动点问题最值
动点问题最值
动点问题（最值）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．2.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．3.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时．．从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?* (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．4.如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线2y ax bx =+经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标.。
与最值有关的几何动点问题
与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。
其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。
本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。
二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。
解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。
由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。
根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。
因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。
由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。
根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。
因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。
2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。
解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。
动点问题最值
GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，2，F 为BE 中点.（1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。
动点问题进阶最值微积分
动点问题进阶最值微积分1. 引言动点问题是微积分中的重要内容之一。
最简单的动点问题可以描述为一个物体在直线上的运动，而进阶的动点问题则涉及到曲线、平面或者空间中的运动。
本文将介绍动点问题的一些基本概念和方法，并探讨如何利用微积分求解动点问题中的最值。
2. 动点问题基础知识回顾在解决动点问题之前，我们先回顾一下基础知识。
动点是指在一定时间内在空间中运动的一个物体。
我们通常可以用函数来描述动点的位置，该函数称为位置函数。
对于一维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的函数，记作x(t)；对于二维或三维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的向量函数，记作r(t)。
位置函数的一阶导数表示动点的速度，即v(t)=ddt x(t)或v(t)=ddtr(t)；位置函数的二阶导数表示动点的加速度，即a(t)=d 2dt2x(t)或a(t)=d2dt2r(t)。
3. 动点问题的最值求解方法在动点问题中，我们通常会遇到求解动点轨迹上某一点的最大值或最小值的情况。
这可能涉及到动点的速度、加速度、距离等多个因素。
下面将介绍一些常用的方法来求解这类问题。
3.1 静态分析法静态分析法是最基本的求解最值问题的方法之一。
它通过对位置函数直接进行分析，寻找极值点，并利用极值点附近的性质得出最值点。
静态分析法的基本步骤如下： 1. 找出位置函数在定义域内的导数。
2. 求解导数为零的方程，得到极值点的横坐标。
3. 利用极值点附近的性质判定最值点。
3.2 最值定理最值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在闭区间上必定存在最值点的条件。
对于动点问题，我们可以利用最值定理来求解最值点的横坐标，然后再通过位置函数得到纵坐标。
最值定理主要有两个版本：费马定理和罗尔定理。
费马定理指出，如果函数f(x)在x=a处取得最值点，则f′(a)=0。
罗尔定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
动点问题求最小值的做法思路
动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。
这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。
2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。
这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。
3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。
这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。
4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。
这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。
5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。
这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。
6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。
这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。
7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。
通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。
专题动点问题——线段最值(含答案)
动点问题——线段最值动点问题中，经常要求线段的最值。
首先要弄清动点的运动轨迹，从哪里到哪里，是直线还是曲线，有没有特殊位置；然后根据图形特征找解决问题途径。
一般来说，能找到图中求最值的位置，就按特殊位置的特征求最值；若找不到图中最值的特殊位置，最好建立函数，用函数思想解决最值问题。
一、找到特殊位置，求线段最值（或动点路程）1、(2019泰安)如图，矩形ABCD 中，AB =4,AD =2,E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是。
分析：取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ，则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”，当BP 垂直于MN 时，PB 最小。
作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时，PB 最小。
PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明：从起点到终点，先找出点P 的运动轨迹，再分析最值。
2、(2019宿迁)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1,F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，连接CG ,则CG 的最小值为 分析：点F 在起点B 处时，作等边'EBB ∆,连接'B G ，得射线''B F ,点G 在其上运动。
∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时，CG ⊥'B G ，CG 最小。
（根据“垂线段最短”） 35122CG =+= 3、（2019桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点1A ，连接1A C ,设1A C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。
2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。
4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
(2)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动 ，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是___6_．
专题三 动点或最值问题
动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问 题，常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等．此类题的解题方 法：
1．利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题， 然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．
2．利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面 积)直接转化为函数或方程．
点拨：∵点 A，B 的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，∴BO＝2 3，AO ＝8，由 CD⊥BO，C 是 AB 的中点，可得 BD＝DO＝12BO＝ 3＝PE， CD＝21AO＝4，设 DP＝a，则 CP＝4－a，
延长 BP 交 CE 于 F，当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时， ∠FCP＝∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC＝∠PDB＝90°，∴ △EPC∽△PDB，∴DPEP＝DPCB，即 a3＝4－3a，解得 a1＝1，a2＝3(舍去)， ∴DP＝1，又∵PE＝ 3，∴P(1， 3)
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
动点问题最值
v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．33-2-B．13+C．2D．1提示：点M在以AC为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点AAB 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且227、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。
初中动点最值问题题型
初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。
在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。
这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。
2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。
对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。
因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。
2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。
根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。
四边形动点和最值问题
1. 在平行四边形中，对角线，相交于点，若、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动．（1）四边形是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若，，当运动时间为多少时，以、、、为顶点的四边形为矩形．2. 在矩形中，点是对角线的中点，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达点后就停止运动．（1）若、分别是、的中点，求证：四边形始终是平行四边形．（2）在的条件下，当为何值时，四边形为矩形．（3）若、分别是折线、上的动点，从出发，从出发，与、以相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．3.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快________后，四边形成为矩形．4.如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为________．5.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快多少秒后，四边形成为矩形？6. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．7. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为秒．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8.如图，在矩形中，，，是边上一点，于点，于点，求．9. 在矩形中，，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若，则，，．（1）以、、、为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．（2）当为何值时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形．（3）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．10.如图，直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为________．11.如图，在矩形ABCD中，，点E是AD上一个动点，把沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时，的长为多少？12.如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对称点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．13.如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，求运动过程中，点到点的最大距离．14. 已知，、分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，且保持．（1）如图，以为底边向外作等腰，使，、运动过程中三角形的形状保持不变，求在运动过程中，点到点的最大距离．（2）如图，若以为边，向外作矩形，，那么在运动过程中，点到点的最大距离为________．参考答案1.（1）【答案】见解析【解析】四边形是平行四边形．理由：四边形是平行四边形，，，、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动，，，四边形是平行四边形．【知识点】对角线互相平分、对角线互相平分的四边形是平行四边形【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期261.（2）【答案】见解析【解析】根据题意得：，四边形是平行四边形，当时，四边形为矩形．即或，或，解得：或当运动时间为或时，四边形为矩形．【知识点】对角线相等的平行四边形是矩形、图形与几何分类讨论【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期262.（1）【答案】见解析【解析】证明：四边形是矩形，，，，，，，，分别是，中点，，，，，，在和中，，，，同理：，四边形始终是平行四边形．【知识点】勾股定理、SAS、对边相等、矩形的定义、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（2）【答案】见解析【解析】解：由得：，，四边形是平行四边形，，当时，平行四边形是矩形，，解得：．【知识点】矩形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（3）【答案】见解析【解析】解：连接、、，如图所示：四边形为菱形，，，，，，四边形是菱形，，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，，，即为时，四边形为菱形．但是由于，运动到点后就停止运动，所以应舍去，所以四边形不能为菱形．【知识点】勾股定理、菱形的四条边相等、动点问题、对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期253.【答案】4【解析】解：设最快秒后，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：．【知识点】对边相等、矩形的定义、动点问题【来源】2017山东省东营市广饶县月测试题25； 2015江苏省南通市启东市期中测试4.【答案】或【解析】解：$$\text{∵}$$，，，$$\text{∴}$$，，，当时，则有，即，解得，当时，则有，即，解得，故答案为：或．【知识点】全等三角形对应边对应角相等、四个角都是直角、图形与几何分类讨论【来源】2014江苏省无锡市滨湖区期中测试165.【答案】见解析【解析】解；设最快秒，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：秒．【知识点】矩形的定义、动点问题、四个角都是直角【来源】2015河南省周口市太康县； 2015河南省周口市太康县期末测试6.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等6.（2）【答案】见解析【解析】过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．【知识点】30°锐角的直角三角形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的定义、菱形的四条边相等、菱形的对角线互相垂直平分6.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的对角线相等、菱形的定义7.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（2）【答案】见解析【解析】如图，过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、分别是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．故时，四边形为菱形．【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的对角线互相垂直平分【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市8.【答案】见解析【解析】利用面积法，由即可得．【知识点】矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等、用面积求线段长度9.（1）【答案】见解析【解析】分别过、做，，，点一定在点的左侧，若要以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，则点一定在点右侧，当、点重合时即，，即在左侧时，如图，当时，四边形为等腰梯形，，，所以，(舍)或(舍)，当时，点到达点，停止运动，当时，即点在点左侧，如图分别过，点作，，同理当时，四边形为等腰梯形，，，(舍)或，由可知，当时，四边形为平行四边形，不能为等腰梯形，综上：以、、、为顶点的四边形不能为等腰梯形．【知识点】动点问题、图形与几何分类讨论、矩形的定义、四个角都是直角、等腰梯形定义【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（2）【答案】见解析【解析】当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点与点重合时，由，得，(舍去)．因为，此时点与点不重合．所以符合题意．②当点与点重合时，由，得．此时，不符合题意．故点与点不能重合．所以所求的值为．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、一元二次方程的应用-其它问题【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（3）【答案】见解析【解析】由知，点只能在点的左侧，①当点在点的左侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．②当点在点的右侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．【知识点】对边相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷10.【答案】【解析】解：一次函数中，令，则，令，则，，．轴于点，轴于点，四边形是矩形，且，为定点，在线段上运动，当时，取得最小值，此时最小，，点坐标为，，，由勾股定理得：，，．故答案为：．【知识点】勾股定理、动点问题、一次函数的实际应用-与几何知识相结合、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形【来源】2017浙江省台州市椒江区台州市书生中学期中测试下学期1611.【答案】或【解析】解:过点作，，∴四边形是矩形，平分∴矩形是正方形即或或考点:折叠问题，矩形与正方形的性质【知识点】四个角都是直角、矩形的对角线相等、四条边相等，四个角相等、对角线互相垂直平分且相等、图形翻折【来源】2015江苏省苏州市吴江市吴江市青云中学期中测试上学期2612.【答案】2【解析】解：作于，于，如图，，，，，为等腰直角三角形，，和为等腰直角三角形，，，，四边形为矩形，，，，在中，，在中，，四边形为菱形，，，，(舍去)，的值为．故答案为：．【知识点】勾股定理、直角三角形-等腰直角三角形、矩形的定义、菱形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市鄞州区期中测试下学期1913.【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为：．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2012山东省济南市14.（1）【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接．，．点是边中点，，；连接，，有，当、、共线时，有最大值，最大值是，又为直角三角形，为斜边的中点，，，即．故答案为：．【知识点】三角形的三边关系定理、三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、动点问题【来源】2015山东省青岛市14.（2）【答案】【解析】解:如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为:．学而思网校——智能题库【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2015山东省青岛市第 21 页，共 21 页。
动点问题中的最值问题
动点问题中的最值问题动点问题中的最值问题，听起来是不是有点学术范儿？不过，别担心，今天咱们就像聊家常一样，轻松聊聊这个话题。
想象一下，一个小球在一个平面上自由地滚动，嘿，它的轨迹可能像一条蛇，弯弯曲曲的。
这小球一会儿高一会儿低，正是我们要寻找的“最值”。
说到最值，就是在这条曲线上，哪一点是最高的，哪一点又是最低的。
这就像咱们生活中的起起伏伏，有时候高兴得像个小鸟，有时候又低落得像被压扁的饼干。
我们来看看这个“动点”的概念。
动点就像是你我，都是在不断变化的，瞬息万变。
想象一下，你在操场上奔跑，身边的小伙伴们也是四处跑动，谁快谁慢，谁高谁低，哎，动点问题就是要把这种变化给抓住。
这其中有趣的是，动点的位置和速度总是有关系的。
速度快了，位置就变了，正如我们生活中，抓住机遇的时刻总是稍纵即逝。
所以，要想找到最值，就得对这个动点的路径进行深度剖析，像侦探一样，追踪它的每一个动作。
接着咱们聊聊这个最值问题。
最值就像是人生的巅峰，做的每一个选择都可能导致不同的结果。
有时候我们要爬上高峰，想要达到理想的状态；而嘿，低谷也未必是坏事。
回想一下，考试的时候，复习得特别认真，结果出来后，发现自己意外地得了高分，爽呆了。
但有时候明明准备得很充分，却还是不尽如人意。
最值问题在这里就像一根红线，把我们的经历串联起来，让我们明白如何在这条曲线中找到那个闪光点。
不过，要想在这条动点的曲线上找到最值，得掌握一些小窍门。
得会画图。
对，就是简单的画图。
用纸和笔把动点的轨迹给勾勒出来，像艺术家一样把心中的画卷展现出来。
你会发现，有些地方高得让人咋舌，有些地方则低得令人心痛。
就像在生活中，有些事情让人欢喜，另一些则让人唏嘘。
通过这种方式，我们就能在这幅图中，找出那个“最值”所在。
公式也是不可或缺的。
是的，公式听上去有点乏味，但它们就像调味料，给我们的分析添了不少风味。
比如说，导数的概念，简单来说，就是观察动点在某一点的变化率。
利用导数，我们就能找到那些极值点，找到动点在什么时候达到最高或最低的状态。
初二动点最值问题的常用解法
初二动点最值问题的常用解法
初二动点最值问题是数学中常见的一类问题，常用的解法包括
几何法、代数法和微积分法。
首先，我们来看看几何法。
对于动点最值问题，我们可以通过
几何方法来解决。
例如，如果问题涉及到平面几何中的最短路径或
最大面积等问题，我们可以通过画图、利用几何性质和相似三角形
等方法来求解动点的最值问题。
这种方法相对直观，适用于一些简
单的动点最值问题。
其次，代数法也是常用的解法之一。
对于一些动点问题，我们
可以建立坐标系，引入变量，列方程，然后通过代数运算来求解动
点的最值问题。
例如，对于直线上的动点问题，我们可以设定动点
的坐标，列出相关方程，然后通过代数运算来求解最值。
这种方法
适用于一些需要进行坐标计算的动点最值问题。
最后，微积分法也是解决动点最值问题的常用方法。
通过对动
点轨迹的函数进行微分，找到函数的极值点，可以求得动点的最值。
这种方法适用于一些需要利用导数性质和极值定理的动点最值问题。
综上所述，初二动点最值问题的常用解法包括几何法、代数法和微积分法。
针对不同的问题，我们可以灵活运用这些方法来求解动点的最值问题。
希望这些解法对你有所帮助。
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。
它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。
本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。
二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。
这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。
2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。
2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用空间几何和向量的知识。
三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。
在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。
在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。
3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。
在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。
在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。
3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。
常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。
四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。
通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。
动点问题最值
GFD ABCEA'MCDABNPCB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点得最值，动点在圆上或直线上，就就是点到圆得最近距离，与点到直线得最近距离；三角形两边之与大于第三边得问题，当两边成一直线最大；几条线段之与构成一条线段最小；还有就就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆得最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质就是圆外一点到圆得最大或最小距离，就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边得值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均就是边长为2得等边三角形，点D 就是边BC 、EF 得中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长得最小值就是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径得圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 得边长为2，E 就是边BC 上得动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动得路径长为π；④CG 得最小值为﹣1．其中正确得说法就是 ②③ ．（把您认为正确得说法得序号都填上）提示：G 在以AB 为直径得圆上：正确答案就是：②④3、如图，正方形ABCD 得边长为4cm,正方形AEFG 得边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间得最小距离为 4、如图，在边长为2得菱形ABCD 中，∠A=60°,M 就是AD 边得中点，N 就是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度得最小值就是5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转、CABAAA GDDA E（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明、PBC=∠AB 上，6、如图，△ABC 与△ADE °,AD=1，，F 为BE 中点、（1）求CF 得长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动得路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 得范围、提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 得半径为1，点P 得等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC 中，AE-CE ≤AC AE ∥BC 交⊙O 于E ADE9、AB=4，E 为形外一点，且∠点，求BF 连AC,取DC 中点中点H ，则△FGH ∽△∴12GH AD ==∠DEA=90°，∴点F 在以GH 小距离。
动点最值问题
两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动（将军饮马）此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。
当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。
如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。
可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。
本质：两点之间，线段最短。
【牛刀小试】1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点， P 是直径MN 上一动点，则 PA ＋ PB 的最小值为_________．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。
专题06 立体几何中的动点及最值范围问题(解析版)
专题06 立体几何中动点及最值范围问题题型一、角度、长度最值范围问题（多选）1、设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D B λ=当APC ∠为钝角时，则实数可能的取值是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】AB【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC ⋅<，再解不等式即可得到答案．【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1D A =-，()10,1,1D C =-，()11,1,1D B =-，所以()11,,D P D B λλλλ==-． 又因为()()()11,,1,0,11,,1PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，()()()11,,0,1,1,1,1PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 因为APC ∠为钝角，所以0PA PC ⋅<，即()()()()()()()2111=1310λλλλλλλ--+--+---<，解得113λ<<．故选AB【名师点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题．2、如图，正方体1111ABCD A B C D -，点P 在1AB 上运动（不含端点），点E 是AC 上一点（不含端点），设EP 与平面1ACD 所成角为θ，则cosθ的最小值为（ ）A ．13B ．33C ．53D ．63答案： A 解析：由已知求出AC 的中点1E 与1B 的连线与平面1ACD 所成角的余弦值，在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=，结合选项即可得答案．详解：解：如图，由正方体的性质，可得1B D ⊥平面1AD C ，且1B 在平面1AD C 上的射影O 为△1AD C 的外心．设正方体的棱长为1，则△1AD C 的边长为2， 当1E 为AC 的中点时，11162326OE =-=， 1116122B E =+=，此时11616cos 362OE B ==． 在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=．结合选项可知，cos θ的最小值为13．故选：A ．3、三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．255【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【解析】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1)设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，21sin 15()24PN nPN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大．故选A ． 【名师点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C ．105D ．1116【答案】C【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与EF 的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则1(0,0,0),(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ，1(2,0,2)B C =--，设(),0,0F m ()02m ≤≤，(2,1,0)EF m =--，设异面直线1B C 与EF 的夹角为θ，则1212|||2(2)|cos ||||122(2)1211(2)EF B C m EF B C m m θ⋅-⨯-===⋅⋅-+⋅+-， 异面直线1B C 与EF 所成角最小时，则cos θ最大，即0m =时，210cos 51102141θ===⋅+．故选C ．【名师点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题．5、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的中点．若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在,x y R ∈使1B P xBE yBF =+成立，则点P 的轨迹长度为A ．12B ．1C 5D ．2π 【答案】C【分析】根据向量共面判断出1//B P 平面BEF ，由面面平行得到P 点的轨迹，在直角三角形中求出边长即可．【解析】因为1B P xBE yBF =+成立，所以1B P BE BF 、、共面，即1//B P 平面BEF ， 如图，取11A D 中点Q ，连接1B Q 、1B A 、AQ ， 根据正方体的性质得，1//B Q BE ，1//B A FE ， 且111=B QB A B ，=FEBE E ，所以平面1//B AQ 平面BEF ，所以点P 在AQ 上运动，点P 的轨迹为线段AQ ，因为11A A =，112AQ =， 由勾股定理得151+=42QA =，故选C ．题型二、动点问题（多选）1、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．//BC 平面11AD PC ．三棱锥1D CDP -的体积为定值 D ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π【答案】AC【解析】对于A 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得1111,A D AA A D AB ⊥⊥，又由1AA AB A =，所以11A D ⊥平面1A AP ，因为11A D ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确； 对于B 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BC A D ， 所以11,,,B C A D 四点共面，所以B 不正确； 对于C 中，因为1111122CDD S=⨯⨯=，点P 到平面1CDD 的距离为1BC =， 所以三棱锥1D CDP -的体积为定值，所以C 正确；对于D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得1(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)D A C ，设(1,,)(01,01)P a b a b <<<<， 则1(1,,1),(1,1,0)D P a b AC =-=-， 则11221cos ,01(1)2D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<⋅++-⋅，当1a =时，1,2D P AC π=；当0,1a b ==时，13,4D P AC π=， 所以直线1D P 与AC 所成的角的范围是(,)42ππ，所以D 不正确．故选AC【名师点睛】此类问题解答中熟记正方体的几何结构特征，熟练应用转化顶点，利用等体积法求解三棱锥的体积，以及合理利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成的角是解答的关键．（多选）2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ︒∠=，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点．若点Q 在直线1B P 上，则下列结论错误的是（ ）．A ．当Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD B ．当Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BDC ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD D ．不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直 【答案】ABC【分析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求得平面1A BD 的一个法向量(,,)n x y z =，假设DQ ⊥平面1A BD ，且11B Q B P λ=，得到11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，则(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，研究1112122124λλ---+===-是否有解即可． 【解析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2,0)P ，所以1(1,0,1)A B =，110,1,2A D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(1,2,0)B P =-，111,1,2DB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11012n A B x z n A D y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取2z =-，则2x =，1y =，所以平面1A BD 的一个法向量为(2,1,2)n =-．假设DQ ⊥平面1A BD ，且11(1,2,0)(,2,0)BQ B P λλλλ==-=-， 则11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． 因为DQ 也是平面1A BD 的法向量，所以(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，所以1112122124λλ---+===-成立，但此方程关于λ无解． 因此不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直，故选ABC ．（多选）3、在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是 A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力. 题型三、确定点的位置1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为3的正方形，1CC BC ⊥，1BC =，2AB =．（1）证明：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上是否存在点M ，使得1CM BC ⊥，若存在，求1BMBA 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）在ABC 中，3AC =1BC =，2AB =，满足222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又1CC BC ⊥，1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，又1AC ⊂面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，又四边形11AAC C 是边长为3的正方形，所以11AC AC ⊥，又1BCAC C =，所以1AC ⊥面1A CB ，又1AC ⊂平面1ABC ，所以平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上存在点M ，使得1CM BC ⊥，且114BM BA =， 理由如下：由（1）得，以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()3,0,0A，()0,0,0C ，()0,1,0B ，13,0,3A ，(13C ，设(),,M x y z ，1BM BA λ=，所以(),1,3,3x y z λ-=-，解得3x λ=，1y λ=-，3z λ=，所以()3,13CM λλλ=-，(10,1,3C B =-，要使1CM BC ⊥，则需10CM BC ⋅=，即130λλ--=，解得14λ=，故114BM BA =．2、如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点． 【分析】（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置． 【解析】（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的等边三角形， 所以((2222222216BD CD BC +=+==，所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒．又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC ． 因为42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==，所以PAB △与PAC 都是直角三角形，故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥． 因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,23,0A ，()2,0,0B -，()2,0,0C ，()0,0,2D ，设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则由()2,0,2BD =，()0,23,2AD =-，得1111030x z y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-，133y =，故131,,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =，则由(),0,2DT λ=-，(),23,0AT λ=-，得222220,230x z x y λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，233y =，故223,,13n λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 由122233133cos ,074433n n λλ-+⨯+==⨯+，得12103λ-+=，故32λ=． 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．3、如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（225（3）存在，13CM CA =或523CM CA =．【解析】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，所以13BC又所以22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥．又因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以直线1C B ⊥平面ABC ． （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()13,2A -，设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =，()13,2AB =--，13,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭因为100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11111132013202x z x y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令13y =，则11x =，所以()1,3,1n =设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20332022z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，令3y =，则1x =，所以()1,3,0m =，2m =，5n =，4m n ⋅=，所以425cos ,525m n m n m n⋅===．设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,5m n α==． 所以设二面角11A EB A --的余弦值为255． （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，因为CM CA λ=，[]0,1λ∈，所以()()1,,1,0,2x y z λ-=-，所以()1,0,2M λλ-所以13,,222EM λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11A B E 的一个法向量为()1,3,0m =，所以22132112211132424λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即()()312350λλ--=，所以13λ=或523λ=，所以13CM CA =或523CM CA =．【名师点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解． 强化训练（多选）1、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误.【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=， 设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确. 故选BD .【点睛】本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.2、如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．45B ．2C ．2D ．3【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值．【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3．故选D ．3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2QC QP =．则线段BQ 的长度的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，()1,0,3P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由2QC QP =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果．【解析】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =(0,2,0)C ，(1,3P ，(2,2,0)B ，因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，设(,,0)Q x y ， 因为2QC QP =，所以()2222(2)213+-=⋅-++x y x y ，整理得：22(2)(2)4-++=x y ，即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点， 又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离， 因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径．）故选C ． 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型．4、如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为8，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝2，在侧面BCC 1B 1内作边长为2的正方形EFGC 1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且点P 到平面CDD 1C 1距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面BCC 1B 1运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求2HP 的最小值．【解析】如图，建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，则HM PM ⊥，所以222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小， 过P 作1PN CC ⊥，垂足为N ，设(,8,)P x z ，则(2,8,6),(8,8,6),(0,8,)F M N z ，且08,08x z ≤≤≤≤，因为PN PF =，所以22(2)(6)x z x -+-=，化简得244(6)x z -=-，所以222222(8)(6)(8)441260(6)2424MP x z x x x x x =-+-=-+-=-+=-+≥， 当6x =时，2MP 取得最小值24，此时222282488HP HM MP =+=+=， 所以2HP 的最小值为88，故选B ．5、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上（包括边界．．．．）移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为A ．55B ．25C ．2D ．3【答案】D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1B P 的长度的最大值．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则1D （0，0，2），E （1，2，0），1B （2，2，2），1B P ＝（a −2，b −2，−2），1D E ＝（1，2，−2）， 因为1B P ⊥1D E ，()1122240B P D E a b ∴⋅=-+-+=， 所以a ＋2b −2＝0，01b ≤≤，所以点P 的轨迹是一条线段，()()()()2222221224224548a b b B P b b b -+-+==+-+=-+， 由二次函数的性质可得当1b =时，2548b b -+可取到最大值9， 所以线段1B P 的长度的最大值为3．故选D ．6、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】连接111,,AB AD B D ，则点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点建立坐标系，利用向量方法可求出范围． 【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+ 221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．7、如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是A ．33 B ．23C 5D 6【答案】D【分析】连接BE ，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC 的一个法向量m ，平面VEF 的一个法向量n ，利用cos m n m nθ⋅=即可求解.【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则2VE BV ==， 由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()2,0C ，)2,0,0B，(2V ，设(),2,0F x x -，(0,2,2VC =-，(2,0,2VB =-，(2EV =，(,2,2VF x x =，设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111220220z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =. 设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222220220z x x x y z ⎧=⎪⋅+-⋅+=⎪⎩，解得20z =，令21y =，则221x x =-， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则22cos 22232m n x m n x xθ⋅==-+，将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭，当2x =时，()min 3f x =，则cos θ3=. 故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.8、已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为 A ．[]0,4 B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →最大，最大值为；当P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.7、在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=【答案】C【分析】设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设正四面体D ABC -的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【解析】如下图所示，设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正四面体D ABC -的棱长为2，则31,0A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、23B ⎫⎪⎪⎝⎭、3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、26D ⎛ ⎝⎭、31,03E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设,03F λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，其中11λ-≤≤， 对于A 选项，若存在某个位置使得DE BF ⊥，31,333DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0BF λ=-，1103DE BF λ∴⋅=--=，解得3λ=-，不合乎题意，A 选项错误；对于B 选项，若存在某个位置使得4FDB π∠=，,33DF λ⎛=-- ⎝⎭，23DB ⎛=⎝⎭，cos ,DF DB DF DB DF DBλ⋅<>====⋅B选项错误；对于C 选项，设平面DAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，1,DA ⎛=-- ⎝⎭，DC ⎛=-⎝⎭，由1111113033303m DA x y z m DC x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取11z =-，得()22,0,1m =-，设平面DEF 的一个法向量为()222,,n x y z =，31,3DE ⎛=- ⎝⎭，,DF λ⎛=- ⎝⎭， 由22222231033333n DE x y z n DF x y z λ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取y =，则()221n λ=+-，若存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC ，则2190m n λ⋅=+=，解得[]31,17λ=-∈-，合乎题意，C 选项正确；对于D 选项，设平面DBF 的一个法向量为()333,,u x y z =，2326,0,33DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，326,,33DF λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由333332326033326033u DB x z u DF x y z λ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，令z λ=，则()2,6,u λλ=，若存在某个位置，使得6πα=，即()()22612131sin cos ,6227272363u DE u DE u DEλλπλλ++⋅==<>===⋅⨯++⨯，整理得254120λλ-+=，162400∆=-<，该方程无解，D 选项错误. 故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.10、如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是A ．3155B ．2155C ．6D ．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛= --⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E--的正切值为()sin ,27 cos,m nf tm n===因为02t≤≤，所以111466t-≤≤--，216125405-=-⨯结合二次函数的性质可知当1165t=--时，()f t5=；当1166t=--时，()f t=，所以()f t∈⎣，所以二面角A FM E--.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.11、直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且∠ABC ＝120°，点E在边BC上，且满足BE＝3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为_____；当MC与平面ABCD所成角最大时，异面直线MC1与AC所成角的余弦值为_____．【答案】，17【分析】由题意可知M的轨迹为过E且与直线1BD垂直的平面与直四棱柱的截面的边界，根据直棱柱的结构特征和底面棱形的性质，由线面垂直的定义可得截面与下底面的截线是与AC平行的，进而确定截面与与AB的交点F，建立空间直角坐标系，利用坐标方法求得截面与1BB的交点G，进而得到所求面积，根据线面角的定义可得M与G重合时MC与平面ABCD所成角最大，利用空间向量可求异面直线所成角的余弦值.【解析】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()1,33,0E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,33,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹． 由题意得22213FG BF BG =+=33836344EF AC ==⨯= 动点M 的轨迹围成的图形的面积为()()22163213331532⨯-=显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M ，()10,43,6C ，所以()14,43,2MC =-． 因为AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以1251cos ,17MC n =即异面直线1MC 与AC 251． 【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间动点的轨迹，涉及线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，线面角，利用空间直角坐标系和空间向量确定点的位置和求异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．属中档题，难度较大.12、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-，所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以222cos QP QB y QP QBx y zα⋅==⋅++，又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，222sin QP CP z QPx y zβ⋅==++，所以22222cos x y x y zβ+=++，所以cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 13、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=， 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．14、如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED⎧⊥⎨⊥⎩，即302(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩，令3k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大．故选D ．【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题．15、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+⎪⎝⎭12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．16、如图，矩形ABCD 中，222AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．1024- B ．66C ．514-D ．55【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-， 记直线1A C与平面ABCD 所成角为θ，则211|sin 1cos sin 4cos 64cos 6||CA nCA n αθαα⋅-===++⋅，设3153535102cos ,,sin 222416444t t t αθ-⎡⎤⎛⎫=+∈=-+≤-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 所以直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为1024-，故选A ． （多选）17、在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点,E F 分别为线段11B D 、1BC 上的动点，则下列结论正确结论的是（ ）A ．1DB ⊥面1ACD B ．面11//AC B 面1ACDC ．点F 到面1ACD 的距离为定值33D ．直线AE 与面11BB D D 所成角的正弦值为定值13【答案】ABC【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点,E F 的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果．【解析】以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意知：()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，设(),,1E x y ，111B E B D λ→→=，即()()1,,0,,0x y λλ-=-，()1,,1E λλ∴-， 设()1,,F y z ''，1BF BC μ→→=，即()()0,,0,,y z μμ''=，()1,,F μμ∴． 对于A ，()11,1,1DB →=-，()1,1,0AC →=，()10,1,1AD →=，11100DB AC DB AD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，1DB AC ∴⊥，11DB AD ⊥， 又1,AC AD ⊂平面1ACD ，1AC AD A =，1DB ∴⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，1DB ⊥平面1ACD ，()11,1,1DB →∴=-为平面1ACD 的一个法向量，()111,1,0A C →=，()11,0,1A B →=-，111110DB A C DB A B ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，111DB AC ∴⊥，11DB A B ⊥， 又111,A C A B ⊂平面11A C B ，1111AC A B A =，1DB ∴⊥平面11A C B ，∴平面11//AC B平面1ACD ，B 正确；对于C ，()1,,AF μμ→=，∴点F 到面1ACD 的距离111333AF DB d DB →→→⋅===，为定值，C 正确；对于D ，几何体为正方体，AC ∴⊥平面11BB D D ，()1,1,0AC →∴=是平面11BB D D 的一个法向量，又()1,,1AE λλ→=-，设直线AE 与平面11BB D D 所成角为θ，则21sin 2222AC AEAC AEθλλ→→→→⋅==⋅-+⋅，不是定值，D 错误．故选ABC ．（多选）18、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误．【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确； 对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． （多选）19、如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）。
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GFDAB CE动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是ABC5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.（1）求CF的长（2）将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；（3）△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且A BAACCAGDAMGDA7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。
△BOP∽△AE=在△ACE中，AE-CE≤AC≤AE+CE8、如图，△ABC是等边三角形，边长为2，D是AC边上一动点，连接BD，⊙O为△ABD外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于E，连接DE，BE.则△ADE9、如图，正方形ABCD，AB=4，E为形外一点，且∠AED=900，连CE，F为CE的中点，求BF连AC,取DC中点G，取AC中点H，则△FGH∽△EDA,又AD=4∴122GH AD==，∠GFH=∠DEA=90°，∴点F在以GH为直径的圆上，∴BF1+二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。
方法：xy M C AP O B x y M C M 1M 2AP O BG F D C G FAD C G A D CE 1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为__________取特殊位置考虑：当B 在原点时，5OA =OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，52），所以点M 在直线1522y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=455∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。
2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。
那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴33223OF ==3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，连接EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3考虑特殊位置：当当E 与B 重合时，F 与A 重合，此时BG ∥AC ，当E 与C 重合时，F 与B 重合，FG ∥AC ，所有点G 在过点B 且与AC 平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG 垂直于过B 与AC 平行的直线垂直时，DG 3BCAEAABAA过E 作EH ∥AC ，则有△EFH ≌△EGB ∴∠EBG=∠EHF=60° ∴点G 在平行于AC 的直线GB 上运动。
4、如图，OA=3，∠OAB=60°，P 为射线BO 上一动点，E 为OB 中点，以AP 为边作等边△APC,则点P 运动过程中CE 的最小值为3AC=BC ， ∴点C 在AB 的垂直平分线上.三、根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，最大值就是让第三边等于其他两边的和，最小值就是第三边等于其他两边之差 1、15、△ACD 中，AD ＝8，CD ＝BC ⊥AC 于C ，AC =2BC ， 则BD 的最大值是提示：过C 作CE ⊥CD 使CE=2CD ，连接AC ，DE ，则有△BCD ∽△ACE ，则有12BD CD AE CE == ∴12BD AE =又AE ≤DE+AD=13 ∴BD= 2、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC AE=在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CEBEDED5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°四、由三角形第三边小于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。
1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连AM、CM、EN.（1）求证：△ABM≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小？②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.（3）当AM+BM+CM的值最小值为132．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A ，B ，D 均在格点上，点E 、F 分别为线段BC 、DB 上的动点，且BE =DF ． （Ⅰ）如图①，当BE =时，计算AE +AF 的值等于（Ⅱ）当AE +AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置如何找到的（不要求证明） 取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求． ．3、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值．【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题．yxROBAH MG N第24题图2yxOBA第24题【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512． (2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ，设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=n n x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=- ∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1 ∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．五、利用对称求最值1．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________2、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值．【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题． 【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512(2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ，设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=nn x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=- ∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1 ∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．DF O BC E DF O B C ECAOBPCAOBP PED B CHPEyxROBAH MG N第24题图2可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．六、其他类最值1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若 AC ＝6，BC ＝8，则ADDE的最大值为( B ) A ．21B ．31C ．43D ．22提示：比值构造相似三角形，于是过E 作EF ⊥BC 于F ，则有△ACD ∽△EFD ∴DE EFAD AC=，而AC=6，所以只要EF 最大就比值最大，当E 在以AB 为直径的半圆弧中点时，EF 最大是22．如图，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ．E 是⊙O 上一点．F 是AE 延长线上一点，EF =AE ．若AD =9，BC =6．设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m ，n ，则mn =( )A ．100B ．90C ．80D ．703．如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ B ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+4、△ABC 中BC=36，∠BAC=600，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，延长CE 交AB 于P,则PBDS ∆的最大值为过D作DH∥CP交AB于H，则有BH=HP=AP∴23BPAB=，当BC边上的高最大时，此时在优弧BC中点，其值为9，P到BD的高也最大，此时为6，故S⊿PBD最大值为3963321=••反比例函数问题：1、如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线kyx=与BC交于点D，与AB交于点E，12DE OB=，矩形OABC的面积为4，则k的值为提示：连接AC，设坐标证明DE∥AC，又12DE OB=从而得到D、E为中点，所有k=12二次函数问题：如图，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C（0，32-）（1）求抛物线的解析式；（2）点T为y轴正半轴上一点，直线AT与抛物线的另一个交点为点D，点P为直线AT下方的抛物线上一动点.①若AD=5AT，求点T的坐标；②当△ATP的面积的最大值为94，求点T的坐标.提示：方法一：S∆方法二：以AT为底的△ATP的面积当过点P的直线PF与AD平行，且直线PF与抛物线相切时△ATP面积最大。