因式分解与分式

第二部分 代数式与恒等变形部分

★五、多项式的因式分解：

1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》

2、因式分解的方法、步骤和要求：

（1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ⋅-m （ ）。

（2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法.

*十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。

*分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。

（4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。

《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》

【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++.

2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？

【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ）

A.327b a

B.227b a

C.b a 27

D.3328b a

2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ）

A.-13

B.13

C.42

D.-42

3.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----442

3；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2

-+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x x

B.)(2n m m m mn m +=++

C.)2)(4(822+-=--a a a a

D.22)21(21-=+

-x x x 5.若A n m n m mn n m ⋅+=+-+)()()(3，则A 是（ ）

A.22n m +

B.22n mn m +-

C.223n mn m +-

D.22n mn m ++

6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。

7.简算：①2299.001.1-；②9.235.22571.104.01.4⨯-⨯-÷；③77.046.277.023.122⨯++.

8.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为()()912--x x ；乙看错了常数项而分解为()()422--x x 。请将原多项式因式分解。

9.如果ab a b a 22+=*，则y x *2所表示的代数式分解因式的结果是什么？

10.给出三个整式ab b a 2,22和。（1）当17b 3,1==a 时，求222b ab a ++的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。

11.观察下列等式：（1）531422⨯=-；（2）732522⨯=-；（3）933622⨯=-；（4）1134722⨯=-；……则第n （n 是正整数）个等式为 。

12.⑴已知的值求2233,1,2b a ab b a +=-=+；

⑵已知()()的值求xy y x y x ,5,922=-=+；⑶已知2,72==+ab b a ，求()2

2b a -的值.

★六、分式的有关知识：

1、分式的定义：形如n /m 的式子，m 中含有未知字母，且m ≠0.

2、分式的基本性质(变形依据)：

(1)符号变化：

A B A B A B A B =--=--=--或A

B A B A B A B -=-=-=--- (2)通分：如ax c 3与26bx d .2622323abx bcx bx ax bx c ax c =⋅⋅=，222666abx

ad a bx a d bx d =⋅⋅= (3)约分：如bx y axy y abx axy axy y abx axy 323936962222-=÷÷-=-，.2)

(3)(6m y x y x m =-- 3、分式的运算：(1)加减法.①同分母分式相加减：A

C B A C A B ±=±； ②异分母分式相加减：如22

222222623626332abx

a x

b abx a abx x b bx a ax b -=-=-. （2）乘除法.如y y bcy ax cx a by cx y bcy a ax by 122)2()2(=⋅⋅⋅⋅=-÷-⋅ 乘方.如3632

)(x y x y -=-. 《注意：1.“分母不为0”是分式存在性及分式运算、化简的前提；

2.分式运算、化简的结果为最简分式（即分子、分母不含公因式的分式）或整式》

【中考真题】：1.当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A.21x x +

B.121+-x x

C.112+-x x

D.1

1-+x x 2.若代数式1

2+-x x 的值等于零，则=x ；若代数式)1)(2(+-x x 的值等于零，则=x . 3.使分式x

x x --21有意义的条件是（ ） A.0≠x B.1≠x C.1±≠x D.10≠≠x x 且 4.分式n

m n m n m --+1,1,122的最简公分母是（ ） A.))((2n m n m -+ B.222)(n m - C.)()(2n m n m -+ D.22n m -

5.在分式2

2,)(93,11,1122-+--++-x x y x y a a a a 中，最简分式有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.如果把分式y

x xy +中的y x 、都扩大m 倍（0≠m ），那么分式的值（ ） A.扩大m 倍 B.扩大2m 倍 C.不变 D.缩小m 倍

7.已知y

x y x y x y xy y x M +-+--=-222222，则=M . 8.计算：①222---x x x ；②31)3264(22-+÷-++---x x x x x x x ；③4

214121111x x x x ++++++-. 9.先化简，再求值：)2

32(212++-÷-++a a a a a ，其中2=a . 10.已知0132=+-a a ，则=+241a a ；若ab b a 622=+，且a ＞b ＞0，则b

a b a -+= ；若b a b a 862522+=++，则b a a b -= ；若51=+x

x 则=++1242x x x . 11.若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率相同，则这样的)(n m +人完成这项工程所需的天数为（ ） A.m a + B.n

m a + C.n m am + D.am n m +