课中，将进一步引导学生应用等差数列的性质进行拓展和延伸。

等差数列教案(多篇)

一、等差数列的定义1. 导入：引导学生回顾数列的概念，进而引出等差数列的定义。

2. 讲解：等差数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

3. 举例：给出几个等差数列的例子，让学生观察并找出它们的公差。

4. 练习：让学生练习判断一些数列是否为等差数列，并找出它们的首项和公差。

二、等差数列的通项公式1. 导入：引导学生思考如何表示等差数列的任意一项。

2. 讲解：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 推导：引导学生利用等差数列的定义和通项公式，推导出前$n$ 项和的公式。

4. 练习：让学生运用通项公式计算等差数列的任意一项，以及求前$n$ 项和。

三、等差数列的性质1. 导入：引导学生思考等差数列有哪些性质。

2. 讲解：等差数列的性质有：①首项和末项的平均值等于中项；②相邻两项的差等于公差；③前$n$ 项和的公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。

3. 举例：给出一些等差数列，让学生观察并运用性质进行判断。

4. 练习：让学生运用等差数列的性质解决问题，如求等差数列的中项、判断两个数列是否为等差数列等。

四、等差数列的应用1. 导入：引导学生思考等差数列在实际问题中的应用。

2. 讲解：等差数列在实际问题中的应用举例：①计算等差数列的前$n$ 项和；②求等差数列的通项公式；③解决与等差数列相关的实际问题，如工资增长、人口增长等。

3. 举例：给出一些实际问题，让学生运用等差数列的知识进行解决。

4. 练习：让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资总额、预测人口增长等。

五、等差数列的综合练习1. 给出一些关于等差数列的练习题，让学生独立完成。

2. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答疑惑。

3. 总结本节课所学内容，强调等差数列的定义、通项公式、性质和应用。

等差数列的性质

等差数列的性质应用：
例4、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。
解：Sn、S2n - Sn、S3n - S2n 为等差数列
S3n - S 2n = 125 S3n = 225
等差数列的性质应用：
例5、若 an 、bn 为等差数列，前n项
和分别为 Sn、Tn
则证明： an = S 2n-1
求 S24
解： a1 + a24 = a5 + a20 = a10 + a15
a1 + a24 = 1 故 s24 = 12
等差数列的性质应用：
例2、已知等差数列an 的前10项之和
为140，其中奇数项之和为125 ，求第6项。
解：由已知 a1 + a2 + + a10 = 140
a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 125
则 a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 15 5a6 = 15 故 a6 = 3
等差数列的性质应用：
例3、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 - S偶 = 中间项
得中间项为11 又由 S奇 + S偶 = 143 得 n =13
bn
T2 n-1
证明：右= S2n-1 = a1 + a2n-1
T2 n -1
b1 + b2n-1
= an =左
bn
等差数列的性质应用：
例如：设 Sn 、Tn 分别是两个等差
数列 an 和 bn 的前n项和，

初中数学教案：等差数列与通项公式

初中数学教案：等差数列与通项公式等差数列与通项公式一、引言等差数列作为初中数学中的重要内容，是学习数列与函数的基础。

它能帮助学生理解数列的定义和性质，培养学生的思维能力和推理能力。

本教案将以等差数列与通项公式为主题，详细讲解概念、性质以及应用，并提供相应的教学方法。

二、概念与性质1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的各项之间的差值都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，第n项表示为an，通常表示为an=a+(n-1)d。

学生首先需要熟悉等差数列的概念以及基本符号的含义。

2. 等差数列的性质等差数列有以下几个重要性质：（1）公差d的作用：公差决定了等差数列中每一项的值与其前一项的差值。

（2）首项a的作用：首项决定了等差数列中每一项的值与公差之间的关系。

（3）通项公式的推导：通过观察等差数列的特点，可以推导出等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。

三、等差数列的应用1. 求和公式等差数列的和可以通过求和公式来计算，即Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn表示等差数列的前n项的和。

学生需要通过具体例子来理解求和公式的运用，同时要能够应用公式进行求和计算。

2. 应用实例等差数列的应用非常广泛，在数学和现实生活中都有很多实例。

例如，计算机中的算法、金融领域中的利息计算、建筑中的等距离控制等都能够用到等差数列的知识。

通过应用实例，学生能够将等差数列与实际问题联系起来，提高问题解决能力。

四、教学方法与策略1. 由浅入深的教学法在教学中，可以先从简单的数列开始，逐步引入等差数列的概念和性质。

首先引导学生观察和发现等差数列的规律，然后引入通项公式和求和公式的概念和运用。

2. 理论与实践相结合的教学法除了讲解等差数列的公式和性质，还需要提供大量的例题和实践活动，让学生通过实际的计算和问题解决来加深对等差数列的理解。

例如，可以设计一些情境题，让学生将等差数列应用到实际生活中。

3. 合作学习的教学法在教学中可以采用分组合作的方式，让学生在小组内相互讨论、合作完成练习或解决问题。

等差数列的性质总结

等差数列的性质总结等差数列是数学中常见的一种数列，其中的每个数与前一个数的差都相等，该差值被称为公差。

等差数列具有一些特性和性质，本文将对这些性质进行总结。

1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每个数与前一个数之差都相等的数列。

假设数列的首项为a1，公差为d，则第n个数项可以表示为an = a1 + (n-1)d。

2. 等差数列的通项公式对于等差数列而言，我们可以通过首项和公差来计算任意项。

等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。

3. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a1 + an)。

4. 等差数列前n项和的推导过程我们可以通过推导来得到等差数列前n项和的公式。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

首先，我们可以将等差数列按照从首项到第n项的顺序排列如下：a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n-1)d接下来，我们将这些项与相应的首项a1相加，得到：a1+a1+d+a1+2d+…+a1+(n-1)d根据加法的结合律，可以将上式简化为：n a1 + (1+2+…+(n-1))d我们知道1+2+…+(n-1)是等差数列的前n-1项和，可以使用前n-1项和公式来表示。

即：n*a1 + ((n-1)/2)((n-1)d)将上式整理一下，得到：n a1 + (n-1)d/2这就是等差数列前n项和的公式。

5. 等差数列的性质5.1 通项公式的推导由于等差数列具有公差的性质，我们可以通过递推的方式得到通项公式。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，要推导第n个数项an的公式。

首先，我们可以得到前两项的差值：a2 - a1 = d。

进一步，我们可以得到第三项与前两项的差值：a3 - a2 = d。

继续以此类推，我们可以得到第n个数项与前n-1个数项的差值：an - a(n-1) = d。

将上述等式整理一下，得到：an = a(n-1) + d由此可以看出，等差数列的通项公式可以通过递推得到，并且与公差d有关。

学案七 等差数列的性质

等差数列的性质与公式

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等差数列的性质与应用

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