离散数学第一章

命题公式及其赋值
本章的主要内容
1命题与联结词 命题 命题的符号化
2命题公式及其赋值 命题公式 公式的赋值和真值表
陈寅
2016-2017
华南师范大学
命题与联结词
命题公式及其赋值
命题
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命题（proposition）：判断结果唯一的陈述句； 命题的真值：判断的结果； 真值的取值：真与假； 真值为真的命题称为真命题； 真值为假的命题称为假命题。 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题； 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题。
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命题与联结词
命题公式及其赋值
离散数学 2016.02-2017.01
第1章
命题逻辑的基本概念
陈寅Leabharlann Baidu
计算机学院
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参考书目
数理逻辑（A Mathematical Introduction to Logic） Herbert B. Enderton 沈复兴，陈磊，孙运传译 面向计算机科学的数理逻辑（第二版） ，陆钟万著
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命题与联结词
命题公式及其赋值
蕴涵：例子 1
设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化： (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服。 p→q (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服。 p→q (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷。 p→q (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服。 q→p (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服。 q→p (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷。 p→q (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服。 q→p (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候。 q→p
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陈寅
p: 吴颖用功。 q: 吴颖聪明。 r: 张辉是三好学生。 s: 王丽是三好学生。 t: 张辉与王丽是同学。
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命题与联结词
命题公式及其赋值
合取：例子
将下列命题符号化： (1) 吴颖既用功又聪明。 (2) 吴颖不仅用功而且聪明。 (3) 吴颖虽然聪明, 但不用功。 (4) 张辉与王丽都是三好学生。 (5) 张辉与王丽是同学。
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命题公式及其赋值
命题：例子
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4 是素数。 √ 5 是无理数。 x > y，其中 x 和 y 是任意两个数。 火星上有水。 2050 年元旦下大雪。 大于 4 的偶数等于两个素数之和。 √ π 大于 2 吗？ 请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！ 我正在说假话。
(1) (2) (3) (4) (5)
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命题公式及其赋值
命题的复合：例子
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√ p: 2 是有理数 q: 2 是素数 r: 2 是偶数 s: 3 是素数 t: 4 是素数 √ 2 是有理数是不对的 2 是偶素数 2 或 4 是素数 如果 2 是素数，则 3 也是素数 2 是素数当且仅当 3 也是素数
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命题与联结词
命题公式及其赋值
命题：例子
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4 是素数。 √ 5 是无理数。 x > y，其中 x 和 y 是任意两个数。 火星上有水。 2050 年元旦下大雪。 大于 4 的偶数等于两个素数之和。 √ π 大于 2 吗？ 请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！ 我正在说假话。
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非p q并且r q或者t 如果q，则s q当且仅当s
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命题与联结词
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联结词：否定
否定（negation） 设 p 为命题, 复合命题“非 p”(或“p 的否定”) 称为 p 的 否定式, 记作¬p, 符号 ¬ 称作否定联结词, 并规定 ¬p 为真 当且仅当 p 为假。 √ 例如：p: 2 是有理数，则： √ ▶ ¬p: 2 是有理数是不对的 √ ▶ ¬p: 2 不是有理数
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命题公式及其赋值
命题的复合：例子
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√ p: 2 是有理数 q: 2 是素数 r: 2 是偶数 s: 3 是素数 t: 4 是素数 √ 2 是有理数是不对的 2 是偶素数 2 或 4 是素数 如果 2 是素数，则 3 也是素数 2 是素数当且仅当 3 也是素数
p 1 0
¬p 0 1
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命题公式及其赋值
联结词：合取
合取 (conjunction) 设 p, q 为两个命题, 复合命题“p 并且 q”(或“p 与 q”) 称为 p 与 q 的合取式, 记作p ∧ q, ∧ 称作合取联结词, 并规 定 p ∧ q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真。
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p∧q p∧q q ∧ ¬p r∧s t
p: 吴颖用功。 q: 吴颖聪明。 r: 张辉是三好学生。 s: 王丽是三好学生。 t: 张辉与王丽是同学。
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命题与联结词
命题公式及其赋值
联结词：析取
析取 (disjunction) 设 p，q 为两个命题, 复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析 取式, 记作p ∨ q, ∨ 称作析取联结词, 并规定 p ∨ q 为假当且 仅当 p 与 q 同时为假。 自然语言中的“或”具有二义性 ▶ 相容或：联结的命题具有相容性； ▶ 排斥或：联结的命题具有排斥性。 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p∨q 1 1 1 0
▶
▶ ▶
若 p 就 q；只要 p 就 q, p 仅当 q； 只有 q 才 p；除非 q 才 p。
p q 1 1 1 0 0 1 0 0
p→q 1 0 1 1
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命题公式及其赋值
蕴涵：例子 1
设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化： (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服。 (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服。 (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷。 (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服。 (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服。 (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷。 (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服。 (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候。
▶
简单命题的符号化：
▶ ▶
t：张晓静是江西人； u：张晓静是安徽人；
▶ ▶
排斥或，这两个简单命题本身具有排斥性； 符号化：(t ∧ ¬u) ∨ (¬t ∧ u) 或 t ∨ u。
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联结词：蕴涵
蕴涵 (implication) 设 p，q 为两个命题，复合命题“如果 p，则 q”称作 p 与 q 的蕴涵式，记作p → q，并称 p 是蕴涵式的前件，q 为蕴 涵式的后件，→ 称作蕴涵联结词. 规定：p → q 为假当且 仅当 p 为真 q 为假。 p → q 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件； ▶ p 和 q 之间可以没有任何内在联系； ▶ “如果 p，则 q”有很多的表述方法：
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命题公式及其赋值
析取：例子
将下列命题符号化： (1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。 (2) 张晓静只能挑选 202 或 203 房间。 (3) 张晓静是江西人或安徽人。
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命题公式及其赋值
析取：例子
将下列命题符号化： (1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。 (2) 张晓静只能挑选 202 或 203 房间。 (3) 张晓静是江西人或安徽人。
▶
简单命题的符号化：
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p：张晓静爱唱歌； q：张晓静爱听音乐；
▶ ▶
相容或，两个命题可以同时成立； 符号化：p ∨ q。
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析取：例子
将下列命题符号化： (1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。 (2) 张晓静只能挑选 202 或 203 房间。 (3) 张晓静是江西人或安徽人。
是，假命题 是，真命题 否，真值不唯一 是，真假未知 是，真假未知 是，真假未知 否，疑问句 否，祈使句 否，感叹句 否，悖论
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本章的主要内容
1命题与联结词 命题 命题的符号化
2命题公式及其赋值 命题公式 公式的赋值和真值表
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合取：例子
将下列命题符号化： (1) 吴颖既用功又聪明。 (2) 吴颖不仅用功而且聪明。 (3) 吴颖虽然聪明, 但不用功。 (4) 张辉与王丽都是三好学生。 (5) 张辉与王丽是同学。
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命题公式及其赋值
合取：例子
将下列命题符号化： (1) 吴颖既用功又聪明。 (2) 吴颖不仅用功而且聪明。 (3) 吴颖虽然聪明, 但不用功。 (4) 张辉与王丽都是三好学生。 (5) 张辉与王丽是同学。
▶
可以描述合取联结词的自然语言
“既……又…… ” 、 “不但……而且…… ” ▶ “虽然……但是…… ” ▶ “一面……一面…… ”
▶ ▶
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p∧q 1 0 0 0
▶
分清简单命题与复合命题，不要 见到“与”或“和”就使用合取
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命题与联结词
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命题的符号化
命题分类： ▶ 不能被分解成更简单的命题称为简单命题或原子命题; ▶ 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题。 (1) (2) (3) (4) (5) √ 2 是有理数 2 是素数 2 是偶数 3 是素数 4 是素数
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命题公式及其赋值
命题逻辑：第 1 章到第 3 章
命题逻辑 基本概念 等值演算
全称量词 ∀，存在量词 ∃
一阶逻辑
命题与连接词 等值式 可满足性问题
公式及赋值 范式，完备集
推理理论
自然推理系统
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命题的符号化：简单命题
▶
用小写字母表示简单命题，例如：
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p, q, r, . . .； p1 , p2 , . . . pi , . . . , pn−1 , pn ，其中 i, n 为正整数；
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用 “1” 表示真，“0” 表示假； √ p: 2 是有理数 q: 2 是素数 r: 2 是偶数 s: 3 是素数 t: 4 是素数
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命题的符号化
命题分类： ▶ 不能被分解成更简单的命题称为简单命题或原子命题; ▶ 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题。 (1) (2) (3) (4) (5) √ 2 是有理数是不对的 2 是偶素数 2 或 4 是素数 如果 2 是素数，则 3 也是素数 2 是素数当且仅当 3 也是素数
本章的主要内容
1命题与联结词 命题 命题的符号化
2命题公式及其赋值 命题公式 公式的赋值和真值表
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本章的主要内容
1命题与联结词 命题 命题的符号化
2命题公式及其赋值 命题公式 公式的赋值和真值表
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命题公式及其赋值
蕴涵：例子 2
设 p：3 + 3 = 6，q：雪是白的，将下列命题符号化，并指 出其真值： (1) 如果 3 + 3 = 6，则雪是白的。 (2) 如果 3 + 3 ̸= 6，则雪是白的。 (3) 如果 3 + 3 = 6，则雪不是白的。 (4) 如果 3 + 3 ̸= 6，则雪不是白的。
▶
简单命题的符号化：
▶ ▶
r：张晓静挑选 202 房间； s：张晓静挑选 203 房间；
▶ ▶
排斥或，两个命题只能有一个成立； 符号化：(r ∧ ¬s) ∨ (¬r ∧ s)。
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命题公式及其赋值
析取：例子
将下列命题符号化： (1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。 (2) 张晓静只能挑选 202 或 203 房间。 (3) 张晓静是江西人或安徽人。