数值分析试题及答案

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.

A．4和3 B．3和2

C．3和4 D．4和4

2. 已知求积公式，则＝（）

A． B．C．D．

3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）

A．＝0，B．＝0，

C．＝1，D．＝1，

4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A．超线性B．平方C．线性D．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.

A．B．

C．D．

单项选择题答案

1.A

2.D

3.D

4.C

5.B

得分评卷

人

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设, 则， .

2. 一阶均差

3. 已知时，科茨系数，那么

4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。

5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和

2.

3. 4.

5.

得分评卷

人

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.

计算题1.答案

1. 解，

，

所以分段线性插值函数为

2. 已知线性方程组

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德尔迭代公式得

3. 用牛顿法求方程在之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2？

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案

3. 解，，

，，，故取作初始值

迭代公式为

，

，，

，

方程的根

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案

4 解梯形公式

应用梯形公式得

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

得分

评卷

人

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

证明题答案

证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

故具有三次代数精确度。

一、填空（共20分，每题2分）

1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商，

则二阶差商

3. 设, 则，。

4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么

5．解初始值问题近似解的梯形公式是

6、，则A的谱半径＝。

7、设，则和。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。

填空题答案

1、2.3150

2、

3、6 和

4、1.5

5、

6、

7、8、收敛9、

10、

二、计算题（共75 分，每题15分）

1．设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足

以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

计算题1.答案

1、（1）

（2）

2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？

计算题2.答案

2、由，可得，

3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

计算题3.答案

3、，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

（提示：利用Simpson求积公式。）

计算题4.答案

4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，

得，记步长为h,

对积分用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

5．利用矩阵的LU分解法解方程组

计算题5.答案

5、解：

三、证明题（5分）

1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。

证明题答案

1、

一、填空题（20分）

(1).设是真值的近似值，则有位有效数字。

(2).对, 差商( )。

(3).设, 则。

(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和。

填空题答案

（1）3 （2）1 （3）7 （4）1

二、计算题

1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.答案

1）

2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。

计算题2.答案

2)

3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

计算题3.答案

3）迭代公式

4).（15分）求系数

。

计算题4.答案