晶体的对称原理

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晶体的对称性

对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一种重要方式。人们习惯于将事物进行对称性的分类、比较和思考，从而更好地理解和把握事物的本质和内在规律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。科学家们利用对称性原理探索自然界的奥秘，解决各种复杂的科学问题。工程师们则利用对称性设计各种结构，提高产品的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变换下保持不变的性质。在晶体学中，对称性是指晶体在空间变换下保持不变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对称操作是指将晶体进行刚性旋转、平移、反演等变换后仍能恢复原状的操作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常见的晶体分类包括立方晶系、四方晶系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性，晶体的对称性与其内部原子或分子的排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用

《结晶学与矿物学》-第二章-八-晶体的对称特点和晶体的对称定律

八、晶体的对称特点与晶体的对称定律
晶体对称的特点：
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的（这种对称叫平移对
称）。

2）晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。

3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。

由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。

晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。

为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网（即不能形成平行四边形），且不能毫无间隙地铺满整个空间,
即不能成为晶体结构。

思考：三角形、六边形可以形成面网吗？
2、数学的证明方法：
t’ = mt
t’= 2tsin(α-90)+ t = -2tcos α + t 所以，mt = -2tcos α + t
2cos α = 1- m
cos α = (1 - m)/2
-2 ≤ 1 - m ≤ 2 m = -1,0,1,2,3
相应的α ＝ 0 或2 π ， π /3, π /2， 2 π /3, π，相应的轴次为1，6，4，3，2。

（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）t t’t t αα。

23晶体的对称性和分类

晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记，是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与平A 行B 的格点

晶体的对称性

晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。

这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。

晶体的对称性是晶体极其重要的性质。

中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。

应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。

由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。

晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。

这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。

晶体的对称性

21
c
开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺地的二维问题来联想一下:
AB = 2acos = n a 由于-1cos1，所以，n = 0，±1，±2 所以，cos = 0，±1/2，±1；得到基转角为90o，180º；60º，120º，360º 对应的旋转轴为 1，2，3，4，6对称轴。
晶体中存在3，6；不存在5，7，8
晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称为晶体的宏观对称性.
32个晶体学点群
将宏观对称元素合理组合得到32个宏子点群与晶体点群的区别：水 C2V 冰 D6h 苯 D6h 苯晶体 D2h
晶体结构的对称性
晶体结构的对称性
晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组直线点阵平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 的轴次只有1、2、3、4、6.

4.5晶体能带的对称性晶体具有对称性,因而晶体中电子的

晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，我们可以参照理解。
一、平移对称性 En (k ) En (k G h )
Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电子波函数位相的变化。如果 k 改变一个倒格矢量，它们所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是说 k 和 k+Gh 是等价的。从这点出发我们也可认为 En(k) 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含了晶体能带的所有必要信息。
r
由于晶体在所属点群操作T(α)下保持不变。
引入点群对称操作T(α)，对任意函数 f(r)有：
T f (r) f ( 1r)
相当于改变了坐标系
r
r’
首先证明，点群对称操作与Hamiltonian 对易
H 1 2 V r
2m
T Hr
1 2m
2 1r
V
1r
1r
1 2m
2
种表示法称为周期布里渊区图象。
扩展布里渊区
简约布里渊区
二、晶格点群对称性 En (k ) En (k )
为晶体所属点群的任一点对称操作。该式表明能带与晶格有相同的对称性。
证明：设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En(k)：
Hˆ nk (r) En (k) nk (r)
V
r
T
r
HT r

结晶学第三章晶体的对称

3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ，可能的对称型为：（ L1L2=L2 ）； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。

晶体的对称性

x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23

a31
a32
a33

（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演轴这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作（a）n度旋转对称轴

结晶学2晶体的对称

一、对称型
不同晶体的对称程度不同，晶体中存在的对称要素的种类及数目也不同。有的只有一个对称要素单独存在，有的需若干对称要素组合在一起。
在一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为该晶体多面体的对称型。
对称型的书写方法；（1）按高次轴、低次轴、对称面、对称中心的顺序依次书写（2）若晶体存在多个同轴次对称轴或多个对称面时，其个数写在相应的对称要素前面。
二、晶体的对称
表现在晶体中相同的晶面、晶棱、晶角有规律的重复出现。 1、所有晶体都是对称的。（这是由晶体内部的格子
构造决定的）
2、晶体的对称是有限的，晶体的对称是由晶体内部
格子构造决定的，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现
3、晶体对称不仅表现在外形上，还表现在物理化学性质上。（这也是有格子构造决定的，晶体内部
n = 360 / α
（围绕L2旋转晶体重复2次，围绕L3旋转晶体重复3次，围绕L4旋转晶体重复 4次，围绕L6旋转晶体重复6次）
晶体中可能存在对称轴并不是任意的，只可能是1、2、 3、4、6，与轴次相对应的对称轴只能是L1 、L2 、L3 、 L4 、L6，为什么5次轴和高于六次的对称轴不存在呢？
如立方体的对称型为3L44L36L29PC，三方单锥的对称型为L33P。
晶体中对称要素组合受对称规律的控制，因而晶体中存在对称型是有限的，经推导共有32种。
二、晶体的分类
晶类：同一对称型的晶体归为一类，共32个晶
类。
晶族：据高次对称轴数目分高、中、低三个晶
族。低级晶族：无高次轴中级晶族：有一个高次轴高级晶族：有几个高次轴
晶系：据晶族中各晶类所具有的对称要素特点,
进一步把三个晶族分为七个晶系。
第五节空间格子的类型

晶体的对称实验原理

晶体的对称实验原理
晶体的对称实验原理是指在晶体学中用来确定晶体对称元素和确定晶体点群的
一种实验方法。

晶体的对称元素是指晶体中具有对称操作的元素，包括旋转轴、平面镜面、反演中心和滑移面。

晶体学家通过对晶体进行一系列对称实验，可以确定晶体中存在的对称元素，从而确定晶体点群和空间群。

对称实验的具体步骤如下：
1. 测定晶体外形：通过测量晶体的外形和尺寸，可以初步了解晶体的对称性。

2. 测定晶体的物理性质：晶体的物理性质，如光学性质、电学性质等，与晶体的对称性有关。

通过测定这些物理性质，可以推断晶体的对称元素。

3. 观察晶体的X射线衍射图样：通过观察晶体的X射线衍射图样，可以得到晶体的间距、面索引和晶体的对称元素。

4. 观察晶体的旋转显微镜图样：通过旋转显微镜观察晶体在不同旋转角度下的图样，可以确定晶体的旋转轴、反演中心和滑移面。

5. 测定晶体的点群和空间群：通过以上实验结果，可以确定晶体的点群和空间群。

这些对称实验原理和方法在晶体学中起着重要的作用，对于研究晶体的物理性质、结构和应用都具有重要意义。

第一章晶体的对称性

第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。

不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。

因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。

这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。

这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。

§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。

实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。

应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。

在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。

1．晶体的宏观对称性。

晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。

如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。

这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。

通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。

描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。

为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。

如花瓣。

●等同图形。

如左右手。

相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。

●对称图形。

由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。

2．对称性。

对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。

晶体的对称性

晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。

例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。

二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。

晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。

1.完全性：所有晶体都具有对称性。

（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。

要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。

三。

对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。

如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。

对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。

四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。

对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。

注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。

2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。

旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。

轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。

二者之间的关系为n = 360°/ α 。

晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。

4、晶体的对称性

第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x

x22

x32

x~
'x'

x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'

x3'

x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能

晶体的宏观对称

最后，请同学们找出几个模型上所有对称要素。
(模型示范)
四、对称要素的组合
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。
定一理半1：) LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3， 4，6这五种，不可能出现n = 5， n 〉6的情况。
为什么呢？直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
在晶体上，对称轴可能存在的位置：
（1）通过晶棱的中点；（2）通过晶面的中心；（3）通过角顶。
二、晶体对称的特点
1. 由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所有的晶体都是对称的。
2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体对称又是有限的。
3. 晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上（光学、力学、热学、电学性质）。
替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。
但易是误，认在为晶L体2。模型上找Li4往往是比较困难的，因为容
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。
**********
对称中心（C）
对点的反伸：通过点直线，点的两侧等距离的两点，可见性
质相同对应点。
对称中心—C

结构化学晶体结构的对称性和基本定理

点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去，将把晶体切分成并置的平行六面体小晶块，每个空间格子对应一个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)

晶体的对称

• 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转。 • 旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称
为轴次(n)；重复时所旋转的最小角度称为基转角(α)；n=360°／α。
.
晶体对称定律
• 晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。
等轴
与本晶系
晶系
对称不符
立方原始格子
立方体心格子
.
F＝I
F＝P 与空间格子条件不符
立方面心格子
㈥、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性质，称为晶体的基本性质。 1、自限性：是指晶体在适当条件
下可以自发地形成几何多面体的性质。 ● 晶体通常被平的晶面所包围，晶面相交成直的晶棱，晶棱汇聚成尖的角顶。
单斜晶系: a≠b≠c；α＝γ＝90°，β≠90°
(c)
斜方晶系: a≠b≠c；α＝β＝γ＝90°
(d)
三方晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β≠90°
(e)
四方晶系: a＝b≠c；α＝γ＝β＝90°
(f)
六方晶系: a＝b≠c；α＝β＝90°，γ＝120°
(g)
等轴晶系: a＝b＝c；α＝γ＝β＝90°
其对称不同于其它物体的对称。晶体的对称具有表里一致性。
.
二、晶体的对称要素和对称操作
• 对称操作：是指欲使物体或图形中相同部
分重复出现的操作。
• 对称要素：在进行对称操作时所凭借的几
何要素（点、线、面）。
1、对称面（P） 2、对称轴（Ln） 3、对称中心（C） 4、旋转反伸轴（Lin） 5、旋转反映轴（Lsn）
◆ 平行六面体—空间格子中的最小单位。

§1.5 晶体的对称性

(3)中心反映：。 (3)中心反映：i。中心反映
(4)镜象反映：。 (4)镜象反映：m。镜象反映
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
三维实例：三维实例：立方晶格
＋中心反演操作（24个）＝48个对称操作。
体对角线C (a)绕立方轴 4： (b)体对角线 3： (c)面对角线 2：（d）不动， a)绕立方轴C ：绕立方轴体对角线面对角线C 面对角线）不动， 4个3度轴；个度轴；度轴个立方轴； 3个立方轴； 6个2度轴；有6 一个对称操度轴；个度轴作。个对称操作。个对称操作。个对称操作。个对称操作。个对称操作共9个对称操作。 8个对称操作。个旋转对称操作。共24个旋转对称操作。个旋转对称操作
( x1 , x2 , x3 ) 变为 (− x1 ,− x2 ,− x3 )
′ x1 − x1 x′ x 2 = − 2 x′ − x 3 3
−1 0 0 A = 0 −1 0 0 0 − 1
A = −1
等腰梯形
不规则四边形
外的任何旋转都不能保持不变，除2 π外的任何旋转都不能保持不变，不存在反演不变的线。不存在反演不变的线。
2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变）几何变换均为正交变换经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为经过某一对称操作，
1− 2cosθ＝m,
2π θ = , n = 1, , , , 2346 n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，，，，度轴度轴。晶体中允许的旋转对称轴只能是，2，3，4，6度轴。

一晶体的宏观对称性

90
立方为什么没有底心呢？
因为假如有底心，将破坏立方的3×C4的对称性，只有1×C4
如图
三方（R）
六方（H）
四方（P）四方（I）
晶胞类型：
晶胞类型：
晶胞类型：
abc
120 90
abc
90 120
abc
90
注：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”
的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
单斜（P）
单斜（C）
三斜（P）
晶胞类型： a b c
90 90
晶胞类型： a b c
90
在这些型式中，其对称性由强到弱的排列顺序为：立方﹥六方﹥三方﹥四方﹥正交﹥单斜﹥三斜
七个晶系的存在及其相互关系
• 三斜单斜正交六方
对称元素国际符号对称操作等同元素或组合成分
1
对称中心
i
倒反
I
反映面(镜面) m
反映
M
2
一重旋转轴二重旋转轴三重旋转轴四重旋转轴六重旋转轴四重反轴
1
旋转
L(0 )
2
旋转
L(180 )
3
旋转
L(120 ) 3 i 3 3 m 6
4
旋转
L(90 )
6
旋转
L(60 )
4
旋转倒反 L(90 )I
2 : L(180 )I M m;
3 : E
L(120 )I;
L(120 ) I
2
L(240 );
L(120 ) 3 I; L(120)I 4 L(120);
L(120)I 5 L(240)I; 3 3 i
同理 6 3 m

晶体有不同的对称性的原因

晶体有不同的对称性的原因
晶体具有不同的对称性是由于晶体中原子或离子在空间中的排列具有特定的几何构型。不同的晶体类型具有不同的对称性，这是因为它们在空间排布上具有不同的规律性和对称性。
例如，离子晶体中离子晶体呈现多面体结构，具有较高的对称性。而金属晶体中的电子可以自由地移动，使得金属晶体具有各向同性的特点。分子晶体的分子间作用力较弱，分子可以自由地移动，因此分子晶体具有各向同性的特点。
此外，晶体的对称性还与晶体的生长条件、晶体结构中的缺陷等因素有关。因此，晶体具有不同的对称性是由于其内部原子或离子的排列规律和结构特点等多种因素的综合作用。

晶体的对称原理

晶体的对称性

《结晶学与矿物学》-第二章-八-晶体的对称特点和晶体的对称定律

23晶体的对称性和分类

晶体的对称性

晶体的对称性

4.5晶体能带的对称性晶体具有对称性,因而晶体中电子的

结晶学 第三章 晶体的对称

晶体的对称性

结晶学2晶体的对称

晶体的对称实验原理

第一章 晶体的对称性

晶体的对称性

4、晶体的对称性

晶体的宏观对称

结构化学晶体结构的对称性和基本定理

晶体的对称

§1.5 晶体的对称性

一晶体的宏观对称性

晶体有不同的对称性的原因

结晶学第三章晶体的对称

第一章晶体的对称性