复数的四则运算同步练习题

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【单位】32复数的四则运算同步检测1

【关键字】单位3.2《复数的四则运算》同步检测(1)一、基础过关1．如果一个单数与它的模的和为5＋i，那么这个单数是__________．2．(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…－(2 008－2 009i)＋(2 009－2 010i)－(2 010－2 011)i ＋(2 011－2 012i)＝______________.3．的值等于__________．4．8＋6i的平方根是________．5．已知单数z1＝2＋i，z2＝1－i，则单数z1·z2的虚部是________．二、能力提升6．单数z1＝，z2＝2－3i (i为虚数单位)，z3＝，则|z3|＝________.7．若单数＋b (b∈R)的实部与虚部相等，则实数b的值为________．8．若单数z满足z(1＋i)＝1－i (i是虚数单位)，则其共轭单数＝________.9．设m∈R，单数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．10．计算：＋.11．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．三、探究与拓展12．已知单数z ，满足z2＝5－12i ，求.答案1.＋i2．1 006－1 007i3．2＋3i4．±(3＋i)5．－17．28．i9．解 ∵z1＝＋(m －15)i ，z2＝－2＋m(m －3)i ， ∴z1＋z2＝＋[(m －15)＋m(m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．10．解原式＝212(1＋i )1229·⎝⎛⎭⎫－12＋32i 9＋(i －23)100[－i (i －23)]100 ＝212·(2i )629·⎣⎡⎦⎤(－12＋32i )33＋(i －23)100(－i )100(i －23)100 ＝23·26·i 613＋1i100＝－29＋1＝－511. 11．解 ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝x 2－y 2＋2x y i. 又z 2＝5－12i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝5－12i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝5，2xy ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2. 所以z ＝3－2i 或z ＝－3＋2i.所以1z ＝13－2i ＝313＋213i 或1z ＝1－3＋2i ＝－313－213i. ∴1z ＝313＋213i 或1z ＝－313－213i.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

人教A版高中数学选修一3.2复数代数形式的四则运算同步检测

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.2复数代数形式的四则运算同步检测1. 复数1+2ii (i 是虚数单位)的实部是（） A ．25- B ．25 C ．15- D ．15答案：B解析：解答：因为22(12i)211+21+255i i i i -==+，所以其实部为25，选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是解根据复数复数代数形式的乘除运算进行化简判断即可.2. 若复数1z i =+，则(1)z z +⋅=( )．A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 答案：A解析：解答：(1)z z +⋅=()()11113i i i ++⋅+=+.故选A.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的乘除运算进行计算即可.3. 已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为（） A ．0 B ．32- C ．6 D ．6-答案：C解析：解答：()()()()1231232631255bi i b b iz bi R z i -+++--===∈-,所以606b b -=⇒=. 故C 正确.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算；，解决问题的关键是根据所给复数进行计算然后结合条件解方程即可. 4. 设1(z i i =+是虚数单位），则22z z+=（） A.1i -- B.1i -+ C.1i + D.1i - 答案：C解析：解答：将z 代入,i i i i i+=+-=+++121)1(122,故选C. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数代入化简即可.5. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（） A ．3- B ．1 C ．1- D ．3 答案：D解析：解答：(1i)(12i)3,z i =-+=+所以 3z i =-，其实部为3，选D ．分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是首先计算z ，然后根据根据定义计算即可. 6. 在复平面内，复数2ii-对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答：由题意22(2)12i i ii i i--==--，其对应的点的坐标为(1,2)--.则该点位于第三象限，故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质进行化简，然后根据复数表示法的几何意义判定即可. 7. ．已知复数z 满足()31212i z i +=+，则z =（）A ．3455i + B ．3455i -+ C ． 3455i -- D ．3455i - 答案：B解析：解答：因为()31212iz i +=+,所以()()3(12)121212144341212(12)12555i i i i i z i i i i i ++++-+=====-++--+,故选B. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数代数形式的运算性质计算即可.8. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2=( ) A. 4-2i B. 4+2i C. 2+4i D. 2-4i 答案：B解析：解答：设z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+2i(a 1,b 1, a 2为实数) ∵(z 1－2)(1＋i)＝(a 1-2+b 1i)(1+i)= a 1-2-b 1+( a 1-2+b 1)i=1-i ∴a 1-2-b 1=1, a 1-2+b 1=-1 ∴a 1=2,b 1=-1,即z 1=2-i∵ (2-i)( a 2+2i)= 2a 2+2+(4-a 2)i,且 z 1·z 2是实数, ∴4-a 2=0, 即a 2=4 ∴z 2=4+2i,故选B.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是所给条件设出复数21,z z 代入化简根据z 1·z 2是实数解方程得到所求复数即可. 9. 若复数143-++iia （a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （） A.7 B.-7 C.34 D.34-答案：A解析：解答：由已知得，()(34)(34)(34)1=1134(34)(34)25a i a i i a a ii i i ++-++---=-++-，故341025a +-=，解得7a =．故选A. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是首先根据复数运算性质进行化简结合所求复数满足条件求解a 值即可.10. i 是虚数单位，若()1z i i =+，则|z|等于（） A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 答案：B解析：解答：由题可得()211z i i i i i =+=+=-+,根据复数模的计算公式可得()22112z =-+=,故选B.分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算、复数求模，解决问题的关键是化简所给复数，根据复数模的定义计算即可. 11. 设a 是实数，若复数21i i a -+（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0=+y x 上，则a 的值为（）A.1-B.0C.D.2 答案：B解析：解答：由复数21i i a -+可化为11()22a i -+.复数对应的点在直线0=+y x 上，所以可得110,022a a --=∴=,故选B. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的加减运算，解决问题的关键是根据所给复数满足条件代入计算即可.12. 若a+bi=(1+i)(2-i)（i 是虚数单位，a,b 是实数），则a+b 的值是（） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：解答：i i i bi a +=+-+=+3122,4,1,3=+==∴b a b a ,故选C.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义，解决问题的关键是根据复数运算性质及复数相等进行计算即可.13. 已知a R ∈，若12aii+-为实数，则a =（） A ．2 B ．-2 C ．12- D ．12答案：C 解析：解答：1(1)(2)22212=2(2)(2)555ai ai i i ai a a a i i i i +++++--+==+--+，∵12ai i +-为实数，∴1205a +=，∴12a =-.故选C. 分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据所给复数化简结合所给复数为实数求得a 值即可.14. 已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( ) A.1122i + B. 1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 答案：A解析：解答：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i 故选A分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.15. 已知定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩，则f(1+i)等于( )A ．2-B ．0 C.2 D ．2i + 答案：C解析：解答：因为定义在复数集C 上的函数f(x)满足()1,(1),x x Rf x i x x R +∈⎧=⎨-∉⎩所以，()()()211112f i i i i +=-+=-=,故选C.分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是根据函数的性质运算即可.16. 若复数21iz i=+（i 为虚数单位）,则复数z 的模z = . 答案：2 解析：解答：∵22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-，∴22||112z =+=. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.17. 已知复数(),,z x yi x y R =+∈且21,z -=则,x y 满足的轨迹方程是 .答案：()2221x y -+=解析：解答：因为()222221z x yi x y -=+-=++=，化简得()2221x y -+=.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是根据复数模的定义化简求得方程轨迹即可. 18. i + i 2 + i 3++ i 2016= .答案：0解析：解答：令n n a i =,则23412345,1,,1,,a i a i a i i a i a i ===-==-===,则nn a i =以4为周期.因为20164504=⨯,所以()()232012234504504110i i i i i i i i i i ++++=+++=--+=.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可. 19. 设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足22z=，则a =________. 答案：1解析：解答：依题意可得22222,21a i a i a -=∴=++.所以224421a a +=+, 解得1,1a a ==-（舍去）.所以1a =分析：本题主要考查了复数求模，解决问题的关键是根据模的定义化简得到关于a 的方程计算即可.20. i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是 . 答案：(0,)+∞ 解析：解答：因为1k iz ki i-==--，又在复平面内对应的点(1,)k --在第三象限，所以0k >.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算、解决问题的关键是根据所给复数，根据其满足条件几何复数集合性质求解判断即可. 21.已知x 、y 为共轭复数，且(x ＋y)2－3xyi ＝4－6i ，求x 、y.答案：11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋解析：解答：设x ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则y ＝a －bi ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，代入原式，得(2a)2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得222443()6a a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，－＋＝－，解得11.a b ⎧⎨⎩＝，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝，＝-或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝或11.a b ⎧⎨⎩＝－，＝－故所求复数为11y i x i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－，＝＋或11x i y i ⎧⎨⎩＝－＋，＝－－或11.x i y i ⎧⎨⎩＝－－＝－＋分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算，解决问题的关键是设出复数x,根据x,y 为共轭复数得到y,然后运算得到xy 代入所给式子根据复数相等得到方程组计算即可.22. 已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||52ω=,求复数ω. 答案：()7i ω=±-解析：解答：设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠，因为||||522ziω==+，所以22||510z x y =+=；又3x y =，解得15,5;15,5x y x y ===-=- ，所以155(7)2ii iω+=±=±-+. 分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设,(,)z x yi x y R =+∈，代入(13)i z +⋅计算整理，因为(13)i z +⋅为纯虚数则计算整理所得的复数实部为0虚部不为0.可计算得出,x y 间的关系，再将z 其代入2ziω=+，根据模长公式可求得,x y 间的另一组关系式，解方程组可得,x y ，即可求得ω. 23. 已知复数z 满足i z i 22)1(+-=+（i 是虚数单位）（1）求z 的虚部；答案：22ii(z 1)22i z 122i i-++=-+∴+==+i z 21+=， z 的虚部为2（2）若i z 21-=ω，求2015||ω．答案：i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω．解析：解答：（1）22ii(z 1)22i z 122i i -++=-+∴+==+ i z 21+=， z 的虚部为2 ．（2）i i z 545321+-=-=ω，1||=ω，1||2012=ω．分析：本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键(1)是根据所给条件化简得到复数z 的虚部；（2）化简所求复数不难得到其模. 24. 已知z 、ω为复数，（1+3i ）z 为实数，ω=,||52,2ziωω=+且求答案：ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.解析：解答：设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，复数z 用复数ω表示，整理（1+3i ）z 的虚部为0，和||52ω=，可求出x ，y ，即得到复数ω.设ω＝x+yi(x ，y ∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)ω＝(－1+7i)ω为实数，且|ω|＝52，∴227050x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得17x y =⎧⎨=⎩或17x y =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模，解决问题的关键是设ω＝x+yi(x ，y ∈R)然后求得复数z,代入（1+3i ）z 化简求得x,y 然后得到ω＝1+7i 或ω＝－1－7i.25. 设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z 的值和|z －ω|的取值范围．答案：[0,2]解析：解答：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i.∴解得3212a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝，，∴z ＝32＋12i.|z －ω|＝2231312222i sin icos sin cos θθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－（－）＝－＋＋ 23sin cos θθ＝－＋＝26sin πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭2－－.2∵－1≤sin 6πθ⎛⎫⎪⎝⎭－≤1，∴0≤2－2sin-6（）≤4. ∴0≤|z －ω|≤2.分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，可得z ＝a －bi ，代入4z ＋2z ＝33＋i 化简整理根据复数相等得到a,b 的值，求得|z －ω|，根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.。

高中数学复数的四则运算

复数的四则运算同步练习一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()A. 12B. √22C. √2D. 22.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i3.复数z=(i−1)2+4i+1的虚部为()A. −1B. −3C. 1D. 24.若z=4+3i，则z|z|=()A. 1B. −1C. 45+35i D. 45−35i5.已知i是虚数单位，复数z满足z(3+4i)=1+i，则复平面内表示z的共轭复数的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−；p4：若复数z∈R，则z−∈R．其中的真命题为()A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p47.i为虚数单位，则(1+i1−i)2016=()A. −iB. −1C. iD. 18.若为a实数，且2+ai1+i=3+i，则a=()A. −4B. −3C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知复数z满足z+3z=0，则|z|=______ ．10.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1−bi)=a，则ab的值为______．11.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是______．12.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）13.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)．(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．14.已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z和|z|；(2)若z1=z+3m+(m2−6)i在第四象限，求实数m的取值范围．15.复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i，m∈R，i为虚数单位．(I)实数m为何值时该复数是实数；(Ⅱ)实数m为何值时该复数是纯虚数．16.已知关于x的方程xa +bx=1，其中a，b为实数．(1)若x=1−√3i是该方程的根，求a，b的值；(2)当ba >14且a>0时，证明：该方程没有实数根．。

高中数学5.2复数的四则运算同步练习北师大版选修22

复数的四则运算同步练习一、选择题1．复数3(1)i -的虚部为（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-答案：D2．i 是虚数单位，1i i =+（） A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i -- 答案：A3．已知C z ∈，知足不等式0zz iz iz +-≤的点Z 的集合用阴影表示为（）答案：C4．设复数z 知足11z z -+i =，则1z +=（） A ． 0B ．1C 2D ．2 答案：C二、填空题 5．复数3123i i ++的值是．答案：1710i + 6．已知复数032z i =+，复数z 知足003z z z z =+，则复数z = ．答案：312i - 三、解答题7．已知复数1z 知足1(1)15i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围．解：由题意，得115231i z i i-+==++，于是1242z z a i -=-+=1z =，<，即2870a a -+<，解得17a <<．8．已知复数12z z ，知足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由题意可设122z z ki +=（k 为实数，且0k ≠），则122z ki z =-，代入2212121052z z z z +=，得22222210(2)52(2)ki z z ki z z -+=-，化简，得222224942100z kiz k i -+=，解得221749ki k z +=，127ki k z -=，123z z k -=-，或221749ki k z -=，127ki k z +=，123z z k -=．即证123z z -为实数．备选题1．已知()z i z ω=+∈C ，且22z z -+为纯虚数，求2211M ωω=++-的最大值及当M 取最大值时的ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则(1)a b i ω=++． 22222(2)(4)42(2)(2)z a bi a b bi z a bi a b--++-+==+++++，因为22z z -+为纯虚数，所以224(0)a b b +=≠． 2211M ωω=++-2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++124b =+，因为224(0)a b b +=≠，所以2240a b =-≥，所以22b -≤≤且0b ≠．故当2b =时，M 取最大值20，这时0a =，3i ω=．2．求同时知足下列两个条件的所有复数．（1）10z z +是实数，且1016z z<+≤；（2）z 的实部和虚部都是整数．解：10z z +为实数，且1016z z <+≤，令10z u z+=，则u ∈R ，且16u <≤，于是2100z uz -+=． ①方程①是关于z 的实系数一元二次方程，且有2400u ∆=-<，（因为16u <≤）故解得2u z =±． ② z 的实部和虚部都是整数，所以u 只能取2或6两个值．可求得知足条件的所有复数：13z i =±或3z i =±．3．复平面内点A 对应的复数为1，过点A 作虚轴的平行线l ，设l 上的点对应的复数为z ，试求复数1z对应的点集是什么图形？解：因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以可设直线l 上的点对应的复数为1()z bi b =+∈R ，于是211111bi z bi b -==++．设1x yi z =+，得22111b x yi i b b +=-++．按照复数相等的充要条件，得22111x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，消去b ，得2222222211(1)(1)1b x y x b b b +=+==+++．所以22(0)x y x x +=≠，即2211(0)24x y x⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭．故1z所对应的点的集合是以12⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，但不包括原点(00)，．。

复数的四则运算练习题(文理通用)

1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形￥解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋－1－22＝612.{答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， ∴|z |＝a 2＋b 2＝510，：将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1解析由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离．答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于（( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5， ∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，zC＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a－b ＝－4.）答案－410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 42^11．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．*12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， ~ 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形．又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15i )C ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C)＋－2＋i 1＋2i的值是( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i＝－1i ＋i ＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案－3(5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 83 6．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i. "法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 【答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x ＝－1，故选B.答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.:解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝________. 解析令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i＝22＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案－i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i2＋i，若z 2＋az <0，求纯虚数a .…解由z 2＋a z <0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0，∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1!。

复数的四则运算同步练习题文科附答案精修订

复数的四则运算同步练习题文科附答案标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]复数的四则运算同步练习题一、选择题1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋I C ．3 D ．－2－i 5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i6．复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－19．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411．若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1D ．i +113.=++-ii i 1)21)(1(( C ) A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z ?z ̅̅̅z +2=2z ，则z =( A ) （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D ) (A)－4（B ）－45（C ）4（D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D ) (A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i 22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C ) A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12（B ）2 （C （D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于（ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于（ A ） A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii+-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 3430.复数2(1)2i i-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56ii-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5iD ．-6-5i33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+234．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．i36．()()221111iii i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-37．复数（1＋1i）4的值是（ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4二、填空题38．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __． 39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____．41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____.42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____. 43.已知复数512iz i=+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38． 47.已知312ia i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)． 50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.52．已知复数z=1＋i ，如果221z az bz z ++-+=1－i,求实数a,b 的值．解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a ii +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。

高中数学4.2复数的四则运算专项测试同步训练

高中数学4.2复数的四则运算专项测试同步训练2020.031,设z ∈C ，且|z －2|＝2, z ＋z 4∈R ，求z.2,复数z ＝x ＋yi(x, y ∈R)满足|z －4i|＝|z ＋2)，则2x ＋4x 的最小值是（）。

A.2B.4C.42D.823,若z ＝1－cos2θ＋isin2θ,θ∈(－2π, 0)，则z 的辐角主值是 .4,复数isin 57π的三角形式是（）。

A.cos 57π＋isin 57πB.sin 52π(cos 23π＋isin 23π) C.sin 52π(cos 2π＋isin 2π) D.sin 57π (cos 2π＋isin 2π)5,设，ω＝z ＋ai, (a ∈R), z ＝i ii i 4342)1)(41(++++-,(1) 求z 的三角形式；(2) 当0≤a ≤3时，求|ω|的取值范围； (3) 当|ω|≤2时, 求arg ω的取值范围。

6,设复数z 1, z 2满足10z 12＋5z 22＝2z 1z 2，且z 1＋2z 2为纯虚数，则3z 1－z 2为（）。

A.实数B.虚数C.纯虚数D.零7,已知关于x 的方程ax 2＋(1＋2i)x －2a(1－i)＝0有实根，则实数a 的值是（）。

A.±3B.±3C.0, ±3D.0,±38,满足z z ＋2i(z －z)＋2＝0且arg(z －2)＝4π的复数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由。

9,计算：2000)12(32132i i i+-++-＝ . 10,若z ∈C ，且|z 1|≤21, z 2＝z 1＋i ，则z 2的辐角主值的范围是（）。

A.[3π, 32π]B.[6π, 65π]C.[43π, 35π]D.[0, 2π]∪[35π,2π]11,已知复数z 1＝1＋2i, z 2＝3－4i ，它们的辐角主值分别是α、β，则2α－β的值是（）。

人教A版必修第二册《7.2 复数的四则运算》练习卷(3).doc

人教A版必修第二册《7.2复数的四则运算》练习卷（3）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若复数Z满足iz = 2,其中，为虚数单位，则Z等于（）A. -2iB. 2iC. -2D. 22 .若z = 4 + 3L则厂\Zi=()A. 1B. -1S+m D- 5-513.已知冬尹= l + i（i为虚数单位），则复数z =（）A. 1 + iB. 1-iC. —1 + iD. -1-i4 .已知Z,是虚数单位,若复数Z满足z=el + l,则Z的共辄复数5为（）A 1+iA-VB.—2L T+i. 2D.—25 .Z•为虚数单位，7+号+东+5等于（）A. 0B. 2iC. —21D. 4i6.若复数Z满足右= 1 + 2i,则z =()A. l + 3iB. 3 + iC. 3 + 3iD. —1 + 3i7 .已知复数Z1 = 3—,bi, z2 = l-2i,若兰是实数，则实数b的值为（）A. 6B. -6 C wJ 3D*8 .设复数Z满足片=1-Z3,则|z| = ()A. 1B. V2C. V3D. 29 .设复数Z = *，则.1-1z・z =()A. 1 + iB. 1-iC. 1D. 2—\填空题（本大题共6小题，共30.0分）1 0已知复数z满足|z|—z =2 — 4i,贝!Jz =11.计算：—=12.计算：（老尸=——13.设a,b E R f，为虚数单位，若(Q +步)• i = 2 — 5i,则沥的值为.14.已知复数z = 1 + 2i(i为虚数单位)，贝U|z| =.15.定义运算| : 3 = ad-be,则满足条件| ；；：| = 4 + 2i的复数z为三、解答题(本大题共3小题，共36.0分)16.计算：(1)(1 一0(1 + 02 _(5 _ 70 + ?■^一4，；「2) (T+VIi)3 _ (2 + i)2()(l+i)6 4-3i *17.设复数Zi = 2 + Q?(其中。

人教版高中数学必修第二册7.2 复数的四则运算同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算同步精练【考点梳理】考点一复数加法与减法的运算法则1.设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则(1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2.对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有(1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).考点二复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应.考点三复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3考点四复数除法的法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i ≠0)是任意两个复数，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0).【题型归纳】题型一：复数的加减法的代数运算1．（2021·全国·高一）计算：(1)()()54i 33i ++--(2)()()()23i 22i 23i-+-+-+(3)()()32i 7i 23i +---(4)()()()0.5 1.3i 1.20.7i 10.4i +-++-(5)()()()()i i a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-++-⎣⎦⎣⎦(6)()()3242i 6i i--++2．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)()()53i 75i 4i -+--；(2)()()()24i 2i 17i ----+++；(3)234i i i i +++．题型二：复数加减法的几何意义3．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为（）A ．5B ．5C ．25D ．104．（2020·全国·高一课时练习）在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（）A ．1B ．1-C ．3iD ．3i-5．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．题型三：复数代数形式的乘法除法运算6．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）设复数12,z z ，满足11z =，22z =，123i z z +=-，则12z z -=（）A ．4B ．3C ．6D ．27．（2021·全国·高一课时练习）已知134i z =-，232z i =-.求：(1)12z z ⋅；(2)12z z ；(3)()()221i 1i nn++-（n 为正整数）；(4)()()()()151514141i 1i 1i 1i ++-+--.8．（2021·全国·高一）计算：(1)()()23i 23i -+(2)()()1i 43i --+(3)3113i i 2222⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()212i 1i +-题型四：复数范围内因式分解9．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)28x +；(2)223x x -+；(3)2321x x -+.10．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)44a b -(2)24x +(3)225x x ++(4)2222a b c ab+++题型五：复数范围内解方程11．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）已知复数212313,32z m i z m m i m =--=----，其中3,m m R ≠∈．（1）若12z z -是纯虚数，求m 的值．（2）12,z z 能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．12．（2021·安徽安庆·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位．（1）求,p q 的值；（2）记复数()4i z p q =+-+，求复数1iz+的模．题型六：复数的平方根和立方根13．（2020·全国·高一课时练习）设复数1322z i =+（i 是虚数单位），则2345623456z z z z z z +++++=（）A ．6zB ．26z C ．6z D ．6z-14．（2021·全国·高一专题练习）设z 1是方程x 2－6x ＋25＝0的一个根．(1)求z 1；(2)设z 2＝a ＋i(其中i 为虚数单位，a ∈R )，若z 2的共轭复数z 2满足|z 13·z 2|＝1255，求z 22.题型七：复数的综合运算15．（2021·全国·高一课）计算下列各题．（1）2(1)1i i+-＋2(1)1i i -+－3(34)(22)43i i i -++；（2）4(22)i i +＋2()1i+2＋1()1i i +-7．16．（2021·全国·高一）（1）201611i i +⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）20162321123i i i ⎛⎫-++ ⎪ ⎪-+⎝⎭（3）55(1)(1)11i i i i+-+-+；（4）201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭；（5）548(43)(13)(42)i i i --+；（6）23201920202320192020i i i i i +++++.17．（2021·全国·高一单元测试）i 为虚数单位，(),z a bi a b R =+∈且1z z-是纯虚数，（1）求2z -的取值范围；（2）若0a ≠，11z u z -=+，1v z z=+，求24v u -的最小值.【双基达标】一、单选题18．（2022·全国·高一）设复数z 满足(1i)2i z =＋，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-19．（2022·全国·高一）已知i 为虚数单位，则复数12i2i 1iz -=++可化简为（）A ．1i2-+B ．1i 2--C ．1i 3+D ．1i 2-20．（2022·全国·高一）设复数1z ，2z 满足122z z ==，122z z =，则12z z +的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．4221．（2021·全国·高一课时练习）若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是113i x =+和213i x =-，则这个一元二次方程可以是（）.A ．2220x x +=-B ．2240x x -+=C ．2321x x -+D ．2240x x ++=22．（2021·全国·高一课时练习）若1i()1ia R z a -∈+=是纯虚数，2z 满足21(1)5z a z +-=，则复数2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．（2021·全国·高一课时练习）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（）A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z =24．（2021·山东邹城·高一期中）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为515+-和515--，数系扩充后这两个根分别记为515i +和515i -．若()515i 515i z +=-，则复数z =（）A ．115i -B ．115i +C ．115i 4-D ．115i 4+【高分突破】一：单选题25．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足2020(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．（2021·云南省大姚县第一中学高一阶段练习）已知复数134z i =+，复平面内，复数1z 与3z 所对应的点关于原点对称，3z 与2z 关于实轴对称，则12z z ⋅=（）A ．7-B ．7C ．25-D ．2527．（2021·河北·沧州市一中高一阶段练习）i 为虚数单位，复数2i 1i 1z -=+，则z 的虚部为（）A ．3i2B ．32C ．32-D ．3i2-28．（2020·全国·高一课时练习）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．329．（2021·全国·高一课时练习）已知i 是虚数单位，则复数2020202122i z i -=+对应的点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限30．（2020·全国·高一课时练习）已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =A ．4355i-B ．4355i-+C ．4355i--D ．4355i+31．（2021·全国·高一课时练习）已知i 为虚数单位，复数32i2i z +=-，则以下命题为真命题的是（）A ．z 的共轭复数为74i 55-B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限32．（2021·湖北·武汉市第四十九中学高一阶段练习）复数cos 67.5sin 67.5z i =+，则22z z=（）A ．2222-B ．2222i -+C ．2222i --D ．1二、多选题33．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．2340i i i i +++=B ．复数3z i =-的虚部为i-C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线34．（2021·全国·高一课时练习）已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（）A ．若复数z 满足||5z i -=，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i=+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥35．（2021·全国·高一单元测试）下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件36．（2021·湖北·随州市第一中学高一期中）设1z ，2z 为复数，且12z z ≠，下列命题中正确的是（）A ．若12=z z ，则12z z =B ．若12z i z =，则1z 的实部与2z 的虚部互为相反数C ．若12z z +为纯虚数，则12z z -为实数D ．若12z z ∈R ，则1z ，2z 在复平面内对应的点不可能在同一象限37．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）下列命题为真命题的是（）A ．若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43n i i +=C ．复数52i -的共轭复数为2i --D ．若m 为实数，i 为虚数单位，则“213m <<”是“复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件38．（2021·江苏·高一期末）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin θθθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）A ．πi 2e i =B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πi πi 44πe ecos 42-+=三、填空题39．（2021·河北·博野县实验中学高一阶段练习）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.40．（2021·上海·高一单元测试）如果z ＝21i-，那么z 100＋z 50＋1＝________.41．（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______42．（2021·全国·高一课时练习）复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.四、解答题43．（2021·上海·高一课时练习）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数.（1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.44．（2021·上海·高一课时练习）已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈.（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值范围.45．（2021·上海·高一单元测试）已知复数1z 、2z 满足1||71z =+、2||71z =-，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.46．（2019·山东·胶州市实验中学高一期中）已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位)，52z w w=+-．()1求z ；()2若()1中的z 是关于x 的方程20x px q -+=的一个根，求实数p ，q 的值及方程的另一个根．47．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足：z 2＝3+4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限.（1）求复数z ；（2）设a ∈R ，且20191|()|21z a z++=+，求实数a 的值.48．（2021·江苏省苏州实验中学高一期中）设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（3）求2ωμ-的最小值．【答案详解】1．(1)2i +(2)22i -(3)12i -(4)0.30.2i +(5)22i b b -+(6)3i --【解析】(1)()()54i 33i 534i 3i 2i++--=-+-=+(2)()()()23i 22i 23i-+-+-+2223i 2i 3i 22i=+---+=-(3)()()32i 7i 23i 322i 7i 3i 12i+---=-+-+=-(4)()()()0.5 1.3i 1.20.7i 10.4i +-++-0.5 1.21 1.3i 0.7i 0.4i 0.30.2i=-++--=+(5)()()()()i i a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()i i 22ia b a b a b a b b b =--+++--=-+(6)()()3242i 6i i 42i 6i 13i --++--+-=--=.2．(1)1212i -(2)12i +(3)0(1)解：由复数的运算法则，可得()()53i 75i 4i (57)(354)i 1212i -+--=+-++=-.(2)解：由复数的运算法则，可得()()()24i 2i 17i (221)(417)i 12i ----+++=-++-+-=+.(3)由i n 的运算规律及方法，可得234i i i i i 1i 10+++=--+=.3．B【解析】【分析】根据复数减法的几何意义求出向量AC 对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】依题意，AC 对应的复数为(－4－3i )－(－1＋i )＝－3－4i ，因此AC 的长度为|－3－4i |＝5.故选：B ．4．D【解析】【详解】AB =OB OA-=2ω-ω=21322i ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭－（1322i -+）=1322i --1322i +-=3i -，故选D.5．答案见解析．【解析】【分析】由向量加法的坐标表示可得复数加法过程．【详解】()()()11221212,,,O a b a b a a b C OA OB b =+==+++，对应的两个复数相加的运算过程：()()()()1211221212i i iz z a b a b a a b b +=+++=+++6．C【解析】【分析】先设出复数的代数形式，然后结合已知利用复数的四则运算及复数的模长公式可求得结果【详解】设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，因为复数12,z z ，满足11z =，22z =，123i z z +=-，所以221a b +=，224c d +=，31a c b d ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以2222224a c ac b d bd +++++=，所以221ac bd +=-，所以2212()()z z a c b d -=-+-22222()516a b c d ac bd =+++-+=+=，故选：C7．(1)118i-(2)176i 1313-(3)()()1*12,4,,0,41,,2i 2i 2,42,,0,43,n n n n n k k n k k n k k n k k ++⎧=∈⎪=+∈⎪+-=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩N N N N(4)i【解析】【分析】（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.(1)根据复数的加减法和乘法运算规则得，()()12·34i ·32i 118i z z =--=-.(2)根据复数的四则运算规则得，()()()()1234i 32i 34i 176i 176i 32i 32i 32i 131313z z -+--====---+.(3)根据复数的乘方及四则运算规则得，()()()()1*2212,4,,0,41,,1i 1i 2i 2i 2,42,,0,43,n n n n n n n k k n k k n k k n k k ++⎧=∈⎪=+∈⎪++-=+-=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩N N N N(4)根据复数的乘方及四则运算规则得，()()()()()()()()()()()()()()15151414777777141477881i 1i 1i ·1i 1i ·1i 2i ·1i 2i ·1i 2i 22i 2i 2i 2i 1i 1i 2i 2i ++-+++--++---+++====--+----8．(1)13(2)17i-+(3)31i 22-+(4)42i-【解析】【分析】（1）利用复数的乘方运算即可求解.（2）利用复数的乘法运算即可求解.（3）利用复数的乘法运算即可求解.（4）利用复数的乘方以及乘法运算即可求解.(1)()()()2223i 23i 23i 4913-+=-=+=(2)()()21i 43i 43i 4i 3i 17i--+=-++-=-+(3)3113331331i i i i i 2222444422⎛⎫⎛⎫+-+=-+--=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()()()()2212i 1i 12i 12i i 2i 12i 42i +-+-+=-+=-=9．(1)28(22i)(22i)x x x +=+-(2)223(12i)(12i)x x x x -+=-+--(3)212123213(i (i)33x x x x -+-+=--）【解析】【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.(1)2228=8i (22i)(22i)x x x x +-=+-(2)()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-+--(3)∵22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--(∴212123213[()+i][()i]3333x x x x -+=---∴212123213(i (i)33x x x x -+-+=--）10．(1)()()()()i i a b a b a b a b -+-+(2)()()2i 2i x x +-(3)()()12i 12i x x +++-(4)()()i i a b c a b c +++-【解析】【分析】注意()()22i i m n m n m n +=+-,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.(1)()()()()()()442222i i a b a b a b a b a b a b a b -=-+=-+-+;(2)()()242i 2i x x x +=+-;(3)()()()()222225141212i 12i x x x x x x ++=++=++=+++-;(4)2222a b c ab +++()()()22i i a b c a b c a b c =++=+++-11．（1）1m =；（2）当3m =-时，12,z z 能为某实系数一元二次方程的两个虚根．【解析】【分析】（1）先求得12z z -关于m 的表达形式，然后根据纯虚数的概念列出方程组，求解即得；（2）根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭，其实部相等虚部互为相反数，得到方程组求解即得.【详解】（1）依题意，1333z m i m =-+-，所以212312332z z m m i m ⎛⎫-=+-++ ⎪-⎝⎭．因为12z z -是纯虚数，所以2230,310,32m m m ⎧+-=⎪⎨+≠⎪-⎩解得1m =．（2）假设12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，因为方程20ax bx c ++=的两个虚根为1,22b i x a-±-=，所以12,z z 互为共轭复数，于是12z z =，从而23,31,32m m m m ⎧-=--⎪⎨=-⎪-⎩解得3m =-．故当3m =-时，12,z z 能为某实系数一元二次方程的两个虚根．12．（1）25p q =-⎧⎨=⎩；（2）102.【解析】【分析】（1）根据条件可得()()324i 0p q p +-++=，然后结合复数相等的条件得到方程组，解方程组即可求出结果；（2）由（1）可以求出复数z ，然后结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.【详解】（1）根据条件可将12i x =+代入方程20x px q ++=，整理得()()324i 0p q p +-++=，所以30240p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩（2）由（1）可知()4i 2i z p q =+-+=--，所以()()2i 1i 2i 31i 1i 1i 222z -----===-+++于是22313110i 1i 22222z ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因此复数1i z +的模为102.13．C【解析】由1322z i =+，可求出213i 22z =-+，31z =-，413i 22z =--，513i 22z =-，61z =，,代入原式计算即可.【详解】解：由题意知213i 22z =-+，31z =-，413i 22z =--，513i 22z =-，61z =，∴原式13553i (13i)(3)(223)62222i i ⎛⎫⎛⎫=++-++-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133336622i i z ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.14．（1）113434z i z i =-=+或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；（2）由z 2=a+i 得其共轭复数，把z 1及2 z 代入|z 13·z 2|＝1255，整理后求解a 的值，代入z 2=a+i 后求解z 22．【详解】(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z 1＝3－4i 或z 1＝3＋4i.(2)由|z ·(a －i)|＝125，得125·＝125，所以a ＝±2.当a ＝－2时，z ＝(－2＋i)2＝3－4i ；当a ＝2时，z ＝(2＋i)2＝3＋4i.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．15．（1）16i -；（2）14i ．【解析】【分析】运用复数的运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式()()()()()()233228341111111134i i i i i i i i i i i -+++-⎡⎤⎡⎤=++--⎣⎦⎣⎦-+-()()()()3382122i i i i i i i⨯+=+---88161616i i=+--=-（2）原式()274211614i i i i i i i i=++=--=16．（1）1；（2）1i +；（3）0；（4）2i -；（5）516；（6）10101010i -.【解析】【分析】根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.【详解】（1）()()()211111i i i i i i ++==--+，又21i =-，3i i =-，41i =，201620164504111i i i i ⨯+⎛⎫∴= =⎪⎝⎭=-；（2）()()()()2016100823123232212123123123i i i i i i i i -+-⎛⎫-+⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭+-⎝⎭()100842521311113i i i ii ⨯=+=+=+-；（3）()()()()()()()()()()332255662211111111111111i i i i i i i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦+=+=+-+-+-+--()()33332244022i i i i -=+=-=；（4）()()()21121112i i i i i i i ++===--+，()()()21121112i i i i i i i ---===-++-，201920192019420192019504331111()2222i i i i i i i i i i ⨯++-⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭-=--====-；（5）()()()()()()()()()445545888431343134313424242i i i i i i i i i ------=⋅=+++()455454888443135252525164225i ii --⨯⨯====⨯+⋅；（6）23201920202320192020i i i i i +++⋅⋅⋅++()()()23456782017201820192020i i i i i i =--++--++⋅⋅⋅+--+()()()222222i i i =-+-+⋅⋅⋅+-()50522i =⨯-10101010i =-.17．（1）()1,+∞；（2）最小值为1-.【解析】（1）先利用1z z-是纯虚数得到()00a b =≠或()2210a b b +=≠，再分两种情况讨论即可得出结果；（2）由（1）及0a ≠可得221a b +=，分别求出复数,u v ，代入24v u -，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫-=+-=-++ ⎪+++⎝⎭，因为1z z-为纯虚数，所以220a a a b -=+且220b b a b +≠+，所以()00a b =≠或()2210a b b +=≠，当()00a b =≠时，()22242,z bi b -=-=+∈+∞，当()2210a b b +=≠时，()222254z a b a -=-+=-，()1,1a ∈-，所以()21,3z -∈，综上：()21,z -∈+∞.（2）由（1）()00a b =≠或()2210a b b +=≠，又0a ≠，所以221a b +=，()()1,00,1a ∈-⋃，22112a bi v z a bi a bi a z a bi a b -=+=++=++=++，()()1,00,1a ∈-⋃，由题意知()()()22111111a bi a bi a bi bi u a bi a a b --+----===+++++，所以()()22222114888111b a a v u a a a a a a ---=+=+=++++，()2819216911a a =++-≥-=-+，当且仅当12a =-时，等号成立，所以24v u -的最小值为1-.【点睛】关键点睛：本题考查有关复数的问题以及基本不等式求最值问题.熟练掌握复数运算法则以及模的求法是解决本题的关键.18．D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(1i)2i z =＋，得2i 2i(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====+++-，1i z ∴=-．故选：D ．19．A【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】()()12i 1i 12i 13i 1i 2i 2i 2i 1i 222z ------+=+=+=+=+.故选：A20．B【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||2a ≤，从而可得选项.【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，所以222a b +=①，222c d +=②.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=，所以2ac bd -=③，0ad bc +=④.由①+②-③×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=.所以2i z a b =-，由①知||2a ≤，故122||22z z a +=≤.故选：B.21．B【解析】【分析】设方程为()200++=≠ax bx c a ，根据韦达定理分别将,b c 用a 表示，即可得出答案.【详解】解：设方程为()200++=≠ax bx c a ，则122b x x a +=-=，所以2b a =-，124c x x a==，所以4c a =，则方程为()()22400a x x a -+=≠，故只有B 选项符合题意.故选：B.22．D【解析】【分析】化简1,z 求出a 再求解2z 即可【详解】()()()()()1i 1-i 11i i ==1i 1i 1-i 2a a a z a ---+-+=+是纯虚数，故10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩此时1i z =-()21+15z a z -=，所以()22i 5z +=，即()()()252i 52i 2+i 2+i 2i z -===--，所以复数2z 在复平面内对应的点为()2,1-位于第四象限.故选：D23．D【解析】【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证.【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误；对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a b b a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则()()()()()()()()22222222221212z z ac bd ad bc ac bd ad bc a b c d z z =-++=+++=++=，D 正确故选：D24．C【解析】【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()515i 515i z +=-，得()()()22515i515i 25151015i 115i 2515i 4515i 515i 515i z -----====-++-．故选：C ．25．D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z ，再逐项判断.【详解】因为()50520204(2i)i i 1z -===，所以()()()212i 2i 2i 1i 55i 2z +--=++==，A.复数z 的模为22215555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；B.复数z 的共轭复数为21i 55z =-，故错误；C.复数z 的虚部为15，故错误；D.复数z 在复平面内对应的点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在第一象限，故正确；故选：D26．C【解析】【分析】根据复数的几何意义可得3z ，进而可得2z ，结合复数形式的乘法运算计算即可.【详解】因为134i z =+，得1z 对应的点为()34，，又复数1z 与3z 对应点关于原点对称，故3z 的对应点为()34--，，所以334i z =--，又复数3z 与2z 关于实轴对称，所以234i z =-+，所以212(34i)(34i)=912i 12i 16i =25z z ⋅=+-+-+-+-.故选：C27．B【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，再根据虚部的定义即可求解.【详解】()()()()2i 1i 12i 113i 13i i 1i 1i 1222z -----====+++--，所以z 的虚部为32，故选：B.28．A【解析】【详解】试题分析：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.29．D【解析】【分析】先化简20202021,i i ，再利用复数的除法化简得解.【详解】20202021212222(2)(2)5i i i z i i i i ---====+++-.所以复数对应的点21(,)55-在第四象限，故选：D【点睛】结论点睛：复数(,)z x yi x y R =+∈对应的点为(,)x y ，点(,)x y 在第几象限，复数对应的点就在第几象限.30．A【解析】【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+，则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．31．D【解析】利用复数的除法运算，化简32i 2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，224765555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.32．C【解析】【分析】根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意，复数cos 67.5sin 67.5z i =+，可得222cos 67.5sin 67.51z =+=，2222(cos 67.5sin 67.5)cos135sin13522z i i i =+=+=-+，所以2222122222222()()2222222222i i z z i i i --===-+-+⋅----.故选：C.33．AD【解析】【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到()1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确.故选：AD34．CD【解析】根据复数减法的模的几何意义，判断A 选项的正确性.设z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，则22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a a b b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题.35．AD【解析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a b i a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a b i a b i a a b b a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.36．BD【解析】【分析】根据复数的模扱共轭复数的概念判断A ，由复数的加减法法则和分类判断C ，结合复数的乘法法则及复数的概念、几何意义判断BD ，【详解】若12=z z ，如121,z z i ==，不共轭；若12z z +为纯虚数，则1z ，2z 的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以12z z -不一定为实数，故A ，C 错误；令1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d ∈R ，若12z i z =，则()12z a bi z i c di i ci d =+==+=-，所以a d =-，故B 正确；若()()12z z a bi c di =++()()ac bd bc ad i R =-++∈，则0bc ad +=.如果1z ，2z 在复平面内对应的点在同一象限，那么bc ，ad 同号，不可能使得0bc ad +=，故D 正确.故选：BD ．37．AD【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则判断各选项．【详解】设221212,,z a bi z a bi z z a b R =+=-=+∈，所以A 正确；43i i n +=-，所以B 错；522i i =---，所以共轭复数为2i -+，所以C 错；复数(3)(2)(32)(1)m i i m m i +-+=-+-在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是32010m m ->⎧⎨-<⎩，即213m <<，所以D 正确，故选：AD ．38．ABD【解析】【分析】根据i e cos isin θθθ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为i e cos isin θθθ=+所以πi 2e cos+isin i 22ππ==，故A 正确πi422e cos +isin +i 4422ππ==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi44cos isin cos isin e e4444cos 224πππππ-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确故选：ABD39．2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.40．i【解析】【分析】先求出复数()212z i =+，计算出2z 后可求100501z z ++的值.【详解】因为21z i=-，故()212z i =+，所以()22112z i i =+=，故()()251210025021,z i z i i i ==-=⋅=，故100501z z i ++=，故答案为：i .【点睛】知识点睛：对任意的*n N ∈，若41,n k k N =+∈，则41k i i +=，若42,n k k N =+∈，则421k i +=-，若43,n k k N =+∈，则43k i i +=-，若44,n k k N =+∈，则441k i +=.41．51+【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|的最大值为22(31)(01)151-+-+=+．故答案为51+．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．42．①②③【解析】【分析】①根据平面向量加法交换律判定；②结合平面向量加法运算法则判定；③由111221OZ OZ OZ OZ ⋅==判定；④结合平面向量数量积判定；⑤结合平面向量数量积判定.【详解】解：①1221OZ OZ OZ OZ =++成立，故①正确；②由平面向量加法运算法则可得1212OZ OZ OZ OZ ≤++，故②正确；③111221OZ OZ OZ OZ ⋅==成立，故③正确；④121212cos OZ OZ OZ OZ OZ OZ θ=⋅⋅⋅≤，故④不成立，⑤若非零向量123OZ OZ OZ ，，，满足1123OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，则123112cos cos OZ OZ OZ OZ θθ⋅=⋅，则3212cos cos OZ OZ θθ=，所以23OZ OZ =不一定成立，故⑤不成立.故答案为：①②③43．（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i +＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+-＝a ＋i ＋2221a ia -+＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0.因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).44．（1）1a =-；（2）72,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】（1）化简z ，得z 在复平面中所对应的点的坐标，代入直线0x y -=计算；（2）代入模长公式表示出1z -，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）化简得()()()11243(5)=++++=-++z ai i i a a i ，所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5-+a a ，在直线0x y -=上，所以3(5)0--+=a a ，得1a =-.（2）2221(2)(5)(2)(5)2629-=-++=-++=++z a a i a a a a ，因为a R ∈，且24926292++≥a a ，所以272126292-=++≥z a a ，所以1z -的取值范围为72,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.45．12473z i z +=±，12||4z z +=.【解析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()()2127171473717171z i i z +++=±=±=±--+.【点睛】本题的易错点在127171z i z +=±-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可.46．（1）3z i =+．（2）6p =，10q =， 3x i =-．【解析】【分析】()1利用复数的运算计算出w ，代入z 即可得出．()2把3i z =+代入关于x 的方程20x px q -+=，利用复数相等解出p ，q ，即可得出．【详解】()1()1243w i i +=+，()()()()4312432121212i i i w i i i i +-+∴===-++-，()()()52513222i z i i i i i +∴=+=+=+--+．()23z i =+是关于x 的方程20x px q -+=的一个根，()()2330i p i q ∴+-++=，()()8360p q p i -++-=，p ，q 为实数，830{ 60p q p -+=∴-=，解得6p =，10q =．解方程26100x x +=-，得3x i=±∴实数6p =，10q =，方程的另一个根为3x i =-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．47．（1）2i --；（2）3±.【解析】【分析】（1）设z ＝c +di （c ，d ∈R ），再由z 2＝3+4i 求解；（2）根据z =﹣2+i ，求得11z z ++，由20191|()|21z a z ++=+求解.【详解】（1）设z ＝c +di （c ，d ∈R ），则z 2＝（c +di ）2＝c 2﹣d 2+2cdi ＝3+4i ，∴22324c d cd ⎧-=⎨=⎩，解得21c d =-⎧⎨=-⎩或21c d =⎧⎨=⎩（舍去），∴z ＝﹣2﹣i ；（2）∵z =﹣2+i ∴()()()()2211111111121i i z i i i i i i i z +++--+=====-+--++，20191|()|21z a z++=+，∴2||12a i a -=+=，解得3a =±48．（1）11,12x -<<；（2）见解析；（3）1.【解析】【详解】（1）因为z 是虚数,∴可设z=x+yi ,,x y ∈R,且0,y ≠、∴1z x y z ω=+=+i 1i x y x y +=++i 222222i x y x x y x y x y y i x y -+=++-+++⎛⎫ ⎪⎝⎭可得22220110y y x y x y z y ⎧-=⎪+⇒+=⇒=⎨⎪≠⎩，此时，2x ω=⇒112x -<<；从而证明u 是纯虚数；（2）0,y u ≠因为所以为纯虚数；（3）22(1y u x x ω-=--+i 2)，然后化简和计算得到222(1)31u x x ω-=++-≥+222(1)31,1x x +⋅-=+。

(完整版)复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)

复数的四则运算同步练习题一、选择题1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6．复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19．在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A)A.34B.43 C ．－43 D ．－3411．若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +113.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B （C （D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于（ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于（ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31i i+-=( D ) A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i29.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 3430.复数2(1)2i i-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+2 34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是（ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值．解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。

高中数学3.2复数的四则运算专项测试同步训练

高中数学3．2复数的四则运算专项测试同步训练2020.031,某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下联表：生产线与产品合格率列联表2,为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( )A ． 1l 与2l 重合B ． 1l 与2l 一定平行C ． 1l 与2l 相交于点),(y xD ．无法判断1l 和2l 是否相交 3,炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( )A ．确定性关系B ．相关关系C ．函数关系D ．无任何关系4,设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA|+21|PF|有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．5,如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则x y最大值（）A ．21B ．33C ．23D ．36,AB 是抛物线y=x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 . 7,椭圆12222=+b y a x (a>b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（）A ．45B ．25C ．32 D ．45 8,已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围． 9,考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：根据以上数据，则( )A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的10,以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 11,如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.12,过双曲线x 2－22y=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A, B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13,椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍14,设有一个回归方程为y=2-2．5x,则变量x 增加一个单位时（） A ．y 平均增加2．5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2．5个单位D ．y 平均减少2个单位 15,已知x 与y 之间的一组数据：A ．（2，2）点B ．（1．5，0）点C ．（1，2）点D ．（1．5，4）点答案1, 甲乙生产的产品合格率有关的可能是50% 2, C 3, B 4, )2,321(5, D6, 25 7, B8, [解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-a y a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x.（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ．令x=0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ．∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈Y b ．9, B10, B11, [解析]：（I ）当y p =2时，x p=8又抛物线y px 22=的准线方程为x p=-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=() （2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y py y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=-设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=， ,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.12, C 13, A 14, C 15, D。

5.3 复数的四则运算同步练测(湘教版选修2-2)

5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分[来源][来源:学§科§网Z§X§X§K]一、选择题（每小题5分，共20分）[来源:学§科§网Z§X§X§K]1.+¿n∈N¿¿i n+1+i n+2+…+i n+2012¿( )[来源:学§科§网Z§X§X§K] A.i n+3 B.0C.12.设复数z满足1+2i z=i,则z=( )A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i3.若复数z满足zi=1−i,则z等于（）A.−1−iB.1−iC.−1−iD.1+i4.把复数z的共轭复数记作z,i为虚数单位，若z=1+i,则(1+z)∙z=( )A.3−iB.3+iC.1+3iD.3二、填空题(每小题4分，共20分)5.已知复数z=1−i,则z2−2z z−1=¿.6.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1∙z2是实数，则实数t=¿ .7.已知2i−3是关于x的方程2x2+p x+q=0的一个根，则实数¿¿p=¿¿，实数q=¿ . 8.已知复数z1=1−i,z1∙z2=2+i,则复数z2为.9.复数(2+2i)4(1−√3i)5等于 .三、解答题（每小题10分，共60分）10.关于x的方程x2+(2a−i)x−a i+1=0有实根，求实数a的值.11.已知x,y为共轭复数，且(x+y)2−3x y i=4−6i,求x,y的值.[来源:1][来源:学§科§网Z§X§X§K]12.已知复数z=c o sα+s nαz=c o sβ−s nβ且z1+1z2=12+√32i,求z1,z2的值.13.已知z是虚数，且z1是实数，求证:11+-zz是纯虚数.[来源:1]14.（12分）计算：(1)(1+i)+(2+2i);(2)2+6i6−2i; (3)−2√3+i1+2√3i+(√21−i)2010.15.已知−1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）答题纸得分：1、选择题题号 1 2 3 4 答案二、填空题5． 6． 7． 8． 9．三、解答题10. [来源] [来源] 11.12.[来源] 13. 14. 15.5.3 复数的四则运算（湘教版选修2-2）答案1. B 解析：++…+=(1−)1−=02. C 解析：设复数z =a +b i (a ,b ∈R )满足1+2iz =i,所以1+2i =ai −b .解得{a =2,b =−1,所以 z =2−i .3. A 解析：利用复数的四则运算法则求解.由zi =1−i 得z =1−i i =1i −1=−1−i .4. A 解析：(1+z )=(2+i )(1−i )=3−i .5. 1. −2i 解析:∵ z =1−i, ∴ −2z =1−−21−=−2−2+=−2又z −1=−i,∴ z 2−2z z −1=−2−i=−2i .6.34 解析:=+−=−+−=++−因为z 1∙z 2是实数，所以4t −3=0, 即t =34.7. 12 26 解析：由2（2−3）+p （2−3¿+q =0，得（10−3p +q ）+（2p −24）=0.则{¿10−3p +q =0,¿2p −24=0,解得p =12，q =26.8.12+32i 解析:因为z 1=1−i ,z 1z 2=2+i ，所以z =2+1−=(2+)(1+)(1−)(1+)=12+329.−1+√3i解析：原式=16(√)×(√)(√)(√)√.10.解：设x 0是其实根，代入原方程，得由复数相等的定义，得{¿x 02+2a x 0+1=0,¿x 0+a =0.解得a =±1.故实数a的值为±1.11.解：设x =a +b i (a ,b ∈R )，则y =a −b i (a ,b ∈R ).代入原式，得4a 2−3(a 2+b 2)i =4−6i .根据复数相等的定义，有{¿4a 2=4,¿−3(a 2+b 2)=−6,解得{a =1b =1或{¿a =1¿b =−1或{¿a =−1¿b =1或{a =−1b =−1 所以{=+=−或{=−=+或{=−+=−−或{=−−=−+12.解：由z 1+1z 2=12+√32i,得c o s α+s n α+1c o s β−s n β=12+√32. 即c o α+c o β+n α+n β=12+√32平方相加，得c o s β=1−√3s i n β,代入s i n 2β+c o s 2β=1可得sin β=0或sin β=√32. 当si n β=0时， c o s β=1c o s α=−12s n α=√32当sin β=√32时，β=−12cos α=¿1,si n α=0.cos ¿13.证明：设z =a +b i (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是∵ z 1∈R，∴b −¿22b a b +=0.∵b ≠0，a 、b ∈R，∴ i1+a b是纯虚数.14. 解：(1)原式¿(1+2)+(1+2)i =3+3i ;(2)原式=(2+6i )(6−2i )=(2+6)6i +2=;(3)原式√√[(√) ]()15.解：由(−1+i)2+p(−1+i)+q=0得，(−p+q)+(p−2)i=0.根据复数相等的充要条件得{–p+q=0,p−2=0,解得{p=2,q=2.。

高中数学5.3复数的四则运算同步精练湘教版选修

高中数学 5.3 复数的四则运算同步精练湘教版选修2-21．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i＝( )． A ．－2－3i B ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )． A ．15i B ．15C ．－15iD ．－153．复数i 3(1＋i)2等于( )．A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 4．已知a 是实数，a －i 1＋i是纯虚数，则a 等于( )． A ．1 B ．－1C ． 2D ．－ 25．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 等于( )．A ．26B ．13C ．6D ．56．(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝__________.7．4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i＝______. 8．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i，则x ＋y 的值是__________． 9．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．10．是否存在同时满足下列两个条件的复数z ：(1)z ＋10z ∈R ，且1<z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数？如果存在，求出复数z ；如果不存在，请说明理由．参考答案1．C 5－i 1＋i ＝(5－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝5－1－5i －i 2＝2－3i. 2．B ∵1－2＋i ＋11－2i ＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i ，∴虚部为15. 3．A i 3(1＋i)2＝－i×2i＝－2i 2＝2. 4．A ∵a －i 1＋i ＝(a －i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a －12－1＋a 2i 是纯虚数， ∴a －12＝0，且1＋a 2≠0，解得a ＝1.5．A 由题意，得方程的另一根为3－2i ，则q 2＝(3＋2i)(3－2i)＝13.所以q ＝26. 6．4＋8i (6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝(6＋3－5)＋(6－1＋3)i＝4＋8i.7．1425 原式＝(4－3i)2＋(4＋3i)225＝1425. 8．4 x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i可化为 x (1－i)2＋y (1－2i)5＝5(1－3i)10， 5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ，(5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝5.∴x ＋y ＝－1＋5＝4.9．解：设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为－22或2 2.10．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，由z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋10x x 2＋y 2＋(y －10y x 2＋y 2)i ，由z ＋10z ∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝10. 当y ＝0时，z ＋10z ＝x ＋10x. 由基本不等式，可知x ＋10x ≥210或x ＋10x≤－210. 与已知1＜z ＋10z≤6矛盾，故y ≠0. 当x 2＋y 2＝10时，z ＋10z ＝2x ，由1＜z ＋10z ≤6，得12＜x ≤3. 又因为x ，y ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝±3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。