2020-2021学年数学北师大版必修3学案：2.2.3 循环结构含解析

2．3循环结构知识点循环结构[填一填]1．循环结构(1)定义：按照一定条件，反复执行某一步骤的算法结构称为循环结构，反复执行的部分称为循环体．(2)循环变量：控制着循环的开始和结束的变量，称为循环变量．(3)循环的终止条件：决定是否继续执行循环体的判断条件，称为循环的终止条件．2．在画出算法流程图之前，需要确定三件事(1)确定循环变量和初始条件；(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；(3)确定循环的终止条件．3．循环结构的算法流程图的基本模式[答一答]如何理解循环结构中的计数变量和累计变量？提示：在大部分循环结构中会有一个计数变量和一个累计变量．计数变量用于记录循环次数，累计变量用于输出结果，它们一般是同步执行，累计一次，计数一次，例如i＝i＋1，sum＝sum＋t.i＝i＋1的含义是：将变量i的值加1，然后把计算结果再存储到变量i中，即i在原值的基础上又增加了1.变量sum作为累加变量，用来表示所求数据的和．如sum的初值为0，当第一个数据送到变量t中时，累加的动作为sum＝sum＋t，即把sum的值与变量t的值相加，将所得结果再送到变量sum中，如此循环，则可实现数的累加求和．类似于这个原理，我们也可以实现累乘求积的问题．在具体画算法框图时，要注意：流程线上要有标志执行顺序的箭头；判断框后边的流程线应根据情况标注“是”或“否”；在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量等，特别是条件的表述要恰当、精确．画循环结构算法框图的要领：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件．类型一循环结构的基本概念【例1】在使用循环结构描述一个具体问题的算法时，循环变量的初始值()A．是唯一的B．是固定不变的C．根据结构特点有时可以变化D．以上答案都不对【解析】循环结构中，若循环体不同，所给的循环变量的初值可以不同，故选C.【答案】 C规律方法对循环结构的有关概念的正确理解是解循环结构题目的关键，应认真掌握．下面的算法流程图中是循环结构的是(C)A．①②B．②③C．③④D．②④解析：①为顺序结构，②为条件结构，③④为循环结构．类型二含循环结构的程序的运行【例2】如果执行如图所示的算法框图，输入x＝－2，h＝0.5，那么输出的各个数的和等于()A．3B．3.5C．4D．4.5【思路探究】本题主要考查循环结构内嵌套多个选择结构的算法框图，需要反复进行判断和运算直到满足条件．题中涉及三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．【解析】按照算法框图依次执行为：初始值x＝－2，h＝0.5.(1)x＝－2，h＝0.5，y＝0；(2)x＝－1.5，h＝0.5，y＝0；(3)x＝－1，h＝0.5，y＝0；(4)x＝－0.5，h＝0.5，y＝0；(5)x＝0，h＝0.5，y＝0；(6)x ＝0.5，h ＝0.5，y ＝0.5；(7)x ＝1，h ＝0.5，y ＝1；(8)x ＝1.5，h ＝0.5，y ＝1；(9)x ＝2，h ＝0.5，y ＝1.所以输出的各个数的和等于3.5.【答案】 B规律方法 对于循环结构的算法框图的读图问题，要读懂框图的执行方向和其中的判断条件，明确循环次数，弄清每次的赋值．如图所示，算法框图的输出结果是( D )A.16B.2524C.34D.1112解析：第一次循环，s ＝12，n ＝4；第二次循环，s ＝34，n ＝6；第三次循环，s ＝1112，n ＝8.此时跳出循环，输出s ＝1112.类型三 含循环结构算法框图的设计【例3】 写出一个求满足1×3×5×7×…×n >60 000的最小正整数n 的算法，并画出相应的算法框图．【思路探究】本题需要重复执行乘法，故引入循环结构，算法的结束需要引入一个累乘变量来控制．【解】算法如下：1．令s＝1；2．令n＝1；3．如果s≤60 000，那么n＝n＋2，s＝s×n，重复执行第3步，否则，执行第4步；4．输出n.算法框图如图所示．规律方法设计循环结构的算法框图的注意点解决具体的循环结构的算法问题，要尽可能少地引入循环变量，否则较多的变量会使得设计程序比较麻烦，同时应尽可能使得循环嵌套的层数少．另外，要注意：(1)在循环结构中，循环变量要赋初始值，循环变量的自加不要忘记，自加多少不能弄错．(2)循环结构中循环的次数要严格把握，区分“<”与“≤”等．另外，同一问题利用两种不同的结构解决时，其判断条件不同．设计一个算法计算11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6的值，并画出相应的算法框图．解：具体算法步骤如下：1．k＝1，S＝0；2．S＝S＋1k(k＋1)，k＝k＋1；3．若k<6，则反复执行第2步，否则，执行第4步；4．输出S.相应的算法框图如图．类型四循环结构的实际应用【例4】用分期付款的方式购买价格为2 150元的冰箱，如果购买时先付1 150元，以后每月付50元，并加付欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出算法框图．【思路探究】用循环结构设计算法解决应用问题．【解】购买时付款1 150元，余款1 000元分20次分期付款，每次的付款数为：a1＝50＋(2 150－1 150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(2 150－1 150－50)×1%＝59.5(元)，……a n＝50＋[2 150－1 150－(n－1)×50]×1%＝60－12(n－1)．∴a20＝60－12×19＝50.5(元)，总和S＝1 150＋60＋59.5＋…＋50.5＝2 255(元)．算法框图如图：规律方法用循环结构设计算法解决应用问题的步骤：1．审题；2．建立数学模型；3．用自然语言表述算法步骤；4．确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，对于要重复执行的步骤，通常用循环结构来设计，并用相应的算法框图表示，得到表示该步骤的算法框图；5．将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的算法框图．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60，画出求80分以上的同学的平均分的算法框图．解：程序框图如下：——易错警示——循环结束的条件判断不准致误【例5】如图所示，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是()A．k≥6B．k＝7 C．k≥8D．k≥9【错解】本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720.【错解分析】考生应注意题中“否”对应着输出框，所以只有不满足判断框内的条件时，循环才能结束．另外，计数变量k在题中不仅体现了循环的次数，而且还参与了累乘变量的变化过程，如果计数变量k的变化与累乘变量的变化的先后顺序改变，则k的初始值和判断框中的条件也要发生变化．【正解】第一次运行结果为S＝10，k＝9；第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8.故选C.【答案】 C执行如图所示的算法框图，如果输出的a值大于2 015，那么判断框内应填(C)A．k≤6 B．k<5C．k≤5 D．k>6解析：第一次循环，a＝4×1＋3＝7，k＝1＋1＝2；第二次循环，a＝7<2 015，故继续循环，所以a＝4×7＋3＝31，k＝2＋1＝3；第三次循环，a＝31<2 015，故继续循环，所以a＝4×31＋3＝127，k＝3＋1＝4；第四次循环，a＝127<2 015，故继续循环，所以a＝4×127＋3＝511，k＝4＋1＝5；第五次循环，a＝511<2 015，故继续循环，所以a＝4×511＋3＝2 047，k＝5＋1＝6；第六次循环，a＝2 047>2 015，故不符合条件，终止循环，输出a值．所以判断框内应填的条件是k≤5.一、选择题1．以下说法不正确的是(C)A．顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构B．循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含选择结构C．循环结构中不一定包含选择结构D．用算法流程图表示算法，使之更加直观形象，容易理解解析：任何算法都是由若干个顺序结构组成，循环结构中要对是否循环进行判断，所以一定包含选择结构，故选C.2．执行两次下图所示的算法框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为(C)A．0.2,0.2 B．0.2,0.8C．0.8,0.2 D．0.8,0.8解析：本题考查了循环结构．第一次输入a＝－1.2<0→a＝－1.2＋1＝－0.2<0→a＝－0.2＋1＝0.8>0且a<1→输出a＝0.8；第二次输入a＝1.2≥1→a＝1.2－1＝0.2→输出a＝0.2.3．如图所示，算法框图的输出结果是(B)A．3 B．4C．5 D．8解析：本题考查了算法循环结构的直到型的流程图及赋值语句问题.x 1248y 123 4要有针对性的复习．二、填空题4．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝4.解析：本题考查算法框图的循环结构．i＝1，A＝2，B＝1；i＝2，A＝4，B＝2；i＝3，A＝8，B＝6；i＝4，A＝16，B＝24；此时A<B，则输出i＝4.5．执行如图所示的算法框图，若输入n的值为8，则输出s的值为8.解析：本题考查算法框图的循环结构．第1次，i ＝2，s ＝2，第2次i ＝4，s ＝12(2×4)＝4；第3次，i ＝6，s ＝13(4×6)＝8，第4次，i ＝8，输出s ＝8.注意变量赋值的顺序． 三、解答题6．已知有一列数12，23，…，nn ＋1，设计算法求这列数前100项的和．解：S 1 赋值i ＝1，S ＝0 S 2 S ＝S ＋ii ＋1S 3 i ＝i ＋1 S 4 判断i >100 S 5 i >100，则输出S 否则，返回S 2 S 6 结束 程序框图：。