静电能

§ 1.8 静电能 ELECTROSTATIC ENERGE （教材 P101）1.静电互作用能

电荷之间的相互作用必然伴随着能量转移，由于电荷的相互作用通过电场传递，因此，能量转移必然通过电场对电荷作功来实现.

我们在1.5节已经指出，静电场的保守性质，决定了它是有势场。任何两点之间的电势差，等于电场力（或克服电场力）将单位正电荷从一点移至另一点所作的功，这功将转化为单位正电荷静电势能的改变量.

因此，电势零点一经确定，任何一点的电势U ，就相当于单位正电荷在该点具有的静电势能.

电势函数 U （x,y,z）在空间的分布构成标量场。

让我们设想，在其它电荷产生的外电场E 中，某点P的电势为U（x,y,z）= U（x），我们以黑体字母x 表示该点的位置矢量.

当电场力（或克服电场力）将点电荷q从电势零点移至P点，电荷q就具有了势能：

(1.8-1)

这能量显然反映着外电场与电荷q 的相互作用，因此，这是电场与电荷q 的相互作用能。

如果我们对上式求负梯度，我们马上会得到

(1.8-2)

这正是外电场E 作用于电荷q的库仑力.

如果一个体积为V 的电荷体系处于其它电荷的外电场E 中，设这体系的电荷密度函数为r (x) ,某个电荷元dq = r (x) d V 所在处外电场的电势为U（x）,则这电荷元与外场的静电互作用能为

显然，这电荷体系与外电场的静电互作用能，就是V 内所有电荷元与外电场的静电互作用能之和，它由下述积分给出：

(1.8-3)

现在，我们考虑两个点电荷之间的静电互作用能.

设P

1和P

2

两点分别存在着点电荷q

1

和q

2

，两者的距离r

12

= r

21

.

对于q

2，q

1

的电场就是外电场，它在q

2

所在点的电势为

于是， q

1对q

2

的静电互作用能是

同理，对于q

1，q

2

的电场就是外电场，同样可得到q

1

对q

2

的静电互作用能

我们看到：两个理想点电荷的静电相互作用能与它们的相互距离成反比；而且,W

12= W

21

，

即它们的相互作用能存在空间平移对称性——两者互换位置，相互作用能量不变.这从能量守恒定律可以得到解释.

根据上面两式，我们现在将两个点电荷的静电互作用能写成：

(1.8-4)

这里，U

i

是一个点电荷在另一个点电荷所在处产生的电势.

这结果显然可以推广至 n个点电荷的相互作用能：

(1.8-5)

其中

(1.8-6)

是其它点电荷在第 i 个电荷所在处产生的电势之代数和

2.外电场对电偶极子的作用（教材 P39 和 P109）

当电矩为p = ql 的电偶极子处于外电场E中,它将与外电场发生相互作用而具有一定的势能.由（1.8-1），两个电荷的势能分别是

W += qU

+

W

-

= -qU

-

故电偶极子的总势能为

（1.8-7）

即（1.8-8）

其中，q 是电矩矢量p 的方向与外电场E 的方向之间的夹角.

显然，q = 0 即当电矩矢量p 的方向与外场E一致的状态，是电偶极子的能量最低状态，因而也是最稳定的状态.而q = p 即p 与外场方向相反的状态，则是电偶极子的能量最高状态，即最不稳定的状态.

据（1.8-2）和（1.8-7），电偶极子受到外电场的作用力为

(1.8-9)

可见，若外电场是均匀场，即当E与坐标无关时，则▽E = 0，于是电偶极子受到的净作用力F =0 .

从组成电偶极子的两个电荷+q和-q受到的力来看，分别是 F

+ = +qE 和 F

-

= - qE ,因

此，当外电场是均匀的，电偶极子受到的合力F= F

++ F

-

= 0.这告诉我们，处于均匀电场

中的电偶极子不会出现平移运动.

但是，如果外电场是非均匀场，则▽E ≠0， F ≠0，外场力将把电偶极子拉向场强较高的方向.

处于非均匀电场中的电介质(dielectric)小颗粒或轻微物体，将被极化而成为电偶极子，并被吸向场强较高的地方.

例如，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理.

从（1.8-8）式

我们看到，q≠0的状态，并非电偶极子的稳定状态.

事实上，由于F

+和F

-

两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极

子朝着q = 0 即外电场的方向转动.

我们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为L，L的方向亦即转轴的方向必定垂直于p 和E 线构成的平面.

我们设想在这力矩作用下，q 有微小改变δ q ，从而使电偶极子的势能

W 减小，即

（1.8-10）（“虚功原理”，见教材P110）两边除以δ q ，并取δ q →0的极限，有

（1.8-11）

将

代入并求导数，我们得到

(1.8-12 )

实际上，转动是朝着q 减小的方向、也就是(1.8-10)式中δq < 0的方向进行的，因此力矩矢量L的绝对值应为

(1.8-13)

考虑及此，力矩矢量应当为

(1.8-14)

读者也可以从上图中，通过计算两个电荷相对于中点0 所受的力矩之和，来检验（1.8-14）.——动手算一算

两个电荷相对于中点0 所受的力矩矢量之和为

[例1-18] 两个电偶极子的相互作用能