函数及其表示知识点练习题答案

函数及其表示考纲知识梳理

一、函数与映射的概念 函数

映射

两集合 设A B 、是两个非空数集 设A B 、是两个非空集合 对应关系

:f A B →

如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任

意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应。

如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任

意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

名称

称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数

称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射 记法

()y f x =，x A ∈

对应:f A B →是一个映射

集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与

x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域

（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 （3）相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）

（4）函数的表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。 （5）分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题

1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0

,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ A ）

A.),3()1,3(+∞⋃-

B.),2()1,3(+∞⋃-

C.),3()1,1(+∞⋃-

D.)3,1()3,(⋃--∞

解析 由已知，函数先增后减再增

当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0

故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或

2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33

x ；

（2）f （x ）=x x |

|，g （x ）=⎩⎨

⎧<-≥;

01,01x x

（3）f （x ）=

1

212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；

（4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2

；

（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2

－2t －1。

解：（1）由于f （x ）=2x =|x|，g （x ）=33

x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数；

（2）由于函数f （x ）=x x |

|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=⎩

⎨

⎧<-≥;

01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；

（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数， ∴f （x ）=

1

212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相

同，所以它们是同一函数；

（4）由于函数f （x ）=x

1+x 的定义域为{x|x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域

为{x|x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数

注：对于两个函数y=f （x ）和y=g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f （x ）和y=g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

3、求下列函数的值域：

（1）

2

32

y x x

=-+；（2）265

y x x

=---3）

31

2

x

y

x

+

=

-；

（4）

41

y x x

=+-5）2

1

y x x

=-6）|1||4|

y x x

=-++；

（7）

2

2

22

1

x x

y

x x

-+

=

++；（8）

2

211

()

212

x x

y x

x

-+

=>

-；

解：（1）（配方法）

22

12323 323()

61212

y x x x

=-+=-+≥

，

∴

2

32

y x x

=-+的值域为

23

[,)

12

+∞（2）求复合函数的值域：

设

265

x x

μ=---

（

μ≥），则原函数可化为yμ

=

又∵

22

65(3)44 x x x

μ=---=-++≤

，

∴04

μ

≤≤[0,2]

μ

，

∴

265

y x x

=---[0,2]

（3）（法一）反函数法：

31

2

x

y

x

+

=

-的反函数为

21

3

x

y

x

+

=

-，其定义域为{|3}

x R x

∈≠，

∴原函数

31

2

x

y

x

+

=

-的值域为{|3}

y R y

∈≠

（法二）分离变量法：

313(2)77

3

222

x x

y

x x x

+-+

===+

---，

∵

7

2

x

≠

-，∴

7

33

2

x

+≠

-，

∴函数

31

2

x

y

x

+

=

-的值域为{|3}

y R y

∈≠

（4）换元法（代数换元法）：设

10

t x

=-≥，则2

1

x t

=-，

∴原函数可化为

22

14(2)5(0)

y t t t t

=-+=--+≥，∴5

y≤，

∴原函数值域为(,5] -∞

注：总结y ax b cx d =++