第10章 离散时间信号的z变换
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
离散z变换公式大全
离散z变换公式大全1.基本形式：离散Z变换的基本形式可以表示为：X(z)=Z{x[n]}=Σ(x[n]*z^(-n)),n=-∞到+∞其中，Z表示Z变换，x[n]表示离散时间域的输入序列，X(z)表示离散Z域的输出序列，z表示复平面上的变量。
2.单位冲激函数：Z变换可以将单位冲激函数（δ函数）的离散时间域表示转换为复平面的频率域表示。
单位冲激函数的Z变换是一个常数：Z{δ[n]}=13.延时性质：离散Z变换具有延时性质，即在离散时间域上的序列向右或向左移动k个单位，对应于复平面上的Z域序列乘以z^(-k)。
Z{x[n-k]}=Z{x[n]}*z^(-k)4.线性性质：离散Z变换具有线性性质，即输入序列的线性组合的Z变换等于各个输入序列Z变换的线性组合。
Z{a*x[n]+b*y[n]}=a*X(z)+b*Y(z)其中，a和b为常数。
5.对时域微分：离散Z变换可以对时域上的序列进行微积分运算。
对于序列x[n]的微分，可以通过在Z域中将其对应的Z变换X(z)乘以z的导数1-z^(-1)来表示。
Z{dx[n]/dn} = (1-z^(-1)) * X(z)6.对时域积分：离散Z变换可以对时域上的序列进行积分运算。
对于序列x[n]的积分，可以通过在Z域中将其对应的Z变换X(z)除以z来表示。
Z{∫x[n]dn} = (1/z) * X(z)7.Z变换的时移性质：将离散时间序列x[n]向右移动k个单位，相当于Z域中的序列乘以z^(-k)。
Z{x[n-k]}=Z{x[n]}*z^(-k)8.Z变换的褶积性质：在离散Z域中，两个序列的卷积等于它们各自Z变换的乘积。
Z{x[n]*y[n]}=X(z)*Y(z)其中，*表示卷积运算。
9.初始值定理：序列x[n]在n=0时的值与其Z变换X(z)在z=1时的值是相等的。
x[0]=X(1)10.终值定理：序列x[n]在n趋近于无穷大时的值与其Z变换X(z)在z=1处的极限值是相等的。
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
时域离散序列z变换公式
时域离散序列z变换公式时域离散序列z变换是数字信号处理领域中的重要概念，用于将离散时间序列转换为复频率域序列。
通过z变换，我们可以更好地分析和处理数字信号，从而在通信、控制、滤波等领域中发挥重要作用。
在进行时域离散序列z变换时，我们需要首先了解什么是离散时间序列。
离散时间序列是在离散时间点上取样得到的信号，通常用一个序列来表示。
这些时间点是离散的，而不是连续的，因此我们需要利用数学工具来对这些序列进行处理和分析。
z变换是一种广泛应用的数学工具，可以将离散时间序列转换为z 域中的复频率域序列。
通过z变换，我们可以将差分方程表示的离散系统转换为代数方程表示，从而更容易进行系统分析和设计。
在进行z变换时，我们需要考虑信号的采样频率、序列的长度以及信号的幅度和相位信息。
通过对这些信息进行变换，我们可以得到z域中的频谱信息，从而更好地理解信号的频率特性和频率响应。
通过z变换，我们可以实现数字滤波器的设计和分析。
数字滤波器在数字信号处理中起着至关重要的作用，可以帮助我们去除噪声、滤波信号以及实现频率域变换等功能。
通过z变换，我们可以将滤波器的传递函数表示为z域中的函数，从而更好地理解滤波器的频率响应特性。
除了滤波器设计，z变换还可以用于系统建模和控制器设计。
通过将系统的状态方程进行z变换，我们可以得到系统在z域中的状态空间表示，从而可以进行系统的稳定性分析和控制器的设计。
这对于控制工程师来说是非常重要的工具，可以帮助他们设计出稳定且性能优良的控制系统。
总的来说，时域离散序列z变换是数字信号处理中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间序列。
通过z变换，我们可以实现滤波器设计、系统建模和控制器设计等功能，为数字信号处理领域的研究和应用提供了重要支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解时域离散序列z变换的基本概念和应用。
离散信号的z变换
的部分分式
（5）写出原序列
例1.5 已知
收敛域为
，求其z反变换。
解：因为
展开为部分分式得
乘以z得
求z反变换得
信号与系统
其z变换存在的所有z值的集合。
z变换收敛的充分必要条件
例1.1 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。
解：信号的z变换为
若该级数收敛，只有使 z变换的收敛域为 且此时 收敛半径
例1.2 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。 解：由z变换的定义可得
前一个级数的收敛条件为
即
因此，z变换的收敛域为
信号与系统
离散信号的z变换
1.1 z变换的定义
z变换
为原序列 简写作
z为复变量
为像函数
单边 z变换 仅考虑 时的序列 的值，则有
抽样信号的拉氏变换
连续信号 抽样信号
两边同时取双边拉普拉斯变换，得
令
可得
当令
时，序列 的z变换就等于抽
样信号 的拉氏变换，即
1.2 z变换的收敛域
z变换的收敛域 对于任意给定的序列 ，使
解：由于收敛域为
故 为因果序列
根据多项式除法，得
即
于是得
时，
部分分式法
常常是较为复杂的有理分式，即
可将
展开成若干简单的部分分式之和，然后
分别求出各部分分式的z反变换，从而求得 对应的
原序列
基本步骤: （1）将 除以z，得到
（2）将
展开为部分分式
（3）将展开的部分分式乘以z，得到 （4）将各部分分式进行z反变换
1.4 z反变换
定义：由z变换 和其收敛域求原序列
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
一些常见的Z变换
一些常见的Z变换在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。
本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。
一、Z变换的定义Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。
它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。
通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。
二、常见的Z变换性质Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的Z变换性质。
1. 线性性质Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和$y[n]$，有以下关系：$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。
2. 移位性质对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$其中，$m$为正整数。
移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。
3. 初值定理与终值定理初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。
初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$终值定理则表示了序列$x[n]$在$n\to\infty$时的极限值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)$$初值定理和终值定理使得我们可以通过对$X(z)$在$z=1$处的值进行分析，推断出序列$x[n]$的初值和终值信息。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
Z变换公式——精选推荐
Z变换公式——精选推荐Z变换是一种常用的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它是傅里叶变换在离散时间域上的推广，可以将离散时间域上的信号或系统转换为复平面上的Z域。
Z变换广泛应用于信号处理、控制系统和通信系统等领域。
在Z变换的计算中，有一些重要的公式被广泛应用。
下面是一些精选的Z变换公式：1.Z平移定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么对于任意整数k，x(n-k)的Z变换为z^(-k)X(z)。
这个公式可以表示离散时间序列的平移操作。
2.反转定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列x(-n)的Z变换为X(1/z)。
这个公式表示序列的反转操作对应于Z平面上对称的操作。
3.Z域的卷积定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的卷积操作x(n)=x1(n)*x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
这个公式使得计算卷积操作变得更加简单，只需要对序列的Z变换进行乘法运算。
4.Z域的时移定理如果序列经过时移操作x(n-k)，那么它的Z变换为Z^(-k)X(z)，其中X(z)是原序列的Z变换。
这个公式表示时移操作对应于Z域上的将序列乘以一个Z的幂次的操作。
5.Z域的初始值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列的初始值x(0)等于X(1)。
这个公式是根据定义得到的，表示序列在n=0时的值等于Z变换在z=1时的值。
6.Z域的终值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，并且序列是因果的，即x(n)=0，当n小于0时，那么序列的终值x(infinity)等于lim_(z->1) [(1-z^-1)X(z)]。
这个公式表示因果序列在无穷远处的值等于计算X(z)关于z=1的泰勒级数截断的结果。
7.Z域的加法定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的和序列x(n)=x1(n)+x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)+X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-3]
![信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-3]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6e41306b7360b4c2e3f642e.png)
上讲回顾由零极点图对傅里叶变换进行几何求值分析一阶、二阶系统Z变换的性质（表10.1）常用Z变换对（表10.2）信号与系统课程组© 20142大纲310.1 Z 变换定义10.2 Z 变换的收敛域10.3 Z 逆变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.5 Z 变换的性质10.6 常用Z 变换对10.7 用Z 变换分析与表征LTI 系统10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.9 单边z 变换信号与系统课程组10.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统•系统函数)()(z X n x )(n h [])()(n h ZT z H =)()()()()()(z H z X z X n h n x n y =∗= : 称为系统函数/ 传递函数410.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统5这就是LTI 系统的傅里叶分析。
即是系统的频率响应。
如果 的ROC 包括单位圆，则 和 的ROC 必定包括单位圆，以 代入，即有()()()ωωωj j j e H e X e Y ⋅= LTI 系统的性质直接与 在z 平面的特性（零极点及收敛域）相联系！信号与系统课程组•10.7.1 因果性（Causality ）–一个具有有理系统函数 的DT LTI 系统是因果的，当且仅当：•(a) 收敛域必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在收敛域内；且•(b) 若 表示成z 的多项式之比，其分子多项式的阶次不大于分母的阶次。
)(216)(317)(n u n u n x nn ⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎭⎫⎝⎛=NN N N MM M M z a z a z a z a a z b z b z b z b b z D z N z X ++++++++++==−−−−112210112210)()()( NM ≤710.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统信号与系统课程组•10.7.2 稳定性（Stability ）–一个DT LTI 系统，当且仅当它的系统函数 的收敛域包括单位圆 1时，该系统稳定。
实验Z变换、零极点分析
1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；一、 实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。
解（1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify()化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
第10章Z-变换
[例]：求 Xz z2z10.5可能的收敛域及对应的逆变换 解：X z ( z ) z 3 ( z 1 0 . 5 ) z A 3 z B 2 C z 1 z D 0 . 5 z 2 3 z 4 2 z 8 1 z 8 0 . 5
X(z)2z24z18 8z z0.5
因果序列的ROC是某个圆的外部包括∞
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不
包括 z 0。
若 r0 RO，C ，r1 则 r有0
N1 x(n)r1n
n
N1
x(n)r0n
n
(r0)n r1
N1
n
x(n)r0n
(r0)N1 r1
r1ROC
当 N 1 0时，由于 X ( z 的) 展开式中包括有Z的负
4
3
如果极点为高阶极点呢？
国内教材介绍的部分分式法
1. 基本公式：
①因果序列 anunz za
za
n (n 1 ( )m ...( n 1 )!m 2 )a n m 1 u n z z a mz a
②反因果序列 bnun1 z zb
zb
记忆方法： 两边对a求导
n ( n 1 ( ) m ...( n 1 ) ! m 2 )b n m 1 u n 1 z z b m z b
上一个以原点为中心的圆环。
例5. 有限长序列 x ( n ) ( n 1 ) ( n ) ( n 1 )
X (z)[(n 1 )(n )(n 1 )]z n 1 1 z
n
z
ROC:0z
(n) 1 ROC:0z
R O C :0z , fo rm 0
(nm)zm
R O C :0z , fo rm 0
z变换自动控制原理
z变换自动控制原理第一部分：什么是z变换z变换是一种离散域的数学工具，用于将离散时间域信号转换为复频域。
它是傅里叶变换在离散信号处理中的扩展。
z变换通过将离散时间信号表示为复变量z的函数来表示，并通过对z变量进行变换来分析和处理信号。
第二部分：z变换的基本原理z变换的基本原理是将离散时间信号表示为z的多项式形式，通过对多项式进行变换来得到信号的频域表示。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，其中复平面上的点对应于信号的频谱。
通过对z变换进行逆变换，可以将信号从频域转换回时间域。
第三部分：z变换在自动控制中的应用在自动控制中，z变换广泛应用于系统建模和分析。
通过将差分方程转化为z域的代数方程，可以方便地进行系统性能分析和设计。
以下是一些z变换在自动控制中的常见应用：1. 系统传递函数表示：z变换可以将差分方程转换为系统的传递函数表示，从而方便地分析系统的频域特性和稳定性。
2. 系统响应分析：通过对z变换后的系统传递函数进行频域分析，可以获得系统的幅频特性和相频特性，进而评估系统的稳定性和性能。
3. 控制器设计：z变换可以用于控制器的设计和分析。
通过将控制器的差分方程转化为z域的传递函数，可以方便地进行控制器的频域设计和性能评估。
4. 离散控制系统建模：z变换可以将连续时间域的控制系统建模转换为离散时间域，从而方便进行离散控制系统的分析和设计。
5. 信号处理：z变换在离散信号处理中也有广泛应用。
通过z变换，可以对离散信号进行滤波、频谱分析等操作。
总结：本文介绍了z变换的基本原理和在自动控制中的应用。
z变换是一种离散域的数学工具，可以将离散时间信号转换为复频域，方便进行系统建模和分析。
在自动控制中，z变换广泛应用于系统传递函数表示、系统响应分析、控制器设计、离散控制系统建模和信号处理等方面。
通过对z变换的理解和应用，可以更好地理解和设计自动控制系统。
《信号与系统》第十章Z变换【最经典的奥本海默信号与系统课件,PDF版】
x[ n] z
n
n
a z
n n 1
1
n
a z 1 a z 1 1 1 a z 1 az n 1
1 即 a u[ n 1] 1 1 az
n Z
z a
说明： 1）Z变换由代数表达式和收 敛域组成； 2）例1和例2的零极点图和收 敛域如图所示. 3）如果X(z)的ROC包括单位 圆，则x[n]的DTFT 存在。
3. Z域尺度变换：
X ( z / z0 ) z R 时 X ( z )收敛，故 | z / z0 | R 时，
0
收敛。 j z e z z0 R 当 0 时，即为频移特性。 若 z0是一般复数
0 z0 r0 e j，则 X ( z / z0 )的零极点
不仅要将 X ( z ) 的零极点逆时针旋转一个角 度0 ，而且在径向有 r0 倍的尺度变化。
lim( z 1) X ( z ) Res[ X ( z ),1]
z 1
Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
10.3 Z-反变换
一.Z-反变换：
The Inverse Z-Transform
令
z re
j
dz jre d jzd
j
当ω从0→2π时，z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。 其中 C 是 ROC 中逆时针 方向的圆周。 二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当X(z)是有理函数时，可将其展开为部分 分式 Ai X (z) 1 1 aiz i
Properties of the Z-transform
Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其 推 论方法也相同。故主要讨论ROC的变化。 1. 线性：
z变换复移位定理
z变换复移位定理让我们来了解一下z变换的基本概念。
z变换是一种将离散时间域信号转换为复平面上的频域表示的方法。
它类似于傅里叶变换，但是适用于离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号表示为复数序列，它可以提供频域和时域之间的转换关系。
通过z变换，我们可以分析和设计数字滤波器、信号压缩和编码等应用。
在z变换中，复平面上的z变量表示了信号的频率特性和相位信息。
复移位定理描述了信号在复平面上的平移操作。
该定理表明，如果我们将离散时间信号在时域上向右移动k个单位，那么在z变换域中，它的z变量将乘以z的-k次幂。
这个定理可以用数学公式表示为：X(z) = z^(-k) * x(z)其中，X(z)表示信号的z变换，x(z)表示信号在复平面上的频域表示。
复移位定理的应用非常广泛。
它可以用于信号处理中的滤波器设计，特别是数字滤波器的频率响应调整。
通过应用复移位定理，我们可以将原始信号的频率特性进行平移，从而实现对信号频率的调整。
这在音频处理、图像处理和通信系统中都有广泛的应用。
复移位定理还可以用于信号的时域分析。
通过将信号在时域上进行平移，我们可以研究信号的时移性质和相位信息。
这对于了解信号的时域特性和相位调整非常重要，尤其在通信系统中，时移和相位调整是常见的操作。
在数字滤波器设计中，复移位定理也是一个重要的工具。
通过将滤波器的频率响应进行平移，我们可以调整滤波器的截止频率和通带特性。
这对于滤波器的设计和优化非常有帮助，可以满足不同应用的需求。
z变换复移位定理是信号处理和数字滤波器设计中的一个重要定理。
它描述了信号在复平面上的平移操作，可以用于信号的频率调整和相位调整。
复移位定理在音频处理、图像处理和通信系统中都有广泛的应用，对于滤波器设计和信号分析非常有帮助。
通过应用复移位定理，我们可以更好地理解和处理离散时间信号的特性，提高信号处理和滤波器设计的效果。
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10-2-4 z域微分性
若 f ( k ) F ( z ) ，则
dF ( z ) dz 证明：由 z 变换定义，有 kf ( k ) z
（10-2-5）
F ( z ) f ( k ) z k
k 0
将上式两端对 z 求导，得
dF ( z ) d [ f ( k ) z k ] ( k ) f ( k ) z k 1 z 1 kf ( k ) z k dz dz k 0 k 0 k 0 dF ( z ) 即 kf ( k ) z dz
f ( k ) a k ( k ) * b k ( k 1) F ( z )
z b bz 2 z a z b z ( a b) z ab
10-2-6 序列求和
若 f ( k ) F ( z ) ，则
g (k ) f (n) G( z )
Z [ f1 ( k ) ( k ) * f 2 ( k ) ( k )] [ f1 ( n ) ( n ) f 2 ( k n ) ( k ( n ) f 2 ( k n )] ( k n ) z k
令n k 1
z[ f ( n ) z n f (0)] zF ( z ) zf (0)
k 0
（2）右移性
Z [ f ( k 1)] f ( k 1) z k z 1 f ( k 1) z ( k 1) z 1 f ( n ) z n
10.1.3 常见离散时间信号的z变换
由 z 变换的定义易得如下常见信号的 z 变换。 （1）单位函数 (k ) 1 （2）单位阶跃序列 （3）单边指数序列 （4）单边斜坡序列
(k )
z z 1 z a k (k ) za z k ( k ) ( z 1) 2
10.2 z变换的性质
k 0 k 0 k 1
令n k 1
z 1 [ f ( n ) z n zf ( 1)] z 1 F ( z ) f ( 1)
k 0
此性质可以作如下推广
f (k m) z m [ F ( z ) f (k ) z k ]
k 0
m 1
z 。 za
一般而言，对于单边 z 变换，其收敛域总是 z 平面内以原点为圆心的圆外区域，圆的半径 为称为收敛半径，其取值与时域信号有关；对于双边 z 变换，其收敛域有以下几种情形：z 平 面内以原点为圆心的圆内区域、圆外区域、两个圆之间（即环）的区域，亦可以是整个 z 平面。
jIm(z)
|a| 0 Re(z)
n 0 k
10-2-5 时域卷积定理
若 f 1 ( k ) ( k ) F1 ( z ) ， f 2 ( k ) ( k ) F2 ( z ) ，则
f 1 ( k ) ( k ) * f 2 ( k ) ( k ) F1 ( z ) F2 ( z )
证明：由 z 变换定义，有
（10-2-6）
10.1.2 z变换的收敛域
z 变换的收敛域是指为使 z 变换所对应幂级数收敛的 z 的取值范围，此时可把幂级数表示 为闭合式。譬如，对于 F ( z ) 1 az 1 a 2 z 2 a k z k ，为使其收敛，则 | az 1 | 1 ，即
| z || a | ，如图 10-1-1 所示中阴影部分，即以 | a | 为半径的圆外区域，称 | a | 为收敛半径，此时 F ( z ) 的闭合式表示为 F ( z )
f ( k 1) z 1 F ( z ) f ( 1)
证明：由 z 变换的定义，有 （1）左移性
Z [ f ( k 1)] f ( k 1) z k z f ( k 1) z ( k 1) z f ( n ) z n
k 0 k 0 k 1
第 10 章 离散时间信号的z变换
与连续时间信号的分析类似，离散时间信号的分析同样涉及时域分析和变换域分析，其 中离散时间信号的变换域分析以 z 变换为数学工具。 本章介绍离散时间信号的 z 变换，涉及 z 变换的定义、z 变换性质、z 反变换等。
10.1 z变换
10.1.1 z变换的定义
离散时间信号（序列） f ( k ) 的 z 变换 F ( z ) 定义为
5 ( k 2) 2 k 1 ( k 1)
5z 2z 3z 2 8 z z 1 z 2 ( z 1)( z 2)
10.2.2 移位（移序）性
若 f ( k ) F ( z ) ，则 f ( k 1) zF ( z ) zf (0) （10-2-2a） （10-2-2b）
F ( z ) f ( 2) z 2 f ( 1) z1 f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2
k
f (k ) z
k
（10-1-1）
其中 F ( z ) 称为 f ( k ) 的像函数， f ( k ) 为 F ( z ) 的原函数。上式可简写为 F ( z ) Z [ f ( k )] ， 也可用双向箭头表示两者之间的对应关系，即 f ( k ) F ( z ) 。 如果只考察 f ( k ) 在 k 0 后的情形，则有
F ( z ) f (k ) z k
k 0
（10-1-2）
称上式为单边 z 变换，相应地称式（10-1-1）为双边 z 变换。 与拉普拉斯变换类似，如果 f ( k ) 为因果信号，则其单双边 z 变换相同。对于多个非因果 信号，若它们在 k 0 后的定义一样，则它们的单边 z 变换亦一样，即 f ( k ) 与 f ( k ) ( k ) 的单 边 z 变换相同，从而 F ( z ) 与非因果信号 f ( k ) 不再是一一对应的关系。鉴于此，对于单边 z 变 换，若 f ( k ) 为非因果信号，则只能用单向箭头来表示 f ( k ) 与其 z 变换 F ( z ) 之间的对应关系， 即 f (k ) F ( z ) 。 本书后续内容主要讨论单边 z 变换，简称为 z 变换。 例 10-1-1 求 f ( k ) {1,2,1,2,3} 的 z 变换。 解： F ( z ) f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2 1 2 z 1 3z 2
k 0 n 0
f 1 ( n ) z n f 2 ( k n ) z ( k n )
n 0 k n 令m k n
f (n) z f
n n 0 1 m 0
2
( m ) z m
F1 ( z ) F2 ( z )
此性质针对的是两因果序列的卷积和。如果卷积和中涉及非因果序列，则没有此性质。 例 10-2-6 f ( k ) a k ( k ) * b k ( k 1) ? 解：根据时域卷积定理，有
从 z 变换的定义易于得出此性质，它反映了 z 变换是一种线性运算。 例 10-2-1 2 k ( k ) 3k ( k ) ?
（10-2-1）
解：根据 z 变换的线性性质，有 z z z 2 k ( k ) 3k ( k ) z 2 z 3 ( z 2)( z 3) 例 10-2-2 5 ( k 2) 2 k 1 ( k 1) ? 解：根据 z 变换的线性性质，有
z z Z [a k f ( k )] a k f ( k ) z k f ( k )( ) k F ( ) a a k 0 k 0
（10-2-4）
例 10-2-4 f ( k ) ka k F ( z ) ? 解：根据 z 变换的比例性，有 z k ( z 1) 2 z/a az ka k 2 ( z / a 1) ( z a)2
（1） ( k 1) z 1 z (0) 0 （2） ( k 1) z 1 1 z 1
z z z (0) z 1 z 1 z 1 （4） ( k 1) z 1 z 1 z 1 z z z 0 （5） k 1 z z z z z r 1 （6） k 1 z 1 (z ) z z 1 （7） k 1 ( k 1) z 1 z z 另外，对于（1） 、 （3） 、 （5） 、 （6） ，亦可以不采用此移位性质求解。譬如， ( k 1) 在 k 0 时均为 0 ，其单边 z 变换自然为 0 ； ( k 1) 在 k 0 时的定义与 ( k ) 相同，故其单边 z 变换与
z 变换建立了离散时间信号时域特性和 z 域特性之间的对应关系，z 变换性质描述了这种 对应关系的规律。而且，利用 z 变换的性质有助于求取一些非典型信号的 z 变换。
10.2.1 线性性
若 f1 ( k ) F1 ( z ) ， f 2 ( k ) F2 ( z ) ，则
af1 ( k ) bf 2 ( k ) aF1 ( z ) bF2 ( z )
（10-2-3a） （10-2-3b） （10-2-3c）
f (k m) z m [ F ( z ) f ( k ) z k ]
k 1
m
f ( k m ) ( k m ) z m F ( z )
对于因果序列 f ( k ) 而言，由于 f ( k m ) ( k m ) f ( k m ) ，因此 f ( k m ) z m F ( z ) 。 例 10-2-3 计算下列各式。 （1） ( k 1) ? （2） ( k 1) ? （4） ( k 1) ? （7） k 1 ( k 1) ? 解：根据 z 变换的移位性，有 （5） k 1 ? （3） ( k 1) ? （6） k 1 ?