含参数的不等式问题

例7、(2004年 辽 宁,22) 已知函数f ( x) ln(e x a)(a 0). (1)求f ( x)的反函数y f 1( x)及f ( x)的导数f ( x)； (2)假设对任意x [ln(3a),ln(4a)],不等式 m - f 1( x) ln( f ( x)) 0成立，求实数m的取值范围.
集 合B { x sin(x ) 3 cos(x ) 0},
3
3
若(CR A) B恰 有3个 元 素,求a的 取 值 范 围.
(1)当a 1时,解集为x R;
(2) 1 a 0.
当a 1时, 解集为x （ ，a) (2 a,).
例6、(2005年 辽 宁,16)
是正实数, 设S f ( x) cos[( x )]是奇函数.
含有参数的不等式问题主要有三种主要类型
第一种类型：解含有参数的不等式； 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，
求参数的范围； 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下
恒成立,能成立,恰成立或部分成立， 求参数的范围.
一、解含有参数的不等式
例1、(2004年 辽 宁,18) 解关于x的不等式 x -1 a 1 0(a R).
(2)m 2或m 2.
例9、(2005年 全 国 Ⅱ,22) 已 知a 0,函 数f ( x) ( x2 2ax)e x . 设f ( x)在[1，1]上 是 单 调 函 数,求 实 数a的 取 值 范 围.
a 3 4
例10、(2005年 湖 南,21) 已 知 函 数f ( x) ln x, g( x) 1 ax2 bx, a 0.
若对每个实数a有S (a, a 1)的元素不超过2个, 且有a
使S (a, a 1)含2个元素,则的取值范围是( ( ,2 ]).
三、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题
1、恒成立问题 若不等式f(x)>a在区间D上恒成立,则等价于函数f(x)在 区间D上的最小值大于a；若不等式f(x)<b在区间D上恒 成立,则等价于函数在区间上D的最大值小于b.
当a 1时,解集为x R;
例2、(2005年 江 西,17) 当a 1时,解集为x （ ，a) (2 a,). 已 知 函 数f ( x) x2 (a, b为 常 数 ）,
ax b 方 程f ( x) - x 12 0有 两 个 实 根x1 3, x2 4. 设k 1, 解 关 于x的 不 等 式 ：f ( x) (k 1)x k .
例3、(2004年 上 海,19)
记 函 数f ( x) 2 x 3的 定 义 域 为A, x1
g( x) lg[(x a 1)(2a x)](a 1)的 定 义 域 为B.
(1)求A；
A (,1) [1,);
(2)若B A,求 实 数a的 取 值 范 围.
a （ ， 2][1 ,1). 2
(1)
f
1( x)
ln(e x
a)( x
ln a),
f
( x)
ex ex
a
;
(2) ln( 12 a) m ln( 8 a).
5
3
例8、(2004年 福 建,21)
已 知 函 数f
(x)
2x x2
a 2
(x
R)在 区 间[1，1]上 是 增 函 数.
(1)求 实 数a的 值 所 组 成 的 集 合A；
(1)当x (0, 1 )时, f ( x)是减函数;当x ( 1 ,1)时, f ( x)是增函数;
2
2
f ( x)的值域为[-4，- 3]；
(2)1 a 3 . 2
例5、(2004年 辽 宁,18)
(1)解 关 于x的 不 等 式x - 1 a 1 0(a R);
(2)记A为(1)中 不 等 式 的 解 集,
(2)设 关 于x的 方 程f
(x)
1 x
的
两
根பைடு நூலகம்
为x1、x2
.
试 问 ： 是 否 存 在 实 数m, 使 得 不 等 式
m2 tm 1 x1 x2 对 任 意a A及t [1,1]恒 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出m的 取 值 范 围 ； 不 存 在 ，请 说 明 理 由.
（1）A a 1 a 1;
所 满 足 的 关 系.
2 2 b 2 2；
4
4
-1
1
(2b) 2 a 2(1- b)2
2 x
当1 k 2时, 解集为x (1, k) (2,); 当k 2时, 解集为x (1,2) (k,).
二、已知不等式成立的条件,求参数的范围
有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的, 所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件, 也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出 的条件在含参数的不等式中的作用,从而弄清给 定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.
例4、(2005年 全 国 Ⅲ,22)
已 知 函 数f ( x) 4x2 7 , x [0,1]. 2 x
(1)求f ( x)的 单 调 区 间 和 值 域 ；
(2)设a 1,函 数g( x) x3 3a2 x 2a, x [0,1], 若 对 任 意x1 [0,1],总 存 在x0 [0,1],使 得 g( x0 ) f ( x1 )成 立,求 实 数a的 取 值 范 围.
2、 能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>a成立,即f(x)>a 在区间D上能成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最大值 大于a；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<b成立,即 f(x)<b在区间D上能成立,则等价于函数f(x)在区间D上 的最小值小于b.
3、恰成立问题 若不等式f(x)>a在区间D上恰成立,则等价于不等式 f(x)>a的解集为D；若不等式f(x)<b在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)<b的解集为D.
2 若b 2,且h( x) f ( x) g( x)存 在 单 调 递 减 区 间 ， 求 实 数a的 取 值 范 围.
a （-1，0）（0， ）
例11、(2005年 辽 宁,22)
若 关 于x的 不 等 式x2
1
ax
b
3
2
x 3在[0，
)上
2
恒 成 立,其 中a、b为 实 数,求 实 数b的 取 值 范 围 及a与b