矩阵第二讲几种常见平面变换的解题技巧(下)(人教A版选修4-2)

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高中数学 2.1.1矩阵的概念教案苏教版选修4-2

2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.
3.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n .
4.下图是各大洋面积统计表.
海洋名
情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。
教学重点：恒等变换、伸压变换的概念
教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵
教学过程：
一、问题情境:
已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?
思考: 若旋转30°, 结果如何呢? 旋转45°呢?
例2、求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) .
例3、已知曲线C : y=lgx , 将它绕原点顺时针旋转90°得到曲线C′, 求C′的方程.
四、课堂小结：
五、课堂练习：练习: 书P337 , 8
六、回顾反思：
七、课外作业：
1. 将图形变换为关于x轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为_____________ .
2.求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .
四、课堂小结：
五、课堂练习：P331 , 2 .

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第三章第一节逆变换与逆矩阵

导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。

2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案

2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案一、逆变换在矩阵与变换中，逆变换是一种重要的变换。

逆变换的本质是将原变换的作用反转，即将输出值映射回原输入值。

在这个过程中，需要寻找一个新的变换，使得先作用原来的变换再作用新的变换后，得到的结果是原来的输入值。

考虑一个简单的例子：将一个点绕原点旋转α角度，在用一个向量β将其平移后得到新的点。

我们可以用一个组合变换来描述这个过程：T(x,y) = (x,y)Rα(β1,β2) = (x,y)(cosα, sinα, -sinα, cosα)(1,0,0,1)+ (β1,β2)其中，Rα(β1,β2)表示先将点绕原点旋转α角度，再将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向。

现在，我们想要逆转这个变换，将终点坐标(x’,y’)反向还原回起始坐标(x,y)，也就是满足下面的等式：(x', y') = (x,y)Rα(β1,β2)这个等式求解出来即可得到新的逆变换：(x,y) = (x', y')R-α(-β1,-β2) = (x', y')(cosα, -sinα, sinα, cosα)(-β1,-β2)其中，R-α(-β1,-β2)表示先将点绕原点旋转-α角度，将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向，即反向执行原来的变换。

二、逆矩阵逆变换的本质是求解一个矩阵的逆矩阵。

对于任意一个可逆矩阵A，存在一个和A相乘等于单位矩阵的矩阵B，使得两个矩阵相乘的结果为单位矩阵：A ×B = B × A = I其中，A和B的乘积顺序并不影响结果，因此称A和B互为逆矩阵。

逆矩阵也满足以下性质：•对于任意可逆矩阵A和其逆矩阵B，A × B = B × A = I•对于任意可逆矩阵A，它的逆矩阵唯一对于一个2x2矩阵A = [a, b; c, d]，其逆矩阵可以通过以下公式求解：B = 1/(ad - bc) × [d, -b; -c, a]如果一个矩阵不可逆，则其行列式等于0。

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4旋转变换

长叹
固执
可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
通
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”
担心什么铲不平？
河曲智叟亡以应。
没有。通“无”
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子；子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，还担心什么挖不平？”智叟没有话来回答。
“方七百里”
山的面积
“高万仞”
山的高度
“本在冀州之南，河阳之北” 地理位置
作用：衬托移山的艰难，更能突出愚公的品质。这是故事的背景，为下文愚公移山埋下伏笔。
朗读课文，说说写了愚公移山的哪些内容。
原因： “惩山北之塞，出入之迂也”。目的： “指通豫南，达于汉阴”。倒土的地点： “投诸渤海之尾，隐土之北”。具体的行动： “遂率子孙……运于渤海之尾”。
五、特殊句式 1.甚矣，汝之不惠倒装句 2.本在冀州之南，河阳之北省略句 3.且焉置土石倒装句，疑问代词“焉”提前。
4.遂率子孙荷担者三夫省略句，省略主语愚公。倒装句，定语“三夫”后置。
5.告之于帝倒装句，状语“于帝”后置。
6.帝感其诚被动句，译为：天帝被他的诚心所感动。
细读感悟
年且九十且焉置土石
且焉置土石始一反焉
面山而居何苦而不平而山不加增
将近况且
疑问代词，哪里。加强语气
表修饰表承接表转折
三、古今异义 1.河阳之北（古：山之南，水之北 2.惩山北之塞（古：苦于 3.达于汉阴（古：山之北，水之南

高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版

a b x bx ax＋by ＋＝，这是矩阵与向量的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质．性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向设是一个二阶矩阵，，是任意实数，量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝＝ c x b ＝，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋向量，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即法．
a Aa＝＝ c
理科
│要点探究
【点评】要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常点评】要理解二阶矩阵变换的定义，见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分，分别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ，，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由，，，矩阵．矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵，称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵，称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换． (1)旋转变换旋转变换直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是

选修4_2矩阵与变换1、2

选修4—2 矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换解决简单问题.1. 求点A(3,6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1012对应的变换作用下得到的点的坐标． (－3,3) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．(m=2.k=-4)3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x,2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，∴T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．(x ＝y)5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011对应的变换作用下得到的图形．(点(0,5))1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y)→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R )．2. 几种常见的平面变换(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k>0)确定的变换T M称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称． (4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足变换律． (2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3) 矩阵的乘法不满足消去律.题型1 求变换前后的曲线方程例1 (2011·盐城三模)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－11对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解：设P(x 0，y 0)为曲线C 上任意一点，它在矩阵M 对应的变换下作用得到点Q(x ，y)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x －x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝x －y2y 0＝x ＋y 2.因为P(x 0，y 0)为曲线C上一点，所以x 0y 0＝1，所以x －y 2·x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4，所以曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.备选变式(教师专享) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 001，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN变换下的对应点，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0y ＝2y 0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝12y . 又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝12sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.题型2 根据变换前后的曲线方程求矩阵例2 (2011·南通三模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a>0，b>0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P(x ，y)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以 a 2＝9，b 2＝4.因为 a>0，b>0，所以a ＝3，b ＝2. 变式训练(2011·南京一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1ab 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解：解法1：在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b)；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以B ′的坐标为(－2a ，－8)；由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－2)－(－2b )－4＝0(－2a )－(－8)－4＝0，解得a ＝2，b ＝3. 题型3 平面变换的综合应用例3 (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0k 10，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2－20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0－2－2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.1. 设T 是以Ox 轴为轴的反射变换，求变换T 的矩阵．解：∵(x ′，y ′)＝(x ，－y)，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.2. 求圆x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003对应的变换下，得到的曲线的方程．解：设圆x 2＋y 2＝1上任意一点P(x 1，y 1)在矩阵A 作用下变为Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1y ＝3y 1，即⎩⎨⎧x 1＝x2y 1＝y 3.代入x 21 ＋y 21 ＝1可得到椭圆方程x 24＋y 29＝1.3. 在线性变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋y y ′＝2x ＋2y ，而x ＋y ＝k ，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝k y ′＝2k (k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量考点新知①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算． ②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，求MN .⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. (2010·宿迁期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ，求a ，b 的值．（a ＝5，b ＝3.）3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 34的特征值．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－3λ－4＝(λ＋1)(λ－4)－6＝λ2－3λ－10＝(λ＋2)(λ－5)．令f(λ)＝0，则λ1＝5，λ2＝－2.5. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1的属于特征值－1的一个特征向量．解：当λ1＝－1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(－1)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0－y ＝－y ，x ＝0，令y ＝1，所以A 的属于特征值－1的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量.题型1 求逆矩阵与逆变换例1 将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵．解：解法1：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002. 解法2：由于M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝x ′y2＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4y ＝2y ′，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002. 备选变式(教师专享) (2010·徐州市摸底)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N.解：解法1：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，按题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝42y －w ＝－1－4x ＋3z ＝－3－4y ＋3w ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92y ＝－1z ＝5w ＝－1.∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1 . 解法2：因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.∴X ＝M －1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 题型2 求特征值与特征向量例2 (2011·南通三模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4 a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0－2x ＋(λ－1)y ＝0 x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0－2x ＋(λ－1)y ＝0 2x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.变式训练(2010·宿迁模拟)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1的特征值和特征向量，并计算M 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤23的值．解：矩阵M 的特征多项式f(λ)＝(λ－1)(λ＋1)，令f(λ)＝0，得到矩阵M 的特征值为λ1＝1或λ2＝－1，矩阵M 的属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，矩阵M 的属于特征值λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝2α1＋3α2.所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝M (2α1＋3α2)＝2(Mα1)＋3(Mα2)＝2(λ1α1)＋3(λ2α2)，M 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝M 8(2α1＋3α2)＝2(M 8α1)＋3(M 8α2)＝2·18⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3·(－1)8⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵例3 (2011·南通泰州二模)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝123c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.备选变式(教师专享)(2010·徐州市第三次调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，求矩阵A .解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3c ＋d ＝3 . 由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝2d ＝1 ，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.1. 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3.2. 若N ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4231＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1，求矩阵N .⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 92－7－524. 3. (2011·徐州一模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求矩阵A .解：∵Aα1＝λα1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4－2＋b ＝2⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14. 5. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.。

人教版B版高中数学选修4-2(B版)矩阵变换

矩阵变换
图形变换的矩阵方法
要求：
1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。
一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。
cos sin 0 1 0 0
T1 sin
cos
0

0
1
0

0
0 1 m n 1
cos sin 0
sin
cos
0

m n 1
由于矩阵乘法不满足交换率, A B B A 级联的顺序不同,最终的图形不同
cos( ) sin( ) 0
T2 sin( ) cos( ) 0
0
0
1 19
3.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换
4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置
1 0 0 T3 0 1 0
0 0 1
5.将直线平移回原来的位置
T T1 *T2 sin1
c os1
0

0
0 1
cos2 sin2

0
sin2 0
cos2
0

0
1

cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0

人教版高中数学选修 4-2矩阵变换第一章第三节线性变换的基本性质

探究3
x′ 旋转变换R30°: = y′
3 1 － 2 2 1 3 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้x y
把直线y=kx+b(其中k,b均为常数)变成了什么图形? 答案:直线
1 3 3 y=( + k )x + b 2 2 2
探究4
x′ 切变变换：σ： = y′ 1 2 0 1
x y
把直线 y = kx + b (其中k,b均为常数）变成了什么图形? b 答案：点( － ,0 ) k
定理1
β 设A是一个二阶矩阵,α , 是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意实数, 则A(λ1 α + λ2 )= λ2 A . β β λ1 A + α
证明:由性质1得 β A(λ1 )+α A(λ1 α + λ2 )= A(λ2 ) β =λ1 A α + λ2 A .β
2 ∵2α = 4
0 － 1 ∴A(2α)= 1 0
0 － 1 2Aα=2 1 0 ∴A(2α)=2Aα .
2 4 1 2
0 － 1 1 0
=
－ 4 2
=
－ 4 2
举一反三
一般地,设A是一个二阶矩阵, α是平面上的任意一个向量 ,λ 是任意实数 , 则 A(λ α )=λA .α
3.反射变换（关于x轴、y轴）
4.投影变换（关于x轴、y轴）
关于x轴的切变变换所对应的矩阵为A= 1 k 0 1 k为非零常数,随着k 的变化,所对应的图形也变化.
2 y ) + b , y = kx + b . ∵ y = k ( x－ 2ky = 0 ∴－

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.5投影变换

y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
反思问题
研究矩阵M=
1 1
0 0
所确定的变换。
对于平面内任意列向量

xy，有
1 1
0 0
x

y

x x
y (x, y) y=x
矩阵M使得平面上点的横坐标不变，纵坐标变为与横坐标相等.
愚公移山的困难：
1.两座山面积大、高 “方七百里，高万仞” 2.愚公年老力衰
“年且九十”“曾不能毁魁父之丘”“以残年余力，曾不能毁山之一毛”
3.移山劳动力缺乏、工具简陋 “率子孙荷担者三夫……箕畚运于渤海之尾”
“遗男，始龀，跳往助之”
4.安置土石的困难、运输路途远 “投诸渤海之尾，隐土之北”“寒暑易节，始一反焉”
聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指
家
铲平险峻的大山直
皆，共同
赞通同豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相
译文：
北山脚下有个叫愚公的人，年纪将近九十岁了，面对着山居住。愚公苦于这两座大山横亘面前而阻塞交通，进进出出曲折绕远。于是愚公便聚合全家来商量说：“我和你们竭尽全力铲平险阻，使它一直通向豫州南部，到达汉水南岸，好吗？”大家纷纷表示赞成。
长叹
固执
可通彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，担何心什苦么而铲不不平平？？”
没有。通“无”
河曲智叟亡以应。
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子；子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，

江苏省高三一轮数学复习专题材料专题13_矩阵与变换

专题13矩阵与变换（加试内容选修4-2）昆山震川高级中学蒋国强【课标要求】1．课程目标本专题的内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用.通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，许多数学模型都可以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想.2．复习要求(1) 二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法.(2) 几种常见的平面变换理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ.理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵.(3) 矩阵的复合与矩阵的乘法掌握二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.(4) 逆变换与逆矩阵理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1＝B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵.了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组.理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.(5) 特征值与特征向量掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）.会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.了解三阶或高阶矩阵.了解矩阵的简单应用.3．课标教学建议(1) 本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m ×n 阶矩阵以及（a ij ）形式的表示.(2) 矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组.(3) 要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律.(4) 要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。

人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)

4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y，故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)．又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25，解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2

选修4-2矩阵与变换知识点讲解

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：

高中数学人教版教材讲解(选修4-2-矩阵与变换)

（3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐标系内连续施行两次线性变换的作用效果是否能用一个线性变换表示，进而一般化，引入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律，研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作用结果，得到矩阵的乘法不满足交换律和分配律．
（4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中
的一条重要性质：“如果
，
则
”，分别把恒等变换和单位
矩阵作为数１类比对象，通过线性变换引进逆矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方程组．
无论在理解本专题的内容时，还是教学中，都要把握好两个关键词：线性变换，二阶矩阵。
一、课程标准中的内容与要求
1．理解二阶矩阵的概念 2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明矩阵变换是线性变换：
题（人口迁移问题）．
3．本讲的重点和难点
（1）本专题的重点是通过平面图形的变换引入二阶矩阵，认识矩阵与向量乘法的意义，讨论线性变换的基本性质、二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念与性质等，并以变换的观点理解解线性方程组的意义。（2）矩阵的内容比较抽象，本专题的难点是线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律（这可能是学生第一次遇到不满足交换律、消去律的运算）、矩阵的特征值与特征向量的概念等。

选修4-2矩阵与变换.docx

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一的平面几何常可以看做是伸、反射、旋、切的一次或多次复合，而伸、反射、切等通常叫做初等；的矩叫做初等矩．(2)MN 的几何意：向量x 矩乘法α＝施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合．·(3) 当向量施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ，地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩乘法的运算性(1) 矩乘法不足交律于二矩A ，B 来，尽管 AB ， BA 均有意，但可能 AB ≠BA .(2) 矩乘法足合律A ，B ，C 二矩，一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩乘法不足消去律．A ，B ，C 二矩，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析：因 A ＝ B ，x ＝ 8，＋＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ，它所的矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析：将它写成矩的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所的矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩的乘法着的复合，而两个的复合仍是一个，且两个的复合程是有序的，易倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝－ 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝，x ，y 为实数．若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解：由已知，得 A α＝－ 12 2 ＝－ 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以－ 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解：因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解：设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝， ′ ＋′ ＝，y ′ ＝，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ，则＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三变换的复合与矩阵的乘法重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解：由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解：绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋－＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝，即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解：设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解：设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋＝－ 3 1 ，＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解：由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ，即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解：设 M ＝，由题意，得＝，，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解：设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则－ 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步：将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝－ 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案：－ 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝的一个特征向量，则实数322解析：设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆，如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一：设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二：注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析：因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ，即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案：－ 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解：设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即－ a － b 1 0则＝＝，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－＝ 1≠ 0，解：法一：因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二：因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得－＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵 A所确定的二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值－ 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－－ 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1，则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解：设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解：矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解：由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解：特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－－＝，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝－ 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解：令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝－ 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解：把 λ＝－ 2 代入－λ－＋＝，得＝，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝，c d1 8a ＋＝，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝，故故c d＋＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ，＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。

2014人教A版数学一轮复习指导课件选修4-2第2节逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

－1a 0c
db＝10
01，
∴－2ac －2bd＝10 01，
－c＝1，－d＝0， ∴2a＝0， 2b＝1，
a＝0， ∴b＝12，
c＝－1， d＝0.
∴(AB)－1＝
.
解法二：因为矩阵 A 的系数行列式为 1×2－0＝2≠0.
)
A.23
1 0
C.31
0 2
B.13
2 0
D.12
0 3
解析：设 A＝ac db，由ac db10＝23，得ac＝＝32.，由
a c
db11＝311＝33，得ac＋＋db＝＝33.，所以bd＝＝10， . 所以 A＝
利用矩阵求逆公式得
因此原方程组的解为
∴xy＝＝1212
，即为方程组的解．
对于二元一次方程组acxx＋＋dbyy＝＝nm，将 X＝yx看成是原先的向量，而将 B＝mn 看成是经过系数矩阵．A＝ac db(ad －bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程 AX＝B，ac dbxy＝mn ，在它的两边同时左乘 A－1，得到
二元一次方程组 Axy＝bb12有
无穷多个解
．
四、矩阵变换的特征值与特征向量
1．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，非存零在一个向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值(eigenvalue of a matrix)，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．
012，α＝01，Mα＝λα，则 λ＝(
)
1 A.2
B．1
3 C.2
1 解析：∵0
D．2 01201＝012＝1201，
∴λ＝12. 答案：A
3．已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值 3

2.反射、伸缩、投影变换

选修4－2 矩阵与变换
2.伸缩变换
在直角坐标系xoy内，将每一个点的横坐标变为原来的 k 1倍，纵坐标变为原来的 k 2 k 倍，其中 k 1 ， 2 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。例求将平面内的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
选修4－2 矩阵与变换
几种常见的平面变换 ----反射、伸缩、投影变换
选修4－2 矩阵与变换
1.反射变换
y
O
x
选修4－2 矩阵与变换
问题1：若将一个平面坐标系xoy内的任意一点P（x，y）对应到它关于ｙ轴的对称点P，（x，，y，），相应的坐标变换公式是什么？对应的矩阵呢？ x，=-x， y，=y
1 M1 0 0 1
0 故所求矩阵为 0 0 1
P(x,y) P/(0, y)
o
x
选修4－2 矩阵与变换
问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？
(1) M
2
1 0
1 0
0 1
0 1
ห้องสมุดไป่ตู้
将一个平面坐标系xoy内的任意一点变换为与之关于 x 轴对称的点；
(2) M
3
将一个平面坐标系xoy内的任意一点变换为与之关于原点对称的点；
将一个平面坐标系xoy内的任意一点变换为与之关于直线y=x对称的点；将一个平面坐标系xoy内的任意一点变换为与之关于直线y=-x对称的点.
(3) M
4
0 1
0 1
1 0
1 0
(4) M
5
选修4－2 矩阵与变换
建构数学
一般地，我们把平面上任意一点ｐ对应到它关于直线Ｌ的对称点ｐ，的线性变换叫做关于直线Ｌ反射.

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x x x T : y y x
8．切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵．
a a m 设A(a , b)，A (a m , b)，则T : b b 1 k m 变换矩阵为 ,k b 0 1
1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1 , 0 -1 , 0 -1 , 1 0
或点
5．一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线．
A(1 2 ) 1 A 2 A
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换．
技巧传播
例 1．运用旋转矩阵，求直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
cos45° －sin45° 2 1 －1 ＝，直线 2x＋y－1＝0 上任意一点(x0，y0)旋转变换后【解析】旋转矩阵 sin45° cos45° 2 1 1
x 1 0 x x x x T : y y 0 1 y y y 2 2 2
1 0 2 0 0 2 , 0 1
ax by e 二元一次方程组可以表示为 cx dy f
a b x e c d y f
系数矩阵
几种常见的平面变换
1．恒等变换矩阵（单位矩阵）为E：
1 0 2．恒等变换是指对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵对应的 0 1
移
1 k 9．切变变换矩阵把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平 0 1 ky
个单位．
10．研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可．
矩阵的乘法 1．矩阵乘法的法则是：
a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a a b b a b a b a b a b 21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
变换，都把自己变为自己．
1 0 x x x x x 0 1 y y T : y y y
3．伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩，或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵. 伸压变换不是简单地把平面上的点（向量） “向下”压，而是向x轴或y轴方向压缩.
二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义
矩阵是向量集合到向量集合的映射
2 0 x 2 x x x 2 x 0 1 y y T : y y y
表示的几何变换为：纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍．
4．反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵．
1 0 x x x x x 0 1 y y T : y y y

以 P(x，y)为终点的向量 OP ．
矩阵通常用大写黑体字母表示．如：矩阵A，行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示．
x
两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 二阶矩阵与列向量的乘法法则为： a a y a x a y 21 22 0 21 0 22 0
0 1 0 1 , 1 0 -1 0
0 1 x y x x y 1 0 y x T : y y x
1 a 例 3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x＋y＋2＝0 在矩阵 M＝对应的变换作用下得到直线 4 b
m：x－y－4＝0，求实数 a、b 的值．
【解析】解法 1：在直线 l：x＋y＋2＝0 上取两点 A(－2，0)，B(0，－2)，A，B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于点 A′，B′， 1 a －2 2 1 a 0 2a ＝＝因为，所以 A′的坐标为(－2，－2b)；，所以 B′的坐标为(－2a，－8)； 4 0 2b 4 b b －2 8
cos sin
sin x x cos y sin x cos y x sin y cos y
cos sin
sin cos
2 2 x＋ y－1＝0， 2 2
直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45° 后所得的直线方程是 2 x＋ 2 y－即 2 3 2 x＋ y－1＝0. 2 2
1 例 2．已知矩阵 M＝ 0 求曲线 C 的方程．
1 【解析】MN＝ 0Biblioteka 1 0 2 ， N＝ 2 0
x' 2 1 －1 x 0 x 0' 0 ＝， (x0′，y0′)， 2 1 1 y0 y 0' y' 0
2 2 2 2 x0 y0 x0 x0' y0' 2 2 2 2 ，， 2 2 2 2 x0 y0 y0 x0' y' 2 2 2 2 0
2．矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换（先TN，后 TM）的复合变换． 3．矩阵乘法不满足交换率．
典题剖析
命题题源一运用旋转矩阵，求直线 2x＋y－1＝0 绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
命题题源二 1 已知矩阵 M＝ 0 求曲线 C 的方程． 1 0 2 ，N＝ 2 0 0 1 1 ，矩阵 MN 对应的变换把曲线 y ＝ sin x 变为曲线 C， 2 2 1
7．投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，
相应的变换为投影变换．
1 0 x x 1 0 y x
1 0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 , 1 0
3 3 a b 2 7 ， c d
3 3 2 3 ．
a 1 3a 2b 3 1 0 3c 2d 7 b 0 ．所以 5 5 M 为 1 3a 3b 3 c 3 3 3c 2d 3 d 1
几种常见平面变换的解题技巧(下)
知识要点
几种常见的平面变换变换的复合和矩阵的乘法逆矩阵逆变换
矩阵
二阶矩阵与向量的关系矩阵的应用
特征值特征向量
二阶矩阵和平面向量的关系
点和向量不加区分．如：既可以表示点 ( x，y ) ，也可以表示以 O(0 ， 0) 为起点 y
0 1 1 ，矩阵 MN 对应的变换把曲线 y ＝ sin x 变为曲线 C， 2 2 1
1 1 0 0 0 2 2 ＝，设 P(x，y)是所求曲线 C 上的任意一点， 2 0 1 0 2 它是曲线 y＝sinx 上点 P0(x0，y0)在矩阵 MN 变换下的对应点，
－1 －2 5 6 ，向量 α＝，β＝ . 例 5．已知矩阵 M＝ 7 8 －3 4 1 （1）求向量 3α＋ β 在 M 作用下的象；（2）求向量 4Mα－5Mβ． 2
1 －1 －2 18 －68 5 16 15 3 18 1 ＝．【解析】（1）因为 3α＋ β＝3 ＋＝＋＝，所以 M3α＋2β＝ 2 －3 4 25 46 7 28 21 4 25 －1 －2 －10 34 ＝．（2）4Mα－5Mβ＝M(4α－5β)＝－3 4 －12 －18
例 4．如图所示，四边形 ABCD 和四边形 AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为 A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形 ABCD 变成四边形 AB′C′D 的变换矩阵 M．
a b a b 【解析】设矩阵 M 为，则 c d c d
6．旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵．其中θ
称为旋转角，点O为旋转中心．
P ( x , y )
r

r
P( x, y)
x r cos y r sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin y r sin( ) r sin cos r cos sin y cos x sin
( 2) ( 2b) 4 0 由题意 A′，B′在直线 m：x－y－4＝0 上，所以，解得 a＝2，b＝3． ( 2a ) ( 8) 4 0 解法 2：设直线 l：x＋y＋2＝0 上任意一点(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下对应于点(x′，y′)． 1 a x x' 因为＝，所以 x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y， 4 b y y' 因为(x′，y′)在直线 m 上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0． 1 b a 4 4 又点(x，y)在直线 x＋y＋2＝0 上，所以，解得 a＝2，b＝3． 1 1 2
1 1 x0 2 x x 2 0 x0 x x0 则有＝ 2 ，所以，即 1 ． y y y 0 2 y0 0 y 2 y0 2