晶体的对称原理
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第二篇 几何结晶学
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合 第三章：晶体所有可能的对称组合 第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义 上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假” 宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作 一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶 体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对
称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复 的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
1.1 宏观对称要素
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他
旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。
B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A’
-a O
aA
2/n n 2/n
B’
B
证明
A’
-a O
aA
B' B ma 2 OB cos 2 2a cos 2
n
n
2/n n 2/n
m cos 2
2
n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B’
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
对称元素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X Y
a11 x a 21 x
a12 a22
y y
a13 a23
z z
Z a31x a32 y a33 z
对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis)
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
对称中心—C 操作为反伸(演)。只可能在晶体中 心，只可能一个。
反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其 中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基
说点题外话，在市场上，商家听到“这颗 红宝石是不是真的”这种问题，就会知道 顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
转角 ，关系为：
n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分 布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种， 不可能出现n = 5， n > 6的情况。
对称元素
对称中心
点
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次
六次
直线和直线上的定点
对称变换 对于点的倒反 对于平面反映 绕直线旋转和点的倒反
基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
360° C 1
独立
·或C
180° P m
独立
双线或粗线Βιβλιοθήκη Baidu
120° Li3 3
L3+C
90° Li4 4
独立
60° Li6 6 L3+P
一次旋转反伸轴Li1
极射赤平投影图
Li 1= C
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
Li 6= L3P
值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其 它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
一次
360° L1 1
独立
对称轴
二次
三次
四次
直线
围绕直线的旋转
180° 120° 90°
L2
L3
L4
2
3
4
独立
独立
独立
六次
60° L6 6
独立
对称元素符号 宏观晶体的宏观对称要素
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合 第三章：晶体所有可能的对称组合 第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义 上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假” 宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作 一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶 体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对
称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复 的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
1.1 宏观对称要素
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他
旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。
B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A’
-a O
aA
2/n n 2/n
B’
B
证明
A’
-a O
aA
B' B ma 2 OB cos 2 2a cos 2
n
n
2/n n 2/n
m cos 2
2
n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B’
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
对称元素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X Y
a11 x a 21 x
a12 a22
y y
a13 a23
z z
Z a31x a32 y a33 z
对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis)
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
对称中心—C 操作为反伸(演)。只可能在晶体中 心，只可能一个。
反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其 中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基
说点题外话，在市场上，商家听到“这颗 红宝石是不是真的”这种问题，就会知道 顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
转角 ，关系为：
n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分 布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种， 不可能出现n = 5， n > 6的情况。
对称元素
对称中心
点
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次
六次
直线和直线上的定点
对称变换 对于点的倒反 对于平面反映 绕直线旋转和点的倒反
基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
360° C 1
独立
·或C
180° P m
独立
双线或粗线Βιβλιοθήκη Baidu
120° Li3 3
L3+C
90° Li4 4
独立
60° Li6 6 L3+P
一次旋转反伸轴Li1
极射赤平投影图
Li 1= C
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
Li 6= L3P
值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其 它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
一次
360° L1 1
独立
对称轴
二次
三次
四次
直线
围绕直线的旋转
180° 120° 90°
L2
L3
L4
2
3
4
独立
独立
独立
六次
60° L6 6
独立
对称元素符号 宏观晶体的宏观对称要素