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多元线性回归
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.2 多元回归参数的估计
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§5.2 多元回归参数的估计
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§5.4 回归方程的显著性检验
在一元线性回归中，回归系数显著性的t检验与回归方 程显著性的F检验是等价的，而在多元线性回归中，这 两种检验不同。
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§5.4 回归方程的显著性检验
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§5.3 参数估计量的性质
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§5.3 参数估计量的性质
性质4 Gauss-Markov定理
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多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法之青柳念文创作摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响.例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利钱等多种因素的影响，表示在线性回归模子中的诠释变量有多个.这样的模子被称为多元线性回归模子.多元线性回归的基来历根基理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当费事，一般在实际中应用时都要借助统计软件.这里只先容多元线性回归的一些基本问题.但由于各个自变量的单位能够纷歧样，比方说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教导程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是分歧的，因此自变量前系数的大小其实不克不及说明该因素的重要程度，更简单地来讲，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想法子将各个自变量化到统一的单位上来.前面学到的尺度分就有这个功能，详细到这里来讲，就是将所有变量包含因变量都先转化为尺度分，再停止线性回一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，在现实问题研究中，因变量的变更往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，这就是多元回归亦称多重回归.当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所停止的回归分析就是多元性回归. 设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模子为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模子时，为了包管回归模子具有优良的诠释才能和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈紧密亲密的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不该高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定.多元性回归模子的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数.以二线性回归模子为例，求解回归参数的尺度方程组为解此方程可求得b0,b1,b2的数值.亦可用下列矩阵法求得即多元线性回归分析预测法多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模子停止预测的方法.当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析.多元线性回归模子的检验多元线性回归模子与一元线性回归模子一样，在计算出回归模子之后，要对模子停止各种检验.多元线性回归模子的检验方法有：断定系数检验（R 检验），回归系数显着性检验（T检验），回归方程显着性检验（F检验）.1、断定系数检验.多元线性回归模子断定系数的定义与一元线性回归分析近似.断定系数R的计算公式为： R = R接近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度紧密亲密；R接近于0标明Y与X1， X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不紧密亲密.2、回归系数显着性检验.在多元回归分析中，回归系数显着性检验是检验模子中每一个自变量与因变量之间的线性关系是否显着.显着性检验是通过计算各回归系数的t检验值停止的.回归系数的t检验值的计算公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是回归系数的尺度差.在多元回归模子中，某个变量回归系数的t检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在显着的线性相关关系，在回归分析时便可以将该变量删去，或者根据情况作适当的调整，而后用剩下的自变量再停止回归分析.3、回归方程的显着性检验.回归方程的显着性检验是检验所有自变量作为一个整体与因变量之间是否有显着的线性相关关系.显着性检验是通过F检验停止的.F检验值的计算公式是：F（k ，n－k－1）= 多元回归方程的显着性检验与一元回归方程近似，在此也不再赘述.回归方程的显着性检验未通过能够是选择自变量时遗漏了重要的影响因素，或者是自变量与因变量间的关系是非线性的，应重新建立预测模子.多元线性回归预测模子的公式多元线性回归预测模子一般公式为：多元线性回归模子中最简单的是只有两个自变量（n=2）的二元线性回归模子，其一般形式为：下面以二元线性回归分析预测法为例，说明多元线性回归分析预测法的应用.二元线性回归分析预测法，是根据两上自变量与一个因变量相关关系停止预测的方法.二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1，x2：两个分歧自变量，即与因变量有慎密接洽的影响因素.a，b1，b2：是线性回归方程的参数.a，b1，b2是通过解下列的方程组来得到.(2) 多元线性回归模子预测的精准度多元线性回归模子暗示一种地理现象与别的多种地理现象的依存关系，这时别的多种地理现象共同对一种地理现象发生影响，作为影响其分布与发展的重要因素.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存在着线性回归关系，它的n个样本观测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采取最小二乘法对上式中的待估回归系数β0，β1，…，βm停止估计，求得β值后，即可操纵多元线性回归模子停止预测了.计算了多元线性回归方程之后，为了将它用于处理实际预测问题，还必须停止数学检验.多元线性回归分析的数学检验，包含回归方程和回归系数的显著性检验.多元线性回归模子的精度，可以操纵剩余尺度差来衡量.S越小，则用回归方程预测Y越切确；反之亦然.总结多元线性回归模子因为其操纵简单方便，预测能到达一定精准度，已经在我国的社会迷信、自然迷信的各个范畴发挥了宏大作用.该模子还可以应用于经济学、生物学、心理学、医疗卫生、体育、农业、林业、商业、金融等各个范畴.。
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
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cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
预测算法之多元线性回归
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
用方程形式，残差平方和可以表示为
E S S u i 2 Y i Y ˆ i2 Y i ˆ 0 ˆjX ij2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到：
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变 ，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间 关系的联合假设。
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式 为：
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真 正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零 。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达为 样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的关 系为线性的。
例：CD函数 Ye0X1 1X2 2eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u
即比：较：YY *= 0e+0X 1X1 11 *X +2 2 2X 2*u +u
不同数学函数的性质
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同,但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件.这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平,而这些影响因素(自变量)的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说,同样工资收入,如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能,具体到这里来说,就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归,此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度.这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2，…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1，2,…，k ）称为回归系数(regression coefficient).上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i，X2i ，…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数(partial regression coefficient)多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化,在现实问题研究中,因变量的变化往往受几个重要因素的影响,此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
多元的线性回归
多元线性回归模型一、多元线性回归模型的一般形式设随机变量y 与一般变量p x x x ,,,21 的线性回归模型为：εββββ+++++=p p x x x y 22110写成矩阵形式为：εβ+=X y 其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X 212222********* ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p ββββ 10 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n εεεε 21 二、多元线性回归模型的基本假定1、解释变量p x x x ,,,21 是确定性变量，不是随机变量，且要求n p X r a n k <+=1)(。
这里的n p X rank <+=1)(表明设计矩阵X 中自变量列之间不相关，样本容量的个数应大于解释变量的个数，X 是一满秩矩阵。
2、随机误差项具有0均值和等方差，即：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≠====),,2,1,(,,0,),cov(,,2,1,0)(2n j i j i j i n i E j i i σεεε 0)(=i E ε，即假设观测值没有系统误差，随机误差i ε的平均值为0，随机误差iε的协方差为0表明随机误差项在不同的样本点之间是不相关的（在正态假定下即为独立），不存在序列相关，并且具有相同的精度。
3、正态分布的假定条件为：⎩⎨⎧=相互独立n i ni N εεεσε ,,,,2,1),,0(~212，矩阵表示：),0(~2n I N σε,由该假定和多元正态分布的性质可知，随机变量y 服从n 维正态分布，回归模型的期望向量为：βX y E =)(；n I y 2)var(σ= 因此有),(~2n I X N y σβ 三、多元线性回归方程的解释对于一般情况含有p 个自变量的回归方程p p x x x y E ββββ++++= 22110)(的解释，每个回归系数i β表示在回归方程中其他自变量保持不变的情况下，自变量i x 每增加一个单位时因变量y 的平均增加程度。
regression analysis 公式
regression analysis 公式
回归分析（Regression Analysis）是一种统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它的主要目标是通过建立一个数学模型，根据自变量的变化来预测因变量的值。
回归分析中最常用的公式是简单线性回归模型的形式：
Y = α + βX + ε
其中，Y代表因变量，X代表自变量，α和β分别是截距和斜率，ε是随机误差项。
回归分析的目标是找到最佳拟合线（最小化误差项），使得模型能够最准确地预测因变量的值。
除了简单线性回归，还存在多元线性回归模型，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型的公式可以表示为：
Y = α + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε
其中，X₁，X₂，...，Xₚ代表不同的自变量，β₁，β₂，...，βₚ代表各自变量的斜率。
通过回归分析，我们可以得到一些关键的统计指标，如回归系数的估计值、回归方程的显著性等。
这些指标可以帮助我们判断自变量对因变量的影响程度，评估模型的拟合优度。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、社会科学、市场研究等。
它能够揭示变量之间的关联性，为决策提供可靠的预测结果。
总之，回归分析是一种重要的统计方法，通过建立数学模型来研究变量之间的关系。
通过分析回归方程和统计指标，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。
这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数（regression coefficient)。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
多元线性回归模型
多元线性回归模型1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理 多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 + u t , (1.1)其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
)1(21)1(110)(111222111111)1(21111⨯⨯-⨯---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡T T k k k T k T TjT k j k j T Tu u u x x x x x x x x x y y yβββ (1.3)Y = X β + u , (1.4)为保证得到最优估计量，回归模型（1.4）应满足如下假定条件。
假定 ⑴ 随机误差项u t 是非自相关的，每一误差项都满足均值为零，方差 σ2相同且为有限值，即E(u ) = 0 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 , V ar (u ) = E(u ˆu ˆ' ) = σ 2I = σ 2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10000001假定 ⑵ 解释变量与误差项相互独立，即 E(X 'u ) = 0假定 ⑶ 解释变量之间线性无关。
rk(X 'X ) = rk(X ) = k 其中rk (⋅)表示矩阵的秩。
假定⑷ 解释变量是非随机的，且当T → ∞ 时T – 1X 'X → Q其中Q 是一个有限值的非退化矩阵。
最小二乘 (OLS) 法的原理是求残差（误差项的估计值）平方和最小。
代数上是求极值问题。
min S = (Y - X βˆ)' (Y - X βˆ) = Y 'Y -βˆ'X 'Y - Y ' X βˆ +βˆ'X 'X βˆ= Y 'Y - 2βˆ'X 'Y + βˆ'X 'X βˆ (1.5)因为Y 'X βˆ是一个标量，所以有Y 'X βˆ = βˆ'X 'Y 。
多元线性回归模型(5)
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki i
• j也被称为偏回归系数，表示在其他解释
变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单 位时，Y的均值E(Y)的变化;
• 或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的
“直接”或“净”（不含其他变量）影 响。
16
埋伏笔：三变量模型参数的OLS估计量是随 机变量
第八章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验
1
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
2
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解 释变量有多个。
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
11
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
SS((ˆˆS00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1iX1ˆiˆ22i XXˆ222ii
TSS
TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增 加一个解释变量， R2往往增大（Why?)。这是 因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加 而减少，至少不会增加。
34
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即 可。—— 但是，我们不能这样做。这是因为，在R2的定义中 R2=ESS/TSS并没有考虑到自由度。 因此，比较相同被解释变量，但不同个数解释变量的两个回归模 型的R2，就像是拿苹果和桔子比较（不具有可比性）。校正（或 调整）后的判定系数可以对相同被解释变量、不同解释变量（个 数不同）的两个回归模型进行比较。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。
这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数（regression coefficient)。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
回归分析法计算公式
回归分析法计算公式回归分析是一个统计方法，用于建立变量之间的关系模型，并通过该模型预测一个或多个自变量对应的因变量的值。
回归分析方法通常基于最小二乘法，通过寻找使得预测值和实际值之间的误差平方和最小的参数估计。
以下是回归分析中常用的计算公式及其含义：1.简单线性回归模型：简单线性回归模型可以用来分析一个自变量和一个因变量之间的关系。
它的数学形式如下：Y=β₀+β₁X+ε其中，Y是因变量，X是自变量，β₀和β₁是回归系数，ε是误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型可以用来分析多个自变量和一个因变量之间的关系。
它的数学形式如下：Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+...+βₚXₚ+ε其中，Y是因变量，X₁,X₂,...,Xₚ是自变量，β₀,β₁,β₂,...,βₚ是回归系数，ε是误差项。
3.最小二乘法：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于确定回归系数的值。
它通过最小化残差平方和来估计回归系数，使得预测值和实际值之间的差异最小。
4.残差：残差是实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
在最小二乘法中，残差被用来评估模型的拟合程度，残差越小表示模型与实际值越接近。
5.回归系数的估计：回归系数可以通过最小二乘法估计得到。
简单线性回归模型的回归系数β₀和β₁的估计公式如下：β₁=∑((Xi-Xₚ)(Yi-Ȳ))/∑((Xi-Xₚ)²)β₀=Ȳ-β₁Xₚ其中，Xi和Yi是样本数据的自变量和因变量观测值，Xₚ和Ȳ分别是自变量和因变量的样本均值。
6.R²决定系数：R²决定系数用来衡量回归模型对因变量变异程度的解释能力，它的取值范围在0到1之间。
R²的计算公式如下：R²=1-(SSR/SST)其中，SSR是回归平方和，表示模型对因变量的解释能力；SST是总平方和，表示总体变异程度。
以上是回归分析常用的一些计算公式，通过这些公式可以计算回归系数、残差、决定系数等指标，用于评估回归模型的拟合程度和预测能力。
多元线性回归模型
多元线性回归模型（1）模型准备多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，用于解释被解释的变量与其他多个变量解释变量之间的线性关系。
其数学模型为：上式表示一种 p 元线性回归模型，可以看出里面共有 p 个解释变量。
表示被解释变量y 的变化可以由两部分组成：第一部分，是由 p 个解释变量 x 的变化引起的 y 的线性变化部分。
第二部分，是要解释由随机变量引起 y 变化的部分，可以用 \varepsilon 部分代替，可以叫随机误差，公式中的参数都是方程的未知量，可以表示为偏回归常数和回归常数，则多元线性回归模型的回归方程为：（2）模型建立首先在中国A股票市场中，根据各指标与估值标准 y 的关联度来选取变量，选取指标为：年度归母净利润 x_{1} 、年度营业收入 x_{2} 、年度单只股票交易量 x_{4} 、年度单只股票交易量金额 x_{6} 。
有如下表达式为：其中 y 是因变量， x_{1}，x_{2}，x_{4}，x_{6} 是自变量，α为误差项，b_{1},b_{2},b_{4},b_{6} 为各项系数。
（3）中国A股票市场模型求解运用SPSS软件，运用多元线性回归方程可以得出如下：下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.976，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们F 的值值为1.794，显著性概率p 为0.004小于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
下表给出模型常数项和自变量系数，并对系数统计显著性进行检验，常数项的值为2.618，显著性为0.002，统计比较显著，其它指标的显著性都小于0.005，故该模型比较准确。
故得出中国A股市场中的估值水平与这四个指标的线性关系为：（4）美国NASDAQ市场模型求解下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.862，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们 F 值为15.081，显著性概率 p 为0.005等于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归得计算方法摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量得影响。
例如,家庭消费支出，除了受家庭可支配收入得影响外,还受诸如家庭所有得财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素得影响，表现在线性回归模型中得解释变量有多个。
这样得模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归得基本原理与基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多,计算相当麻烦,一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归得一些基本问题。
ﻫ但由于各个自变量得单位可能不一样,比如说一个消费水平得关系式中,工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素(自变量)得单位显然就就是不同得,因此自变量前系数得大小并不能说明该因素得重要程度，更简单地来说,同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得得回归系数要小,但就就是工资水平对消费得影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一得单位上来。
前面学到得标准分就有这个功能,具体到这里来说,就就就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到得回归系数就能反映对应自变量得重要程度。
这时得回归方程称为标准回归方程,回归系数称为标准回归系数,表示如下:Ｚy＝β1Ｚx1＋β２Zｘ2+…+βkＺxkﻫ注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a了，因为各自变量都取平均水平时,因变量也应该取平均水平,而平均水平正好对应标准分０,当等式两端得变量都取0时,常数项也就为0了。
多元线性回归模型得建立多元线性回归模型得一般形式为Yi=β０＋β１X1ｉ＋β2X２i+…+=1,2,…,n其中 k为解释变量得数目，=(ｊ=1，2,…，ｋ)称为回归系数(regress ｉon coeffｉｃｉeｎｔ)。
上式也被称为总体回归函数得随机表达式。
它得非随机表达式为E（Y∣X１i,X2i,…Xkｉ,)=β０+β1X１i+β２X２i+…+βｋXkiβｊ也被称为偏回归系数(pａrtｉａl ｒeｇｒession ｃｏｅfficient)多元线性回归得计算模型一元线性回归就就是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量得变化,在现实问题研究中,因变量得变化往往受几个重要因素得影响，此时就需要用两个或两个以上得影响因素作为自变量来解释因变量得变化,这就就就是多元回归亦称多重回归。
多元线性回归模型公式
多元线性回归模型公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21），n a ,...,2,1=。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3.2.11）式中：k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。
如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为=k k x b x b x b b ++++...22110（3.2.12）式中：0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。
偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3.2.13）有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2.15）方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。
12多元线性回归
第十二章多元线性回归一、多元线性回归方程回归方程的形式为：为在一组自变量时，应变量的估计值；b 0为常数项，b 1, b 2, ..., b m 为偏回归系数。
01122ˆm mY b b X b X b X =++++ ˆY第一节多元线性回归由于存在抽样误差，即使总体回归系数等于SS /残差残差S S其中分母为标准误。
三、实例例12-2为了研究影响糖尿病患者糖化血红蛋白（HbA1c ）的主要危险因素，研究者收集糖尿病患者的糖化血红蛋白（Y ，%）、年龄（X 1，岁）、体重指数(X 2，kg/m 2)、总胆固醇(X 3，mmol/L )、收缩压(X 4，mmHg )和舒张压（X 5，mmHg ）等数据资料。
现从中随机抽取了20例，数据见表12-1，试作多元线性回归分析。
平有统计学义，15多元线性回归分析中，当自变量较多时,有些自变量之间可能相关，存在信息重叠和共线的问题；通常情况下，更希望将有统计学意义的自变量引入回归方程，以使方程更简单，容易解释，有利于揭示其他自变量的作用；自变量筛选方法主要有三种，分别为向前选择法（forward selection ）、向后选择法（backward elimination ）和逐步选择法（stepwise selection ）；第二节多元逐步回归结合专业知识进行判断。
1.应用条件•连续性变量•残差服从正态分布，方差相同•应变量的观测值相互独立2.样本含量多元线性回归时，应该注意样本含量n与方程中自变量个数m 的比例，经验上n 至少应是m 的5～10倍。
第三节多元逐步回归3.定性变量的数量化•二分类定性变量处理方法可以用0或1表示，如•多分类定性变量处理方法：如果有k 类，则可用k -1个取值为0或1的哑变量来赋值表达。
•有序变量处理方法：可以按“1、2、3、…”的赋值方法直接引入回归模型。
如果样本量较大，也可化作哑变量引入回归模型。
1,1,= =0,0,男性女性或女性男性X X ⎧⎧⎨⎨⎩⎩4.多重共线性当自变量间存在较强的线性关系时，会使多元回归方程中的参数估计不准确，影响多元线性回归分析的结果。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法之杨若古兰创作摘要在实际经济成绩中，一个变量常常受到多个变量的影响.例如，家庭花费收入，除了受家庭可安排收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种身分的影响，表示在线性回归模型中的解释变量有多个.如许的模型被称为多元线性回归模型.多元线性回归的基来源根基理和基本计算过程与一元线性回归不异，但因为自变量个数多，计算相当麻烦，普通在实际中利用时都要借助统计软件.这里只介绍多元线性回归的一些基本成绩.但因为各个自变量的单位可能纷歧样，比方说一个花费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等身分都会影响到花费水平，而这些影响身分（自变量）的单位明显是分歧的，是以自变量前系数的大小其实不克不及说明该身分的次要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对花费的影响程度并没有变，所以得设法子将各个自变量化到统一的单位上来.前面学到的尺度分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包含因变量都先转化为尺度分，再进行线性回归，响身分作为自变量来解释因变量的变更，这就是多元回归亦称多重回归.当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归. 设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每添加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每添加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相干时，可用二元线性回归模型描述为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x2每添加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相干时，可用二元线性回归模型描述为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模型时，为了包管回归模型具有良好的解释能力和猜测后果，应首先留意自变量的选择，其原则是：(1)自变量对因变量必须有明显的影响，并呈密切的线性相干；(2)自变量与因变量之间的线性相干必须是真实的，而不是方式上的；(3)自变量之彰应具有必定的互斥性，即自变量之彰的相干程度不该高于自变量与因变量之因的相干程度；(4)自变量应具有完好的统计数据，其猜测值容易确定.多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在请求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数.以二线性回归模型为例，求解回归参数的尺度方程组为解此方程可求得b0,b1,b2的数值.亦可用以下矩阵法求得即多元线性回归分析猜测法多元回归分析猜测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相干分析，建立猜测模型进行猜测的方法.当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析.多元线性回归模型的检验多元线性回归模型与一元线性回归模型一样，在计算出回归模型以后，要对模型进行各种检验.多元线性回归模型的检验方法有：判定系数检验（R 检验），回归系数光鲜明显性检验（T检验），回归方程光鲜明显性检验（F检验）.1、判定系数检验.多元线性回归模型判定系数的定义与一元线性回归分析类似.判定系数R的计算公式为： R = R接近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度不密切.2、回归系数光鲜明显性检验.在多元回归分析中，回归系数光鲜明显性检验是检验模型中每个自变量与因变量之间的线性关系是否光鲜明显.光鲜明显性检验是通过计算各回归系数的t检验值进行的.回归系数的t检验值的计算公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是回归系数的尺度差.在多元回归模型中，某个变量回归系数的t检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在光鲜明显的线性相干关系，在回归分析时就可以将该变量删去，或者根据情况作适当的调整，而后用剩下的自变量再进行回归分析.3、回归方程的光鲜明显性检验.回归方程的光鲜明显性检验是检验所有自变量作为一个全体与因变量之间是否有光鲜明显的线性相干关系.光鲜明显性检验是通过F检验进行的.F检验值的计算公式是：F（k ，n－k－1）= 多元回归方程的光鲜明显性检验与一元回归方程类似，在此也不再赘述.回归方程的光鲜明显性检验未通过可能是选择自变量时漏掉了次要的影响身分，或者是自变量与因变量间的关系是非线性的，应从头建立猜测模型.多元线性回归猜测模型的公式多元线性回归猜测模型普通公式为：多元线性回归模型中最简单的是只要两个自变量（n=2）的二元线性回归模型，其普通方式为：上面以二元线性回归分析猜测法为例，说明多元线性回归分析猜测法的利用.二元线性回归分析猜测法，是根据两上自变量与一个因变量相干关系进行猜测的方法.二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1，x2：两个分歧自变量，即与因变量有紧密联系的影响身分.a，b1，b2：是线性回归方程的参数.a，b1，b2是通过解以下的方程组来得到.(2) 多元线性回归模型猜测的精准度多元线性回归模型暗示一种地理景象与另外多种地理景象的依存关系，这时候另外多种地理景象共同对一种地理景象发生影响，作为影响其分布与发展的次要身分.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存在着线性回归关系，它的n个样本观测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采取最小二乘法对上式中的待估回归系数β0，β1，…，βm进行估计，求得β值后，即可利用多元线性回归模型进行猜测了.计算了多元线性回归方程以后，为了将它用于解决实际猜测成绩，还必须进行数学检验.多元线性回归分析的数学检验，包含回归方程和回归系数的明显性检验.多元线性回归模型的精度，可以利用剩余尺度差来衡量.S越小，则用回归方程猜测Y越精确；反之亦然.总结多元线性回归模型因为其操纵简单方便，猜测能到达必定精准度，曾经在我国的社会科学、天然科学的各个领域发挥了巨大感化.该模型还可以利用于经济学、生物学、心思学、医疗卫生、体育、农业、林业、商业、金融等各个领域.。
多元线性回归
变量的数目，修正的多元判定系数的计算
公式可表示为
Ra2 1
1 R2
n 1 n k 1
12.2.2 估计标准误差
是对误差项ε 的方差σ 2 的一个估计值，用于衡量多元 回归方程的拟合优度
2
se
MSE
SSE n k 1
yi yi n k 1
• 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即 ε~N(0,σ2)，且相互独立
多元线性回归方程
•
描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 …，xk的方程称为多元线性回归方程
x1，
x1
，
• 多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 +
2 x2 +…+ k xk
12.1.2 估计的多元回归方程
总体回归参数 0 , 1 , 2 , , k 是未知的，利用样本数据去估 计。用样本统计量 ˆ0 , ˆ1 , ˆ2 , , ˆk 代替回归方程中的未知参数 0 , 1 , 2 , , k 即得到估计的回归方程
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆk xk
乎所有的回归系数t检验却不显著 3. 回归系数的正负号与预期相反 4. 方差扩大因子
• 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
• 自变量个数的增加会影响到因变量中被估 计的回归方程所解释的变差数量。当增加 自变量时，预测误差会变小，SSE变小，从 而使得SSR=SST-SSE变大，R2在统计上不显 著的情况下也会变大。
• 为避免R2被高估，需要用自变量的数目去修
正R2的值。用n表示观察值的数目，k表示自
第12章 多元线性回归
12.1 多元线性回归模型
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二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（
y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ），
a 1,2,..., n 。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：
y
a 0 1
x
1a 2
x
2 a
...
k
x
ka a
（）
式中：
0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。
如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为
?=
b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k
（）
式中：
b 0 为常数；
b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。
偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j
i ）都固定时，自变量 x i 每变
化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，
i （ i
0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i
0,1,2,..., k ）应该使
n
2
n
2
Q
y a y a
y a
b 0
b 1 x
1a
b 2 x
2a
...
b k x ka min （）
a 1
a 1
有求极值的必要条件得
Q
n
2
y a y a
b 0
a
1
（）
Q n
2
y a
y a x
ja
0( j
1,2,..., k)
b j
a 1
将方程组（）式展开整理后得：
n n n n
nb 0 (
x 1a )b 1 (
x 2a )b 2 ... ( x ka )b k
y a
a 1 a 1
a 1
a 1
n
n
n
n
n
( x 1a )b 0 ( x 12a )b 1 (
x 1a x 2a )b 2 ...
( x 1a x ka )b k
x 1a y a
a 1
a 1 a 1
a
1 a 1 n
n n
n
n
（）
(
x 2a )b 0 (
x 1a x 2a
)b
1
( x 22a )b 2 ...
(
x 2 a x ka
)b
k
x 2a y
a
a 1
a
1 a
1
a
1
a 1
...
n n
n
n
x ka 2 )b k n
(
x ka )b 0 ( x 1 a x ka )b 1
( x 2a x ka )b 2
... (
x ka y a
a
1
a
1
a
1
a
1
a 1
方程组（）式，被称为正规方程组。
如果引入一下向量和矩阵：
则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式
Ab B （ 3.2.15 ’）
求解（ 3.2.15 ’）式可得：
b
A 1
B (X T X ) 1 X T Y （）
如果引入记号：
则正规方程组也可以写成：
L 11b 1 L 12b 2 ... L 1k b k L 1 y
L 21b 1
L 22
b
2
... L 2k
b k
L
2 y
............
（ 3.2.15 ’’）
L k 1
b 1
L k 2
b
2
...
L kk
b k
L
ky
b 0 y b 1 x 1 b 2 x 2 ... b k x k
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。
与前
面的一元线性回归分析一样，因变量
y 的观测值 y 1, y 2 ,..., y n 之间的波动或差异，是由两个因
素引起的， 一是由于自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的取之不同， 另一是受其他随机因素的影响而引起的。
为了从 y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将的离差平方和 S T 或（ L yy ）分解成两个部分，即回归平方和 U 与剩余平方和 Q ：
y
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有
k 个自变量对 y 的变差的总影响，它可
以按公式
计算，而剩余平方和为
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。
它们所代表的意义也相似，即
回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。
不过，在多元线性回
归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U 的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于n k 1 ，所以F统计量为：
当统计量 F 计算出来之后，就可以查 F 分布表对模型进行显著性检验。