2020年 普通高考数学(山东卷) 全真模拟卷(1) (解析版)

2020年2月普通高考（山东卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =--<，102B x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，则A B =U A ．1322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C ．1-12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x >-【答案】D【解析】由题可得：{}23230=12A x x x x x ⎧⎫=--<-<<⎨⎬⎩⎭；11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=->=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ {}1A B x x ⋃=>-，故选D.2．已知i 为虚数单位，复数(,)z a bi a b R =+∈，若1zi i =+，则+a b 的值为 A ．0 B ．1C ．2D ．-2【答案】A【解析】∵1zi i =+，∵()11111i i i iz i i i i ++-+====-⨯-，又z a bi =+， ∵1a =，1b =-， ∵0a b +=．故选A ．3．已知2()2f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为()-1,3.若对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立，则m 的取值范围是A ．](-2∞，B ．[)4+∞，C ．[)2+∞， D ．](-4，∞【答案】B 【解析】因为()0f x >的解集为()1,3-，故220x bx c -++=的两个根为1,3-，所以132132cb ⎧-=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 即46bc =⎧⎨=⎩ ，令()()g x f x m =+，则()()22246218g x x x m x m =-+++=--++，由[]1,0x ∈-可以得到()min g x m =，因()4g x ≥在[]1,0-上恒成立，故4m ≥，故选B.4．若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 A ．在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和 B ．在23451，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和 C ．在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和D ．以上结论都不对 【答案】A【解析】展开（a +1）（a +2）（a +3）（a +4）（a +5），则展开式中a 3的系数可以看成三个因式取a ， 其余的两个因式是从23451，，，，的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和．故选A ．5．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点，P 点在线段B 1C 上，则NP 与平面AMC 1的位置关系是A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．要依P 点的位置而定【答案】B【解析】连接B 1N ，因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点， 所以C 1M∵NC ．因为C 1M 不在平面NCB 1内，NC∵平面NCB 1， 所以C 1M∵平面NCB 1.同理可得AM∵平面NCB 1.又因为C 1M∩AM ＝M ，AM ⊂平面C 1AM ，C 1M ⊄平面C 1AM ， 所以平面C 1AM∵平面NCB 1.又因为P 点在线段B 1C 上，所以NP∵平面C 1AM ，故选B ． 6．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为A ．-7B ．7C ．1D ．-1【答案】B 【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-， 又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，故选B. 7．已知单位向量1e r 与2e r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r r r 与123b e e =-r r r 的夹角为β，则cos β等于 A．3B．2C．3D．3【答案】C【解析】()2222121122329124912cos 49a e e e e e e α=-=-⋅+=-+=r r rr r r rQ3a ∴=r()222212112239696cos 18b e e e e e e α=-=-⋅+=-+=r r r r r r rQb ∴=r又()()221212112232399299cos 28a b e e e e e e e e α⋅=-⋅-=-⋅+=-+=r r r r r r r r r rcos 3a b a b β⋅∴===⋅r r r r ，故选C.8．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线与圆组方程组，224(2)4y k x x y =+⎧⎨++=⎩（）消y 得2222(1)(84)160k x k x k ++++=，212121222(84)4,(8)11k kx x y y k x x k k -++=+=++=++ 所以20202(42)1()21k x k k ky k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参，消参得22(3)1x y ++=，圆心N(-3，0)到直线的距离1535d -==，所以最大值为d+r=4，故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，发生改变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】BCD【解析】中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选BCD ． 10．已知抛物线2:2C y px=()0p >的焦点为FF ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是A ．4p =B ．DF FA =u u u ru u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l ，其倾斜角为60o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选ABC.11．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥;B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π. 【答案】BD【解析】对于A ，取AD 的中点为E ，连接CE 交MD 于点F ，如图1则1//AB NE ，1//MB NF ，如果1CN AB ⊥，则EN CN ⊥， 由于11AB MB ⊥，则EN NF ⊥，由于三线,,NE NF NC 共面且共点，故这是不可能的，故不正确； 对于B ，如图1，由1NEC MAB ∠=∠，且11,2NE AB AM EC ==， ∴在CEN ∆中，由余弦定理得：2222cos NC NE EC NE EC NEC =+-⋅⋅∠，也是定值，故NC 是定值，故正确； 对于C ，如图2AB BM =Q ，即11AB B M =，则1AM B O ⊥若1AM B D ⊥，由于111B O B D B =I ，且11,B O B D ⊂平面1ODB ，AM ∴⊥平面1ODB ，OD ⊂平面1ODB ，OD AM ∴⊥，则AD MD =，由于AD MD ≠，故1AM B D ⊥不成立，故不正确； 对于D ，根据题意知，只有当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，取AD 的中点为E ，连接1,,OE B E ME ，如图2，1AB BM ==Q ，则111AB B M ==，且11AB B M ⊥，平面1B AM ⋂平面AMD AM =1B O AM ∴⊥，1B O Ì平面1B AM1B O ∴⊥平面AMD ，OE ⊂平面AMD1B O OE ∴⊥，则AM =112B O AM ==11222OE DM AM ===，从而11EB ==， 易知1EA ED EM ===AD ∴的中点E 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D 正确； 故选BD.12．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，若0a >，0b >，则下列结论中正确的是A ．()ln lnba b a ++=B ．()ln lnln ab a b +++=+C ．()lnln ln a b a b ++++≥+D ．()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++【答案】AD【解析】对A ，当01a <<，0b >时，有01b a <<，从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，所以()lnlnba b a ++=；当1a ≥，0b >时，有1b a ≥，从而()ln ln ln b ba ab a +==，ln ln b a b a +=，所以()lnlnba b a ++=．所以当0a >，0b >时，()ln lnba b a ++=，故A 正确．对B ，当14a =，2b =时满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==，1ln ln ln ln 2ln 24a b +++++=+=，所以()lnln ln ab a b +++≠+，故B 错误；对C ，令2a =，4b =，则()ln 24ln6++=，ln2ln 4ln 2ln 4ln8+++=+=，显然ln6ln8≠，故C 错误；对D ，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤，当01a <<，01b <<时，有02a b <+<， 从而()ln ln 2ln 2a b +++<=，lnln ln 200ln 2ln 2a b ++++=++=，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>， 从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，()ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a ++++=++=， 所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>， 从而()()()()ln ln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，()ln ln ln20ln ln2ln 2a b b b ++++=++=， 所以()lnln ln ln 2a b a b ++++<++；当1a ≥，1b ≥时，()()ln ln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab ++++=++=，因为()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，所以2ab a b ≥+，所以()lnln ln ln 2a b a b ++++≤++．综上所述，当0a >，0b >时，()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++，故D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．下列说法不正确的是_____________（填序号）．∵“若2560x x -+=，则2x =或3x =”的否命题为“若2560x x -+≠，则2x ≠或3x ≠”； ∵“11()()22xy>”是“ln ln x y <”的充要条件；∵“函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点”的充分不必要条件是“3m <”． 【答案】∵∵【解析】∵“若2560x x -+=，则2x =或3x =”的否命题为“若2560x x -+≠，则2x ≠且3x ≠”，故∵错；∵由11()()22xy>得，x y <，但,x y 正负不确定，不能推出ln ln x y <，故∵错；∵当(16,)∈+∞x 时，2()log (4,)=-∈-+∞f x x m m ，且2()log f x x m =-单调递增， 若函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点，则40-≥m ，即4m ≤，不能推出3m <；但由3m <能推出4m ≤，故函数2()log f x x m =-在(16,)+∞上无零点”的充分不必要条件是“3m <”， ∵正确. 故答案为∵∵14．元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）【答案】1680【解析】由题可得共有993333331680A A A A =种不同的取法.15．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF ∆的内切圆与边AB ，2BF ，2AF 分别相切于点M ，N ，P ，且4AP =，则a 的值为________.【答案】2 【解析】由题意知BM BN =，22F P F N =，AM AP =.根据双曲线的定义，知1212BF BF MF NF -=-，212AF AF a -=，则122AF AF a =-，所以1212BF BF MA AF NF -=+- 222822MA AP PF a NF a a =++--=-=，所以2a =.16．（本题第一空2分，第二空3分）古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知()()22221211236n n n n +++++⋅⋅⋅+=）观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第n 个四面体数为______. 【答案】35()()1126n n n ++ 【解析】由题， 第一个四面体数为1； 第二个四面体数为()112++；第三个四面体数为()()112123+++++； 第四个四面体数为()()()11+2+1+2+3+1+2+3+4+ ……由此可归纳，第n 个四面体数为()()()112123123n +++++++++++LL即为()11362n n +++++L 设该式中的每个数从左至右的排列为数列{}n a ，即{}n a 为：1，3，6，10，…… 得到递推关系为212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，相加后得()()()21211222n n n a a nn +--==+-()212n a n n ∴=+，故数列{}n a 的和()()()()()()22222222111112233123123222n S n n n n ⎡⎤=+++++++=++++++++⎣⎦L L L ()()()()()1211111=1226226n n n n n n n n +++=⋅+⋅++ ∴当5n =时，1567356n S =⨯⨯⨯= 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件∵()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，∵sin cos()6a Bb A π=+，∵sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】若选∵：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选∵：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选∵：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 18．（12分）已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；(2)求满足122311...7n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【解析】(1)当1n =时，13a =；当2n ≥时，2243n n n a a S +=+∵2111243n n n a a S ---+=+∵∵-∵整理得12n n a a --=21n a n =+，所以121n b n =+. (2)设111(21)(21)n n n c b b n n --==-+所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭令1111023217n ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭，解得10n <，所以n 的最大值为9. 19．（12分）由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t （单位：h ）与检测效果y 的数据如下表所示.（1）据统计表明，y与t 之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（若||0.75r ≥，则认为y 与t 有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）； （2）建立y 关于t 的回归方程，并预测该学生记题型8h 的检测效果；（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.参考公式：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a yb x ∧∧=-，相关系数()()niix x y y r --=∑参考数据： 4.3y =，()7217.08ii y y =-=∑，()()7114i ii t ty y =--=∑14.08≈.【解析】（1）由题得123456747t ++++++==，()721941014928i i t t =-=++++++=∑，所以，()()70.990.75ii ty y r t--==≈>∑所以y 与t 有很强的线性相关关系.（2）由（1）可得()()()71721140.528ii i i i tty y b t t ∧==--===-∑∑，所以 4.30.54 2.3a y b t ∧∧=-=-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为0.5 2.3y t ∧=+. 当8t =时，0.58 2.3 6.3y ∧=⨯+=， 所以预测该学生记题型8h 的检测效果约为6.3.（3）由题知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有()3.6,4.4，()3.6,4.8，3.6,( 5.2)，()3.6,5.9，()4.4,4.8，()4.4,5.2，()4.4,5.9，()4.8,5.2，()4.8,5.9，()5.2,5.9共10种情况，其中检测效果均高于4.4的有()4.8,5.2，()4.8.5.9，()5.2.5.9，共3种结果， 故所求概率为310. 20．（12分）如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证：平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【解析】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFQ CD ⊂平面CDE ， ∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-u u u r，(,)0BM m DB ==u u u u r u u u r设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =r00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =3,y z m ==，平面BMC的一个法向量为)n m =r.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>r u u u r,n BD n BD==r u u u r r u u u r g∴当0m =，当m =时取最大值12故BD与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦.21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.()1求椭圆C 的方程；()2过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】()1由题意得222222c b a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y += ()2设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞22．（12分）已知函数()()ln 1x f x ax a R x-=-∈. （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若1a <-，求函数()f x 的单调区间； （3）若12a <<，求证：()1f x <-.【解析】（1）若0a =，则()11f =-，()()22,12lnxf x f x''-==， 所以()f x 在点()1,1-处的切线方程为230x y --=.（2）()()2220,,.ax lnxx f x x --∈+∞'= 令()22g x ax lnx =--，则()221ax g x x-='-.令()0g x '=，得x =依题意102a ->)由()0g x '>，得x >由()0g x '<，得0x <<所以，()g x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增所以，()52min g x g ==-因为1a <-，所以110,022a <-<<. 所以()0gx >，即()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞.（3）由()0,1x f x ><-，等价于11lnx ax x--<-， 等价于210ax x lnx -+->. 设()21hx ax x lnx =-+-，只须证()0h x >成立.因为()212121,12,ax x h x ax a x x--='--=<<由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=.在()00,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>则()hx 的最小值为()200001h x ax x lnx =-+-00001123.2x x lnx x lnx +=-+--=-又()131220,230,222a h a h a ⎛⎫⎛⎫=->=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭'⎝⎭'所以01 1.2x << 则030,0.2x lnx ->-> 因此0030,2x lnx -->即()00.h x > 所以()0h x >.所以()1f x <-.。