函数的凹凸性在不等式证明中的应用

学年论文

题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院

专业数学与应用数学

级别10级

姓名洪玉茹

学号*********

摘 要 首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理

以及Jesen 不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．

关键词 凸函数，凸函数判定定理Jensen 不等式。

下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。

一、 凸函数的等价定义

定义1 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有

[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，

则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的 线总在曲线之上．

定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有

[]12121

(

)()()22

x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．

定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ，

恒有

000()()()()f x f x f x x x '≥+-，

则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．

定义4 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：

1,2,...,n x x x I ∀∈,有12

12......()()......()

.n

n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤

⎪⎝

⎭

则称该函数为凸函数。

二、判定定理

用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定

定理来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的．下面我们介绍该判定定理。

判定定理：设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条

件是()0f x ''≥，x I ∈．

证明：

对于区间(),a b 内的任意12,x x （不妨设12x x <）以及()0,1λ∈，令12x x x <<，则有()()()1122211,x x x x x x x x λλ-=---=-，由泰勒公式，得 ()()()()111f x f x f x x θ'=+-及()()()()222f x f x f x x θ'=+-， 其中1122x x x θθ<<<<，于是

()()()()()()()()12122121111f x f x f x x x x f f λλλλλλθθ''+-=+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

再进一步由()()21f f θθ''>，所以()()()()121211f x f x f x x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦即 ()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦。 所以我们能用判定定理判断函数的凹凸性。

定理：（Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则

[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>= 1

1,n i i λ==∑，有1

1

()()n n

i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.

证明 应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,则 12,,...,[,]k x x x a b ∈与1

0,1,2,...,,1n

i i i i k αα=>==∑都有1

1

()()k

k

i i i i i i f x f x αα==≤∑∑

现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,1

1

1k i i λ+==∑.

令1,1i

i k λαλ+=

-i=1,2,…,k,则1

1k

i i α==∑.由数学归纳法假设可推得1

1

1111

1

()[(1)

]1k

i i

k i i i k k k i k x

f x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111

(1)()k

k i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑

1111

(1)()()k

k i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑

=11111

(1)()()1k

i

k i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑

=1

1

()k i i i f x λ+=∑

即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.

推论：设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 为是凸函数，则1,2,...,n x x x I ∀∈,

有1212......()()......()

.n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤

⎪⎝⎭

。 三、凸函数在不等式证明中的应用

由上述的Jensen 不等式，在实际中我们可以应用Jensen 不等式，常常先用导数来肯定函数的凹凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凹凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，但是对于实际给出的题目，我们往往要先构造出凹凸函数，才能应用Jensen 不等式证明我们所要证明的不等式。举个我们