组合数学导论
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
第 10 页
结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学论
a,b : integer; procedure init; begin
clrscr; repeat write ('a='); readln(a); until(a>1)and(a<=maxn); repeat write ('b='); readln(b); until(b>1)and(b<=maxn); end; procedure main; var i,j begin : integer; { 建立递归边界}
A1 A2 Am
= S Ai
i 1 m
{1, 2 ,, n} 的2组合
A A
i
j
{1, 2,, n} 的3组合
A A
i
j
Ak (1) m A1 A2 Am
例 1： （足球胜利问题）获胜球队的 n 个球迷把他们的帽子抛向空中，帽子随便返回， 一顶帽子回到 n 个球迷中的一个， 恰好有 k 个球迷取得他们自己返回的帽子有多少种形式？ 分析：设 h(n,k)是选取 k 个幸运的帽子所有者的方式，显然有 n h(n, k ) k h(n k ,0) 事实上，k 顶帽子回归它的所有者，余下的 n-k 顶帽子都未回归它的所有者。我们引 入错排的定义：改变每一项原先位置的排列则称为错排列，显然 h(n-k,0)就是一个错排列。 N 个元素的错排列记 n 则 h(n-k,0)=（n-k） 下面我们引用容斥原理来计算 n 设 I={1,2,„,n 的所有全排列} 显然|I|=n!； I 的子集 Si={数 i 排在 I 位置上的全排列}。因数字 I 不动，所以|Si|=(n-1)!(i=1,2,…,n)； 同理， Si1 Si 2 Si 3 Sik 表示 i1 ， i 2 ，…， i k 位置上的全排列的集合，这就是说， 在 1,2,…,n 中除了 i1 ， i 2 ，…， i k 这 k 个数被固定外，其余 n-k 个数可以任意排列，所以
组合数学(4)概论
10
Байду номын сангаас
例6 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数
解：1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外.
故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个 另: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个,
注: 本例指围棋，现代围棋采用十九路，即有 19×19=361个交叉点可落黑子、 白子或留空。
8
例4从包括五本不同的计算机书，三本不同的数学书和两 本不同的美术书中，选择两本不同的书有多少种方法？
运用乘法原理，我们发现可以选择两本书，一本计 算机书和一本数学书，有5×3=15种方法。同理，我们 也可以选择一本计算机书和一本美术书，有5×2=10种 方法。我们也可以选择一本数学书和一本美术书，有 3×2=6种方法。因为这些选法的集合互不相交，所以我 们可以用加法原理得出共有15+10+6=31种方法从不同的 计算机书、数学书和美术书选择两本。
14
主席有2种选择，剩下的就分别是5和4种，共有：
2 × 5×4=40。 (c) [解法一] 类似于(b) 的证明，如果刘五是主 席，有20种方法。同理，如果刘五是秘书，有 20种可能。如果刘五是会计，也有20种可能。 因为这三种情况两两互不相交，根据加法原理， 共有20+20+20=60种可能。
9999－7380=2619个
12
例7 一个由张一,王二,李三,赵四,刘五和陈六组 成的六人委员会要选出一个主席，一个秘
组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
组合数学引论课程设计
组合数学引论课程设计一、课程背景组合数学是数学的一个分支，它研究的是离散的对象和结构，这些对象和结构可看做是数量和属性等的集合。
在计算机科学、信息技术和通信工程等领域有着广泛应用。
组合数学的基本问题包括计数问题、排列问题、子集和图等问题，这些问题都是许多计算机程序设计中的重要内容。
因此，本次课程设计拟定组合数学引论作为课程内容，介绍组合数学中的基本概念和方法，以帮助学生掌握相关的知识和技能。
二、课程目标1.理解组合数学的基本概念，学习计数原理，掌握排列、组合和分步法等计算方法；2.学会使用数学语言和符号，逐步提高证明能力；3.加强解决实际问题的能力，掌握在计算机程序设计中的组合数学相关技术。
三、课程内容本课程介绍组合数学的基本概念和计数原理，并针对相关的计算方法进行详细的讲解。
以下是课程的大纲：1.组合数基本概念 . 组合数的定义和性质 . 笛卡尔积和二项式定理2.计数原理 . 加法原理和乘法原理 . 排列与组合3.容斥原理 . 基本原理 . 排列组合应用4.递推法 . 递推关系式 . 斐波那契数列5.分治方法 . 约瑟夫问题 . 归并排序6.生成函数 . 普通生成函数 . 指数生成函数四、课程设计本次课程设计主要包括课程作业和课程实验两个环节：1.课程作业：由老师布置一些作业题目，让学生将课程所学的知识应用到实践中，提高其计算和分析能力。
2.课程实验：设计两个实验，让学生深入理解组合数学的基本概念和计算方法。
–实验1：研究斐波那契数列的递归和递推两种计算方法的时间复杂度；–实验2：使用python编写生成函数，并对应用范围进行分析。
五、总结本次组合数学引论课程重点介绍了组合数的基本概念和计数原理，并深入讲解了递推法、容斥原理、分治方法和生成函数等重要技术。
学生不仅能够掌握组合数学的基本知识，还能应用到计算机程序设计等实际问题中。
通过课程作业的布置和课程实验的设计，学生的计算和分析能力得到了提高。
高等代数中的组合数学 基本概念与方法
高等代数中的组合数学基本概念与方法高等代数中的组合数学：基本概念与方法组合数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是离散结构的数学对象。
在高等代数中，组合数学的基本概念和方法被广泛应用于解决各种复杂的问题。
本文将介绍高等代数中组合数学的基本概念和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排序的方式，而组合是指从一组对象中选取若干个对象，不考虑排序的方式。
2. 阶乘与二项式系数阶乘是指自然数相乘的结果，例如n的阶乘（n!）表示从1到n的所有自然数相乘的结果。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，记作C(n,k)或者nCk。
二、基本方法与技巧1. 计数原理计数原理是组合数学中最基本的方法之一，它包括加法原理、乘法原理和减法原理。
通过运用计数原理，可以对复杂的问题进行分析和解决。
2. 递推关系式在组合数学中，递推关系式是一个常用的方法，通过推导递推关系式，可以将复杂的组合问题转化为简单的递推计算过程。
3. 生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具，可以将组合问题转化为代数问题。
通过生成函数，可以求解各种组合数的性质和关系。
4. 容斥原理容斥原理是组合数学中用于处理包含关系的方法之一。
通过运用容斥原理，可以解决一些包含排列和组合问题的复杂情况。
5. 逆序排列与有限差分逆序排列和有限差分是组合数学中的两个重要方法，可以用于求解排列和组合问题中的一些性质和关系。
三、应用案例分析1. 组合数学在密码学中的应用通过组合数学的方法，可以破解密码中的一些加密算法，提高密码的安全性。
2. 组合数学在网络传输中的应用通过组合数学的方法，可以优化网络传输中数据的传输效率，提高网络传输的稳定性和可靠性。
3. 组合数学在图论中的应用组合数学在图论中有广泛的应用，通过组合数学的方法，可以分析和解决图的连通性、最短路径等问题。
数学专业的论与组合数学
数学专业的论与组合数学组合数学是数学的一个重要分支，其研究对象是离散的、具有结构性质的对象，涉及到计数、排列、组合等问题。
作为数学专业的一门重要课程，组合数学在数学研究和应用中起着非常重要的作用。
本文将从组合数学的基本概念、应用领域以及数学专业学生应掌握的相关知识等方面进行论述。
一、组合数学的基本概念1. 排列和组合组合数学研究的核心是排列和组合。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的方式，而组合则是从一组元素中按照一定的方式选择若干个元素的集合。
排列和组合的概念与数学中的阶乘、二项式系数密切相关。
2. 图论与树组合数学中的图论与树是基本的研究对象。
图论即研究顶点和边构成的图的性质和问题，而树可看作没有回路的连通图。
在计算机科学等领域中，图论与树的研究有重要的应用。
3. 置换与组合恒等式置换是指元素的排列，组合恒等式则是戴德金恒等式的推广。
组合恒等式在组合数学的研究中具有重要的作用，可以帮助解决很多计数问题。
二、组合数学的应用领域1. 计算机科学组合数学在计算机科学中有广泛的应用。
在数据结构、算法、密码学等方面，组合数学的方法和理论为解决实际问题提供了重要的工具和思路。
2. 组合优化与运筹学组合数学在组合优化和运筹学中有重要应用。
比如，旅行商问题、图着色问题、网络流等都是组合优化方面的经典问题，而这些问题的求解离不开组合数学的方法和技巧。
3. 通信与密码学在信息通信和密码学领域，组合数学的应用非常广泛。
哈夫曼编码、纠错码、密码系统等都涉及到组合数学的概念和算法。
4. 组合拆分与集合分割组合拆分与集合分割是组合数学中涉及到的重要问题。
在概率论、统计学等领域，组合拆分与集合分割的方法被广泛地应用于求解实际问题。
三、数学专业学生应掌握的组合数学知识1. 基本概念和方法数学专业的学生应该掌握组合数学的基本概念，如排列、组合、置换等，并能够应用这些概念解决简单的计数问题。
2. 图论与树图论与树是数学专业学生应该掌握的重要知识点。
组合数学 第一章
例 1 在1000到9999之间有多少个各位数字不 到 之间有多少个各位数字不 同的奇数? 同的奇数 首先, 个位数可取1, 共五种选择; 解 首先 个位数可取 3, 5, 7, 9共五种选择 共五种选择 其次, 千位数不能是0, 其次 千位数不能是 也不能取个位已选定的 所以有八种选择; 数, 所以有八种选择 然后, 百位数有八种选择; 最后, 然后 百位数有八种选择 最后 十位数有七种 选择. 选择 由乘法法则,所求的数共有 所求的数共有5× × × 由乘法法则 所求的数共有 ×8×8×7=2240个. 个
21
1.3.2 相异元素不允许重复的圆排列 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 排列,也叫环排列 环排列. 排列,也叫环排列.若两个圆排列由相同的元素所组 且其中任何两元素的相对位置保持不变, 成，且其中任何两元素的相对位置保持不变,这样 的圆排列认为是同一种排列. 元集S 定理 从 n元集 中不重复地取 个围成圆排列 元集 中不重复地取r 叫做圆形r 排列) (叫做圆形 -排列)，则不同的排列总数为
6
解决组合问题常需要特殊的方法, 解决组合问题常需要特殊的方法,即使是在使用 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时, 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时,仍需要 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时, 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时,学习组合 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的. 典型问题的解题经验和方法是非常重要的 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的.常 用的方法有： 用的方法有： （1）数学归纳法 （2）迭代法 （3）一一对应法 （4）组合意义法 （5）数论方法
18
1.3.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数 一、排列 个元素的集合S中有序选取的 定义 从n个元素的集合 中有序选取的 个元素 个元素的集合 中有序选取的r个元素 叫做S的一个 排列,不同排列的总数记作 的一个r-排列 不同排列的总数记作P(n, r)或 叫做 的一个 排列 不同排列的总数记作 或 如果r 则称这个排列为S的全排列,简称为 简称为S P . 如果 = n, 则称这个排列为 的全排列 简称为
数学中的组合数学
数学中的组合数学数学是一门用于研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，而组合数学则是数学中的一个重要分支。
组合数学涉及到各种离散的对象和计数技巧，是解决实际问题和优化算法的重要工具。
在本文中，我们将探讨组合数学的基本概念、应用和研究领域。
一、基本概念组合数学主要研究离散的对象，如集合、排列、组合等。
其中，组合是组合数学中的一个基本概念。
组合指的是从集合中选取若干元素组成一个子集的方式。
在组合中，元素的顺序并不重要，只要元素相同即可。
例如，从1、2、3、4这四个元素中选取2个元素组成的组合是{1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{2, 3}、{2, 4}、{3, 4}。
在组合数学中，常用的计数方法有排列计数和组合计数。
排列计数指的是对于给定的一组对象，按照一定的规则进行排列，计算排列的总数。
组合计数指的是对于给定的一组对象，从中选取若干个对象组成一个子集，计算子集的总数。
二、应用领域组合数学在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1.密码学密码学是研究加密和解密技术的学科，而组合数学在密码学中扮演着重要的角色。
通过组合数学的方法，可以设计出处理大量数据的密码算法，确保信息的安全性。
2.图论图论是研究图及其性质的学科，而组合数学在图论中也有重要的应用。
通过组合数学的方法，可以研究图的连通性、最短路径等问题，从而优化网络通信、交通规划等领域的算法设计。
3.组合优化组合优化是一种研究在给定限制条件下求解最优解的方法，而组合数学是组合优化中的一个重要工具。
通过组合数学的方法，可以在有限的资源条件下，寻找出最优解，解决诸如旅行推销员问题、背包问题等实际应用中的优化难题。
三、研究领域除了应用领域外，组合数学在学术研究中也有着广泛的应用。
以下是几个典型的研究领域：1.组合图论组合图论是研究图结构及其性质的一个分支学科，主要研究图的最短路径、连通性等组合问题。
通过组合数学的方法，可以分析图的特性，揭示图的结构之间的关系。
组合数学原理与方法
组合数学原理与方法组合数学是一门研究集合组合及其性质的数学分支。
它主要涉及对离散结构的排列、选择和组合的计数方法。
在计算机科学、统计学、组合优化等领域中，组合数学经常被应用于解决实际问题。
组合数学的方法与原理包括排列、组合、多重集合、递推关系等。
这些方法和原理可以用于解决多种计数问题，例如：给定n个元素的集合，求其子集的个数；给定m个不同物品，求从中选择n个物品的不同方法数；给定一个字符串，求其字符的全排列等。
排列是指从给定的一组元素中选择出一部分元素，并按照一定的顺序进行排列。
对于n个元素的集合，可以得到n的阶乘个不同的排列。
组合是指从给定的一组元素中选择出一部分元素，不考虑其顺序。
对于n个元素的集合，可以得到不同的组合数，其中包括从1个元素到n个元素的所有不同组合。
多重集合是指包含有重复元素的集合。
它的排列和组合的计算方法与普通集合类似，但要考虑元素的重复情况。
递推关系是一种通过已知值来计算未知值的方法。
在组合数学中，递推关系常用于计算排列和组合数。
例如，对于给定的集合S，可以通过以下递推关系来计算其子集的个数：对于每个元素x∈S，它可以选择出现或不出现，那么S的子集个数可以表示为包括x和不包括x两种情况的和。
除了上述基本方法和原理外，组合数学还涉及一些高级的概念和技巧，例如生成函数、容斥原理、递归等。
通过合理地应用这些方法和原理，可以提高计数问题的求解效率，并拓宽解决问题的思路。
总之，组合数学的方法与原理为解决集合组合计数问题提供了理论基础和实用工具。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的方法并灵活运用，从而得到有效的解决方案。
组合数学原理
组合数学原理组合数学，作为数学的一个分支，主要研究有限或可数无限集合的元素选择、排列和组合的问题。
它广泛应用于计算机科学、信息论、概率论、统计学、代数以及许多其他领域。
本文旨在介绍组合数学的基本概念、原理及其应用，为读者提供一个清晰的理解框架。
基本概念排列与组合- 排列：从n个不同元素中取出m（$m \leq n$）个元素的所有可能的排列方式。
- 组合：从n个不同元素中取出m（$m \leq n$）个元素的所有可能的选择方式，不考虑顺序。
计数原则- 加法原则：如果事件A有m种发生方式，事件B有n种发生方式，那么事件A或事件B发生的总方式数是$m + n$。
- 乘法原则：如果事件A有m种独立的发生方式，并且在每种方式下事件B都有n种独立的发生方式，那么事件A和事件B连续发生的总方式数是$m \times n$。
基本原理包含排除原理在计算两个或两个以上集合并集的元素总数时，需要使用包含排除原理。
该原理指出，若要求两个集合的并集大小，可以将每个集合的大小相加，然后减去所有集合交集的大小。
容斥原理容斥原理是包含排除原理的推广，用于处理多个集合的情况。
它通过交替地加上和减去不同集合的交集、并集等来得到最终的计数。
应用实例组合问题的应用在解决实际问题时，如统计可能性、分配资源等，组合数的计算是一个常见需求。
例如，从一组候选人中选出一个委员会，就是一个典型的组合问题。
排列问题的应用排列问题通常涉及顺序，比如安排会议日程、排序数据等。
在这些情况下，考虑元素的顺序是必须的。
结论组合数学不仅丰富了数学的理论体系，也为解决实际问题提供了强有力的工具。
通过对排列组合的学习，我们能够更好地理解和处理日常生活中的各种选择和决策问题。
无论是在科学研究还是在日常生活中，掌握组合数学的基本原理都是极其有用的。
---请注意，以上内容仅为对组合数学原理的简要介绍，深入学习需要参考更多专业文献和资料。
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
高等代数知识体系 组合数学与图论
高等代数知识体系组合数学与图论高等代数是数学的一个重要分支，研究代数结构及其性质。
而组合数学与图论则是高等代数中的两个重要的衍生学科。
本文将介绍高等代数知识体系中的组合数学与图论，探讨它们在数学研究和实际应用中的重要性。
一、组合数学组合数学是研究离散结构的数学分支。
它探讨的对象是集合、组合、排列、计数等离散的数学结构和问题。
组合数学在密码学、通信、计算机科学、运筹学等领域有广泛的应用。
1. 排列与组合组合数学的基础概念之一是排列与组合。
排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列，而组合则是从给定的元素中选取若干个元素，顺序不重要。
排列与组合的组合数公式是解决组合数学问题的基础工具。
2. 握手定理组合数学中的握手定理是图论中的一个经典定理。
握手定理指出，在一场派对上，每个人都和其他人握手，则握手次数必为偶数。
这一定理在图论中的应用非常广泛，例如在计算网络中的节点连接问题中，握手定理可以帮助计算网络中节点的连接数。
3. 数学归纳法数学归纳法在组合数学中也是一种常用的证明方法。
归纳法的基本思想是，通过证明基本情况成立，然后假设某个命题在某个条件下成立，再证明在该条件下命题的下一个情况仍然成立。
数学归纳法在组合数学中能够解决一些复杂的计数问题，有效地证明和推导结论。
二、图论图论是数学的一个分支，研究图及其性质、图的结构与性质之间的关系。
图论在网络分析、社交网络、算法设计等领域有广泛的应用。
1. 图的基本概念图由节点和边组成，节点代表实体，边代表节点之间的关系。
图的基本概念包括有向图和无向图、路径与环、度数等。
通过对图的分析与研究，可以揭示图的结构与节点之间的关联性。
2. 图的遍历算法图的遍历算法是解决图论问题的重要方法之一。
深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)是常用的图遍历算法。
通过遍历图，可以发现图的连通性、路径情况等信息。
3. 最短路径算法最短路径算法是图论中一个重要的问题，主要用于寻找两个节点之间最短路径的算法。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
组合数学经典书籍
组合数学经典书籍
组合数学是数学的一个重要分支，主要研究有限集合的元素间各种组合的可能性。
以下是一些经典的组合数学书籍：
1. 《组合数学》（Combinatorics）：作者是R.P. Stanley，这本书是组合数学领域的经典教材，内容涵盖了组合计数、排列组合、二项式系数、生成函数、图论等多个方面，深入浅出，理论与实例结合。
2. 《组合数学引论》（An Introduction to Combinatorics）：作者是J.H. van Lint和R.M. Wilson，该书系统介绍了组合数学的基本概念、方法和理论，适合初学者入门。
3. 《组合数学基础》（A Course in Combinatorics）：作者是J. vanLint和D. J. A. Welsh，此书对组合数学进行了全面且详细的阐述，包括组合设计、编码理论等内容，有一定深度。
4. 《应用组合数学》（Applied Combinatorics）：作者是Alan Tucker，这本书在介绍组合数学基本理论的同时，强调了其在实际问题中的应用，对于希望了解并运用组合数学解决实际问题的读者非常有帮助。
5. 《组合数学导引》（Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2）：作者同样是Richard P. Stanley，这两卷本著作被誉为组合数学领域的权威巨著，内容丰富且深入，适合具有一定基础的研究者阅读。
以上这些书籍都是组合数学领域中深受好评的经典之作，不同书籍侧重点和难易程度有所不同，您可以根据自己的需求选择合适的书籍进行学习。
数论中的组合-概念解析以及定义
数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。
两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。
本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。
通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。
最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。
整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。
1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。
通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。
我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。
分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。
在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。
首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。
其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。
而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。
其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。
费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。
而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。
除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。
组合数学有关的书籍
组合数学有关的书籍
组合数学这门学科啊，简直就是数学世界里的宝藏！我最近看了好多相关的书籍，真的是收获满满。
《组合数学导论》
这本书可以说是组合数学的经典之作啦！它从最基础的概念讲起，一点点深入，就像一个耐心的老师，带着你在组合数学的花园里漫步。
里面的例子丰富又生动，让那些看似抽象的概念一下子就变得清晰易懂。
每一个章节后面还有练习题，能让咱们更好地巩固所学的知识。
《组合数学：算法与分析》
这本就更侧重于算法和分析方面啦。
它教会了我如何用巧妙的算法去解决复杂的组合问题。
书里的代码示例简直是太棒了，让我感觉自己就像是个编程小能手。
而且作者的讲解风格超级亲切，就像是在和我面对面聊天一样。
《应用组合数学》
这本书可实用啦！它把组合数学的知识和实际应用紧密结合在一起，让我明白了组合数学可不是只存在于书本里，在生活中、工作中都有着广泛的应用。
比如说，在计算机科学、通信工程里，组合数学都发挥着巨大的作用。
组合数学的书籍真的让我大开眼界，也让我对数学的热爱又加深了一层！。
离散数学中的组合数学与论
离散数学中的组合数学与论组合数学与图论是离散数学的两个重要分支领域，它们研究的是离散结构以及其相互关系和性质。
本文将对组合数学与图论进行探讨，并分析它们在离散数学中的重要作用。
一、组合数学组合数学研究的对象是离散的对象以及它们之间的组合方式和性质。
在组合数学中，我们关注的是如何选择、排列、组合离散对象，以及它们的计数方法和应用。
1. 排列与组合排列是指将一系列对象按照一定顺序进行排列的方法。
在排列中，每个对象只能使用一次，且顺序不能改变。
例如，从A、B、C三个对象中选择两个进行排列的话，可能的排列方式为AB、AC、BA、BC、CA、CB，共有6种。
组合是指从一系列对象中取出一部分对象，不考虑其顺序。
与排列不同，组合中的每个对象可以使用多次，且顺序不重要。
例如，从A、B、C三个对象中选择两个进行组合的话，可能的组合方式为AA、AB、AC、BB、BC、CC，共有6种。
2. 二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它描述了一个二次式的展开式。
根据二项式定理，对于任意非负整数n和实数a、b，有以下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中C(n, k)表示从n个对象中选择k个对象的组合数。
二项式定理可以用来求解二次式的展开式，以及计算组合数。
3. 应用领域组合数学在许多领域中都有重要的应用，其中包括概率论、统计学、密码学等。
在概率论中，我们可以利用组合数学的知识来计算事件的可能性。
在密码学中，组合数学可以用来解决密码破解的问题。
此外，组合数学还在计算机科学中起着重要的作用，例如在算法设计和图像处理中。
二、图论图论是研究图的性质以及它们的组合关系的数学学科。
图是由一些点和它们之间的边组成的结构，可以用来表示各种实际问题，如社交网络、计算机网络等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
——吴文俊 院士
中国首届最高科技奖获得者
• 很好的数学基础一辈子终身受益。
• 大学本科期间不应该问这个课有 什么用，这是对你一生知识的某 种锻炼，将来发挥的作用是难以 估量的。
——王选 院士
当代毕昇 三院院士 2001年中国最高科技奖获得者
• 给这个学生三个钱币，让他走。 他居然想从几何学中捞到实利。
组合计数 组合算法 组合编码 组合设计 组合优化
• 洛书或九宫图
• 杨辉(1227—1279)
1 42
75 3 86 9
(1)九子斜排
9 42
75 3
86 1
(2)上下对易
9 42 35 7 86
1
(3)左右相更
49 2
35 7 81 6
(4)四维挺出
• 贾宪(约11世纪)
1 11 12 1 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
• Leonardo Fibonacci(意大利 1175—1259) 公元1202年，提出Fibonacci问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，
55，89，144，233，377，…
• 令 f n 表示第n月初兔子对数
f 0=0,f1=1 f n=f n1+f n2
n
n
f
(2)徐利治 等著.计算组合学.上海科 学技术出版社 (3)万哲先 编著.代数和编码.科学 出版社
• 参考书目（二）
(4)(美)Richard A.Bruadi著.组合数学. 冯舜玺,罗平,裴伟东译.机械工业出 (5)孙淑玲,许胤龙 编著.组合数学 引论.中国科学技术大学
• 友情推荐(一) 南开大学组合数学中心
——欧几里得
几何学之父 《几何原本》作者
• 在几何学中，没有专为国王设置 的捷径。 ——欧几里得
几何学之父 《几何原本》作者
• 我敬爱柏拉图，但我更爱真理。
——亚里士多德
• 吾爱吾师，吾尤爱真理。
——当代大学生
• 选用教材
组合数学 殷剑宏 编著 机械工业出版社
• 参考书目（一）
(1)陈景润 编著.组合数学简介.天津 科学技术出版社.
• 殷老师的工作(四)
• ①殷剑宏 吴开亚. 图论及其算法. 中 国科学技术大学出版社. 2003
• ②殷剑宏. 组合数学(普通高等教 育规划教材). 机械工业 出版社.2006
春有百花秋有月， 夏有凉风冬有雪。 只要组合不挂课， 便是人间好时节。
心存虔敬，口吐莲花。 幽默风趣，善于节制。
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。
(/) 中国数学会分支机构 成立于1985年5月
历任学会主任 或理事长： 徐利治 朱 烈 李修睦 谢力同 刘桂真 范更华
邵嘉裕 管梅谷 陈永川
• 殷老师的工作(一)
• ①殷剑宏.一类特殊de Bruijn有向图的谱. 山东大学学报(理学版).2004
• ②殷剑宏.二分图的Laplace矩阵的最大特 征值.合肥工业大学学报(自然版).2004
• ③殷剑宏.相容关系的最大相容类的生成 算法.合肥工业大学学报(自然版).2004
• ④殷剑宏.一个生成Hasse图的有效算法. 合工大学报(自然版).2005
• 殷老师的工作(二)
• ⑤殷剑宏.有向de Bruijn图的谱.浙江大学 学报(理学版).2005
• ⑥殷剑宏.一类（0，1）矩阵的谱.合肥工 业大学学报(自然版).2005
组合数学 Combinatorics
• 组合数学
• 源于古老的东方数学 • 是讨论众多对象的安排与分布方法，研
究离散的、有限结构的科学 • 涉及几何、代数、分析的思想 • 主要内容不是证明定理，而是着重于
计算的过程、方法、步骤，这个方法 步骤就相当于计算机科学 中的所谓算法。
• 组合数学基本内容
(/) 创建于1997年 具有国际影响的组合数学研究机构 中心主任：陈永川 教授(南开大学副校长) 中心学术委员会主任：万哲先 院士 中心编辑的国际刊物: 《组合年刊》 《Annals of Combinatorics》
• 友情推荐(二) 中国组合数学与图论学会
• ⑦殷剑宏、汪荣贵.超立方体的Laplace矩 阵的谱.浙江大学学报(理学版).2007
• ⑧殷剑宏、汪荣贵、薛峰.生成图的全部 极大独立集的一般方法. 合工大学报(自然版).2008
பைடு நூலகம்
• 殷老师的工作(三)
• ⑨殷剑宏、罗珣.一个生成组合的新算法. 合肥工业大学学报(自然版)
• ⑩殷剑宏、胡敏一个生成排列的新算法. 合肥工业大学学报(自然版) ……
1010
000 010
101 111
1111
1001 0101 0110
0001
0010 1011
0111
001
0011
011
00001111001011010000
• 23阶二进度de Bruijn有向图
111 0
1
1
0
0
0
1
0
1
0100
• 每个时代都有自己的数学，组合 数学就是信息时代的数学。
n
11 5
5
2
11 5
5
2
lim f n 1 50.618
f n n1
2
• 牛顿(Newton Isaac 1643—1727)
1665年，牛顿发现二项式定理
abn n Cknankbk k0
1x
Ck xk
k0
• 一个组合数学问题：
能否构造一个长为2n的二进制环状 串，使得二进制环状串中总共2n个 长为n的不同截断作为2n 个长为n的 二进制串来说互不相同。
1946年，荷兰数学家de Bruijn解决。
• 23阶二进度de Bruijn有向图
100
1100
110
1000 0100 1101 1110
0000