矩阵 第二讲几种常见平面变换的解题技巧(下)(人教A版选修4-2)

1 a 例 3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x＋y＋2＝0 在矩阵 M＝ 对应的变换作用下得到直线 4 b
m：x－y－4＝0，求实数 a、b 的值．
【解析】解法 1：在直线 l：x＋y＋2＝0 上取两点 A(－2，0)，B(0，－2)，A，B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于 点 A′，B′， 1 a －2 2 1 a 0 2a ＝ ＝ 因为 ，所以 A′的坐标为(－2，－2b)； ，所以 B′的坐标为(－2a，－8)； 4 0 2b 4 b b －2 8
x x x T : y y x
8．切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵．
a a m 设A(a , b)，A (a m , b)，则T : b b 1 k m 变换矩阵为 ,k b 0 1
x 1 0 x x x x T : y y 0 1 y y y 2 2 2
1 0 2 0 0 2 , 0 1

以 P(x，y)为终点的向量 OP ．
矩阵通常用大写黑体字母表示．如：矩阵A，行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示．
x
两个矩阵的行数与列数分别相等,源自文库且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 二阶矩阵与列向量的乘法法则为： a a y a x a y 21 22 0 21 0 22 0
6．旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵．其中θ
称为旋转角，点O为旋转中心．
P ( x , y )
r


r
P( x, y)
x r cos y r sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin y r sin( ) r sin cos r cos sin y cos x sin
技巧传播
例 1．运用旋转矩阵，求直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
cos45° －sin45° 2 1 －1 ＝ ，直线 2x＋y－1＝0 上任意一点(x0，y0)旋转变换后 【解析】旋转矩阵 sin45° cos45° 2 1 1
移
1 k 9．切变变换矩阵 把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平 0 1 ky
个单位．
10．研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的 图形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可．
矩阵的乘法 1．矩阵乘法的法则是：
a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a a b b a b a b a b a b 21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
1 1 x0 2 x x 2 0 x0 x x0 则有 ＝ 2 ，所以 ，即 1 ． y y y 0 2 y0 0 y 2 y0 2
1 1 1 1 1 1 又点 P(x0，y0)在曲线 y＝ sin x 上，故 y0＝ sin x0，从而 y＝ sinx， 2 2 2 2 2 2 所求曲线 C 的方程为 y＝sinx．
ax by e 二元一次方程组 可以表示为 cx dy f
a b x e c d y f
系数矩阵
几种常见的平面变换
1．恒等变换矩阵（单位矩阵）为E：
1 0 2．恒等变换是指对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵 对应的 0 1
几种常见平面变换的解题技巧(下)
知识要点
几种常见 的平面变 换 变换的复 合和矩阵 的乘法 逆矩阵逆 变换
矩阵
二阶矩阵 与向量的 关系 矩阵的应 用
特征值特 征向量
二阶矩阵和平面向量的关系
点和向量不加区分．如： 既可以表示点 ( x，y ) ，也可以表示以 O(0 ， 0) 为起点 y
7．投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，
相应的变换为投影变换．
1 0 x x 1 0 y x
1 0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 , 1 0
例 4．如图所示，四边形 ABCD 和四边形 AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别 为 A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形 ABCD 变成四 边形 AB′C′D 的变换矩阵 M．
a b a b 【解析】设矩阵 M 为 ，则 c d c d
0 1 0 1 , 1 0 -1 0
0 1 x y x x y 1 0 y x T : y y x
cos sin
sin x x cos y sin x cos y x sin y cos y
cos sin
sin cos
( 2) ( 2b) 4 0 由题意 A′，B′在直线 m：x－y－4＝0 上，所以 ，解得 a＝2，b＝3． ( 2a ) ( 8) 4 0 解法 2：设直线 l：x＋y＋2＝0 上任意一点(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下对应于点(x′，y′)． 1 a x x' 因为 ＝ ，所以 x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y， 4 b y y' 因为(x′，y′)在直线 m 上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0． 1 b a 4 4 又点(x，y)在直线 x＋y＋2＝0 上，所以 ，解得 a＝2，b＝3． 1 1 2
1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1 , 0 -1 , 0 -1 , 1 0
或点
5．一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线．
A(1 2 ) 1 A 2 A
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换．
二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义
矩阵是向量集合到向量集合的映射
2 0 x 2 x x x 2 x 0 1 y y T : y y y
表示的几何变换为：纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍．
变换，都把自己变为自己．
1 0 x x x x x 0 1 y y T : y y y
3．伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩，或沿y轴方向伸长或 压缩的变换矩阵. 伸压变换不是简单地把平面上的点（向量） “向下”压，而是向x轴或y轴方 向压缩.
－1 －2 5 6 ，向量 α＝ ，β＝ . 例 5．已知矩阵 M＝ 7 8 －3 4 1 （1）求向量 3α＋ β 在 M 作用下的象； （2）求向量 4Mα－5Mβ． 2
1 －1 －2 18 －68 5 16 15 3 18 1 ＝ ． 【解析】 （1）因为 3α＋ β＝3 ＋ ＝ ＋ ＝ ，所以 M3α＋2β＝ 2 －3 4 25 46 7 28 21 4 25 －1 －2 －10 34 ＝ ． （2）4Mα－5Mβ＝M(4α－5β)＝ －3 4 －12 －18
0 1 1 ， 矩阵 MN 对应的变换把曲线 y ＝ sin x 变为曲线 C， 2 2 1
1 1 0 0 0 2 2 ＝ ，设 P(x，y)是所求曲线 C 上的任意一点， 2 0 1 0 2 它是曲线 y＝sinx 上点 P0(x0，y0)在矩阵 MN 变换下的对应点，
4．反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形 的变换矩阵．
1 0 x x x x x 0 1 y y T : y y y
2 2 x＋ y－1＝0， 2 2
直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45° 后所得的直线方程是 2 x＋ 2 y－ 即 2 3 2 x＋ y－1＝0. 2 2
1 例 2． 已知矩阵 M＝ 0 求曲线 C 的方程．
1 【解析】MN＝ 0
1 0 2 ， N＝ 2 0
3 3 a b 2 7 ， c d
3 3 2 3 ．
a 1 3a 2b 3 1 0 3c 2d 7 b 0 ． 所以 5 5 M 为 1 3a 3b 3 c 3 3 3c 2d 3 d 1
2．矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换（先TN，后 TM）的复合变换． 3．矩阵乘法不满足交换率．
典题剖析
命题题源一 运用旋转矩阵，求直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
命题题源二 1 已知矩阵 M＝ 0 求曲线 C 的方程． 1 0 2 ，N＝ 2 0 0 1 1 ，矩阵 MN 对应的变换把曲线 y ＝ sin x 变为曲线 C， 2 2 1
x' 2 1 －1 x 0 x 0' 0 ＝ ， (x0′，y0′)， 2 1 1 y0 y 0' y' 0
2 2 2 2 x0 y0 x0 x0' y0' 2 2 2 2 ， ， 2 2 2 2 x0 y0 y0 x0' y' 2 2 2 2 0